第四章 立体几何（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）-（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣《数学 拓展模块上册》立体几何章节，设AB卷分层训练，B卷通过空间线面关系、几何体体积与二面角等问题，整合知识网络，适配单元复习，提升空间观念与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|15/45|线面垂直判定（1）、空间角余弦值（3）|结合正方体模型，考查几何直观与逻辑推理| |填空|5/15|平行直线判断（16）、垂直平面对数（17）|立足基本图形，强化空间观念| |解答题|4/40|三棱锥体积（22）、二面角正切值（24）|综合应用公式与论证，培养数学表达与问题解决能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】如果，此时也能找到且，但并不平行于，而是在内，所以充分性不成立； 根据线面平行的性质定理：如果直线平行于平面，那么过作一个平面与相交，交线就满足，且，所以必要性成立. 即“存在直线，使”是“”的必要不充分条件. 2．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据题意，结合空间内的线线关系和线面关系的判定定理和性质定理，即可判断求解. 【详解】若，，则或或斜交，故选项A错误； 若，，则或，故选项B错误； 若，，，则或、相交或、异面，故选项C错误； 若，，则，又，故，故选项D正确； 故选：D. 3．如图，在正方体中，直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方体的特征得出为直线与所成角，再由直角三角形中的余弦的定义求值即可. 【详解】连接，因为为正方体， 所以， 则为直线与所成角， 且平面，平面， 所以，设棱长为， 则， 所以， 即直线与所成角的余弦值为， 故选：C. 4．在长方体中与直线垂直的直线是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方体中的线面关系及异面直线所成角的定义即可推导出正确答案. 【详解】在长方体中，面，面， 所以，故A正确； 在长方体中，， 直线与直线所成角为， 因为，所以直线与直线所成角为， 即直线与直线不垂直，故B选项错误； 在长方体中，， 直线与直线所成角为， 因为，所以直线与直线所成角为， 即直线与直线不垂直，故C选项错误； 在长方体中，设，连接，    则，，， ，可知， 则，所以直线与直线不垂直. 故选：A. 5．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】D 【分析】还原几何体，结合直线与直线的位置关系即可得解. 【详解】    如图所示，还原正方体后： ①与异面，不平行； ②连接，； ③连接，在正方体中，，则为等边三角形，； ④，，两两异面， 故②③④正确， 故选：. 6．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相交直线与平行直线的概念判断①与②，根据中位线的性质可证明③④. 【详解】①连接，如图，    根据两条相交直线确定一个平面可知，若与是相交直线， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故①错误； ②根据两条平行直线确定一个平面可知，若， 则说明点A，B，C，D四点共面，是平面四边形， 与题干的空间四边形矛盾，故②错误； ③∵点E，F，G，H分别是边，，，的中点． ∴是的中位线，是的中位线， ∴且，且， ∴，故③正确； ④由③可知，且，且， ∴且， ∴四边形是平行四边形，故④正确， 则结论正确的是③④，正确的个数是2个. 故选：B. 7．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合空间中直线垂直与相交的位置关系，分别判断充分性与必要性是否成立即可求解. 【详解】空间中两直线垂直包含相交垂直和异面垂直两种情况， 当两直线为异面垂直时，两直线不相交，故充分性不成立； 若两直线相交，其夹角的取值范围为，仅当夹角为时两直线才垂直，故必要性不成立， 所以在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 8．若平面存在关系则（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上三种情况均有可能 【答案】D 【分析】根据正方体进行分析验证即可. 【详解】   平面平面，平面平面， 且平面平面. 平面平面，平面平面， 且平面平面，两平面也相交. 所以平面存在关系则可能垂直、平行、相交. 故选：D. 9．已知，，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 【答案】D 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系即可解答. 【详解】若，， 则与可能平行，相交或异面， 故选：D. 10．下列命题中，正确的个数为（   ） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行    ②平行于同一平面的两个平面互相平行 ③平行于同一平面的两条直线互相平行    ④平行于同一条直线的两个平面互相平行 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，结合空间内的线线关系、线面关系，即可判断求解. 【详解】根据平行线的传递性，可得平行于同一条直线的两条直线互相平行，故①正确； 根据空间中平行平面的位置关系，可得平行于同一平面的两个平面互相平行，故②正确； 平行于同一平面的两条直线平行、相交、异面都有可能，故③错误； 平行于同一条直线的两个平面平行或相交，故④错误； 故正确的个数有2个. 故选：B. 11．已知、和、分别为空间内两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【分析】根据直线与直线、平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】选项A，可能在平面内，因此不能推出，错误. 选项B，根据垂直于同一条直线的两个平面互相平行，，，且是不同平面，因此，正确. 选项C，平行于同一个平面的两条直线，位置关系可以是平行、相交或异面，不一定平行，错误. 选项D，由B的结论可得，垂直于同一直线的两个不同平面平行，不是垂直，错误. 故选：B. 12．在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】长方体中，连接，找到为异面直线与所成的角，利用的正切值可求得所成角的大小. 【详解】 如图，连接. ∵， ∴为异面直线与所成的角. ∵， ∴； 故选：. 13．如图所示，在正方体中，是的中点，则与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】C 【分析】根据异面直线的特征判断. 【详解】A选项，因为，平面，平面， 所以平面，所以与直线不相交； B选项，因为平面，平面， 又平面且，所以直线与直线不相交； C选项，因为直线，都在平面内且不平行， 所以直线与直线相交； D选项，平面，平面，所以平面， 又平面且，所以直线与直线不相交； 故选：C. 14．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与所成角为 【答案】C 【分析】利用正方体的性质，根据线面垂直的性质可判断A；根据直线与直线的位置关系可判断B；求出的长度可判断C；根据线面垂直的判定与性质可判断D. 【详解】设正方体棱长为，连接，，，    选项A，因为平面，平面，所以， 则与所成的角为，A选项错误， 选项B，与是相交直线，所以与不平行，B选项错误， 选项C，由勾股定理可得， ， 所以，C选项正确， 选项D，因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以与所成的角为，D选项错误， 故选：C． 15．下列命题中，正确的是（    ） A．如果，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线，和平面满足，，，则 【答案】D 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个命题，即可得到答案. 【详解】，则可能在经过的平面内，选项错误； ，则与内的直线平行或异面，选项错误； 平行于同一条直线的两个平面可能相交，选项错误； 由直线与平面平行的判定定理知，，，且，则，选项D正确. 故选：. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是平行直线的图是________.（填序号） 【答案】①② 【分析】结合公理4可证得为平行四边形，从而可判断①；可证得为平行四边形，则，又，结合公理4可判断②；由图形可得两直线的位置关系，即可判断③；由条件可证得为梯形，两腰和必相交于一点，即可判断④. 【详解】图①，在正方体中，连接， ∵点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点， ∴， ∴, ∴为平行四边形，则，故①符合题意； 图②，在正方体中，连接， ∵， ∴, ∴为平行四边形，则， ∵点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点， ∴， 则，故②符合题意； 图③，由图可知，直线与既不平行也不相交，不符合题意； 图④，在正方体中，连接， ∴， ∴为平行四边形，则， ∵点，分别在正方体的棱上，且是所在棱的中点， ∴， ∴， ∴为梯形，两腰和必相交于一点，故④不符合题意， 综上，①②符合题意. 故答案为：①②. 17．如图所示，平面，，图中有__________个直角三角形，互相垂直的平面共有__________对. 【答案】 4 3 【分析】根据线面垂直的性质以及面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】因为平面，平面， 所以，所以，是直角三角形. 因为，是直角三角形. 因为平面，所以. 又因为平面，不属于平面，所以平面， 进而，即是直角三角形. 所以共4个直角三角形. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以平面平面. 因为平面，平面，所以平面平面， 所以图中互相垂直的平面共有3对. 故答案为：4；3. 18．如图所示，已知正方体，，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论：    ①；②平面平面； ③；④平面平面. 其中，正确结论的序号是_____. 【答案】③④ 【分析】根据取特殊点，即取点为点，点为点，可判断①和②；再根据线面垂直的判定与性质以及面面垂直的判定即可判断③和④，由此判断即可. 【详解】①当点运动到点，点运动到点时， 则有为，为， 此时，不平行，故①错误； ②当点运动到点，点运动到点时， 则有平面为平面，平面为平面， 此时平面与平面不平行，故②错误；    ③∵在正方体中， ∵平面，平面， ∴， 又∵， 且，平面， ∴平面， 又∵，分别是，上不重合的两个动点， 则有平面， ∴，故③正确；    ④在正方体中， ∴平面， 又∵平面， ∴平面平面，故④正确. ∴正确结论的序号是③④ 故答案为：③④. 19．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    【答案】1 【分析】根据线面垂直的判定定理以及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面，为三棱锥的高，， 底面积，体积. 故答案为：1. 20．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    【答案】 【分析】首先找到异面直线与所成的角，再根据三角形求解即可. 【详解】连接，因为分别为的中点，所以. 则直线与所成角为. 因为正四棱锥的棱长都为，所以为等边三角形，因此. 故答案为：.    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21．如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成角的正切值． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）根据线面垂直的性质以及线面垂直的判定定理求解即可. （2）首先找出平面与平面所成角，再求解即可. 【详解】（1）因为平面，且平面，所以. 因为底面是矩形，，，所以. 所以底面是正方形，进而. 又因为平面，所以平面. （2）因为平面，平面，所以. 又，，平面，所以平面， 进而.因此，是平面与平面所成角的平面角. 在中，所以， 所以平面与平面所成角的正切值为. 22．如图所示，已知正方体的棱长为1，点、分别为棱、的中点．求：    (1)三棱锥的体积； (2)二面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合线面垂直的性质定理，证平面，结合棱锥的体积公式，即可求解； （2）根据题意，取的中点，连接，得是二面角的平面角，结合解直角三角形及余弦定理，即可求解． 【详解】（1）    取的中点，连接，如图. 则， 因为平面，所以平面，即平面. 所以， 所以三棱锥的体积． （2）如图取的中点，连接.    因为在正方体中， 所以和均为等腰三角形，所以， 所以是二面角的平面角. 在中，， 所以， 由余弦定理得， 所以二面角的余弦值为． 23．如图所示，已知垂直于矩形所在平面，若. (1)求二面角的大小； (2)四棱锥的体积. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）先根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再通过相关边长求出其大小； （2）根据棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为四边形是矩形，所以， 由于，且平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，所以就是二面角的平面角. 在中，，，， 所以，即二面角的大小为. （2）因为四边形是矩形，，， 所以矩形的面积， 已知平面，所以就是四棱锥的高，即， 则四棱锥的体积. 24．如图，已知圆锥的高为2，底面半径为1．为底面直径．    (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面圆周上一点，且，求二面角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆锥的侧面积公式即可求解. （2）根据线面垂直的性质，先找出就是二面角的平面角即可求解． 【详解】（1）连接，由题意得，则在中，， 所以圆锥的侧面积为．      （2）因为为底面圆周上一点，且，所以是等腰直角三角形， 则，作于，连．    因为底面平面，所以，又 则平面，平面，所以， 则就是二面角的平面角． 因为，是中点，所以， 在中，，所以二面角的正切值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第四章 立体几何 （B卷·能力提升） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知平面，两条不重合的直线，则“存在直线，使”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．如图，在正方体中，直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．在长方体中与直线垂直的直线是（   ）    A． B． C． D． 5．如图所示的是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列结论：①；②；③；④直线，，互为异面直线．    其中，正确的序号是（   ） A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 6．如图所示，在空间四边形中，已知点E，F，G，H分别是边，，，的中点．给出下列四个结论： ①与是相交直线；②；③；④四边形是平行四边形．其中，结论正确的个数是（     ）    A．1 B．2 C．3 D．4 7．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若平面存在关系则（   ）. A．垂直 B．平行 C．相交 D．以上三种情况均有可能 9．已知，，直线与的位置关系是（   ） A．平行 B．相交 C．异面 D．前三种情况都有可能 10．下列命题中，正确的个数为（   ） ①平行于同一条直线的两条直线互相平行    ②平行于同一平面的两个平面互相平行 ③平行于同一平面的两条直线互相平行    ④平行于同一条直线的两个平面互相平行 A．1 B．2 C．3 D．4 11．已知、和、分别为空间内两条不同的直线和两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 12．在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（ ） A． B． C． D． 13．如图所示，在正方体中，是的中点，则与直线相交的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 14．已知正方体（如图所示），则下列结论正确的是（    ）    A．与所成的角为 B． C． D．与所成角为 15．下列命题中，正确的是（    ） A．如果，是两条直线，且，那么平行于经过的任何平面 B．如果直线和平面满足，那么与内的任何直线平行 C．平行于同一条直线的两个平面平行 D．若直线，和平面满足，，，则 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分). 16．如图，点，，，分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线与是平行直线的图是________.（填序号） 17．如图所示，平面，，图中有__________个直角三角形，互相垂直的平面共有__________对. 18．如图所示，已知正方体，，分别是，上不重合的两个动点，给出下列四个结论：    ①；②平面平面； ③；④平面平面. 其中，正确结论的序号是_____. 19．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________.    20．如图所示，正四棱锥的棱长都为，为的中点，为底面的中心，则直线与所成角的大小为___________．    三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.21．如图所示，已知棱锥的底面是矩形，平面，，．    (1)求证：平面； 22．如图所示，已知正方体的棱长为1，点、分别为棱、的中点．求：    (1)三棱锥的体积； (2)二面角的余弦值． 23．如图所示，已知垂直于矩形所在平面，若. (1)求二面角的大小； (2)四棱锥的体积. 24．如图，已知圆锥的高为2，底面半径为1．为底面直径．    (1)求该圆锥的侧面积； (2)为底面圆周上一点，且，求二面角的正切值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $