专题08 分段函数（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题08 分段函数 【复习目标】 （1） 了解分段函数的概念（在其定义域的不同子集上，对应关系不同而分别用不同的式子表示）。 （2） 会求简单分段函数的函数值（已知自变量求函数值）。 （3） 会求分段函数的定义域（各段定义域的并集）与值域（各段值域的并集）。 （4）了解分段函数虽由几个部分组成，但表示的是一个函数。 （5）会根据实际情境建立简单的分段函数模型，并能简单应用。 【考点1】分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点(y轴）对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 【即时训练】 1．分段函数，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】分段函数， 则， 故选：. 2．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数，则， 故选：. 3．已知函数，则（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】将代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以 因为，所以， 因为，所以， 所以，， 故选：B. 4．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 5．已知函数，则为（ ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】C 【分析】根据分段函数解析式计算可得. 因为， 所以. 故选：C 6．已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可以判断分段函数是上的单调递减函数，结合一次函数单调性可以求解，再结合处的函数值的关系建立关于的不等式求解即可. 因为当时，为减函数，且在上为单调函数， 所以为上的单调递减函数. 当时，一次函数单调递减， 当时，对数函数单调递减， 当时，， 又因为在上为单调递减函数， 所以，解得：. 7．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. ∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 8．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 9．按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（ ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 【答案】D 【分析】设男职工出生于公元年月，设退休延迟月数为，列出函数解析式，再求结论；或直接计算从1965年1月到1972年6月经过的“4个月”的“月数”，即得退休年龄. 法一：设男职工出生于公元年月，，，. 设退休延迟月数为， 当时，； 当时，； 当时，. 所以1972年6月出生的男职工退休延迟的时间为：（月）. 所以1972年6月出生的男职工退休年龄：61岁11个月. 法二：从1965年1月到1972年6月，共经过了个“4个月”的时间段， 故延迟退休23个月，即1年11个月，退休年龄为61岁11个月. 故选：D 10．已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分段函数图象，即可得到判断. 作出函数图象： 因为 方程化为，方程恰有三个不同的实数解， 等价于的图象有三个不同的交点， 所以由图可得，当，即时符合题意， 故选：C 11．在函数，则等于（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自变量的范围，代入相应的函数表达式中，计算可得结果. 【详解】因为，所以. 故选：D． 12．设函数，，则实数的值为（   ）. A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数解析式，求出和的值，分类讨论和两种情况，代入即可求解. 【详解】因为函数，， 又，所以， 当时，，解得； 当时，，解得，舍去； 所以. 故选：B. 13．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【分析】由，再由题意，即可求解. 因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 14．已知函数，则_______________________. 【答案】0 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数，则. 故答案为：. 15．已知函数，若，则实数_______． 【答案】 【分析】根据的取值范围分类讨论，由题意列出方程求解即可. 【详解】因为，且，所以． 当时，为非负数，不满足要求； 当时，，解得，满足要求． 综上，. 故答案为：. 16．函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】通过保证左段二次函数对称轴在1的右侧、右段对数函数底数大于1，以及分段点处左极限不大于右函数值，即可解得a的取值范围. 因为在上单调递增， 所以对于时，单调递增， 即，解得， 对于时，单调递增， 即， 且，即，解得， 综上，a的取值范围是 17．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________________. 【答案】 【分析】根据的范围分类讨论，结合三角函数和一次函数的性质求解. 【详解】由题意可知， 当时，时，， 当时，，则， 所以，即，不合题意； 当时，区间即， 当时，， 所以，则， 此时函数在上的值域为，符合题意； 当时，当时，，且， 当时，为增函数，则， 要使函数在上的值域为， 需满足，解得. 综上，的取值范围是. 故答案为：. 18．已知函数，则________. 【答案】1 【分析】根据自变量的取值范围，选择对应的函数表达式进行计算. 【详解】由题意，因为，所以， 所以， 故答案为：1. 19．已知函数，则_________． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， ， 则， 故答案为：. 20．若函数，则__________. 【答案】-1 【分析】根据，可得，即 因为， 所以 又， 所以 故答案为：. 21．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可. （2）根据分段函数的解析式求出，再根据指数运算求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以，解得； （2）由（1）得， 因为，所以，而， 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 22．某外卖平台会员的配送费收费规则如下： 基础服务费：每笔订单收元（含包装材料、平台运营成本）. 里程费用：前 2 公里（含 2 公里）部分：每公里收费 1 元；超过 2 公里至 5 公里（含 5 公里）的部分：每公里收费元；超过 5 公里的部分：每公里收费元； 设订单配送里程为 公里，需支付的总配送费为 元. (1)求总配送费关于里程的函数解析式； (2)若某笔订单配送里程为6公里，求所需支付的总配送费. 【答案】(1) (2)元 【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型. （2）将代入解析式中求值即可. 【详解】（1）当时，， 当时，， 当时，， 所以. （2）因为， 所以元. 23．电商班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（）天的售价与销售量的相关信息如下表： 时间（天） 售价（元/件） 90 每天销量（件） 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为元. (1)求出与的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)第45天时，最大利润为6050元 【分析】（1）根据不同的售价和销量情况分别计算利润； （2）分段讨论求解函数的最值. 【详解】（1）当时，； 当时，. （2）当时，， ∴当时，； 当时，， ， 综上所述，第45天时，最大利润为6050元. 24．已知函数 (1)求的值； (2)若函数的图像与直线有且只有一个交点，作出简图，并求实数的取值范围． 【答案】(1)4 (2)图见详解， 【分析】（1）根据的范围，代入对应函数解析式即可求解. （2）根据题意，作出函数图像，结合图像即可求解. 【详解】（1）由题意得，，则. （2）由题意得，如图所示： 所以当时，函数的图像与直线有且只有一个交点． 1．（2020年广西壮族自治区中等职业教育对口升学考试数学试题）某地区的用水收费标准如下：一个月用水量不超过8吨（含8吨），每吨收费1.5元，一个月用水超出8吨的部分，按照每吨收费2元计算. (1)写出一个月总费用y元与用水量x吨之间的函数关系式，以及自变量的取值范围. (2)若小华一个月用水的总费用为19元，则他该月的用水量为多少. 【答案】(1) (2)11.5吨 【分析】（1）根据用水大于8吨和小于8吨进行分析，列出分段函数解析式. （2）利用分段函数的性质，根据函数值求自变量. 【详解】（1）当用水量不超过8吨时，即时，总费用. 当用水量不超过8吨时，即时，总费用. 故，. （2）当用水量为8吨，总费用为，不合题意； 故用水量大于8吨，则，得到吨. 因此，小华该月用水量为11.5吨. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题08 分段函数 【复习目标】 （1） 了解分段函数的概念（在其定义域的不同子集上，对应关系不同而分别用不同的式子表示）。 （2） 会求简单分段函数的函数值（已知自变量求函数值）。 （3） 会求分段函数的定义域（各段定义域的并集）与值域（各段值域的并集）。 （4）了解分段函数虽由几个部分组成，但表示的是一个函数。 （5）会根据实际情境建立简单的分段函数模型，并能简单应用。 【考点1】分段函数 一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式给出，这种函数，叫作分段函数． 分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围，有着不同的解析式的函数。 它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。 分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。 求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。 求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。 判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点(y轴）对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。 【即时训练】 1．分段函数，则 （    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知函数，则（     ） A． B． C．0 D．3 4．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 5．已知函数，则为（ ） A．1 B． C．0 D．2 6．已知是上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 8．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 9．按照《全国人民代表大会常务委员会关于实施渐进式延迟法定退休年龄的决定》，我国自2025年1月1日起，逐步将男职工的法定退休年龄从原60周岁延迟到63周岁.对于男职工，新方案按照出生时间延迟法定退休年龄，每4个月延迟1个月，当不满4个月时仍按延迟1个月计算.男职工延迟法定退休年龄部分对照表如下： 出生时间 1965年1月至4月 1965年5月至8月 1965年9月至12月 1966年1月至4月 … 改革后法定退休年龄 60岁1个月 60岁2个月 60岁3个月 60岁4个月 ... 那么1972年6月出生的男职工退休年龄为（ ） A．61岁 B．61岁7个月 C．61岁9个月 D．61岁11个月 10．已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．在函数，则等于（   ） A．0 B． C． D． 12．设函数，，则实数的值为（   ）. A． B． C．2 D． 13．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 14．已知函数，则_______________________. 15．已知函数，若，则实数_______． 16．函数在R上单调递增，则a的取值范围是______． 17．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是__________________. 18．已知函数，则________. 19．已知函数，则_________． 20．若函数，则__________. 21．已知函数，且. (1)求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 22．某外卖平台会员的配送费收费规则如下： 基础服务费：每笔订单收元（含包装材料、平台运营成本）. 里程费用：前 2 公里（含 2 公里）部分：每公里收费 1 元；超过 2 公里至 5 公里（含 5 公里）的部分：每公里收费元；超过 5 公里的部分：每公里收费元； 设订单配送里程为 公里，需支付的总配送费为 元. (1)求总配送费关于里程的函数解析式； (2)若某笔订单配送里程为6公里，求所需支付的总配送费. 23．电商班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第（）天的售价与销售量的相关信息如下表： 时间（天） 售价（元/件） 90 每天销量（件） 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为元. (1)求出与的函数关系式； (2)问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ 24．已知函数 (1)求的值； (2)若函数的图像与直线有且只有一个交点，作出简图，并求实数的取值范围． 1．（2020年广西壮族自治区中等职业教育对口升学考试数学试题）某地区的用水收费标准如下：一个月用水量不超过8吨（含8吨），每吨收费1.5元，一个月用水超出8吨的部分，按照每吨收费2元计算. (1)写出一个月总费用y元与用水量x吨之间的函数关系式，以及自变量的取值范围. (2)若小华一个月用水的总费用为19元，则他该月的用水量为多少. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $