专题09 函数的单调性（讲义）-2027年广西（对口考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题09 函数的单调性 【复习目标】 1. 函数的单调性 （1）理解增函数、减函数的定义及单调区间的概念，能用符号语言表述函数在某一区间上的单调性。 （2）掌握利用图像观察法、定义法判断或证明常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性。 （3）会根据单调性求函数的最值，会用单调性比较函数值的大小。 【考点1】 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数属于奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（   ）． A． B． C． D． 4．已知函数在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 6．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数为上的减函数，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数在上为减函数，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9．下列函数中，在实数上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 10．若函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 11．下列函数中,在定义域内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 12．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 13．已知函数在区间上是单调递减函数， 则_______.（填""， “"或""） 14．已知函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是__________. 15．函数在上是______函数（填“增”或“减”） 16．已知定义在上的函数是增函数，且满足， 则的取值范围是_________ . 17．如图所示，函数的图象定义在上，其单调递增区间为______．    18．已知在上是减函数，且，则的取值范围是___________. 19．如果函数在上是减函数，那么与的大小关系是___________． 20．已知在上是增函数，且，则的取值范围是_____________． 21．如图所示，定义在的函数，其图像由一条线段和某个二次函数图像的一部分组成.    (1)求该函数的解析式； (2)根据图像，写出该函数的值域和单调减区间． 22．定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 (1)证明：函数在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 23． 设函数在上是奇函数且单调递减，且，求a的取值范围. 24． 已知函数，求的单调递增区间. 1.（2025年广西高等职业教育考试22题）（多选） 下列函数在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 2.（2026年广西高等职业教育考试13题） 函数 在 上是 ______ 函数（填“增”或“减”）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年广西壮族自治区对口考试《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年广西壮族自治区对口考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题09 函数的单调性 【复习目标】 1. 函数的单调性 （1）理解增函数、减函数的定义及单调区间的概念，能用符号语言表述函数在某一区间上的单调性。 （2）掌握利用图像观察法、定义法判断或证明常见函数（一次函数、二次函数、反比例函数等）的单调性。 （3）会根据单调性求函数的最值，会用单调性比较函数值的大小。 【考点1】 函数的单调性 1．增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： ①如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数。 ②如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 2．函数的单调区间 若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 3．证明函数单调性的步骤 第一步：取值．设是定义域内一个区间上的任意两个自变量，且； 第二步：变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形； 第三步：定号．判断差的正负或商与1的大小关系； 第四步：得出结论． 4．常见函数的单调性 函数 单调性 一次函数（） 当时，在上单调递增 当时，在上单调递减 反比例函数（） 当时，在和上单调递减 当时，在和上单调递增 二次函数（） 对称轴为 当时，在上单调递减； 在上单调递增 当时，在上单调递增； 在上单调递减 【即时训练】 1．下列函数中是偶函数且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据偶函数的定义和常见函数的单调性逐个分析即可. 【详解】A.的定义域为，且， 所以是偶函数，在上，，单调递减，故A正确， B.的定义域为，且， 所以是偶函数，图象开口向下， 在上，，单调递增，故B错误， C.的定义域为，且， 所以不是偶函数，故C错误， D.的定义域为， 不是偶函数，故D错误. 故选： A. 2．下列函数属于奇函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据常见函数的单调性与奇偶性判断． 【详解】A选项：是偶函数，不满足奇函数条件，在上单调递增． B选项：既不是奇函数也不是偶函数，且在上单调递增． C选项：是奇函数，且在上单调递减，满足条件． D选项：是奇函数，但在上单调递增． 因此C选项正确． 故选：C. 3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性的定义和常见函数的单调性逐项分析即可. 【详解】的定义域为，令， 则，所以不是偶函数，故A错误， 的定义域为，令， 则，所以是偶函数， 且当时，为增函数，故B正确， 的定义域为，令， 则，所以是偶函数， 但图像开口向下，在区间上为减函数，故C错误， 的定义域为， 不是偶函数，故D错误， 故选：B. 4．已知函数在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】函数在区间上单调递增,且，所以. 故选：A. 5．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解. ， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 6．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性可判断函数的零点与单调性，进而可解不等式. 由已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 则函数在上单调递增， 又，所以， 即当时，， 当或时，， 又不等式可转化为或， 即或，即不等式的解集为. 7．已知函数为上的减函数，且，则m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为函数为上的减函数，且， 所以，解得， 所以m的取值范围为. 故选：D. 8．已知函数在上为减函数，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合函数单调性的概念，即可求解. 【详解】因为在R上为减函数，又， 所以. 故选：D． 9．下列函数中，在实数上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据常见函数的单调性求解即可. 【详解】在上单调递增；为二次函数在上先减后增； 先增后减；单调递减． 故选：A. 10．若函数在上是增函数，则（    ） A． B． C． D．不能确定与的大小 【答案】B 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以. 故选：B. 11．下列函数中,在定义域内为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据常见函数的解析式判断单调性即可. 【详解】对于A，一次函数，其中，故在定义域内为减函数，故A错误； 对于B，一次函数，其中，故在定义域内为增函数，故B正确； 对于C，反比例函数，在和上分别单调递减，故C错误； 对于D，二次函数，在上单调递减，在上单调递增，故D错误. 故选：B. 12．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据常见函数的单调性求解. 【详解】为反比例函数，因为，所以函数在上单调递减，A错误； 为一次函数，因为的系数，所以函数在上单调递减，B错误； 为开口向下的二次函数，对称轴为，则函数在上单调递减，C错误； 当时，，在上单调递增，D正确. 故选：D. 13．已知函数在区间上是单调递减函数， 则_______.（填""， “"或""） 【答案】 【分析】根据函数单调性的定义可得结果. 【详解】因为函数在区间上是单调递减函数，且， 所以. 故答案为：. 14．已知函数是上的增函数，且，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知函数是上的增函数， 由，得， 解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 15．函数在上是______函数（填“增”或“减”） 【答案】减 【分析】根据一次函数的单调性即可解答. 【详解】已知函数中，， 所以函数在上是减函数， 故答案为：减. 16．已知定义在上的函数是增函数，且满足， 则的取值范围是_________ . 【答案】 【分析】根据函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上是增函数，且， 所以，解得或. 则的取值范围是. 故答案为：. 17．如图所示，函数的图象定义在上，其单调递增区间为______．    【答案】 【分析】根据函数图像确定单调递增区间即可； 【详解】由图像可知，函数的单调递增区间为， 故答案为：. 18．已知在上是减函数，且，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性确定自变量的大小关系，进而求解即可； 【详解】因为在上是减函数，且， 所以，即. 则的取值范围是. 故答案为：. 19．如果函数在上是减函数，那么与的大小关系是___________． 【答案】 【分析】根据减函数的性质比较大小即可. 【详解】已知函数在上是减函数， 则， 故答案为：. 20．已知在上是增函数，且，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据增函数的性质求解即可. 【详解】∵在上是增函数，且， ∴可得，即， 解得，故的取值范围是． 故答案为：． 21．如图所示，定义在的函数，其图像由一条线段和某个二次函数图像的一部分组成.    (1)求该函数的解析式； (2)根据图像，写出该函数的值域和单调减区间． 【答案】(1). (2)值域为，单调减区间为和. 【分析】（）根据图像结合待定系数法求出函数解析式即可得解. （）分析图像得出函数值域及单调减区间即可得解. 【详解】（1）当时，图像为二次函数图像的一部分， 顶点为，设， 将点代入可得，即， 当时，图像为一次函数图像的一部分，设， 将点，代入，解得， 即， 综上，函数的解析式为. （2）观察图像，函数的值域为，单调减区间为和. 22．定义在上的奇函数对任意都有，当时，则 (1)证明：函数在上单调递增； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明； （2）先利用函数的奇偶性和单调性对不等式进行化简，然后通过换元法将问题转化为关于新变量的不等式恒成立问题，最后根据二次函数的性质求解实数的取值范围. 【详解】（1）设，且，则， 因为当时，，所以， 又因为， 令，，则， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （2）因为是奇函数，所以， 已知，则， 又因为在上单调递增，所以， 令，则不等式可化为对任意恒成立， 令，其对称轴为， 当，即时，，此时在上恒大于，符合题意； 当，即时，在上的最小值为， 要使对任意恒成立，则需满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 23．设函数在上是奇函数且单调递减，且，求a的取值范围. 【答案】 【分析】利用奇函数的性质将不等式进行转化，再结合函数的单调性求解不等式. 【详解】已知是奇函数，则， 由可得， 因为在定义域上单调递减， 所以，即，解得. 24．已知函数，求的单调递增区间. 【答案】 【分析】根据函数解析式得到定义域，然后根据一次函数的性质得到的单调递增区间即可求解. 【详解】因为函数， 所以的定义域为R. 当时，， 所以在上单调递减. 当时，， 所以在上既不单调递减也不单调递增. 当时，， 所以在上单调递增. 综上所述，的单调递增区间为. 1.（2025年广西高等职业教育考试22题）（多选） 下列函数在定义域内是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据对数函数，指数函数，幂函数和二次函数的单调性逐项分析即可. 【详解】对于A，中底数为， 所以该函数在定义域内是增函数，故A正确， 对于B，为幂函数，其中指数为， 所以该函数在定义域内是增函数，故B正确， 对于C，中，底数为， 所以该函数在定义域内增函数，故C正确， 对于D，， 当时，为增函数， 当时，为增函数，， 所以该函数在定义域内是增函数，故D正确， 故选：ABCD. 2.（2026年广西高等职业教育考试13题） 函数 在 上是 ______ 函数（填“增”或“减”）. 【答案】增 【解析】 【分析】根据函数的单调性的定义即可求解. 【详解】对于函数，令， 则，即， 所以函数函数 在 上是增函数. 故答案为：增. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $