1.1充分条件和必要条件（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》【上好课】（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版拓展模块一上册第一章“充要条件”同步练，聚焦新授课知识巩固，分层覆盖基础概念到综合应用，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化充要条件的理解与判断。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充分/必要条件概念、命题识别|以单选题（如1-9题）、填空题（如10-13题）为主，聚焦单一知识点辨析，培养推理意识| |提升层|条件关系判断、命题应用|以解答题（如14-15题）为主，结合数学情境综合分析，建立逻辑联系，发展理性思维|

高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第一章 充要条件 1.1充分条件和必要条件 一、单选题 1．使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 2．的一个充分条件为（       ） A．或 B．或 C．且 D．且 3．下列说法错误的是（    ） A．使得成立的一个充分不必要条件是 B．充分条件就是“有之即可，无之未必不行” C．必要条件就是“有之未必行，无之必不行” D．没有证明的猜想不是命题 4．使成立的一个充分条件是（　　 ） A． B． C． D． 5．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ） A． B． C． D．是实数，是有理数 6．命题“如果，那么”的条件p和结论q分别是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：x 是实数，q： D．p：，q：x 是实数 7．下列语句中，命题的个数是（   ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗？ A．0 B．1 C．2 D．3 8．设，则的充分条件是（    ） A． B． C．或 D．且 9．下列四个命题错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．设集合，那么“”是“”的___________条件．（填“充分”“必要”） 11．下列各题中，是的充分条件的是________(填序号)． （1），； （2）两个三角形面积相等，两个三角形全等； （3），方程无实根． 12．“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）． 13．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是_____填序号 三、解答题 14．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 15．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件. (1)如果，那么； (2)如果，那么. 一、单选题 1．命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 2．使“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题是真命题的是（    ） A． B．任意的 C．是有理数 D．任意实数的零次幂都等于1 4．下列选项中，p是q的必要条件的是（    ） A．p：，q： B．p：x是偶数，q：x是整数 C．p：，q： D．p：x是无理数，q：x是实数 5．下列命题中，p是q的必要条件的是（    ） A．p：“”，q：“” B．p：“x是4的倍数”，q：“x是偶数” C．p：“x是等腰三角形”，q：“x是三角形” D．p：“”，q：“” 6．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ） A．， B．， C．两直线垂直，两直线斜率之积为 D．， 7．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ）. A． B． C．p：两直线平行，q：两直线斜率相等 D． 8．下列选项中，是的充分条件的是（    ） A．， B．是整数，是偶数 C．， D．是实数，是无理数 9．下列命题为假命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 二、解答题 10．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (2)如果，那么； (3)如果，那么直线平行于轴． 11．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称； (2)如果一个数是有理数，那么这个数是实数； (3)如果，那么角是第一或第二象限角． 12．写出下列命题的逆命题，判断下列命题中的条件是否为结论的必要条件. (1)如果直线经过第一、二、三象限，那么； (2)如果，那么是第四象限角. 13．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版（第三版）《数学 拓展模块一上册》 第一章 充要条件 1.1充分条件和必要条件 一、单选题 1．使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分条件与集合的关系，分析判断各选项即可得解. 【详解】根据据充分条件与集合的关系， 使成立的充分条件是集合的一个子集， 经检验，只有B选项满足要求. 故选：B. 2．的一个充分条件为（       ） A．或 B．或 C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，结合对各选项赋值即可求解. 【详解】对A，B，令或，则得不到，故AB错误； 对C，令，则得不到，故C错误. 对D，且，由同向不等式相加的性质知，，故D正确． 故选：D. 3．下列说法错误的是（    ） A．使得成立的一个充分不必要条件是 B．充分条件就是“有之即可，无之未必不行” C．必要条件就是“有之未必行，无之必不行” D．没有证明的猜想不是命题 【答案】D 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断A、B、C，根据命题的定义判断D. 【详解】解：对于A：由推得出，由推不出，故是的充分不必要条件，故A正确； 充分条件就是“有之即可，无之未必不行”，故B正确； 必要条件就是“有之未必行，无之必不行”，故C正确； 一般地，我们把用语言、符合或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，故没有证明的猜想可以是命题，故D错误； 故选：D 4．使成立的一个充分条件是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合充分条件的定义即可得解. 【详解】当时，一定成立，所以充分性成立，故正确； 当时，不一定成立，所以充分性不成立，故错误； 当时，不一定成立，所以充分性不成立，故错误； 当时，不成立，所以充分性不成立，故错误； 故选：. 5．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ） A． B． C． D．是实数，是有理数 【答案】A 【分析】本题考查充分条件的定义（为真），逐项判断即可． 【详解】对于选项，因此p是q的充分条件； 对于选项不一定推出（如），故不符合题意； 对于选项 或，不一定推出，故不符合题意； 对于选项D：实数包括有理数和无理数（如是实数但不是有理数），即是实数 是有理数，故不符合题意； 故选：A． 6．命题“如果，那么”的条件p和结论q分别是（    ） A．p：，q： B．p：，q： C．p：x 是实数，q： D．p：，q：x 是实数 【答案】A 【分析】由命题的结构判断即可. 【详解】命题的结构为“如果条件p，那么结论q”， 因此“”是条件p，“”是结论q. 故选：A． 7．下列语句中，命题的个数是（   ） ①空集是任何集合的真子集；②请起立； ③的绝对值为1；④你是高一的学生吗？ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据语句是否能判断真假来确定命题的个数即可. 【详解】空集是任何集合的真子集可以判断真假，故①是命题， 请起立不能判断真假，故②不是命题， 的绝对值为1可以判断真假，故③是命题， 你是高一的学生吗？不能判断真假，故④不是命题， 所以命题的个数有个， 故选：C. 8．设，则的充分条件是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】D 【分析】利用充分条件的判定方法，逐项分析即可得解. 【详解】对于A，当时，取，此时，故A错误； 对于B，当时，取，此时，故B错误； 对于C，由选项AB可知C错误； 对于D，当且时，，故D正确. 故选：D. 9．下列四个命题错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合的运算判断即可； 【详解】选项A，，不符合题意； 选项B，，符合题意； 选项C，，不符合题意； 选项D，，不符合题意； 故选：B 二、填空题 10．设集合，那么“”是“”的___________条件．（填“充分”“必要”） 【答案】必要 【详解】由题可知：，所以“”是“”的必要条件 故答案为：必要 11．下列各题中，是的充分条件的是________(填序号)． （1），； （2）两个三角形面积相等，两个三角形全等； （3），方程无实根． 【答案】（3） 【分析】分别判断是否能推出即可． 【详解】（1）∵， ∴或，不一定能推出， ∴不是的充分条件． （2）∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等， ∴不是的充分条件． （3）∵ ，∴， ∴方程，，方程无实根， ∴是的充分条件． 故答案为：（3）. 12．“”是“”的________条件，“”是“”的________条件（用“充分”“必要”填空）． 【答案】 必要 充分 【分析】由于 ，再根据充分条件和必要条件的定义即可作答. 【详解】由于 ，或， 所以“”是“”的必要条件，“”是“”的充分条件． 故答案为：必要；充分 13．已知有三个条件：①；②；③，中能成为的充分条件的是_____填序号 【答案】① 【分析】根据充分条件的判定一一分析即可. 【详解】①由可知，即， 故“”是“”的充分条件； ②当时， ； ③当，时，满足，有 ； 故②、③不是的充分条件.所以能成为“”的充分条件的只有①， 故答案为：①. 三、解答题 14．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：，q：． (2)p：，q：． (3)p：是无理数，q：是无理数． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）． 【详解】（1）由 ，则成立，所以p是q的必要条件． （2）由 ，则不成立，所以p不是q的必要条件． （3）由是无理数 是无理数，则成立，所以p是q的必要条件． 15．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件. (1)如果，那么； (2)如果，那么. 【答案】(1)条件：；结论：；是的充分条件 (2)条件：；结论：；不是的充分条件 【分析】根据找出条件和结论，再根据命题真假与充分条件的关系判断即可. 【详解】（1）条件：；结论：. 因为，所以，， 即， 所以此命题是真命题，是的充分条件. （2）条件：；结论：. 因为当时，或， 所以此命题是假命题，不是的充分条件. 一、单选题 1．命题“只有符号不同的两个数互为相反数”的条件是（    ） A．两个数的符号不同 B．两个数只有符号不同 C．两个数互为相反数 D．只有符号不同 【答案】B 【分析】将命题改写成“如果…，那么…”的形式，结合命题的相关概念即可得解. 【详解】原命题可以改写为“如果两个数只有符号不同，那么这两个数互为相反数”， “如果”后面的部分是条件，即两个数只有符号不同是原命题的条件． 故选：B. 2．使“”成立的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据充要条件的基本概念即可判断. 【详解】因为可以推出，且无法推出， 所以“”成立的一个必要不充分条件是. 无法推出， 所以选项A,B,D是的不必要条件. 故选：C. 3．下列命题是真命题的是（    ） A． B．任意的 C．是有理数 D．任意实数的零次幂都等于1 【答案】B 【分析】根据真假命题的概念对选项逐项分析即可求解. 【详解】对A：因为空集不含有任何元素，所以，故A为假命题； 对B：对于任意，都有，故B为真命题； 对C：因为是无理数，故C为假命题； 对D：除零以外任意实数的零次幂都等于1，故D为假命题. 故选：B. 4．下列选项中，p是q的必要条件的是（    ） A．p：，q： B．p：x是偶数，q：x是整数 C．p：，q： D．p：x是无理数，q：x是实数 【答案】A 【分析】根据必要条件的概念求解即可. 【详解】选项A：由可得，但不一定可得，如，p是q的必要条件； 选项B：x是偶数可以得到x是整数，但x是整数不一定可以得到x是偶数，如，p不是q的必要条件； 选项C：可以得到或，故推不出，故p不是q的必要条件； 选项D：x是无理数可以得到x是实数，但x是实数不一定得到x是无理数，如，p不是q的必要条件. 故选：A. 5．下列命题中，p是q的必要条件的是（    ） A．p：“”，q：“” B．p：“x是4的倍数”，q：“x是偶数” C．p：“x是等腰三角形”，q：“x是三角形” D．p：“”，q：“” 【答案】A 【分析】根据必要条件的定义判断各选项． 【详解】对于选项A：大于5的数必然大于1，则，因此p是q的必要条件； 对于选项B：x是偶数x是4的倍数（如是偶数但不是4的倍数），因此p不是q的必要条件； 对于选项C：三角形不一定是等腰三角形，x是三角形x是等腰三角形，因此p不是q的必要条件； 对于选项D：（如），因此p不是q的必要条件， 故选：A． 6．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ） A．， B．， C．两直线垂直，两直线斜率之积为 D．， 【答案】A 【分析】根据充分条件的概念判断即可. 【详解】选项A：若，则无论取何值，一定成立，即，故p是q的充分条件． 选项B：若，则或，不一定有，即，不合题意； 选项C：若两直线垂直，当其中一条直线斜率不存在（即垂直于轴），另一条直线斜率为0， 此时满足两直线垂直，但无法满足“两直线斜率之积为”，即，不合题意； 选项D：若，显然无法推出，即，不合题意． 故选：A． 7．下列选项中，p是q的充分条件的是（    ）. A． B． C．p：两直线平行，q：两直线斜率相等 D． 【答案】A 【分析】根据充分条件的概念逐一验证选项. 【详解】A中，（正数的平方为正数），故p是q的充分条件； B中，（可能，如），故p不是q的充分条件； C 中，两直线平行时，直线的斜率可能不存在（如垂直于x轴的直线），故p不是q的充分条件； D 中，（如），故p不是q的充分条件， 故选：A． 8．下列选项中，是的充分条件的是（    ） A．， B．是整数，是偶数 C．， D．是实数，是无理数 【答案】C 【分析】根据充分性的定义即可得解. 【详解】当时，不一定成立，所以不是的充分条件，故错误； 当是整数时，不一定是偶数，所以是整数不是是偶数的充分条件，故错误； 当时，一定成立，所以是的充分条件，故正确； 当是实数时，不一定是无理数，所以是实数不是是无理数的充分条件，故错误， 故选：C. 9．下列命题为假命题的是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 【答案】B 【分析】根据平行线性质、菱形和平行四边形的判定、三角形外角定理判断即可. 【详解】A选项：根据平行线性质定理，两直线平行时同位角相等，故A为真命题； B选项：菱形的判定需满足对角线互相垂直且平分，仅垂直无法保证是菱形，故B为假命题； C选项：平行四边形的判定定理指出，对角线互相平分的四边形必为平行四边形，故C为真命题； D选项：三角形外角定理表明，外角等于不相邻两内角之和，因此必大于任一不相邻内角，故D为真命题. 故选：B. 二、解答题 10．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等； (2)如果，那么； (3)如果，那么直线平行于轴． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】参照命题格式“如果，那么”找出条件和结论，再根据命题真假与充分条件的关系判断即可. 【详解】（1）条件：一个三角形是等腰三角形；结论：这个三角形的两个底角相等． “如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；”此命题是真命题，是的充分条件． （2）条件：；结论：． ∵当时，，∴此命题是真命题，是的充分条件． （3）条件：；结论：直线平行于轴． ∵当时，直线可化为，直线平行于轴，∴此命题是假命题，不是的充分条件． 11．指出下列命题的条件和结论，并判断是否为的充分条件． (1)如果一个函数是奇函数，那么它的图像关于原点对称； (2)如果一个数是有理数，那么这个数是实数； (3)如果，那么角是第一或第二象限角． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）将已知命题改写成“若p，则q”的形式，可确定条件和结论；由题意，根据，可判断结果； （2）将已知命题改写成“若p，则q”的形式，可确定条件和结论；由题意，根据，可判断结果； （3）将已知命题改写成“若p，则q”的形式，可确定条件和结论；由题意，根据，可判断结果； 【详解】（1）条件：一个函数是奇函数，结论：它的图像关于原点对称． ∵奇函数的图像关于原点中心对称， ∴此命题是真命题， 故是的充分条件； （2）条件：一个数是有理数，结论：这个数是实数. ∵实数由有理数和无理数构成， ∴此命题是真命题， 故是的充分条件； （3）条件：，结论：角是第一或第二象限角. ∵当时，角是第一或第二象限角，或终边为轴正半轴， ∴此命题是假命题， 故不是的充分条件. 12．写出下列命题的逆命题，判断下列命题中的条件是否为结论的必要条件. (1)如果直线经过第一、二、三象限，那么； (2)如果，那么是第四象限角. 【答案】(1)答案见详解 (2)答案见详解 【分析】根据逆命题和必要条件的概念分析即可. 【详解】（1）原命题的逆命题为，如果，那么直线经过第一、二、三象限， 因为直线经过第一、二、三象限可得， 但，可得直线可能经过第一、三、四象限， 所以条件不是结论的必要条件. （2）原命题的逆命题为，如果是第四象限角，那么， 因为如果，可得或，那么是第一或四象限角， 但是第四象限角，可得， 所以条件是结论的必要条件. 13．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？ (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc． 【答案】(1)是 (2)不是 (3)是 (4)不是 【分析】根据必要条件的概念可对各个小问进行分析、运算即可判断即可. 【详解】（1）∵两个三角形全等⇒两个三角形相似，即q⇒p． ∴p是q的必要条件． （2）四边形的对角线相等，这个四边形不一定是矩形，如，等腰梯形，即qp． ∴p不是q的必要条件． （3）∵A∩B＝A⇒A⊆B，即q⇒p， ∴p是q的必要条件． （4）∵c的正负不确定，∴不能由ac＞bc推出a>b，即qp， ∴p不是q的必要条件． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $