1.1.2集合的表示法（教案）高教版（第三版）《数学 基础模块上册》【上好课】

该教案聚焦集合的列举法与描述法，通过“同一种祝福的不同表达”类比及“太阳系八大行星”等实例导入，衔接集合概念与元素特征，为后续函数等章节学习搭建知识支架。 以情境导入、实例驱动和问题链设计为特色，用生活实例培养数学眼光，对比辨析两种表示法提升数学思维，规范符号表达强化数学语言，分层例题与练习助学生掌握方法，实用高效，利于师生教学。

高等教育出版社《数学 基础模块上册》（第三版） 第一章 集合 1.1.2 集合的表示法 一、教材 高等教育出版社《数学 基础模块下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节承接集合的概念与元素特征，是学生系统学习集合语言的基础。集合是中职数学最基础的工具性知识，贯穿后续函数、不等式、数列等所有章节，而集合的两种表示法是学生掌握数学符号语言、规范数学表达的关键。 教材从生活实例、具体集合入手，循序渐进引入列举法与描述法，贴合中职学生认知规律，注重知识的实用性与基础性。通过本节课学习，学生可掌握精准表示集合的方法，区分两种表示法的适用场景，培养严谨的数学表达习惯，为后续利用集合思想解决数学问题、生活问题奠定基础。 五、学情分析 学生此前已经初步学习集合的定义、元素的三大特征（确定性、互异性、无序性），具备一定的知识铺垫。从认知特点来看，学生思维偏具象，擅长理解生活化、实例化的知识，但对抽象的数学符号语言、规范的数学表达掌握薄弱，容易出现格式不规范、方法选用混乱的问题。 同时，学生自主探究能力较弱，辨析归纳能力不足，在区分列举法与描述法适用场景、规范书写描述法表达式、处理点集与数集的表示差异等知识点上容易出错。因此，教学中需多结合生活实例、分层例题引导，通过对比辨析、针对性练习突破学生认知难点。 六、教学目标 知识层面：理解集合的两种表示方法——列举法与描述法的定义及符号规范，能准确区分两种方法的适用情境。 能力层面：能根据集合元素的特征，正确选择方法表示给定集合；能根据描述法给出的特征性质，准确写出集合中的元素。 核心素养层面：通过对比辨析两种表示法的异同，培养数学抽象与逻辑推理能力，提升运用数学符号语言进行精确表达的核心素养。。 七、教学重点 1.掌握列举法、描述法的定义及标准书写格式。 2.能够根据集合元素特点，正确选用两种方法表示集合。 八、教学难点 1.理解描述法中代表元素、取值范围、特征性质的含义，规范书写描述法表达式。 2.区分数集与点集的表示差异，精准辨析两种集合表示法的适用场景。 九、教学方法 1.情境导入法：以"同一种祝福的不同语言表达"为类比情境，激活学生已有认知经验，建立"同一对象、多种表征"的初步观念，为集合表示法的多元性奠定认知基础。 2.实例驱动法：依托"太阳系八大行星""四大名著""四大发明"等学生熟悉的文化常识实例，降低抽象概念的理解门槛，增强知识的可感知性与文化关联度。 3.问题链驱动法：通过"比3大的实数能否用列举法表示"等递进式问题，引发认知冲突，自然过渡到描述法的教学，体现"由特殊到一般"的认知逻辑。 4.对比辨析法：以表格化、结构化的方式系统对比列举法与描述法的格式、适用情境及内在联系，强化学生的元认知监控与策略选择能力。 5.讲练结合法：在例题讲解与课堂练习中嵌入"学以致用"环节，即时检测学习成效，通过正例与反例（如选项辨析题）深化对集合基本性质（互异性、无序性）的理解。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 复习回顾 导入 1：同一种祝福，不同表达 语言是人与人之间相互交流的一种方式，同样的祝福又有着不同的表示方法： 简体中文：生日快乐 繁体中文：生日快樂 English：Happy Birthday ❓ 思考 类比到数学中，对于一个确定的 “集合”，是否也存在不同的表示方法来精准描述它？这些方法又分别适用于什么场景呢？ 导入 2：太阳系八大行星 如果我们把 “太阳系八大行星” 看成一个集合，那么这个集合里的元素有哪些呢？ 水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星 导入 3：列举实例集合 把以下集合的所有元素一一列举出来 四大名著：《三国演义》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》 四大发明：造纸术，印刷术，火药，指南针 共性分析 太阳系八大行星：水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星 古代四大发明：造纸术，印刷术，火药，指南针 中国四大名著：《三国演义》，《水浒传》，《西游记》，《红楼梦》 只要对象明确、可列举，就能构成集合。 这引出了一个问题：如何简洁地表示一个整体？ 通过多维度、趣味化的生活与学科常识场景导入，有效拉近抽象数学知识与日常生活的距离，充分调动学生的课堂积极性，快速集中学生注意力。结合旧知复习铺垫新知，帮助学生建立新旧知识的关联体系，同时通过多组实例的共性对比分析，让学生直观感知可枚举集合的特征，顺势引出本节课核心学习内容，潜移默化培养学生类比迁移、观察归纳的数学思维，为后续两种集合表示法的学习做好认知铺垫。 新知讲授 集合的表示法 —— 列举法 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号 “{}” 把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法。 格式：元素 1, 元素 2, 元素 3,... 列举法示例 1.小于 6 的所有正整数组成集合： 2.中国古代四大发明组成的集合：指南针，造纸术，火药，印刷术 3.太阳系八大行星组成的集合：水星，金星，地球，火星，木星，土星，天王星，海王星 概念解读 探究1：由“study”中的字母组成的集合如何用列举法表示？单词“student”呢？ 集合中元素的互异性，重复字母只写一次 “study”中的字母组成的集合是{s,t,u,d,y} “student”中的字母组成的集合是{s,t,u,d,e,n}. 探究2：集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是同一个集合吗？ 集合中的元素具有无序性 只要元素完全相同，就是同一个集合 问题：比 3 大的实数组成的集合能用列举法表示出来吗？ 分析：比 3 大的实数组成的集合有无穷多个元素，无法一一列举出来，所以不能用列举法表示出来。 这个集合中的元素具有共同的性质 (特征性质)：都是实数并且都比 3 大，所以可以利用元素的特征性质来表示这个集合： 集合的表示法 —— 描述法 描述法：利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法。描述法表示集合时，在花括号 “{}” 中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质。 格式： 代表元素 | 特征性质 约定：如果集合的元素是实数，符号 "" 可以省略不写 例如，{ 可以简写为 {} 探究 1：偶数集合 概念：能被 2 整除的整数 抽象：偶数可以表示为 的形式，其中 是任意整数 特征：(1) ；(2) 。 描述法：{} 探究 2：奇数集合 概念：不能被 2 整除的整数，即 2 的倍整数 + 1 抽象：奇数可以表示为 的形式，其中 是任意整数 特征：(1) ；(2) 。 描述法：{} 列举法与描述法对比辨析 列举法 格式：元素 1, 元素 2, 元素 3,... 适用情况：适用于元素数量较少且容易枚举的集合 描述法 格式： 代表元素 | 特征性质 适用情况：适用于元素数量较多或不易直接枚举的集合 新知速记 1.列举法 把集合的所有元素一一列举出来，中间用逗号隔开，再用花括号 “{}” 把它们括起来，这种表示集合的方法称为列举法。 2.描述法 利用元素的特征性质来表示集合的方法称为描述法。描述法表示集合时，在花括号 “{}” 中画一条竖线，竖线的左侧是集合的代表元素及取值范围，竖线的右侧是元素所具有的特征性质。 本节课遵循由浅入深、从具象到抽象的认知规律开展新知教学，依托生活化实例拆解抽象数学概念，降低学生理解难度。通过针对性课堂探究、设问辨析，深度巩固集合元素的互异性、无序性核心性质，强化学生知识记忆。借助列举法无法表示无限集合的痛点设问，自然完成知识点过渡，让学生理解两种表示法的互补关系。 通过系统的对比归纳，清晰梳理两种表示法的格式、特点与适用场景，精准突破本节课教学重点，全程引导学生自主思考、归纳总结，有效培养学生的逻辑归纳与数学抽象能力。 案例分析 例 1 用列举法表示下列集合 (1) 中国古典长篇小说四大名著组成的集合； 解：《红楼梦》,《西游记》,《水浒传》,《三国演义》 (2) 大于且小于的所有偶数组成的集合。 解：{} 例 2 用描述法表示下列集合 (1) 小于 1 的所有整数组成的集合； 解：元素取值范围是整数，特征：小于 1，{} (2) 所有偶数组成的集合； 解：，也可以简写为偶数 (3) 在平面直角坐标系中，由第一象限内的所有点组成的集合。 解：平面直角坐标系中的点坐标形式，第一象限 {} 补充：由点组成的集合称为点集。 例 3 写出不等式 的解集 分析：方程 (组) 的所有解组成的集合称为方程 (组) 的解集。 解不等式 两边同时 ： 得： 故： 该解集用描述法表示为 例 4 分别用适当的方法表示方程 的解集 分析：可同时使用列举法和描述法，根据具体问题选择适当的表示方法 解：解方程 ，即 整理得： 解得： 或 用列举法表示为{} 用描述法表示为 {} 本节课选取梯度化、全覆盖的典型例题，由易到难层层递进，涵盖基础数集、平面点集、方程解集、不等式解集等中职高频题型，全面贴合本节课知识点与考情。在解题讲解中严格规范书写步骤与数学符号格式，重点区分数集与点集的本质差异。通过一题多法的例题设计，让学生理解两种集合表示法的通用性与差异性，学会根据题型特点择优选用表示方法，精准落实本节课的教学重点与难点，提升学生规范解题的能力。 学以致用 1.集合 ，用列举法表示是 解：根据集合 A 的条件 且 ，可知集合 A 中的元素为0,1,2 用列举法表示为 2.方程组 的解集是 解：解二元一次方程组并用集合表示出来即可 由 可得 所以方程组 的解集是 3.下列说法中正确的是 A.1 与表示同一个集合 B.由 1,2,3 组成的集合可表示为 C.方程 的所有解的集合可表示为 D.集合 可以用列举法表示 解：对于A，1 不能表示一个集合，故错误； 对于C，因为集合的元素具有互异性，而中有相同的元素，故错误； 对于D，因为集合 中有无数个元素，无法用列举法表示，故错误 通过逐题精讲、错因分析的模式，深度拆解错误选项的误区根源，帮助学生厘清知识边界，纠正认知偏差与书写错误。同时快速检测学生当堂新知掌握情况，及时完成教学反馈，针对性夯实课堂基础，强化学生对集合表示法的理解与应用能力，为后续综合练习筑牢根基。 课堂练习 1.用列举法表示下列集合：(1) 大于且小于 9 的所有奇数组成的集合； (2) 方程 的解集。 2.用描述法表示下列集合：(1) 大于且小于 3 的所有实数组成的集合； (2) 平方等于 9 的所有实数组成的集合。 解:1.(1) (2) 2.(1) (2) 3.用适当的方法表示下列集合：(1) 方程组 的解集； 解： 得：得：代入得：得：所以解集是 (2) 平面直角坐标系中，由第三象限的所有点组成的集合。 解：(2) 第三象限 4.数集 ，则列举法可表示为 ( ) 解：根据集合的条件 且 ，可知集合中的元素为 0,1,2 用列举法表示为 5.下列说法正确的为 A.集合与集合表示不同集合 B.不等式 的解集为R C.方程 的解集是 D.单词 “” 的所有字母组成的集合中有 5 个元素 解：A.集合与集合表示相同集合 C.方程 的解集是 D.单词 “” 的所有字母组成的集合中有 4 个元素： 6.设集合 ，若 ，则集合 A 用列举法表示为 解：因为 ，代入得 得：所以 解方程 解得 或 A 用列举法表示为 本次课堂练习采用分层设计模式，兼顾基础性、提升性、综合性，适配班级不同层次学生的学习水平，实现因材施教。基础题型巩固核心定义与书写规范，提升题型强化方法灵活选用能力，综合题型整合前后知识点、突破易错难点。 课堂小结 集合的表示法 列举法 适用情况：适用于元素数量较少且容易枚举的集合 描述法 适用情况：适用于元素数量较多或不易直接枚举的集合 引导学生主动回顾、归纳本节课核心知识点。系统化梳理两种集合表示法的格式、特点与适用场景，帮助学生梳理知识脉络，整合碎片化的课堂知识，构建完整、清晰的知识体系。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 集合的表示法 列举法 适用情况：适用于元素数量较少且容易枚举的集合 描述法 适用情况：适用于元素数量较多或不易直接枚举的集合 整体板书设计遵循简洁高效、重点突出、条理清晰的原则，高度凝练本节课核心知识点，清晰区分两种集合表示法的格式、适用场景与核心特点。 11、 教学反思 本节课整体教学流程顺畅，贴合中职学生认知规律，通过生活化情境导入、实例探究、讲练结合的方式，有效调动了学生的课堂参与度，大部分学生能够掌握列举法与描述法的基本定义、书写格式及适用场景，基本达成预设教学目标。 教学亮点方面，本节课注重新旧知识衔接，结合集合元素的三大性质贯穿新知教学，通过对比辨析帮助学生清晰区分两种表示法的差异；例题和练习分层设计，覆盖基础与易错题型，针对性突破数集、点集的表示难点，有效培养了学生的数学符号表达能力与逻辑推理素养。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $