第3章 3.4 函数中的构造问题（配套练习Word版）-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮课时作业（人教A版）

**基本信息** 聚焦函数构造问题，以构造辅助函数为核心方法，系统整合导数应用与函数性质，培养数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性应用|6题（1,2,4,5,7,8）|构造g(x)=f(x)/x、e^{-2x}f(x)等，通过导数符号判断单调性|导数与函数单调性关系→构造新函数转化条件→利用单调性解不等式| |奇偶性应用|2题（1,10）|构造奇函数g(x)=f(x)/x、偶函数F(x)=x²f(x)，利用对称性简化问题|函数奇偶性定义→构造奇偶函数→转化对称区间问题| |比较大小|2题（3,6）|构造f(x)=xlnx、sinx/e^x，利用单调性比较函数值|函数值比较→构造目标函数→求导分析单调性|

学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 课时冲关19函数中的构造问题 一、单选题 1.己知x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)一x)下0，且一2)=0，则不等 式>0的解集是() A.(-2,0)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(2,+∞) D.(-∞，-2)U(0,2) 解析：D[设g(x)=,x≠O. 因为x)是定义在R上的偶函数， 所以-x)=x), 因为g(-x)==-=-g(x), 所以g(x)为奇函数， 所以g(-2)=-g(2). 因为-2)=0， 所以g(-2)=g(2)=0. 当x>0时，g'(x)=<0, 所以g(x)在(0，+∞)上单调递减， 此时不等式0的解集是(0,2) 因为gx)为奇函数，图象关于原点对称， 所以gx)在(-∞，0)上单调递减 所以当x<0时，不等式0的解集是(-∞，-2) 综上所述，不等式0的解集是(-∞，-2)U0,2).] 2.己知定义域为R的函数x),其导函数为f(x),且满足f(x)一2x)大0,0)=1， 则() ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 A.e-1)1 B.f1)>e2 C.f<e D.A1)>ef 解析：C[设g(x)=, 则g'(x)= 二 因为f(w)-2x)水0在R上恒成立， 所以g'(x)<0在R上恒成立， 故g()是减函数 所以g(-1)>g(0), =e-1)>=1,故A不正确； 8(1)g0),即<， 即1)efo)=e2,故B不正确： 8g(0),即<=1， 即f<e,故C正确， 8>8(1),即>， 即1)ef,故D不正确.] 3.已知a=ln,b=ln(n3),c=一，则() A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>a>b 解析：B[因为b=ln(n3)>ln(ne)=0,而a=hn<0,c<0,所以b最大， 构造函数fx)=xx(x>0),因为f(x)=nx+1(x>0), 当0<x<时f(x)<0,当x>时f(x)>0, 所以x)在上单调递减，在上单调递增， 又因为a=f,c=f,所以f>f即a>c,故b>a>c] 4.已知函数y=x)对任意的x∈满足f(x)cosx一x)sinx>0(其中f(x)是函数x)的 ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 导函数)，则下列不等式成立的是() A.f B.Kf C.2f0)f DJ0)f 解析：C[构造函数g(y)=x)cosx, x∈， g'()=f (x)cos x-Ax)sin x-0, 所以g(x)在上单调递增， 则g<8, 所以允os<允os, 即大f,故A不正确： 则g>8, 所以尤os>f术os, 即f,故B不正确： 由gw)在上单调递增，得g(O)g, 所以f0)cos0fros 即2f0)<f,故C正确； 同理可得g(O)Kg, 所以f0)cos0 <fcos, 即fO)f,故D不正确.] 5.己知定义在R上的函数fx)的导函数为(x),且3x)十f(x)<0,fn2)=1,则不 等式e3x)>8的解集为() A.(-∞，2) B.(-∞，ln2) C.(n2,+∞) D.(2,+∞) 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：B[令g(x)=e3x), 函数g(x)的定义域为R, 因为3x)+f(x)K0, 所以g'(w)=[exfx]'=e3[3fx)+fx)]<0,故gx)为减函数 又因为fn2)=1, 所以g(ln2)=em2f0n2）)=8, 所以不等式e3x)>8可化为gx)>g(n2), 所以x<n2, 所以e3f)>8的解集为(-o,n2).] 6.己知O<x<y,且e'sin x=e'sin y,其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定 成立的是() A.cos x+cos v<0 B.cos x+cos y>0 C.cos x>sin y D.sin x>sin y 解析：B[由O<x<元，且e'sinx=e'sin y, 得=， 令fx)=(0<xKD, 则fx)=, 当0<x<时，()0，函数x)单调递减，当<x<π时，(x)>0,函数x)单调递增 当)=y)时，0<<，y, 因为0<x<π，eKe，=, 所以siny>sinx>0, 所以<π-<兀， 所以cos>cos(m-x)=-cosx, 所以cosx+cos>0.] 二、多选题 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 7.定义在(0，十∞)上的函数)满足f(x)一1>0，则下列结论正确的是() A.f2)-n2>f1) B.f4)-f2)>ln2 C.2)+ln2>fe)+1 D.fe)-fe)>1 解析：ABD构造函数g(w)=x)-nx,x>0, 则g'(x)=fx)-=, 因为xf(x)-1>0, 所以g'(x)>0, 故g(x)是增函数 由g(2)>g(1)得，2)-1n2>f1)-ln1, 即f2)-n2>1),故A正确； 由g(4)>g(2)得，f4-ln4f2)-ln2, 即f4)-2)>n4-n2=ln2,故B正确； 由g(e)>g(2)得，e)-lne>f2)-ln2, 即fe)+n2>2)+1,故C错误； 由g(e)>g(e)得，fe)-lne2>e)-hne, 即fe)-2>fe)-1,即e)-e)>1,故D正确.] 8.己知函数fx)的定义域为(0，十∞)，导函数为f(),满足xf(x)一fx)=(x一1)e'(e 为自然对数的底数)，且1)=0，则() A.32)>23) B.1)2)e) C.x)在x=1处取得极小值 D.x)无极大值 解析：BCD[设g(x)=(x>O), ·独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 则g'(x)===', 可设gx)=+C, 则g(1)=e+c=0,解得c=-e, 故g(x)=-e, 即fx)=e-ex,x>0, 令g'(x)>0,则x>1, 故g(x)在(1，+o∞)上单调递增， ∵g(2)g(3),即， 则32)23)，故A错误； 令f(x)=ex-e>0,得x>1, 令f(w)=e-e<0,得0<x<1, 则fx)在(0,1)上单调递减，在1，+∞)上单调递增， '1)2)水e),x)在x=1处取得极小值，无极大值，故B,C,D均正确.] 三、填空题 9.己知函数x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f(x),若1)=4，且f(w)一 2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式2x-3大2x(2x-3)的解集为 解析：令g(w)=fx)-x2-3x 则g'(x)=()-2x-3<0在R上恒成立， 所以g(x)是减函数， 又2x-3)2x(2x-3), 即f2x-3)-(2x-32-3(2x-3)<0, 又1)-12-3×1=0， 即g(2x-3)g(1) 所以2x-3>1,解得x>2, 独家授权侵权必究 学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以不等式f2x-3)水2x(2x-3)的解集为(2，+∞). 答案：(2，十∞) 10.已知函数x)是定义在R上的偶函数，其导函数为fw),且当x<0时，2x)十 xf(x)<0,则不等式(x-2024fx一2024)--1)<0的解集为 解析：令Fw)=xx), 则F(w)=2xfx)+xf(x)=x[2fx)+f(x)],由当x<0时，2x)+xf(x)<0, 所以当x<0时，F'(x)=x[2X)+Xfx]>0,即F(x)在(-∞，0)上是增函数， 由题意x)是定义在R上的偶函数，所以-x)=x),所以(-x)=(-x)-x)=xx) =F), 所以Fx)是偶函数，在(0，+∞)递减，所以F(x-2024)=(x-2024)fx-2024, F(-1)=(-1)-1)=-1),即不等式等价为Fx-2024)F(-1), 所以x-2024>1,所以x<2023或x>2025. 答案：{xx<2023或x>2025} 独家授权侵权必究·