大单元三 专题5 二元一次方程组综合应用 2026-2027学年 沪科版数学 七年级上册

**基本信息** 以数学建模为主线，构建“概念-解法-应用”三层逻辑体系，通过三级题型实现从基础建模到综合突破的能力进阶，培养数学抽象与数据意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |专题目标|3维度目标|明确知识/能力/素养递进要求|概念（定义/解法）→应用（8大模型）→综合（含参/错解）| |题型精讲|12道分三级|建模五步法（审题-设元-列方程-求解-检验）|基础（商品/行程）→进阶（工程/利润）→突破（古文/含参）| |专题总结|5类方法|等量关系表格化、消元策略优化、结果合理性检验|梳理8大模型数量关系，归纳易错点（单位统一/折扣利润）| |限时训练|4类题型|选择/填空/解答分层检测|覆盖中考高频考点（方案选择/图表信息/数学文化）|

2026-2027 学年沪科版七年级上册数学核心考点专题训练 大单元三：一次方程模型 专题5二元一次方程组综合应用 一、专题目标 1.知识目标 熟练把握二元一次方程组的概念、求解方法与检验规则，能够依据实际问题构建二元一次方程组。 准确理解商品采购、人数分配、行程相遇、工程配套、利润折扣、图表信息等常见应用模型中的数量关系。 熟练掌握代入消元法与加减消元法在实际问题中的应用，能够借助方程组求解含参数、同解、错解还原等类型的综合问题。 初步掌握方案选择类问题的分析方法，能够通过计算对比不同方案的费用与结果。 2.能力目标 信息提取能力：可从文字表述、表格信息与实际问题情境中提取有效解题条件。 数学建模能力：可将实际问题转化为二元一次方程组求解问题。 综合运算能力：可规范、准确地完成方程组的求解与全部运算过程。 分析比较能力：可对不同方案分别进行计算与比较，在此基础上作出合理选择。 数学表达能力：可清晰完整地呈现建模过程、求解步骤与最终结论。 3.素养目标 数学抽象：能够从实际情境中抽象出未知量与等量关系。 数学建模：能够完整经历“审题—设元—列方程组—求解—检验”的数学建模全过程。 数学运算：能够提升消元、化简与计算环节的准确性与规范性。 应用意识：能够体会方程组在购物、交通、生产、统计等现实问题中的应用价值。 数据意识：能够借助表格、统计信息开展分析与决策。 二、题型精讲 1.基础达标 1.【商品购买】学校为七年级新生购买学习用品，购买笔记本和练习本共80本，其中笔记本每本8元，练习本每本5元，共花费520元。求购买笔记本、练习本各多少本。 2.【人数分配】学校组织劳动实践活动，将七年级学生分成甲、乙两个小组。已知两个小组共有56人，甲组人数比乙组人数多8人。求甲、乙两个小组各有多少人。 3.【行程相遇】甲、乙两人分别从相距54千米的两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。已知甲每小时比乙多行4千米，求甲、乙两人的速度。 4.【统计建模】学校开展阅读活动，统计七年级学生阅读《西游记》和《朝花夕拾》的人数。已知阅读这两本书的学生共90人，其中阅读《西游记》的人数比阅读《朝花夕拾》的人数多18人。求阅读两本书的人数分别是多少。 2.能力进阶 5.【工程合作】学校组织七年级学生整理图书馆图书。甲、乙两个小组共同整理了250本图书。已知甲组平均每小时整理40本，乙组平均每小时整理30本，两组整理时间共7小时。求甲、乙两组各整理了几小时。 6.【配套问题】某车间有30名工人，每人每天可加工桌面3张或桌腿6条。已知1张桌面配4条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，应安排多少人加工桌面，多少人加工桌腿？ 7.【利润折扣】某商店购进A、B两种商品共60件，A种商品每件进价20元，标价30元；B种商品每件进价15元，标价25元。促销期间两种商品均打八折销售，全部售出后共获利260元。求购进A、B两种商品各多少件。 8.【方案选择】某校七年级组织研学活动，需统一购买帽子和背包。已知购买3顶帽子和2个背包共需290元，购买1顶帽子和4个背包共需310元。现有两种优惠方案： 方案一：购买两个背包送一顶帽子； 方案二：参加团购，帽子单价降低20%，背包单价降低15%。 （1）求帽子和背包的单价各是多少元； （2）现要购买帽子和背包各40件，通过计算比较，哪种方案更省钱？节省多少元？ 3.压轴突破 9.【和差倍分】某校七年级学生参加社团活动，报名科技类、文艺类、体育类三个社团。已知报名科技类社团的人数比报名文艺类社团的人数多6人，且报名体育类社团的人数是科技类与文艺类人数之和的一半。若该校七年级共有学生180人，每名学生限报一个社团。求报名科技类、文艺类、体育类社团的人数各是多少； 10.【古文翻译】《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 11.【含参方程组】已知关于x，y的方程组的解也是方程3x+2y=2的解，求m的值。 12.【错解还原】甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得。求a、b、c的值。 三、专题总结 1.解题流程 运用二元一次方程组解决实际问题，通常遵循如下基本步骤： 审题分析、设定未知数、寻找等量关系、构建二元一次方程组、选取适当方法求解、检验并作答 其中，找出两个相互独立的等量关系，是构建方程组的关键，也是解答此类应用题的核心。 2.常见数量关系 应用模型 常见等量关系 解题关键 商品购买 总数量、总价 明确"单价×数量＝总价" 行程问题 路程＝速度×时间 理清相遇、追及、往返过程 工程配套 工作量＝工作效率×时间 统一时间单位，注意配套比例 利润方案 利润＝售价－进价 区分进价、售价、折扣和利润 图表信息 表格数据、比例关系 提取有效信息，建立数量关系 数学文化 文意转化 将文字语言准确转化为数学关系 3.解题方法归纳 求解二元一次方程组综合应用问题，需重点掌握以下方法： （1）规范构建模型 设定未知数时，需结合问题实际背景，保证未知数具有明确的实际意义，同时注意统一单位。 （2）准确梳理数量关系 优先提取题目中的总量关系、差量关系、倍数关系、比例关系等关键信息，确保所得两个方程相互独立。 （3）灵活运用消元方法 根据方程组的结构特点，合理选择代入消元法或加减消元法，提升计算效率。 （4）重视结果检验 求得结果后，需结合实际情境判断结果是否符合题意，人数、数量这类实际问题中的解必须满足实际意义。 4.易错提醒 未知数设定不规范，易导致后续列式逻辑混乱。 对等量关系的把握不准确，存在遗漏条件或重复使用同一条件的问题。 单位未统一，该问题在工程问题与行程问题中尤为常见，易引发计算错误。 易混淆折扣与利润的关系，此类问题应当先求解实际售价，再计算利润。 图表信息读取不完整，无法正确提取其中的比例关系与数量关系。 忽略结果的实际意义，求得结果后未进行合理性检验。 5.提升方向 熟练掌握各类常见应用模型，提升建模速度； 规范书写解题过程，养成先分析、后列式、再求解的良好习惯； 强化综合应用训练，提升信息提取、数学建模与分析决策能力； 注重归纳总结不同题型的数量关系和解题方法，构建完整的知识体系，为后续学习和期末综合复习奠定坚实基础。 四、限时训练(限时60分钟，总分100分) 1.选择题（24分，每题4分） 1.【方程识别】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A. B. C. D. 2.【解的检验】已知是方程组的解，则a+b的值为（　　） A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 3.【行程追及】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行。甲每小时走a千米，乙每小时走b千米。若乙先走2小时，甲出发后经过3小时追上乙，则a、b满足的关系式为（　　） A.3a=5b　　　B.3a=2b　　　C.a=3b　　　D.3a=6b 4.【配套应用】某工厂生产甲、乙两种零件，1个甲零件与2个乙零件配成一套。现有工人48名，每人每天可加工甲零件5个或乙零件6个。为使每天生产的零件刚好配套，安排多少人生产甲零件？（　　） A.12人　　B.16人　　C.18人　　D.24人 5.【利润方案】某商店搞促销活动，同时购买A、B两种商品各一件共需70元；购买2件A商品和3件B商品共需170元。促销期间，A商品打八折，B商品打九折。小明购买A、B两种商品各2件，比按原价购买节省（　　）元。 A.14　　　B.18　　　C.22　　　D.26 6.【同解含参】关于x、y的方程组与有相同的解，则a-b的值为（　　） A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 2.填空题（15分，每题5分） 7.【直接求解】若是方程ax+by=7的一个解，且a-b=3，则a=______，b=______。 8.【整体代换】已知方程组，则x-y=______，x+y=______。 9.【错解参数】甲、乙两人解方程组，甲看错了方程①中的a，解得；乙看错了方程②中的b，解得。则______。 3.解答题（61分，第10、11题8分，第12、13题10分，第14题12分，第15题13分） 10.【商品购买】学校为表彰优秀学生，购买钢笔和笔记本作为奖品。已知购买5支钢笔和10本笔记本共需85元，购买10支钢笔和5本笔记本共需95元。求钢笔和笔记本的单价各是多少元。 11.【行程问题】甲、乙两人同时从A地出发前往B地。甲步行，乙骑自行车。已知乙的速度是甲的3倍，乙到达B地后停留1小时立即返回，在途中与甲相遇，此时两人共行了4小时。若A、B两地相距26千米，求甲、乙两人的速度。 12.【工程配套】某工厂接到一批零件加工任务，需要生产甲、乙两种零件。甲种零件每个需加工6分钟，乙种零件每个需加工4分钟。现有工人35名，每人每天工作8小时。 （1）若将35名工人分成两组，分别加工甲、乙两种零件，且每天加工的甲、乙零件数量相等，求两组各有多少人； （2）在（1）的条件下，若1个甲零件与2个乙零件配成一套，应如何调整人数使每天生产的零件刚好配套？ 13.【利润方案】某文具店计划购进A、B两种笔记本共100本。已知A种笔记本每本进价12元，售价20元；B种笔记本每本进价10元，售价15元。 （1）若购进这两种笔记本共用去1120元，求购进A、B两种笔记本各多少本； （2）在（1）的条件下，为回馈顾客，商店决定对A种笔记本打九折、B种笔记本打八折销售。若全部售出，商店共获利多少元？ 14.【图表信息】某校七年级开展"书香校园"活动，对学生一周的课外阅读时间进行调查，结果如下表： 阅读时间t（小时） 0≤t<2 2≤t<4 4≤t<6 t≥6 人数 a b 30 10 已知阅读时间在与两段的人数之比为1:3，且这四段总人数为100人。 （1）求a、b的值； （2）若阅读时间在的学生中，男生比女生多5人，求男生、女生各多少人？ 15.【古代数学】《九章算术》中有这样一道题："今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十。问甲、乙持钱各几何？" 译文：甲、乙两人各带了若干钱。若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有60钱；若乙得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有60钱。问甲、乙两人各带了多少钱？ （1）设甲带了x钱，乙带了y钱，求甲、乙两人各带的钱数； （2）若甲、乙两人将所带的钱合起来购买单价为5钱的物品，最多能买几件？ 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027 学年沪科版七年级上册数学核心考点专题训练 大单元三：一次方程模型 专题5二元一次方程组综合应用与方案选择 一、专题目标 1.知识目标 熟练把握二元一次方程组的概念、求解方法与检验规则，能够依据实际问题构建二元一次方程组。 准确理解商品采购、人数分配、行程相遇、工程配套、利润折扣、图表信息等常见应用模型中的数量关系。 熟练掌握代入消元法与加减消元法在实际问题中的应用，能够借助方程组求解含参数、同解、错解还原等类型的综合问题。 初步掌握方案选择类问题的分析方法，能够通过计算对比不同方案的费用与结果。 2.能力目标 信息提取能力：可从文字表述、表格信息与实际问题情境中提取有效解题条件。 数学建模能力：可将实际问题转化为二元一次方程组求解问题。 综合运算能力：可规范、准确地完成方程组的求解与全部运算过程。 分析比较能力：可对不同方案分别进行计算与比较，在此基础上作出合理选择。 数学表达能力：可清晰完整地呈现建模过程、求解步骤与最终结论。 3.素养目标 数学抽象：能够从实际情境中抽象出未知量与等量关系。 数学建模：能够完整经历“审题—设元—列方程组—求解—检验”的数学建模全过程。 数学运算：能够提升消元、化简与计算环节的准确性与规范性。 应用意识：能够体会方程组在购物、交通、生产、统计等现实问题中的应用价值。 数据意识：能够借助表格、统计信息开展分析与决策。 二、题型精讲 1.基础达标 1.【商品购买】学校为七年级新生购买学习用品，购买笔记本和练习本共80本，其中笔记本每本8元，练习本每本5元，共花费520元。求购买笔记本、练习本各多少本。 【答案】笔记本40本，练习本40本 【分析】设两种学习用品分别购买x本、y本，根据总数量、总花费两组等量关系构建二元一次方程组求解。 【详解】设购买笔记本x本，练习本y本。 根据题意列方程组：，解得： 答：购买笔记本40本，练习本40本。 【点睛】对于商品购买类应用题，通常可从物品总数量、总花费金额两个维度提取等量关系。 2.【人数分配】学校组织劳动实践活动，将七年级学生分成甲、乙两个小组。已知两个小组共有56人，甲组人数比乙组人数多8人。求甲、乙两个小组各有多少人。 【答案】甲组32人，乙组24人 【分析】可依据两个小组的总人数与人数差建立二元一次方程组，该方程组适合采用加减消元法求解。 【详解】设甲组有x人，乙组有y人。 根据题意列方程组：，解得： 答：甲组32人，乙组24人。 【点睛】对于已知两数之和与两数之差的此类问题，优先采用加减消元法简化计算。 3.【行程相遇】甲、乙两人分别从相距54千米的两地同时出发，相向而行，经过3小时相遇。已知甲每小时比乙多行4千米，求甲、乙两人的速度。 【答案】甲的速度为11千米/时，乙的速度为7千米/时 【分析】依据公式“路程=速度×时间”，结合甲、乙两人的速度差列出两组等量关系，化简后求解。 【详解】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时。 根据题意列方程组：，解得： 答：甲的速度为11千米/时，乙的速度为7千米/时。 【点睛】对于相向相遇问题，应先依据总路程建立路程关系式，再结合速度差构造出第二个方程。 4.【统计建模】学校开展阅读活动，统计七年级学生阅读《西游记》和《朝花夕拾》的人数。已知阅读这两本书的学生共90人，其中阅读《西游记》的人数比阅读《朝花夕拾》的人数多18人。求阅读两本书的人数分别是多少。 【答案】阅读《西游记》的有54人，阅读《朝花夕拾》的有36人 【分析】依据阅读总人数与两类人数的差值，建立两组相互独立的等量关系，构造方程组进行求解。 【详解】设阅读《西游记》的有x人，阅读《朝花夕拾》的有y人。 根据题意列方程组：，解得： 答：阅读《西游记》的有54人，阅读《朝花夕拾》的有36人。 【点睛】对于统计类应用题，需先梳理题干所给出的数据，再找出两组相互独立的等量关系列写方程。 2.能力进阶 5.【工程合作】学校组织七年级学生整理图书馆图书。甲、乙两个小组共同整理了250本图书。已知甲组平均每小时整理40本，乙组平均每小时整理30本，两组整理时间共7小时。求甲、乙两组各整理了几小时。 【答案】甲组整理4小时，乙组整理3小时 【分析】工程问题核心公式：工作量＝工作效率×工作时间。设两组整理时间分别为x小时、y小时，根据「总工作量」「总时间」两组独立等量关系构建二元一次方程组求解。 【详解】设甲组整理x小时，乙组整理y小时。 根据题意列方程组：，解得： 答：甲组整理4小时，乙组整理3小时。 【点睛】 在解决工程类应用题时，首先依据“工作量＝效率×时间”这一基本公式，然后利用总工作量与总时长这两类总量条件来列出方程组。 6.【配套问题】某车间有30名工人，每人每天可加工桌面3张或桌腿6条。已知1张桌面配4条桌腿，为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，应安排多少人加工桌面，多少人加工桌腿？ 【答案】10人加工桌面，20人加工桌腿 【分析】解决配套问题的核心，是依据配套比例建立等量关系。本题中1张桌面需搭配4条桌腿，即生产得到的桌腿总数量为桌面总数量的4倍。设安排x人加工桌面，y人加工桌腿，可根据总人数与配套比例条件列出方程组。 【详解】设安排x人加工桌面，y人加工桌腿。 根据题意列方程组：，解得： 检验：桌面总数3×10=30张，桌腿总数6×20=120条，120=4×30，刚好配套。 答：应安排10人加工桌面，20人加工桌腿。 【点睛】配套问题的核心关系式为：配套产品数量×配套比例=对应配件总数量。解题时切勿将比例关系写反，应当牢记“桌腿数是桌面数的4倍”，即桌腿总数=4×桌面总数。 7.【利润折扣】某商店购进A、B两种商品共60件，A种商品每件进价20元，标价30元；B种商品每件进价15元，标价25元。促销期间两种商品均打八折销售，全部售出后共获利260元。求购进A、B两种商品各多少件。 【答案】A种商品40件，B种商品20件 【分析】折扣利润问题可分两步构建数学模型：先计算打折后的单件实际利润，再依据商品总件数、总利润建立二元一次方程组。单件实际利润＝打折后售价－进价。 【详解】设购进A种商品x件，B种商品y件。 计算打折后单件利润： A商品折后售价：30×0.8=24（元），单件利润：24-20=4（元） B商品折后售价：25×0.8=20（元），单件利润：20-15=5（元） 列方程组：，解得： 答：购进A种商品40件，B种商品20件。 【点睛】折扣利润类问题的解题关键为：需先计算出打折后的实际单件利润，再据此列方程；不得直接以标价对应的利润乘以折扣进行计算。 8.【方案选择】某校七年级组织研学活动，需统一购买帽子和背包。已知购买3顶帽子和2个背包共需290元，购买1顶帽子和4个背包共需310元。现有两种优惠方案： 方案一：购买两个背包送一顶帽子； 方案二：参加团购，帽子单价降低20%，背包单价降低15%。 （1）求帽子和背包的单价各是多少元； （2）现要购买帽子和背包各40件，通过计算比较，哪种方案更省钱？节省多少元？ 【答案】（1）帽子单价54元，背包单价64元；（2）方案一更省钱，比方案二节省264元 【分析】第(1)问结合两组采购总价条件，建立二元一次方程组，通过加减消元法求解得到帽子与背包的原单价；第(2)问需对两种优惠方案的规则分别梳理分析：方案一为买赠优惠，需先计算获赠商品的数量，再统计实际需要付费的商品件数；方案二为统一折扣优惠，可直接计算折后单价后求出总花费，最终对比两种方案的总花费即可得出结论。 【详解】（1）设帽子单价为x元，背包单价为y元。 根据题意列方程组：，解得： 答：帽子单价54元，背包单价64元。 （2）方案一：买2个背包送1顶帽子 计算赠送帽子数量：购买40个背包，赠送帽子：40-2=20（顶） 计算需要自费购买的帽子数量：40-20=20（顶） 计算总花费：40×64+20×54=2560+1080=3640（元） 方案二：团购折扣优惠 帽子折后单价：54×(1-20%)=54×0.8=43.2（元） 背包折后单价：64×(1-15%)=64×0.85=54.4（元） 总花费：40×43.2+40×54.4=1728+2176=3904（元） ∵3640<3904，差价：3904-3640=264（元） 答：方案一更省钱，比方案二节省264元。 【点睛】买赠类题型的常见易错点：不得直接按40顶帽子计算全额费用，需先扣除赠送的数量后再计算成本； 折扣类题型的常见易错点：降价20%意为现价等于原价乘以0.8，不可错误理解为现价为原价的20%。 3.压轴突破 9.【和差倍分】某校七年级学生参加社团活动，报名科技类、文艺类、体育类三个社团。已知报名科技类社团的人数比报名文艺类社团的人数多6人，且报名体育类社团的人数是科技类与文艺类人数之和的一半。若该校七年级共有学生180人，每名学生限报一个社团。求报名科技类、文艺类、体育类社团的人数各是多少； 【答案】科技类63人，文艺类57人，体育类60人 【分析】依据“人数差”与“倍数关系”构建二元一次方程组。需注意，“体育类人数为科技类与文艺类人数之和的一半”，即体育类人数等于二分之(x+y)，三类社团人数之和等于总人数180人。 【详解】设报名科技类社团x人，文艺类社团y人，则体育类社团人。 根据题意列方程组：，解得： 体育类人数：（人） 检验：63+57+60=180，符合题意。 答：科技类63人，文艺类57人，体育类60人。 【点睛】涉及三个量的应用题，通常先设两个未知数，第三个量用含未知数的代数式表示。 10.【古文翻译】《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 【答案】人数7人，物价53钱 【分析】这是《九章算术》中最经典的"盈不足"问题。"人出八，盈三"意为每人出8钱，多出3钱，即总钱数比物价多3，得8x−y=3；"人出七，不足四"意为每人出7钱，还差4钱，即总钱数比物价少4，得y−7x=4。两式联立即可求解。 【详解】设人数为x人，物价为y钱。 根据题意： 每人出8钱，多出3钱：8x-y=3 每人出7钱，不足4钱：y-7x=4 可得方程组：，解得： 答：人数7人，物价53钱。 【点睛】古代数学问题的解题思路为：先将古文表述转化为代数关系，再建立方程求解。盈不足类问题的核心模型可归纳为：若每人出a钱，盈余b钱，可得关系式ax−y=b；若每人出c钱，不足d钱，可得关系式y−cx=d。将两式相加即可直接消去y，快速求得人数。 11.【含参方程组】已知关于x，y的方程组的解也是方程3x+2y=2的解，求m的值。 【答案】m=1 【分析】本题属于“方程组的解满足第三个方程”类型的典型问题，核心解题思路为：先求解含参数的方程组，以参数m表示x、y的取值，再将所得解代入第三个方程，进而求得m的值。也可先将方程组中的两个方程相加消去未知数y，得到x与m的关系，再逐步推进求解。 【详解】方程组：，解得： 将解代入3x+2y=2：3×4m+2×(-5m)=2，解得：m=1 答：m的值为1。 【点睛】含参数方程组的解题策略为：先消元求解得到以参数表示的未知数取值，再将所得结果代入给定条件求解参数。 12.【错解还原】甲、乙两人同时解方程组，甲正确解得；乙因抄错了c，解得。求a、b、c的值。 【答案】，，c=-5 【分析】此类错解还原问题的核心，在于准确理解“抄错单个系数”的含义：乙抄错了系数c，意味着a、b两个系数并未出现抄写错误，因此乙所得的解满足含有a、b的第一个方程，但不满足含有c的第二个方程；甲的解完全正确，因此同时满足原方程组的两个方程。依据上述关系即可建立关于a、b、c的方程组。 【详解】将甲的正确解代入原方程组： 由②得：c=-5 将乙的错解代入第一个方程ax+by=2a-6b=2，化简得a-3b=1③ 联立①③：，解得： 答：，，c=-5。 【点睛】错解还原类问题的核心逻辑为，错解对于抄写无误的方程仍然成立。解题时需遵循清晰的推导步骤：先明确哪一位解题者抄错了哪一个系数，再确定错解满足哪些方程，继而明确正确解满足哪些方程，最终建立方程组求解。 三、专题总结 1.解题流程 运用二元一次方程组解决实际问题，通常遵循如下基本步骤： 审题分析、设定未知数、寻找等量关系、构建二元一次方程组、选取适当方法求解、检验并作答 其中，找出两个相互独立的等量关系，是构建方程组的关键，也是解答此类应用题的核心。 2.常见数量关系 应用模型 常见等量关系 解题关键 商品购买 总数量、总价 明确"单价×数量＝总价" 行程问题 路程＝速度×时间 理清相遇、追及、往返过程 工程配套 工作量＝工作效率×时间 统一时间单位，注意配套比例 利润方案 利润＝售价－进价 区分进价、售价、折扣和利润 图表信息 表格数据、比例关系 提取有效信息，建立数量关系 数学文化 文意转化 将文字语言准确转化为数学关系 3.解题方法归纳 求解二元一次方程组综合应用问题，需重点掌握以下方法： （1）规范构建模型 设定未知数时，需结合问题实际背景，保证未知数具有明确的实际意义，同时注意统一单位。 （2）准确梳理数量关系 优先提取题目中的总量关系、差量关系、倍数关系、比例关系等关键信息，确保所得两个方程相互独立。 （3）灵活运用消元方法 根据方程组的结构特点，合理选择代入消元法或加减消元法，提升计算效率。 （4）重视结果检验 求得结果后，需结合实际情境判断结果是否符合题意，人数、数量这类实际问题中的解必须满足实际意义。 4.易错提醒 未知数设定不规范，易导致后续列式逻辑混乱。 对等量关系的把握不准确，存在遗漏条件或重复使用同一条件的问题。 单位未统一，该问题在工程问题与行程问题中尤为常见，易引发计算错误。 易混淆折扣与利润的关系，此类问题应当先求解实际售价，再计算利润。 图表信息读取不完整，无法正确提取其中的比例关系与数量关系。 忽略结果的实际意义，求得结果后未进行合理性检验。 5.提升方向 熟练掌握各类常见应用模型，提升建模速度； 规范书写解题过程，养成先分析、后列式、再求解的良好习惯； 强化综合应用训练，提升信息提取、数学建模与分析决策能力； 注重归纳总结不同题型的数量关系和解题方法，构建完整的知识体系，为后续学习和期末综合复习奠定坚实基础。 四、限时训练(限时60分钟，总分100分) 1.选择题（24分，每题4分） 1.【方程识别】下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】判断一个方程组是否为二元一次方程组，需同时满足三个条件：①含有两个未知数；②含未知数的项的次数均为1；③方程两边均为整式，逐项检验即可。 【详解】A项：xy=2中xy项次数为2，属于二元二次方程，不符合定义； B项：中分母含未知数，不是整式，不符合； C项：仅含x、y两个未知数，所有含未知数项次数为1，均为整式方程，符合二元一次方程组定义； D项：含有x、y、z三个未知数，属于三元一次方程组，不符合。 综上，选C。 【点睛】判定二元一次方程组可遵循“三看”准则：一看未知数个数，必须含有两个未知数；二看含未知数项的次数，所有含未知数项的次数必须均为1；三看方程形式，方程两边均须为整式。 2.【解的检验】已知是方程组的解，则a+b的值为（　　） A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5 【答案】C 【分析】方程组的解满足方程组中的每一个方程，将已知解代入两个方程后，即可分别求出参数a、b的值，再计算得到a+b的值。 【详解】把代入方程组： 代入2x+by=7：2×2+b×1=7，4+b=7，解得b=3； 代入ax-y=1：a×2-1=1，2a=2，解得a=1。 因此a+b=1+3=4，故选C。 【点睛】已知方程组的解求解参数时，可采用分步代入法，将解分别代入对应方程，得到关于参数的一元一次方程后即可求解得到参数值；代入过程中需注意区分x与y，不可混淆二者的位置。 3.【行程追及】甲、乙两人从同一地点出发，同向而行。甲每小时走a千米，乙每小时走b千米。若乙先走2小时，甲出发后经过3小时追上乙，则a、b满足的关系式为（　　） A.3a=5b　　　B.3a=2b　　　C.a=3b　　　D.3a=6b 【答案】A 【分析】追及问题的等量关系为：追上时两人行走的总路程相等。乙先行2小时，甲出发后经3小时追上乙，因此乙的总行走时间为2+3=5小时。 【详解】甲路程：3a千米 乙路程：(2+3)b=5b千米 路程相等：3a=5b，故选A。 【点睛】追及问题的解题要点为：需准确区分二人的行走时长，不可遗漏其中一方提前出发的时间；二人相遇或追上时总路程相等，是构建核心等式的依据。 4.【配套应用】某工厂生产甲、乙两种零件，1个甲零件与2个乙零件配成一套。现有工人48名，每人每天可加工甲零件5个或乙零件6个。为使每天生产的零件刚好配套，安排多少人生产甲零件？（　　） A.12人　　B.16人　　C.18人　　D.24人 【答案】C 【分析】配套问题的核心思路为：根据配套比例建立等量关系，本题为1个甲零件与2个乙零件配套，对应关系为乙零件总数量等于2倍甲零件总数量。可设生产甲零件、乙零件的人数分别为x、y，结合总人数条件列出二元一次方程组即可求解。 【详解】设安排x人生产甲零件，y人生产乙零件。 列方程组：，解得 检验：甲零件5×18=90个，乙零件6×30=180个，180=2×90，刚好配套。 故选C。 【点睛】配套关系比例确定技巧：需明确两个量的倍数关系，本题中1个甲零件需配套2个乙零件，因此乙零件的总数量为甲零件的2倍，此处极易将等量关系写反；联立总人数的方程即可求解得到对应人数。 5.【利润方案】某商店搞促销活动，同时购买A、B两种商品各一件共需70元；购买2件A商品和3件B商品共需170元。促销期间，A商品打八折，B商品打九折。小明购买A、B两种商品各2件，比按原价购买节省（　　）元。 A.14　　　B.18　　　C.22　　　D.26 【答案】C 【分析】本题可分两步求解：①根据题目给出的总价条件列出二元一次方程组，求解得到A、B两种商品的原价；②分别计算按原价购买的总花费与打折后的总花费，两者的差值即为节省的金额。 【详解】设A商品原价x元，B商品原价y元。 列方程组：)，解得 A原价40元，B原价30元。 折后单价：A:40×0.8=32，B:30×0.9=27 各买2件原价总费用：2×(40+30)=140（元） 各买2件折后总费用：2×(32+27)=118（元） 节省：140-118=22（元），故选C。 【点睛】折扣利润题型两步策略：先解方程组求原价，再计算差价；节省金额=原价总花费−打折后总花费，不可直接用折扣差相乘。 6.【同解含参】关于x、y的方程组与有相同的解，则a-b的值为（　　） A.-1　　　B.0　　　C.1　　　D.2 【答案】C 【分析】两个方程组有相同的解，意味着该公共解同时满足两个方程组的全部四个方程；可先提取出不含参数a、b的方程，求解得到公共解，再将其代入含参数的方程，通过整体作差即可直接求得a-b。 【详解】联立无参数方程： ①+②：3x=6，x=2，代入②得y=1。 公共解： 代入含参方程： ③-④：a-b=1，故选C。 【点睛】同解方程组的解题技巧：首先分离出仅含常数项的方程组，求解得到公共解；再结合所求代数式的特征，采用整体加减消元法运算，无需单独计算a、b的具体取值，可简化计算过程。 2.填空题（15分，每题5分） 7.【直接求解】若是方程ax+by=7的一个解，且a-b=3，则a=______，b=______。 【答案】； 【分析】将已知解代入给定二元一次方程，得到关于a、b的关系式，再结合条件a-b=3联立构成二元一次方程组，通过加减消元法求解对应参数。 【详解】将代入ax+by=7，得：2a+b=7① 已知：a-b=3② ①+②，消去b：3a=10， 把代入②：， 【点睛】已知方程的解求解参数时可采用联立法：将解代入方程得到第一个关系式，再结合题干已知条件联立得到方程组；本题中b的系数互为相反数，将两式直接相加消元即可，该计算方法最为简捷。 8.【整体代换】已知方程组，则x-y=______，x+y=______。 【答案】1；3 【分析】无需单独求解x与y的值，可通过对两个方程进行整体加减运算，直接构造出目标代数式：将两式相减即可得到x-y，将两式相加后化简即可得到x+y，借助整体代换可简化运算。 【详解】详解 ①-②：x-y=1 ①+②：3x+3y=9,x+y=3 【点睛】整体求值的核心技巧为：求解x+y、x-y此类线性代数式时，优先观察方程组系数，直接对原方程进行加减或倍数变形，避免分步求解单个未知数，减少计算量。 9.【错解参数】甲、乙两人解方程组，甲看错了方程①中的a，解得；乙看错了方程②中的b，解得。则______。 【答案】0 【分析】该错解问题的核心推导逻辑为：看错某一方程的参数，并不影响另一方程的正确性。 甲看错参数a，参数b未出现错误，因此甲所得的解满足方程②，可据此求出参数b的值； 乙看错参数b，参数a未出现错误，因此乙所得的解满足方程①，可据此求出参数a的值； 将求出的a、b代入待求幂式，结合-1幂次的奇偶性即可计算得出最终结果。 【详解】把代入②：4×(-3)-b×(-1)=-2，-12+b=-2，b=10 把代入①：5a+5×4=15，5a+20=15，5a=-5，a=-1 代入代数式计算： 【点睛】错解还原解题步骤：分清看错的参数→错解代入未看错的方程→求出正确参数；负数幂运算规律：底数为-1时，偶次幂为1，奇次幂为-1，遇到超大指数无需硬算，只需判断指数奇偶。 3.解答题（61分，第10、11题8分，第12、13题10分，第14题12分，第15题13分） 10.【商品购买】学校为表彰优秀学生，购买钢笔和笔记本作为奖品。已知购买5支钢笔和10本笔记本共需85元，购买10支钢笔和5本笔记本共需95元。求钢笔和笔记本的单价各是多少元。 【答案】钢笔单价7元，笔记本单价5元。 【分析】本题为已知两组采购总价求解商品单价的典型题型，设钢笔、笔记本的单价分别为x、y元，依据两组花费条件构建二元一次方程组求解。 【详解】设钢笔单价为x元，笔记本单价为y元。 根据题意列方程组：，解得 答：钢笔单价7元，笔记本单价5元。 【点睛】系数互换型方程组的快速求解技巧为：将两式相加得到x+y，两式相减得到x-y，以此简化系数，降低计算难度。 11.【行程问题】甲、乙两人同时从A地出发前往B地。甲步行，乙骑自行车。已知乙的速度是甲的3倍，乙到达B地后停留1小时立即返回，在途中与甲相遇，此时两人共行了4小时。若A、B两地相距26千米，求甲、乙两人的速度。 【答案】甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时 【分析】对运动过程拆解分析如下：本次运动总时长为4小时，乙中途停留1小时，因此实际骑行时长为4-1=3小时；乙到达目的地后折返，在途中与甲相遇，此时甲、乙二人的路程之和等于A、B两地全程的2倍，结合二者的速度倍数关系即可列出方程组。 【详解】设甲的速度为x千米/时，乙的速度为y千米/时。 根据题意列方程组：，解得 答：甲的速度为4千米/时，乙的速度为12千米/时。 【点睛】复杂行程类问题的解题思路：对运动过程分段梳理运动状态，提炼两个核心隐含条件——停留时长、往返相遇时总路程为两倍全程，据此建立等量关系。 12.【工程配套】某工厂接到一批零件加工任务，需要生产甲、乙两种零件。甲种零件每个需加工6分钟，乙种零件每个需加工4分钟。现有工人35名，每人每天工作8小时。 （1）若将35名工人分成两组，分别加工甲、乙两种零件，且每天加工的甲、乙零件数量相等，求两组各有多少人； （2）在（1）的条件下，若1个甲零件与2个乙零件配成一套，应如何调整人数使每天生产的零件刚好配套？ 【答案】（1）加工甲零件21人，加工乙零件14人；（2）调整为15人加工甲零件，20人加工乙零件 【分析】（1）统一工作时间计量单位，依据每日加工零件的数量相等关系建立方程； （2）依据“乙零件总数等于2倍甲零件总数”的配套比例关系重新分配工人，结合总人数条件联立方程求解。 【详解】每人每日工作时长：8×60=480分钟 每人每日加工甲零件：480÷6=80个；每人每日加工乙零件：480÷4=120个。 （1）设加工甲零件x人，加工乙零件y人。 根据题意列方程组：，解得 答：加工甲零件21人，加工乙零件14人。 （2）设调整后加工甲m人，加工乙n人。1甲配2乙，故2×80m=120n 列方程组：，解得 检验：甲产出80×15=1200个，乙产出120×20=2400个，2400=2×1200，刚好配套。 答：调整为15人加工甲零件，20人加工乙零件。 【点睛】此类工程配套问题可采用两步解题法：第一步依据产量相等关系分配人员数量，第二步结合配套比例关系重新调整人员分配；统一时间单位是解题的基础，需注意切勿颠倒配套关系中的倍数关系。 13.【利润方案】某文具店计划购进A、B两种笔记本共100本。已知A种笔记本每本进价12元，售价20元；B种笔记本每本进价10元，售价15元。 （1）若购进这两种笔记本共用去1120元，求购进A、B两种笔记本各多少本； （2）在（1）的条件下，为回馈顾客，商店决定对A种笔记本打九折、B种笔记本打八折销售。若全部售出，商店共获利多少元？ 【答案】（1）A种笔记本60本，B种笔记本40本；（2）商店共获利440元 【分析】（1）根据总数量与总采购成本列出二元一次方程组，即可求解得到进货量； （2）先计算打折后的实际售价，单件利润为折后售价减去进价，总利润为两类商品的利润之和。 【详解】（1）设购进A种笔记本x本，B种笔记本y本。 根据题意列方程组：，解得 答：购进A种笔记本60本，B种笔记本40本。 （2）A折后单价：20×0.9=18元，单件利润：18-12=6元 B折后单价：15×0.8=12元，单件利润：12-10=2元 总利润：60×6+40×2=360+80=440（元） 答：商店共获利440元。 【点睛】关于折扣销售利润计算的易错提示：不得直接用原标价下的单件利润乘以折扣计算利润，必须先求得打折后的实际售价，再据此计算单件利润。 14.【图表信息】某校七年级开展"书香校园"活动，对学生一周的课外阅读时间进行调查，结果如下表： 阅读时间t（小时） 0≤t<2 2≤t<4 4≤t<6 t≥6 人数 a b 30 10 已知阅读时间在与两段的人数之比为1:3，且这四段总人数为100人。 （1）求a、b的值； （2）若阅读时间在的学生中，男生比女生多5人，求男生、女生各多少人？ 【答案】（1）a=15，b=45；（2）男生25人，女生20人 【分析】（1）由人数比例关系可得b=3a，结合总人数条件构建方程组；（2）运用和差模型，依据总人数与男女人数之差列出方程组求解。 【详解】（1）根据题意列方程组：，解得 答：a=15，b=45。 （2）设男生x人，女生y人。 根据题意列方程组：，解得 答：男生25人，女生20人。 【点睛】图表信息类问题的求解可分为三个步骤：提取表格数据、将题干信息转化为比例关系或和差关系、联立方程组求解；针对和差类题型，优先采用加减消元法，计算过程更为简便。 15.【古代数学】《九章算术》中有这样一道题："今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱六十，乙得甲太半而亦钱六十。问甲、乙持钱各几何？" 译文：甲、乙两人各带了若干钱。若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有60钱；若乙得到甲所有钱的三分之二，则乙也共有60钱。问甲、乙两人各带了多少钱？ （1）设甲带了x钱，乙带了y钱，求甲、乙两人各带的钱数； （2）若甲、乙两人将所带的钱合起来购买单价为5钱的物品，最多能买几件？ 【答案】（1）甲带了45钱，乙带了30钱；（2）最多能买15件 【分析】（1）可将古文表述的条件转化为等式：题中“乙半”为乙所带钱数的二分之一，“太半”为甲所带钱数的三分之二；对于含分数系数的方程组，需先去分母，再通过加减消元法求解；（2）先计算两人所带钱数的总和，再对物品单价作带余除法，所得商为可购买物品的最大件数，余数为剩余的钱数。 【详解】（1）根据题意列方程组：，解得 答：甲带了45钱，乙带了30钱。 （2）总钱数：45+30=75（钱）， 答：最多能买15件。 【点睛】古文应用题的解题流程为：翻译文言关键词→列出分式方程组→去分母化为整式方程组求解。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $