精品解析：福建莆田第一中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题（林兰英班）

莆田一中2025～2026学年度下学期林兰英班期末考试试卷 数学必修一、必修二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 2. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】当时，，所以， 因为为定义在上的奇函数，所以，且， 所以 故选：D 3. 以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用三角函数的定义，直接求出，再利用倍角公式求出，即可求出结果. 【详解】因为角的终边落在直线上， 当角的终边在第一象限时，终边过点， 此时，，，， 当角的终边在第三象限时，终边过点， 此时，，，， 故选：C. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标运算先求出，然后根据充分必要条件的关系判断. 【详解】由题知，若，则， 即，解得， 而是的必要不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 5. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算律求解即可. 【详解】因为向量，都为单位向量且互相垂直， 所以，，， 所以. 所以. 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用作差法并借助中间值比较大小. 【详解】，，， ， 故，故． 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式及两角和的正余弦公式可得 【详解】因为，所以，故．又， 所以，．所以． 所以． 8. 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合图形，利用和表达四边形周长，进而利用三角函数求解最值，再计算得到的坐标. 【详解】设，因为正方形的边长， 所以， 四边形周长为， 其中，当时周长最大． 此时，则， 故点的坐标为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最大值为1 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后与的图象重合 【答案】AD 【解析】 【分析】由二倍角公式化简函数表达式，可直接判断AB，举反例判断C，由函数平移变换法则可判断D. 【详解】对于AB，，，故A对B错； 当，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位长度后的图象所对应的函数表达式为，故D正确. 故选：AD. 10. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据“1”的变形技巧，基本不等式以及二次函数的性质逐项分析求解即可. 【详解】对于A，由， 则， 当且仅当即时等号成立，所以的最小值是，故A错误； 对于B，由基本不等式得，即， 当且仅当时等号成立，所以的最大值是，故B正确； 对于C，由， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以， 所以， 设， 由二次函数开口向上，对称轴为：， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故D正确. 11. 定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】法一：利用已知关系，应用赋值法，结合奇偶性的定义得到的相关性质和递推关系判断各项的正误；法二：应用特殊函数法，令，依次分析各项的正误. 【详解】法一：令，得，因为且不为0，则． 令，得， 故，则为奇函数．故A正确； 令，得，因为，则． 令，得，故B正确； 用“”代替“”，得， 而，两式相乘得， 所以， 若，则，显然不成立，故C错误； 令，，，相加得， 用“2x”代替“x”得， 继续操作得， 令，，得， 由，联立得，故D正确． 法二：取，符合题意， 则且定义域为R，此时为奇函数，A正确； ，B正确； ， 而，不恒相等，C错误； 若，则，，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正六边形的边长为1，则_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】结合正六边形的性质以及向量数量积运算求得正确答案. 【详解】根据正六边形的性质可知， 则. 故答案为： 13. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，再根据在区间上有最小值，无最大值，可得，由此求得的值． 【详解】依题意，当时，y有最小值，即， 则，所以. 因为在区间上有最小值，无最大值，所以， 即，令，得. 故答案为： 14. 已知函数，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简原函数判断单调性，反解出关于的表达式，将​转化为关于的函数，结合二次函数的最值性质即可求出最小值. 【详解】，因为在上单调递增，所以是上的单调递增函数，值域为. 由，设，则，结合值域得， 由，整理得，解得，  所以，同理可得 设， 令，由得，最大值为，  则是关于的减函数，当取最大值时，最小， . 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数， （1）填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象． 0 （2）将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程． 【答案】（1） ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 画图：在坐标系中描出上述6个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为）； （2）对称轴方程为. 【解析】 【分析】（1）根据五点法作图原理，确定一个周期内相位的五个关键点对应值，依次求解得到对应的和，再描点连线得到函数图象； （2）按照三角函数图象平移、伸缩变换的规则逐步推导得到的解析式，再利用正弦型函数对称轴的性质，令相位等于，求解得到的对称轴方程. 【小问1详解】 对于函数 ，结合表格给出的初始值，按五点法计算得下表： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ 画图：在坐标系中描出上述5个点，连接成光滑的正弦曲线即可（一个周期范围为）。 【小问2详解】 按平移变换规则逐步推导： 函数 向上平移1个单位得， 横坐标缩短为原来的得， 向右平移个单位得， 正弦函数的对称轴满足， 令解得. 即图象的对称轴方程为. 16. 设两个向量满足，. （1）若，求的夹角； （2）若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的运算律求出，再求出，即可得解； （2）由向量与的夹角为钝角，可得，注意排除相反向量这一情况. 【小问1详解】 解：由 ，得 , 又 , 所以， 所以， 又因为 , 所以的夹角为 ； 【小问2详解】 解：由已知得， 则， 因为向量与的夹角为钝角, 所以, 解得， 设, 则, 无解, 故两个向量的夹角不可能为 , 所以向量与的夹角为钝角时, 的取值范围为. 17. 我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为． （1）试用分别表示矩形ABCD和的面积； （2）若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数） 【答案】（1）矩形ABCD的面积为，的面积为； （2）当时，建造该观景区总费用最低，且最低费用约为20万元. 【解析】 【分析】（1）由题图知，根据矩形、三角形面积公式写出矩形ABCD和的面积； （2）由已知可得，，利用、关系，换元法及正弦型函数、二次函数性质求的最小值及其对应的值. 【小问1详解】 由题意，，易得：． 所以矩形ABCD的面积为， 的面积为． 【小问2详解】 设建造观景区所需总费用为， 由题意，，， 即，， 令，， 设，则， 由， 从而． 当，即时，有． 所以最小值为（万元）． 故当时，建造该观该景区总费用最低，且最低费用约为20万元． 18. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； （3）已知正实数满足，，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由对称性可知，由此可得，由偶函数定义可知，由此可构造方程求得的值； （2）将问题转化为在上有解，分别讨论和的情况即可求得结果； （3）将已知等式变形可得，构造函数，利用单调性定义可证得单调递增，由此可得，代入所求式子即可. 【小问1详解】 与的图象关于直线对称，， ； 的定义域为，且为偶函数，， ，，解得：. 【小问2详解】 ，， 由得：； 由得：； ，即在上有解； 当时，，解得：，满足题意； 当且时，，解得：或； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 ，，，即，； 设，令，则， ，，，又， 在上单调递增， 由得：，，即， . 19. 已知函数、是定义在上的函数，且满足关系． （1）若，若，求的值域； （2）若，存在、，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，要使得在内恰有个零点，请求出所有满足条件的与． 【答案】（1） （2） （3） 当时，； 当时，；当时，无解； 当时，或；当时，或. 【解析】 【分析】（1）求出函数的解析式，即可得出在上的值域； （2）化简函数，通过对应图象即可得出恒成立，求的最小值； （3）化简函数，设将转化为二次函数，将零点问题转化为图象与轴的交点问题，通过讨论二次函数的周期性，即可得出在内恰有个零点，所有满足条件的与． 【小问1详解】 由题意， 在中，， 在中， 当时，， 所以函数在上的值域为. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在中， ①当时，即，，此时， 在上单调递减， 则，， ②当，即，时，此时， 由得， 由得， 在单调递增， 在单调递减， ，， ③当时，即，时， 此时， 在上单调递增， ，， ④当时，即，时， 此时， 由得， 由得， 在单调递增， 在单调递减， ，， 所以函数是周期为的周期函数，图象如下： 在中， 存在、，对任意，有恒成立， 所以，， 当最小时，由图象可知，， 【小问3详解】 由题意，， 在中，， 在中，， 在中，， 因为， 设，， 所以函数是以为周期的周期函数，在上最多与轴有个交点， 因为在周期内，与有个交点， 所以在上有个交点， 所以若在内恰有个零点，则，， 在，中，，开口向下， 当即或，此时有个交点， ①当函数有两个零点、时， 若、均不为和，此时与有个交点，则在有个零点， ，解得：， 所以当函数有个零点时，，， 若、有一个为或， ，解得：， 或，解得：， 当时，由可得，， 其中方程在时的根为、， 方程在时的根为，则在有个零点， 因为， 当时，函数在上的零点个数为， 当时，函数在上的零点个数为， 故当时，； 当时，由可得，， 其中方程在时的根为、， 方程在时的根为， 因为， 当时，函数在上的零点个数为， 当时，函数在上的零点个数为， 故当时，无解； ②当函数有一个零点时，此时与有个交点，则在有个零点， ，解得：， 或，解得：， 当时，由可得， 由韦达定理得，故， 关于的方程在时无解， 关于的方程在时有两解，在时无解， 当时，函数在上有个零点， 当时，函数在上的零点个数为， 当时，函数在上的零点个数为， 故当时，或； 当时，由可得， 由韦达定理可得，所以， 关于的方程在时无解， 关于的方程在时无解，在时有两解， 当时，函数在上有个零点， 当时，函数在上的零点个数为， 当时，函数在上的零点个数为， 故当时，或. 综上：当时，； 当时，；当时，无解； 当时，或；当时，或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莆田一中2025～2026学年度下学期林兰英班期末考试试卷 数学必修一、必修二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知为定义在上的奇函数，当时，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 3. 以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知两个单位向量，互相垂直，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是轴正半轴上的两个动点，且，如图，以为边构造正方形，分别过点向轴作垂线，垂足依次为，当点由向左运动到原点的过程中，四边形周长取得最大值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数，则（ ） A. B. 的最大值为1 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后与的图象重合 10. 若正实数满足 ，则（ ） A. 的最小值是 B. 的最大值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 定义在R上的函数，满足：，，若为偶函数，且，恒大于0，则下列选项正确的是（ ） A. 为奇函数 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知正六边形的边长为1，则_____________. 13. 已知，，且在区间上有最小值，无最大值，则______. 14. 已知函数，，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知函数， （1）填写下表，并用“五点法”画出函数在一个周期内的图象． 0 （2）将的图象向上平移1个单位长度，横坐标缩短为原来的，再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度后，得到的图象，求图象的对称轴方程． 16. 设两个向量满足，. （1）若，求的夹角； （2）若的夹角为，向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 我市某旅游区有一个人工湖，如图所示，它的边界是由圆O的半个圆弧（P为此圆弧的中点）和直径MN构成．已知圆O的半径为1千米．为增加旅游收入，现在该人工湖上规划建造两个观景区：其中荷花池观景区的形状为矩形ABCD；喷泉观景区的形状为．要求端点A，B均在直径MN上，端点C，D均在圆弧上．设OC与直径MN所成的角为． （1）试用分别表示矩形ABCD和的面积； （2）若在矩形ABCD两侧线段AD，BC的位置架起两座观景桥，已知建造观景桥的费用每千米8万元（包含桥的宽度费用），建造喷泉观景区费用每平方千米16万元，建造荷花池的总费用为5万元．问：的角度为多少时，建造该观景区总费用最低，并求出其最低费用值．（结果保留整数） 18. 已知函数与的图象关于直线对称． （1）若函数是偶函数，求实数的值； （2）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围； （3）已知正实数满足，，求的值． 19. 已知函数、是定义在上的函数，且满足关系． （1）若，若，求的值域； （2）若，存在、，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若，要使得在内恰有个零点，请求出所有满足条件的与． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $