【5年中考压轴真题】2022～2026年内蒙古选择题、填空题、解答题汇编

**基本信息** 2022-2026年内蒙古中考数学压轴真题汇编，含选择、填空、解答题各10题，覆盖函数、几何、应用题等核心考点，结合地域特色与现实情境，适配一轮复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10小题|概率、函数、几何综合|阿拉善防沙治沙成活率（第1题）、矩形面积说明代数恒等式（第2题），基础到中档梯度| |填空题|10小题|一次函数、四边形、圆|龙辰辰利润问题（第18题）、无人机测湖泊距离（第17题），注重实际应用| |解答题|10小题|函数综合、几何变换|遮阳棚灯带设置（第21题）、正方形旋转探究（第23题），强调综合与实践能力|

【5年中考压轴真题】2022~2026年内蒙古选择题、填空题、解答题汇编 一．选择题（共10小题） 1．（2026•内蒙古）·【易】阿拉善盟是内蒙古乃至全国防沙治沙的主阵地，截至2024年底，勤劳的阿拉善人累计人工种植梭梭（一种防风固沙植物）1026万亩，成活率已经达到90%．下列说法正确的是（　　） A．种植10棵梭梭，一定有9棵成活 B．种植9棵梭梭，一定有1棵成活 C．种植1棵梭梭，一定不能成活 D．种植1棵梭梭，不一定能成活 2．（2026•内蒙古）·【较易】矩形是常见的几何图形，数学中经常利用矩形组成的图形中的面积关系来说明代数恒等式，给出以下3组图形和3个代数恒等式： 其中，各组图形的面积关系能正确说明其下方代数恒等式的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 3．（2025•内蒙古）·【中档】已知点A（m，y1），B（m+1，y2）都在反比例函数y的图象上，则下列结论一定正确的是（　　） A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．当m＜0时，y1＜y2 D．当m＜﹣1时，y1＜y2 4．（2023•呼和浩特）·【中档】关于x的二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5（m≠0）的结论： ①对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等． ②若图象过点A（x1，y1），点B（x2，y2），点C（2，﹣13），则当x1＞x2时，0． ③若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个，则m或m． ④当m＞0且n≤x≤3时，﹣14≤y≤n2+1，则n＝1． 其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（2022•呼和浩特）·【中档】以下命题：①面包店某种面包售价a元/个，因原材料涨价，面包价格上涨10%，会员优惠从打八五折调整为打九折，则会员购买一个面包比涨价前多花了0.14a元；②等边三角形ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，若AD＝AE，则∠BAD＝3∠EDC；③两边及第三边上的中线对应相等的两个三角形全等；④一列自然数0，1，2，3，…，55，依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数，则原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大．其中真命题的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025•内蒙古）·【中档】在闭合电路中，通过定值电阻的电流I（单位：A）是它两端的电压U（单位：V）的正比例函数，其图象如图所示．当该电阻两端的电压为15V时，通过它的电流为（　　） A．12A B．8A C．6A D．4A 7．（2024•呼和浩特）·【中档】如图，在△ABD中，∠ABD＝30°，∠A＝105°，将△ABD沿BD翻折180°得到△CBD，将线段DC绕点D顺时针旋转30°得到线段DF，点E为AB的中点，连接EF，ED．若EF＝1，则△BED的面积是（　　） A． B． C． D． 8．（2023•呼和浩特）·【中档】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，，点P为AC边上的中点，PM交AB的延长线于点M，PN交BC的延长线于点N，且PM⊥PN．若BM＝1，则△PMN的面积为（　　） A．13 B． C．8 D． 9．（2022•呼和浩特）·【中档】如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点E是DA中点，F是对角线AC上一点，且∠DEF＝45°，则AF：FC的值是（　　） A．3 B．1 C．21 D．2 10．（2024•呼和浩特）·【较难】下列说法中，正确的个数有（　　） ①二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象经过（2，1），（﹣4，1）两点，m，n是关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣k＝0（0＜k≤1）的两个实数根，且m＜n，则﹣4＜m＜n＜2恒成立． ②在半径为r的⊙O中，弦AB，CD互相垂直于点P，当OP＝m时，则AB2+CD2＝8r2﹣4m2． ③△ABC为平面直角坐标系中的等腰直角三角形且∠ABC＝90°，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（0，5），点C是反比例函数y（k≠0）的图象上一点，则k＝±30． ④已知矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根，且矩形的周长值与面积值相等，则矩形的对角线长是4． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共10小题） 11．（2026•内蒙古）·【较易】对于一次函数y＝（k+1）x﹣k（k是常数，且k≠﹣1），下列结论： ①点（1，1）在此函数图象上；②当k＝1且y＜0时，；③当k＜0时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论是　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 12．（2023•呼和浩特）·【较易】甲、乙两船从相距150km的A，B两地同时匀速沿江出发相向而行，甲船从A地顺流航行90km时与从B地逆流航行的乙船相遇．甲、乙两船在静水中的航速均为30km/h，则江水的流速为 　 　 km/h． 13．（2025•内蒙古）·【较易】如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD的长为16，E是AD的中点，F是BD上一点，连接EF．若BF＝3，则EF的长为　 　 ． 14．（2026•内蒙古）·【中档】如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC是它的一条对角线．以点B为圆心，BA长为半径画弧，交AC于点E（异于点A），分别以点A和点E为圆心，大于AE长为半径，在直线AC的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M，连接BM，与AC交于点N，则BN的长为　 　 ． 15．（2024•呼和浩特）·【中档】如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝　 　 ． 16．（2022•呼和浩特）·【中档】在平面直角坐标系中，点C和点D的坐标分别为（﹣1，﹣1）和（4，﹣1），抛物线y＝mx2﹣2mx+2（m≠0）与线段CD只有一个公共点，则m的取值范围是 　 　 ． 17．（2025•内蒙古）·【中档】如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量，他们将无人机上升并飞行至距湖面90m的点C处，从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°（A，B，C三点在同一竖直平面内），则湖泊两端A，B的距离为　 　 m（结果保留根号）． 18．（2024•呼和浩特）·【中档】2024年春晚吉祥物“龙辰辰”，以十二生肖龙的专属汉字“辰”为名．某厂家生产大小两种型号的“龙辰辰”，大号“龙辰辰”单价比小号“龙辰辰”单价贵15元，且用2400元购进小号“龙辰辰”的数量是用2200元购进大号“龙辰辰”数量的1.5倍，则大号“龙辰辰”的单价为 　 　 元．某网店在该厂家购进了两种型号的“龙辰辰”共60个，且大号“龙辰辰”的个数不超过小号“龙辰辰”个数的一半，小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%．若两种型号的“龙辰辰”全部售出，则该网店所获最大利润为 　 　 元． 19．（2022•呼和浩特）·【中档】已知AB为⊙O的直径且AB＝2，点C是⊙O上一点（不与A、B重合），点D在半径OB上，且AD＝AC，AE与过点C的⊙O的切线垂直，垂足为E．若∠EAC＝36°，则CD＝　 　 ，OD＝　 　 ． 20．（2023•呼和浩特）·【较难】如图，正方形ABCD的边长为，点E是CD的中点，BE与AC交于点M，F是AD上一点，连接BF分别交AC，AE于点G，H，且BF⊥AE，连接MH，则AH＝　 　 ，MH＝　 　 ． 三．解答题（共10小题） 21．（2026•内蒙古）·【较易】综合与实践 下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务． 项目名称 为学校操场主席台遮阳棚设置灯带 问题情境 如图1是某学校操场上坐南朝北的主席合，由地合（长方体）、四根立柱、遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由两条抛物线形线条组成，从正面看，上方有一矩形，其一边与地台的长度相同．项目式学习小组想为该矩形四周设置灯带，测量了地台的长度，在测量矩形另一边的长度时遇到了困难，需要解决． 收集信息 查找图纸：立柱ED＝5m，FG＝7m，两根立柱ED与FG之间的距离DG＝8m．点F是过点E，N的抛物线的最高点，地台高AB＝1m，立柱FG到地台前边缘的距离AG＝2m． 查阅资料：小组通过查阅资料知道本地春分日正午太阳光线与地面夹角的度数为49°． 实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M点的影子落在操场上的H点处，测得影长HB＝7.5m． 抽象模型 说明：①测量时间为春分日正午； ②点A，B，C，D．E，F，G，H，M，N在同一竖直平面内：点M，N，A，B在同一竖直方向上，点H，B，C在同一水平线上； ③各组选取不同的点作为坐标原点建立平面直角坐标系解决问题，如图3为“智慧”小组以点D为原点，AD所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立的平面直角坐标系． … … 任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E，F，N的抛物线的函数表达式； 任务二：请你求出矩形另一边MN的长度． （参考数据：sin49°≈0.75，cos49°≈0.66，tan49°≈1.15） 22．（2022•呼和浩特）·【较难】如图，抛物线yx2+bx+c经过点B（4，0）和点C（0，2），与x轴的另一个交点为A，连接AC、BC． （1）求抛物线的解析式及点A的坐标； （2）如图1，若点D是线段AC的中点，连接BD，在y轴上是否存在点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点P是第一象限内抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴，分别交BC、x轴于点M、N，当△PMC中有某个角的度数等于∠OBC度数的2倍时，请求出满足条件的点P的横坐标． 23．（2026•内蒙古）·【较难】综合与探究 问题情境：有一张边长为15的正方形纸片ABCD，将一张腰长为9的等腰直角三角形纸片的直角顶点与顶点A重合放置，记该三角形为△AEF．顶点E，F分别在正方形的AB，AD边上，如图1．现将△AEF绕点A按逆时针方向旋转α角，其中0°＜α＜90°，得到△AE′F′，连接BE′，DF′，如图2． 初步探究：（1）猜想线段BE′与线段DF′的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）在△AEF绕点A按逆时针方向旋转过程中，当AE′与BE′互相垂直时，AE′交EF边于点M，E′F′交AD边于点N，如图3． ①求证：NA•NF′＝ND•NE′； ②求△AEM与△AFM面积的比值． 24．（2024•呼和浩特）·【较难】如图，△ACD内接于⊙O，直径AB交CD于点G，过点D作射线DF，使得∠ADF＝∠ACD，延长DC交过点B的切线于点E，连接BC． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若CDCG，BE＝3CE＝3． ①求DE的长； ②求⊙O的半径． 25．（2023•呼和浩特）·【较难】已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，以边AC为直径作⊙O，与AB边交于点D，点M为边BC的中点，连接DM． （1）求证：DM是⊙O的切线； （2）点P为直线BC上任意一动点，连接AP交⊙O于点Q，连接CQ． ①当tan∠BAP时，求BP的长； ②求的最大值． 26．（2022•呼和浩特）·【较难】下面图片是八年级教科书中的一道题． 如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE＝EF．（提示：取AB的中点G，连接EG．） （1）请你思考题中“提示”，这样添加辅助线的意图是得到条件：　 　 ； （2）如图1，若点E是BC边上任意一点（不与B、C重合），其他条件不变．求证：AE＝EF； （3）在（2）的条件下，连接AC，过点E作EP⊥AC，垂足为P． 设k，当k为何值时，四边形ECFP是平行四边形，并给予证明． 27．（2025•内蒙古）·【较难】如图，ABCD是一个平行四边形纸片，BD是一条对角线，BD＝BC＝5，CD＝6． （1）如图1，将平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点A的对应点落在点P处，PB交CD于点M． ①试猜想PM与CM的数量关系，并说明理由； ②求△BDM的面积； （2）如图2，点E，F分别在平行四边形纸片ABCD的AB，AD边上，连接EF，且EF∥BD，将平行四边形纸片ABCD沿EF折叠，使点A的对应点G落在CD边上，求DG的长． 28．（2025•内蒙古）·【较难】问题背景： 综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 外形参数： 如图2，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上． 问题解决： 如图3，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务： （1）直接写出B，C，D三点的坐标； （2）直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式； （3）为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长． 29．（2024•呼和浩特）·【难】在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，m）． （1）若m＝1，则b＝　 　 ，通过配方可以将其化成顶点式为 　 　 ； （2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0且2x1+2x2≤5，比较y1与y2的大小关系，并说明理由； （3）若b＝0，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线y＝kx交于A，B两点，直线与y轴交于点C，点E为AC中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接AF，CF．求证：CF2CE． 30．（2023•呼和浩特）·【难】探究函数y＝﹣2|x|2+4|x|的图象和性质，探究过程如下： （1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 m 0 2 0 … 其中，m＝　 　 .根据如表数据，在图1所示的平面直角坐标系中，通过描点画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．观察图象，写出该函数的一条性质； （2）点F是函数y＝﹣2|x|2+4|x|图象上的一动点，点A（2，0），点B（﹣2，0），当S△FAB＝3时，请直接写出所有满足条件的点F的坐标； （3）在图2中，当x在一切实数范围内时，抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点（点O在点A的左边），点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点的对称点，不平行y轴的直线l分别交线段OP，AP（不含端点）于M，N两点．当直线l与抛物线只有一个公共点时，PM与PN的和是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由． 【5年中考压轴真题】2022~2026年内蒙古选择题、填空题、解答题汇编 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：A、种植10棵梭梭，不一定有9棵成活，故不符合题意； B、种植9棵梭梭，一不定有1棵成活，故不符合题意； C、种植1棵梭梭，可能成活，故不符合题意； D、种植1棵梭梭，不一定能成活，故符合题意； 故选：D． 2．【解答】解：对于第1组图形：大矩形的长为a+b+c，宽为m，面积为 m（a+b+c）；它由三个小矩形组成，面积分别为ma、mb、mc； ∴m（a+b+c）＝ma+mb+mc，故第1个恒等式正确； 对于第2组图形：左上角正方形的边长为a﹣b，面积为（a﹣b）2大正方形的面积为a2，减去两个长为a、宽为b的矩形面积2ab，由于右下角边长为b的小正方形被减了两次，需加回b2， ∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故第2个恒等式正确； 对于第3组图形：大正方形面积为a2，左下角小正方形面积为b2，剩余部分面积为a2﹣b2，剩余部分可分割为两个矩形，一个长为a、宽为a﹣b，另一个长为b、宽为a﹣b，面积和为a（a﹣b）+b（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）； ∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故第3个恒等式正确； 综上所述，能正确说明代数恒等式的有3个， 故选：A． 3．【解答】解：∵反比例函数常量k＝﹣3＜0， ∴反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， A、若两点在同一分支上，m＜m+1，故y1＜y2，原说法错误，不符合题意； B、若两点不在同一分支上，m＜m+1，故y1＞y2，原说法错误，不符合题意； C、当m＜0时，无法确定B（m+1，y2）所在象限，原说法错误，不符合题意； D、当m＜﹣1时，两点都在第二象限，y1＜y2，原说法正确，符合题意； 故选：D． 4．【解答】解：①二次函数y＝mx2﹣6mx﹣5的对称轴为x3， ∵x1＝3+a和x2＝3﹣a关于直线x＝3对称， ∴对于任意实数a，都有x1＝3+a对应的函数值与x2＝3﹣a对应的函数值相等， ∴①符合题意； ②将点C（2，﹣13）代入y＝mx2﹣6mx﹣5，得﹣13＝4m﹣12m﹣5，解得m＝1． ∴函数的解析式为y＝x2﹣6x﹣5， 当x＞3时，y随x的增大而增大． ∴当x1＞x2时，y1＞y2， ∴0． ∴②不符合题意； ③∵y＝mx2﹣6mx﹣5＝m（x﹣3）2﹣5﹣9m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝3， 当x＝3时，y＝﹣5﹣9m， 当x＝6时，y＝﹣5， ∵若3≤x≤6，对应的y的整数值有4个， ∴若m＞0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而增大， 则﹣9＜﹣5﹣9m≤﹣8， ∴m； 若m＜0，当3≤x≤6时，y随着x的增大而减小， 则﹣2≤﹣5﹣9m＜﹣1， ∴m； ∴m或m． ∴③符合题意； ④当m＞0且n≤x≤3时，y随着x的增大而减小， ∵﹣14≤y≤n2+1， ∴﹣5﹣9m＝﹣14， 解得：m＝1， ∴n2﹣6n﹣5＝n2+1， 解得：n＝﹣1， ∴④不符合题意； 综上所述，正确结论有①③，共2个． 故选：B． 5．【解答】解：（1）根据题意得：0.9×1.1a﹣0.85a＝0.14a，故①是正确的； （2）如图： 设∠EDC＝x，则∠AED＝x+60°， ∵AD＝AE ∴∠ADE＝∠AED， ∴∠DAC＝180°﹣2∠AED＝180°﹣2x﹣120°＝60﹣2x． ∴∠BAD＝60°﹣∠DAC＝2x＝2∠EDC． 故②是错误的． （3）如图：D为BC的中点，两边为AB，AC； 把AD中线延长加倍，得△ACD≌△EBD， 所以AC＝BE，所以△ABE与对应三角形全等，得∠BAE和∠E与对应角相等，进而转化为∠BAC与对应角相等再根据两边及夹角相等，两个三角形全等， 故③是正确的． （4）设该列自然数为a，则新数为，则a， ∵0≤a≤55， ∴原数与对应新数的差是先变大，再变小． 故④是错误的． 故选：B． 6．【解答】解：设I＝kU， ∵当U＝5V时，I＝4A， ∴4＝5k， ∴k， ∴IU， 当U＝15V时，I15＝12（A）． 故选：A． 7．【解答】解：过点A作AG⊥BD于点G， ∵∠ABD＝30°，∠A＝105°， ∴∠ADB＝45°， 设AE＝BE＝a，则AB＝2a， ∴，BG， ∴DG＝AG＝a， ∴AD， ∵，， ∴， ∵∠DAE＝∠BAD， ∴△ADE∽△ABD， ∴∠ADE＝∠ABD＝30°， ∵∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝90°＝∠ADE+∠EDF+∠CDF， ∴90°＝30°+∠EDF+30°， ∴∠EDF＝30°＝∠ADE， ∵AD＝CD＝DF，DE＝DE， ∴△ADE≌△FDE（SAS）， ∴EF＝AE＝BE＝1， 过点E作EH⊥BD于点H， ∴EH，BD， ∴△BED的面积， 故选：A． 8．【解答】解：如图连接BP． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°， ∵AB＝BC，点P为AC边上的中点， ∴BP⊥AC，∠CBP＝∠ABP∠ABC＝45°，∠BCA＝45°，BP＝CPAC＝2． ∴∠MBP＝∠NCP＝180°﹣45°＝135°． ∵BP⊥AC，PM⊥PN， ∴∠BPM+∠MPC＝90°，∠CPN+∠MPC＝90°． ∴∠BPM＝∠CPN． 又BP＝CP，∠MBP＝∠NCP， ∴△BMP≌△CNP（ASA）． ∴BM＝CN＝1，MP＝NP． 在Rt△BPC中，BC4． ∴在Rt△MBN中，MN． 又在Rt△MPN中，MP＝NP， ∴MP2+NP2＝MN2． ∴MP＝NP． ∴S△PMNMP•NP． 故选：D． 9．【解答】解：连接DB，交AC于点O，连接OE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAC∠DAB＝30°，AC⊥BD，ODBD，AC＝2AO，AB＝AD， ∵∠DAB＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴DB＝AD， ∵∠AOD＝90°，点E是DA中点， ∴OE＝AE＝DEAD， ∴设OE＝AE＝DE＝a， ∴AD＝BD＝2a， ∴ODBD＝a， 在Rt△AOD中，AOa， ∴AC＝2AO＝2a， ∵EA＝EO， ∴∠EAO＝∠EOA＝30°， ∴∠DEO＝∠EAO+∠EOA＝60°， ∵∠DEF＝45°， ∴∠OEF＝∠DEO﹣∠DEF＝15°， ∴∠EFO＝∠EOA﹣∠OEF＝15°， ∴∠OEF＝∠EFO＝15°， ∴OE＝OF＝a， ∴AF＝AO+OFa+a， ∴CF＝AC﹣AFa﹣a， ∴2， 故选：D． 10．【解答】解：① 由图象得：∵0＜k≤1， ∴当k＝1时，m＝﹣4，n＝2， ∴①错误； ② 过点O作OM⊥AB于点M，过点O作ON⊥CD于点N，连接OA，OC， ∴四边形AMPN是矩形， ∵OA2＝AM2+OM2，OC2＝CN2+ON2， ∴，， ∴， ∵OP2＝OM2+ON2＝m2， ∴， ∴AB2+CD2＝8r2﹣4m2， ∴②正确； ③ ∴C（5，6）或C（﹣5，4）， ∴k＝30或﹣20， ∴③错误； ④∵矩形的一组邻边长是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2﹣1＝0的两个实数根， ∴长+宽＝2（a+1），长×宽＝a2﹣1， ∵矩形的周长值与面积值相等， ∴4（a+1）＝a2﹣1， ∴（a﹣5）（a+1）＝0， ∴a＝5或a＝﹣1， Δ＝[﹣2（a+1）]2﹣4（a2﹣1）＝8a+8＞0， ∴a＞﹣1， ∵对角线2＝长2+宽2＝（长+宽）2﹣2×长×宽＝4（a+1）2﹣2（a2﹣1）＝2a2+8a+6， 当a＝5时，对角线2＝96， ∴对角线长是， ∴④正确； 综上所述：②④正确， 故选：B． 二．填空题（共10小题） 11．【解答】解：①当x＝1时，y＝（k+1）×1﹣k＝1， ∵1＝1， ∴点（1，1）在此函数图象上，结论①正确； ②当k＝1时，一次函数的解析式为y＝2x﹣1， 当y＜0时，2x﹣1＜0， 解得：x，结论②正确； ③当k+1＜0，即k＜﹣1时，y随x的增大而减小，结论③不正确． 综上所述，正确的结论是①②． 故答案为：①②． 12．【解答】解：设江水的流速为x千米每小时，根据题意得： ， 解得x＝6， 经检验符合题意， 答：江水的流速6km/h． 故答案为：6． 13．【解答】解：如图，连接AC交BD于O，过点E作EG⊥BD于G， ∵四边形ABCD是菱形，对角线BD的长为16， ∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝8，AB＝AD＝4， ∴AO4， ∵E是AD的中点， ∴AD＝2DE， ∵EG⊥BD， ∴EG∥AC， ∴△EGD∽△AOD， ∴， ∴EGAO＝2，DGDO＝4， ∵BF＝3， ∴FG＝BD﹣GD﹣BF＝9， ∴EF， 故答案为：． 14．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，BC＝AD＝4， ∵AB＝2， ∴AC2， 由题意得到BN⊥AC， ∵△ABC的面积AC•BNAB•BC， ∴2BN＝2×4， ∴BN． 故答案为：BN． 15．【解答】解：设∠CBE＝x，则∠ABF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠AFE＝90°+x，∠BAF＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x， ∵AF＝AB＝AD，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD＝45°﹣x， ∴△AEF≌△AED（SAS）， ∴∠ADE＝∠AFE＝90°+x， ∴∠CDE＝x， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AED＝∠AEB＝45°， 过点A作AM⊥BE于点M，过点D作DN⊥AE于点N， ∴∠EAM＝45°﹣x+x＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∵AM， ∴EM＝AM＝7， ∴EF＝6， ∴DE＝EF＝6， ∴DN， ∴AN， 由射影定理得：NG， ∴DG， 故答案为：． 16．【解答】解：抛物线的对称轴为：x1， 当x＝0时，y＝2， ∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，2），顶点坐标为（1，2﹣m），直线CD的表达式y＝﹣1， 当m＞0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时， 16m﹣8m+2＝﹣1， 解得：m（不符合题意，舍去）， 当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时， m+2m+2＝﹣1， 解得：m＝﹣1（不符合题意，舍去）， 当m＞0且抛物线的顶点在线段CD上时， 2﹣m＝﹣1， 解得：m＝3， 当m＜0时，且抛物线过点D（4，﹣1）时， 16m﹣8m+2＝﹣1， 解得：m， 当抛物线经过点（﹣1，﹣1）时， m+2m+2＝﹣1， 解得：m＝﹣1（舍去）， 综上，m的取值范围为m＝3或﹣1＜m， 故答案为：m＝3或﹣1＜m． 17．【解答】解：如图：过点C作CD⊥AB，垂足为D， 由题意得：EF∥AB， ∴∠FCA＝∠CAB＝60°，∠ECB＝∠CBA＝30°， 在Rt△ACD中，CD＝90m， ∴AD30（m）， 在Rt△BCD中，BD90（m）， ∴AB＝AD+BD＝120（m）， ∴湖泊两端A，B的距离为120m， 故答案为：120． 18．【解答】解：设小号“龙辰辰”的单价为x元，则大号“龙辰辰”的单价为（x+15）元， 根据题意得， ， 解得x＝40， 经检验x＝40是原方程的解，且符合题意， 所以x+15＝55， 即大号“龙辰辰”的单价为55元． 设该网店购进大号“龙辰辰”m个，则购进小号“龙辰辰”（60﹣m）个， 由题知， m， 解得m≤20． 因为小号“龙辰辰”售价为60元，大号“龙辰辰”的售价比小号“龙辰辰”的售价多30%， 所以大号“龙辰辰”的售价为60×（1+30%）＝78（元）． 令该网店获得的利润记为w， 则w＝（78﹣55）m+（60﹣40）（60﹣m）＝3m+1200， 又因为m≤20， 所以当m＝20时，w取得最大值为1260， 所以该网店所获最大利润为1260元． 故答案为：55，1260． 19．【解答】解：如图：连接OC， 设OD＝x， ∵直径AB＝2， ∴OA＝OC＝1， ∴AD＝AC＝1+x， ∵EC与⊙O相切于点C， ∴OC⊥EC， ∵AE⊥EC， ∴∠AEC＝90°， ∴AE∥OC， ∴∠EAC＝∠ACO＝36°， ∵OA＝OC， ∴∠ACO＝∠OAC＝36°， ∵AC＝AD， ∴∠ADC＝∠ACD＝72°， ∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝36°， ∵∠COD＝2∠CAD＝72°， ∴∠COD＝∠ADC＝72°， ∴OC＝DC＝1， ∴∠OCD＝∠CAD，∠ADC＝∠ODC， ∴△DOC∽△DCA， ∴， ∴， 解得：x， 经检验：x是原方程的根， ∵x＞0， ∴OD， 故答案为：1，． 20．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，且边长为， ∴AB＝BC＝CD＝DA，∠BAD＝∠D＝90°，AB∥CD， ∵点E为CD的中点， ∴DE＝CE， 在Rt△ADE中，AD，DE， 由勾股定理得：， ∵∠BAD＝90°，BF⊥AE， ∴∠BAH+∠DAE＝90°，∠ABF+∠BAH＝90°， ∴∠DAE＝∠ABF， 在△DAE和△ABF中， ， ∴△DAE≌△ABF（SAS）， ∴DE＝AF，AE＝BF＝5， ∵BF⊥AE，∠D＝90°， ∴∠AHF＝∠D＝90°， 又∠HAF＝∠DAE， ∴△AFH∽△ADE， ∴AH：AD＝AF：AE， 即：AH：：5， ∴AH＝2． 过点M作MN⊥AE于点N，如图： 在△ADE和△BCE中， ， ∴△ADE≌△BCE（SAS）， ∴AE＝BE＝5， ∴EH＝AE﹣AH＝5﹣2＝3， 在Rt△AHB中，AB，AH＝2， 由勾股定理得：， ∵AB∥CD， ∴△MEC∽△MBA， ∴ME：MB＝CE：AB， 即：ME：MB：2， ∴ME：MB＝1：2， ∴ME：EB＝1：3， ∵BF⊥AE，MN⊥AE， ∴MN∥BH， ∴△MNE∽△BHE， ∴MN：BH＝EN：EH＝ME：EB ∴MN：4＝EN：3＝1：3， ∴MN，EN＝1， ∴HN＝EH﹣EN＝3﹣1＝2， 在Rt△MHN中，MN，HN＝2， 由勾股定理得：． 故答案为：2，． 三．解答题（共10小题） 21．【解答】解：（1）由题意得，F（﹣8，7），E（0，5）， ∴设过点E，F，N的抛物线的表达式为y＝a（x+8）2+7， 代入点E（0，5）得，64a+7＝5，解得， ∴过点E，F，N的抛物线的表达式为； （2）连接AN，由题意可得M，N，A，B共线， ∵AD＝AG+DG＝2+8＝10， ∴A（﹣10，0）， ∴将x＝﹣10代入，则， ∴， 在Rt△HMB中，∠H＝49°，HB＝7.5， ∴BM＝HB×tan∠H＝7.5×1.15＝8.625， ∴MN＝BM﹣NA﹣AB＝8.6251＝0.75（m）， 答：矩形另一边MN的长度为0.75m． 22．【解答】解：（1）将点B（4，0）和点C（0，2）代入抛物线yx2+bx+c中， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式为yx2x+2， 在yx2x+2中，令y＝0得x2x+2＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝4， ∴A（﹣1，0）； （2）存在y轴上一点E，使得△BDE是以BD为斜边的直角三角形，理由如下： 如图： ∵点D是线段AC的中点，A（﹣1，0），C（0，2）， ∴D（，1）， 设E（0，t）， 又B（4，0）， ∵∠BED＝90°， ∴BE2+DE2＝BD2， 即[（4﹣0）2+（0﹣t）2]+[（0）2+（1﹣t）2]＝（4）2+（0﹣1）2， 化简得：t2﹣t﹣2＝0， 解得：t1＝﹣1，t2＝2， ∴E的坐标为（0，﹣1）或（0，2）； （3）∵B（4，0）、C（0，2）， ∴设直线BC的解析式为y＝kx+2（k≠0）， 把点B（4，0）代入解析式得，4k+2＝0， 解得：k， ∴直线BC的解析式为yx+2， 设点P（m，m2m+2），则M（m，m+2）， ①当∠PCM＝2∠OBC时， 过点C作CF⊥PM于点F，如图， ∵CF⊥PM，PM∥y轴， ∴CF∥OB， ∴∠FCM＝∠OBC，F（m，2）， 又∵∠PCM＝2∠OBC， ∴∠PCF＝∠FCM＝∠OBC， ∴F是线段PM的中点， ∴2， 整理得：m2﹣2m＝0， 解得：m＝2或m＝0， ∵点P是第一象限内抛物线上的动点， ∴m＝2； ②∠CMP＝2∠OBC时， ∵∠CMP＝∠BMN， ∴∠BMN＝2∠OBC，即∠BMN＝2∠NBM， ∵PN⊥x轴， ∴∠BMN+∠NBM＝90°， 即3∠NBM＝90°， ∴∠NBM＝30°， ∴OCBC， ∵BC24， ∴此种情况不存在； ③当∠CPM＝2∠OBC时， ∵∠CMP＝∠NMB＝90°﹣∠OBC， ∴∠PCM＝180°﹣∠CPM﹣∠CMP＝180°﹣2∠OBC﹣（90°﹣∠OBC）＝90°﹣∠OBC， ∴∠PCM＝∠CMP， ∴PC＝PM， ∴（m﹣0）2+（m+2﹣2）2＝[（m+2）﹣（m+2）]2， 整理得：m2m4m3m2m4﹣2m3+4m2， 解得：m； 综上所述，满足条件的点P的横坐标为2或． 23．【解答】（1）解：BE'＝DF'，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∵AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴由旋转可得，AE'＝AF'，∠E'AF'＝90°， ∴∠BAD＝∠E'AF'＝90°， ∴∠BAE'＝∠DAF' ∴△BAE'≌△DAF'（SAS）， ∴BE'＝DF'； （2）①证明：∵AE'⊥BE'， ∴∠AE'B＝90°， 由（1）可得，△BAE'≌△DAF'， ∴∠AE′B＝∠AF′D＝90°， ∵∠E'AF'＝90°， ∴∠E'AF'+∠AF'D＝180°， ∴AE'∥DF'， ∴； ∴NA•NF'＝ND•NE'； ②解：过点F作FH⊥AF交AE'的延长线于点H， 由题意得，AB＝15，AE'＝AE＝9， ∵∠AE'B＝90°， ∴， ∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠NAM＝∠EBE'＝90°﹣∠MAE， ∵∠AFH＝∠BE'A＝90°， ∴△AFH∽△BE'A， ∴， ∴， ∴， ∵∠HFD＝∠BAD＝90°， ∴FH∥AE， ∴△AEM∽△HFM， ∴， ∴， 即△AEM与△AFM面积的比值为． 24．【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠ADF＝∠ACD，∠AOD＝2∠ACD， ∴2∠ADF＝∠AOD， 设∠ADF＝x，则∠AOD＝2x， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠ODF＝∠ODA+∠ADF＝90°﹣x+x＝90°， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：①连接BD， ∵BE＝3CE＝3， ∴CE＝1， ∵BE是切线， ∴∠ABE＝90°＝∠CBE+∠ABC， ∵∠ABC+∠BAC＝90°，∠BAC＝∠BDC， ∴∠CBE＝∠BDC， ∵∠E＝∠E， ∴△BCE∽△DBE， ∴， ∴， ∴DE＝9； ②∵DE＝9， ∵CD＝DE﹣CE＝8， ∵CDCG， ∴CG＝3，DG＝5， ∴GE＝CG+CE＝4， 在Rt△BGE中，BG， ∵∠BCG＝∠DAG，∠BGC＝∠DGA， ∴△ADG∽△CBG， ∴， ∴， ∴AG， ∴AB＝AG+BG， ∴⊙O的半径． 25．【解答】（1）证明：如图，连接OD，CD， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠ADC＝90°， ∴∠BDC＝180°﹣∠ADC＝90°， ∵点M为边BC的中点， ∴MC＝MD， ∴∠MDC＝∠MCD， ∵OC＝OD， ∴∠ODC＝∠OCD， ∵∠ACB＝90°，即∠MCD+∠OCD＝90°， ∴∠MDC+ODC＝∠MCD+∠OCD＝90°， 即∠ODM＝90°， ∴DM⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DM是⊙O的切线； （2）①当点P在线段BC上时，如图，过点P作PT⊥AB于点T， 在Rt△ABC中，AB10， 设PT＝x， ∵tan∠BAP， ∴， ∴AT＝3PT＝3x， ∴BT＝AB﹣AT＝10﹣3x， ∵tan∠ABC， ∴， 解得：x， ∴PT， ∵sin∠ABC，即， ∴BP； 当点P在CB的延长线上时，如图，过点B作BK⊥AP于点K， ∵tan∠BAP， ∴， 设BK＝a，则AK＝3a， 在Rt△ABK中，AK2+BK2＝AB2， 即（3a）2+a2＝102， 解得：a1，a2（舍去）， ∴AK＝3，BK， ∵S△ABPAP•BKBP•AC， ∴， 设BP＝m，则APm， 在Rt△ACP中，AC2+CP2＝AP2， 即82+（m+6）2＝（m）2， 解得：m1，m2（舍去）， ∴BP； 综上所述，BP的长为或； ②设CP＝n，则AP， 如图，∵AC是⊙O的直径， ∴CQ⊥AP， ∵CQ•AP＝AC•CP， ∴CQ， ∴， ∵n＞0， ∴（n﹣8）2≥0， ∴64+n2≥16n， ∴， ∴的最大值为． 26．【解答】（1）解：∵点E为BC的中点， ∴BE＝CE， ∵点G为AB的中点， ∴BG＝AG， ∴AG＝CE， 故答案为：AG＝CE； （2）证明：取AG＝EC，连接EG， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∵AG＝CE， ∴BG＝BE， ∴△BGE是等腰直角三角形， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝∠ECF＝135°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEB+∠FEC＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠FEC＝∠BAE， ∴△GAE≌△CEF（ASA）， ∴AE＝EF； （3）解：k时，四边形PECF是平行四边形，如图， 由（2）知，△GAE≌△CEF， ∴CF＝EG， 设BC＝x，则BE＝kx， ∴GEkx，EC＝（1﹣k）x， ∵EP⊥AC， ∴△PEC是等腰直角三角形， ∴∠PEC＝45°， ∴∠PEC+∠ECF＝180°， ∴PE∥CF， ∴PE（1﹣k）x， 当PE＝CF时，四边形PECF是平行四边形， ∴（1﹣k）xkx， 解得k． 27．【解答】解：（1）①PM＝CM；理由如下： 由翻折得AD＝DP，∠DAB＝∠DPB，四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠BCD， ∴DP＝BC，∠DPB＝∠BCD， 又∵∠DMP＝∠BMC， ∴△DPM≌△BCM（AAS）， ∴PM＝CM； ②∵△DPM≌△BCM， ∴DM＝BM， 如图，过点M作MN⊥BD于点N，过点B作BH⊥CD于点H， ∴， ∵BD＝BC＝5，CD＝6， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点C作CP⊥BD于点P，连接AG交BD于点T，过点B作BH⊥CD于点H， 由翻折的性质得AG⊥BD， 同（2）可得， ∴， ∴，即6×4＝5•CP， 得， ∴， 平行四边形ABCD中，AD＝BC，AD∥CB， ∴∠ADT＝∠CBP， 又∵∠ATD＝∠CPB＝90°， ∴△ADT≌△CBP（AAS）， ∴， ∴DP＝BD﹣BP＝5， ∵AG⊥BD，CP⊥BD， ∴GT∥CP， ∴△DGT∽△DCP， ∴， 即， 解得：． 28．【解答】解：（1）∵矩形ABCD的边AB＝8cm，BC＝6cm， ∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝6cm，CD∥AB，BC∥AD， ∴B（8，0），C（8，6），D（0，6）； （2）∵装置整体图案为轴对称图形， 如图，作出对称轴，分别交抛物线L1于M，交抛物线L2于N，交矩形ABCD于N，P， 结合矩形和抛物线的对称性，可得直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴，，∠DNP＝∠APN＝90°， ∴四边形DAPN是矩形， ∴NP＝AD＝6， ∵抛物线L1的高度为8cm，抛物线L2的高度为4cm，直线MQ是抛物线L1和L2的对称轴， ∴MP＝MN+NP＝8+6＝14（cm），QP＝4cm， ∴抛物线L1和L2的顶点坐标分别为M（4，14），Q（4，﹣4）， 分别设抛物线L1和L2的表达式为，， 将D（0，6）代入， 解得， 则抛物线L1的表达式为； 将A（0，0）代入， 解得； 则抛物线L2的表达式为； （3）∵装置整体图案为轴对称图形， ∴EF⊥MG，HG⊥MG， ∵MQ⊥x轴， ∴EF∥HG∥x轴， ∵EFGH是矩形， ∴HE⊥EF， ∴HE⊥x轴， ∴xE＝xH， 设xE＝xH＝n， ∴，， ∴， 解得：n＝2或6（在对称轴右侧，舍）， ∴xE＝2， 由抛物线对称性可得EF＝2（x对称轴﹣xE）＝4． 29．【解答】（1）解：∵抛物线y＝x2﹣2bx﹣4经过点（﹣1，1）， ∴1＝（﹣1）2﹣2b×（﹣1）﹣4， 解得：b＝2， ∴y＝x2﹣4x﹣4， 化成顶点式为y＝（x﹣2）2﹣8， 故答案为：2，y＝（x﹣2）2﹣8； （2）解：将（﹣1，m）代入y＝x2﹣2bx﹣4得m＝1+2b﹣4＝2b﹣3， ∵m＝2b﹣3＞0， ∴b， ∵y＝x2﹣2bx﹣4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线xb， ∵2x1+2x2≤5， ∴， ∵x1＜x2， ∴y1＞y2； （3）证明：如图， ∵直线y＝kx与y轴交于点C， ∴C（0，）， 当b＝0时，原抛物线解析式为y＝x2﹣4，向上平移4个单位得到的新抛物线解析式为y＝x2， 与直线y＝kx联立得， 解得：，， 当A（，） 时， ∵点E为AC中点， ∴E（，）， ∵EF⊥x轴， ∴F（，0）， 根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2， CE， ∴CF2CE； 当A（，）时， ∵点E为AC中点，∴E（，），F（，0）， 根据两点间距离公式得CF2＝（）2+（）2， CE， ∴CF2CE． 30．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）2+4×|﹣1|＝2， ∴m＝2， 函数图象如图所示： 由图象可得该函数的性质：该函数关于y轴对称；当x＜﹣1或0≤x＜1时，y随x的增大而增大；当﹣1≤x＜0或x≥1时，y随x的增大而减小； 故答案为：2； （2）当x＜0时，y＝﹣2x2﹣4x， 当x≥0时，y＝﹣2x2+4x， ∵A（2，0），B（﹣2，0）， ∴AB＝4， ∵S△FAB＝3， ∴4|yF|＝3， ∴yF＝±， 当yF时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x， 解得：x或， 若x≥0，则﹣2x2+4x， 解得：x或， ∴F（，）或（，）或（，）或（，）； 当yF时，若x＜0，则﹣2x2﹣4x， 解得：x＝﹣1或x＝﹣1（舍去）， 若x≥0，则﹣2x2+4x， 解得：x＝1（舍去）或x＝1， ∴F（﹣1，）或（﹣1，）或（1，）或（1，）； 综上所述，所有满足条件的点F的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）或（﹣1，）或（1，）； （3）PM与PN的和是定值； 如图2，连接直线PQ， ∵抛物线y＝﹣2x2+4x交x轴于O，A两点， ∴O（0，0），A（2，0）， ∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2， ∴抛物线y＝﹣2x2+4x的顶点为（1，2）， ∵点P是点Q（1，0）关于抛物线顶点（1，2）的对称点，故点P的坐标为（1，4）， 由点P、O的坐标得，直线OP的表达式为y＝4x①， 同理可得，直线AP的表达式为y＝﹣4x+8②， 设直线l的表达式为y＝tx+n， 联立y＝tx+n和y＝﹣2x2+4x并整理得：2x2+（t﹣4）x+n＝0， ∵直线l与抛物线只有一个公共点， 故Δ＝（t﹣4）2﹣8n＝0，解得n（t﹣4）2， 故直线l的表达式为y＝tx（t﹣4）2③， 联立①③并解得xM（t﹣4）， 同理可得，xN（t﹣12）， ∵射线PO、PA关于直线PQ：x＝1对称，则∠APQ＝∠OPQ，设∠APQ＝∠OPQ＝α， 则sin∠APQ＝sin∠OPQsinα， ∴PM+PN（xN﹣xM）为定值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $