第08讲 实际问题与二次函数 暑假预习讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第08讲实际问题与二次函数 目录 知识点1 二次函数解实际问题通用六步法（必考） 2 知识点2 实际问题最值核心规则 2 知识点3 各类题型核心公式模型 2 知识点4 建模核心原则 2 题型1 图形问题 3 题型2 图形运动问题 7 题型3 拱桥问题 16 题型4 销售问题 22 题型5 投球问题 27 题型6 喷水问题 32 题型7 增长率问题 38 题型8 其他问题 39 1. 知识目标：掌握利用二次函数解决实际问题的通用建模步骤，理解面积、运动轨迹、商业销售、增长率、抛物线模型等各类实际场景的函数对应关系，明确实际问题中自变量的取值范围约束规则。 2. 能力目标：能从生活、几何、动态场景中抽象二次函数模型；熟练求解最值、定点、范围类问题；精准掌握图形、拱桥、投球、喷水、销售、增长率等8大高频题型的解题套路，规避实际问题专属易错点。 3. 素养目标：建立数学建模思想、数形结合思想、区间分类讨论思想，提升从实际情境中提取数学关系、转化求解、验证结果合理性的综合解题能力。 知识点1 二次函数解实际问题通用六步法（必考） 1. 审题：区分变量与常量，梳理题目中的数量、几何、变化关系； 2. 设元：合理设自变量、因变量，优先简洁设元，简化列式； 3. 列式：根据面积、利润、轨迹、增长率等等量关系，列出二次函数解析式； 4. 定范围：结合实际意义确定自变量的取值范围（正数、整数、区间限制等）； 5.求解：利用对称轴、顶点、区间最值规则求解问题； 6. 检验作答：验证结果是否符合实际场景，舍去不合理答案，规范答题。 知识点2 实际问题最值核心规则 1. 顶点在自变量取值范围内：顶点纵坐标即为最大/最小值（最小，最大）； 2. 顶点不在自变量取值范围内：函数最值出现在区间端点，根据增减性判断； 3. 实际问题默认：自变量取值多为正数、正整数，需严格取舍。 知识点3 各类题型核心公式模型 1. 面积模型：图形面积=各边长表达式乘积，整理为二次函数，求面积最值； 2. 销售利润模型：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价； 3. 增长率模型：（基数，增长率，次数）； 4. 抛物线轨迹模型（拱桥、投球、喷水）：建立平面直角坐标系，设顶点式求解解析式，再代入求值。 知识点4 建模核心原则 1. 几何图形问题：边长、周长、面积约束自变量范围； 2. 动态运动问题：运动时间、路程限制变量区间； 3. 商业问题：售价、销量均为正数，多为整数； 4. 轨迹问题：高度、距离不能为负，舍去负数解。 题型1 图形问题 解题技巧（面积建模法）：1. 用含的代数式表示图形的长、宽、半径等关键边长；2. 代入对应面积公式，整理得到二次函数解析式；3. 根据图形边长大于0、周长限制条件，锁定自变量取值范围；4. 结合区间最值规则，求最大/最小面积、对应边长；5. 检验边长合理性，杜绝出现负数、不合几何约束的解。 易错提醒：不可直接套用顶点最值，必须优先判断顶点是否在有效区间内。 【典例1】．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，求得的取值范围，再利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：设，则， 墙长，， ，， 解得， 花园的面积， ∴当时，花园面积最大，最大面积为． 【变式1】．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【答案】 【分析】先根据矩形的面积公式列出函数关系式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】解：由题意得修改后的花园面积， ∵， ∴当时，修改后的花园面积达到最大． 【变式2】．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)、小、 (2)、大、5 (3)花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是 【分析】（1）根据阅读材料即可求解； （2）根据阅读材料即可求解； （3）根据矩形面积公式列出二次函数解析式，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）当时，代数式有最小值； （2）代数式 当时，代数式有最大值5． （3）设花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为，花园的面积为．根据题意，得 ，当时，有最大值32， 答：花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为时，花园的面积最大，最大面积是． 【变式3】．中国快递业已进入高质量发展的成熟阶段，市场规模稳居全球第一，业务量连续多年突破千亿件，正加速向智能化、绿色化和全球化升级．快递的包装盒也要跟上时代的步伐，为减少浪费，数学小组用周长为的矩形纸板为探究对象，研究底面积如何最大化问题．阅读以下材料： 使用材料 制作目标 制作方法 示意图 周长为的矩形纸板 操作1：制作一个无盖的长方体盒子 如图1，在正方形纸板四角剪去四个边长均为的小正方形，再沿虚线折合起来，就得到一个无盖的长方体盒子      操作2：制作一个有盖的长方体盒子 如图2，在正方形纸板四角剪去两个边长均为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来，就得到一个有盖的长方体盒子    操作3：制作一个有盖的长方体盒子 如图3，在矩形纸板四角剪去两个边长均为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来，就得到一个有盖的长方体盒子    解决下列问题： (1)当时，请通过计算说明操作1和操作2中长方体盒子的底面积是否相同． (2)在（1）的条件下，操作3中的矩形纸板的各边长分别为多少时，得到的长方体盒子的底面积最大？底面积最大是多少？ 【答案】(1)当时，操作1和操作2中长方体盒子的底面积不同 (2)，操作3中当矩形纸板的各边长都是时，得到的长方体盒子的底面积最大，底面积最大是 【分析】（1）分别求出操作1中，操作2中，长方体盒子的底面积，再比较大小，即可解答； （2）设矩形纸板中的长为，底面积为，则的长为，根据长方体盒子的底面积公式，得到，继而推导出当时，y取得的最大值，最大值为200，即可解答． 【详解】（1）解：在操作1中，长方体盒子的长和宽均为， ∴底面积为 ， 在操作2中，长方体盒子的长为，宽为， ∴底面积为 ∵， ∴当时，操作1和操作2中长方体盒子的底面积不同． （2）解：如图 设矩形纸板中的长为，底面积为，则的长为， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，y取得的最大值，最大值为200． 当时， ， ∴当，操作3中当矩形纸板的各边长都是时，得到的长方体盒子的底面积最大，底面积最大是． 题型2 图形运动问题 解题技巧（以静制动法）：1. 设运动时间为，用速度×时间表示动态线段长度；2. 结合图形静态关系，列出面积、周长、线段长度关于的二次函数；3. 根据运动起止时间、图形不重叠不超出边界，确定取值范围；4. 分段判断函数增减性，求解动态过程中的最值、临界位置；5. 重点关注动点到达端点、图形重合的特殊临界状态。 核心思路：将动态变化转化为静态函数，用二次函数性质解决动态几何问题。 【典例2】．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】①利用三角形面积公式计算即可判断；②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式，再利用二次函数的性质即可判断；③同②分三种情况讨论，利用三角形面积公式列式计算即可判断． 【详解】解：①当时，如图2， ，， ∴， ∴， ∵矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形，①正确； ②当点在上，点在上，此时时，如图1， ，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图3， ，，， ∴当时，的最大面积为； 当点在上，点在上，此时时，如图4， ，，，， ∴ ， ∵，当时，随的增大而减少， ∴不存在最大值， 综上，的最大面积为，②正确； ③当点在上，点在上，此时时， 又②可知：，， 由题意得， ∴（负值已舍）； 当点在上，点在上，此时时， 由②可知：， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）； 当点在上，点在上，此时时， ， 由题意得， ∴（不符合题意，舍去）或； 综上，当的面积为时，或，③正确． 【变式1】．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【答案】 3 11 【分析】先由函数图象可得当点运动到点时，，由此求出，当时，点的运动路程为1，即此时点在上，求出，再利用勾股定理求出，最后根据正方形面积公式求出，当点在上时，由图2可知，对应的二次函数的顶点坐标为，可设关于的函数解析式为，利用待定系数法求出，当时，． 【详解】解：由函数图象可得当点运动到点时，，， ∵， ， ∴, ∴， 当时，，此时点在上， ∴， ∴； 当点在上时， 由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为， ∴设， 把代入，得, 解得，， ∴， 当时， ， 即． 【变式2】．如图1，在中，，，，在中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为． AI (1)为何值时，？ (2)设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； (3)若，求出的值． 【答案】(1) (2)的最大值为 (3)的值为 【分析】（1）由得，对应边成比例，代入、、、，列方程，解得； （2）分、两段，用表示面积，得到两个二次函数．两段函数均在时取得最大值，进而求解面积； （3）由及为等腰直角三角形，得为等腰直角三角形，故，代入、，列方程，解得． 【详解】（1）解：如下图， 由题意得，，； ， ，， ， ，即， ； （2）解：过点P作于点M，过点E作于点N， 由题意得，，为等腰直角三角形，， ∵， ∴， ①当点在上运动时，，如下图， ∵，， ∴， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在内，S随t增大而增大， 时，取最大值，为， ②当点在上运动时，，如下图， 在中，， ∴， ∴ ， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∴在内，S随t增大而减小， 时，为， 即在内，， 综上所述，的最大值为； （3）解：当时，如下图， ∵，且， ∴点E、F、P三点共线， 又∵为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由（2）①得，， 在中，，， ∴， 解得． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 【答案】(1)点N的纵坐标为 (2) 【分析】本题考查了图形与坐标，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数与图形运动综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合矩形的性质以及旋转的性质，得出，得出，故点N的纵坐标为； （2）与（1）同理得，点N的纵坐标为，得出，则四边形面积，代入数值计算，得出四边形面积，结合二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：过点N作于T，如图所示： ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵将线段绕点D逆时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点N的纵坐标为； （2）解：设点，其中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 与（1）同理得，点N的纵坐标为； ∴，， ∴， 四边形面积 ， ∵， ∴当时，四边形面积有最大值，且为． 题型3 拱桥问题 解题技巧（坐标系建模秒杀法）：1. 最优建系：以拱桥顶点为原点、对称轴为y轴建系，简化解析式；2. 设式：优先设顶点式，计算最简；3. 代入已知跨度、高度数据求参数；4. 已知宽度求高度、已知高度求宽度，直接代入解析式计算；5. 实际校验：桥梁高度、宽度均为正数，舍去负解。 得分关键：建系越合理，计算量越小，优先对称建系。 【典例3】．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出的值，可判断①正确，把解析式化为顶点式，可判定②正确，令，求出的值，可得水面的安全距离为，可得设计龙舟赛道数为，即可判定③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系， ∴当时，， 解得：，， ∴水面宽度，故①正确； ∵， ∴拱桥的最大高度是，故②正确； ∵龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少， ∴通过拱桥时龙舟最高处到水面至少， 当时，， 解得：，， ∴水面的安全距离为， ∵每条龙舟赛道宽度为， ∴可设计龙舟赛道数为(个)， ∴最多可设计龙舟赛道条，故③正确． 综上所述：正确结论的个数有个． 【变式1】．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【答案】 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 【变式2】．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）根据得，根据桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为，可设抛物线解析式为，求解即可； （2）根据题意，得当时，，求解即可； 【详解】（1）解：根据得，桥洞最高处点与桥面的距离为米，水面距离桥面，得顶点的纵坐标为， 故、、， 设抛物线为      解得， ∴桥洞所对应的抛物线的解析式为； （2）解： ∴当时，， 解得， ∴横幅长为：米； 【变式3】．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 【答案】(1) (2)解：当时，， 解得或（舍去） ∵，且， ∴该公交车能够完全停入遮阳棚正下方； (3)钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题 【分析】（1）建立平面直角坐标系，确定点的坐标，然后利用待定系数法求解； （2）当时，求出点的横坐标，然后根据车身长度进行比较即可； （3）求出直线的解析式，设，则，得出的最大值，然后根据临界点求值进行判断． 【详解】（1）解：根据题意得，，抛物线顶点坐标为， 假设抛物线解析式为， 将代入解析式得，， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：略； （3）解：设的解析式为， 将，代入解析式得， ， 解得， ∴的解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，的最大值为， ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患， 当时，， 解得， ∵， ∴不存在遮挡不足问题 ∴钢架加固后遮阳棚不存在安全隐患或遮挡不足的问题． 题型4 销售问题 解题技巧（利润万能公式法）：1. 固定公式：总利润=(售价-进价)×销售量；2. 设涨价/降价金额为，用含式子表示新售价、新销量；3. 代入公式展开整理，得到利润二次函数（开口向下，必有最大值）；4. 根据售价、销量为正、题目限价要求，锁定范围；5. 求顶点最大值，若顶点不在区间内，取端点最值。 高频易错：忽略售价上限、销量非负、整数取值等实际约束条件。 【典例4】．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出衣服进价，再通过设未知数得到总利润的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出利润最大时的售价． 【详解】解：设衣服的进价为元， ∵售价为280元时，利润是进价的， ∴， 解得，即进价为200元． 设降价个5元，每天总利润为元， 则每件利润为元，每天销量为件， ∴， 整理得， ∵，二次函数开口向下，当时，取最大值， ∴， ∴总降价金额为元， ∴售价为元． 【变式1】．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【答案】7 【分析】先求解，设单件水果利润为：元，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意设， 把代入得：， 解得：， ∴抛物线为， 设单件水果利润为：元， ∴， ∵， ∴当时，单件利润的最大值为元． 【变式2】．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【答案】(1)； (2)①每件应降价10元；②当降价1元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【分析】（1）设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件，根据每件利润乘以日销售量等于日总利润建立方程求解； ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件，列出关于的二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率为； （2）解：①设每件应降价y元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 根据题意得：， 整理得： 解得：， 又∵要尽快减少库存， ∴， 答：每件应降价10元． ②设线上和线下的日利润总和为w元，售价为a元/件 则 ， ， ∴当时，w有最大值，最大值为3310， ∴当售价为34元/件，即降价元/件时，线上和线下的日利润总和达到最大，最大利润为3310元． 【变式3】．【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 【答案】(1)一次， (2)日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒 (3)45 【分析】（1）根据表格可得，当销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数，利用待定系数法求出函数解析式； （2）根据题意得，，根据二次函数的性质求出w的最大值及对应的销售单价； （3）根据题意得，求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，当每盒销售单价每增长1元，日均销量就减少10盒，故日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的一次函数； 设一次函数关系式为． 将，代入，得 可得 解得 所以，与之间的函数关系式为． （2）解：根据题意得， 即． 关于的二次函数开口向下，对称轴为． 所以，当时，可以取得最大值，最大值为． 所以，日均销售利润最大值为2250元，对应销售单价为45元/盒． （3）解：由题意得， 整理得 解得， ∴此时销售单价为45元/盒时更惠民． 题型5 投球问题 解题技巧（轨迹拟合解法）：1. 建系：以出手点地面为原点或出手点为基准建系；2. 分析运动：投球轨迹为开口向下的抛物线，最高点为顶点；3. 利用出手高度、最高点、落地点已知条件，求解析式；4. 求解定点高度、水平距离，判断是否投中、是否达标；5. 自变量范围：水平距离从出手到落地，区间外数值无实际意义。 核心结论：投球最高点对应二次函数顶点纵坐标。 【典例5】．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，分别通过解方程求落地时间，配方求最大高度，代入计算函数值比较大小，逐一验证三个结论即可． 【详解】解：①：小球落地时高度，令， 得， 因式分解得， 解得或， 为抛出时刻，因此小球从抛出到落地需要，①正确． ②：， ， 的最大值为，， 因此小球高度不可能达到，②错误． ③：当时，， 当时，， ， 因此小球运动时的高度大于运动时的高度，③错误． 综上，正确结论的个数是，故选B． 【变式1】．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为，那么该男生本次投掷可得____分．（参考数据：） 越城区体育中考评分标准（实心球男） 掷实心球（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 注：掷实心球的距离为a（m），当，得10分，当，得9分，当，得8分……依次类推，当时，得0分． 【答案】9 【分析】将代入，求出抛物线的表达式，再求出时x的值，即可知该男生投掷实心球的水平距离，对照表格即可知该男生投掷实心球的得分． 本题主要考查了待定系数法求抛物线的表达式，熟练掌握待定系数法求抛物线的表达式是解题的关键． 【详解】解：将代入， 得， ∴， ∴， 当时，， 解得，（舍去）， ∴该男生投掷实心球的水平距离为9.64米， ∵， ∴该男生本次投掷可得9分． 故答案为：9． 【变式2】．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【答案】(1)抛物线的解析式为：，不能射进球门 (2)1 【分析】（1）判断出抛物线的顶点坐标，用顶点式表示出抛物线的解析式，把点的坐标代入可得的值，进而取，求得对应的的值，与2.44比较，即可判断能否射进球门； （2）移动后的抛物线的解析式为：，把代入求得合适的的值即可． 【详解】（1）解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为：， 经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：， 当时，， 不能射进球门； （2）解：设向后方移动，则移动后的抛物线的解析式为：， 经过点， ， ， 或， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴向后移动才能让足球经过点正上方处． 【点睛】本题考查二次函数的应用．用顶点式表示出二次函数的解析式是解决本题的关键；用到的知识点为：二次函数左右平移，不改变二次项的系数，只改变自变量的值，左加右减． 【变式3】．为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 【答案】(1) (2)​米． 【分析】（1）根据题意可知、，设抛物线顶点式为，将代入计算即可； （2）根据平移的性质得到，令，求解后根据在正半轴取合适的值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：出手点的坐标为， 最高点距水平距离3米，距地面3.8米，因此坐标为． 设抛物线顶点式为， 将代入得：， 解得：， ∴； （2）解：∵将篮球从点A正上方1米的点B处投出， ∴新抛物线表达式为：， 令，得：， 解得， ∵在正半轴， ∴​， ∴​米． 题型6 喷水问题 解题技巧：1. 建系：以喷水喷头为原点或地面垂足为原点，竖直为y轴；2. 水流轨迹为开口向下抛物线，顶点为最高喷水高度；3. 代入喷头高度、最远喷射距离、最高点数据求解析式；4. 可求解任意水平位置的水流高度、最大喷射半径；5. 实际约束：高度，负数高度无意义。 解题套路：和投球问题模型完全一致，均为平抛抛物线实际应用。 【典例6】．如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数的应用，把点、代入已知函数关系式，运用待定系数法求解，再化为顶点式即可 【详解】解：把点、代入， 得， 解得． ∴抛物线的解析式为； ∴顶点坐标为， 故选A． 【变式1】．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【答案】不能 【分析】本题主要考查了二次函数的应用．根据题意，把代入，把结果与50比较即可． 【详解】解：把代入，得， ， 不能击中昆虫． 【变式2】．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【答案】(1) (2)答：此时喷出的水柱会落到人工湖外． 理由如下： 对于， 令，得， 解得或（舍去）， 对于， 令，得， 解得或（舍去）， ∵， ∴此时喷出的水柱会落到人工湖外； (3)解：对于， 当，即时，， ∵， ∴游船有被水柱喷到的危险． 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分别求出当时，改变喷头的推力前后的两个抛物线解析式中的，比较后即可得出结论； （3）求出抛物线上时，的值，与船的高度比较后得出结论. 【详解】（1）解：由表格中数据，可知抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 将代入， 得， 解得， ∴喷出的水柱所在抛物线的表达式为：． （2）略 （3）略 【变式3】．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①2米；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①求出直线的函数解析式为；设，则，可求出，据此可得答案；②设第二棵树底横坐标为，同理可得，根据题意可得，，则可推出，再根据求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：设水流的函数解析式为， 由题意得 ∴， ∴水流的函数解析式为； （2）解：①∵米，米， ∴， 设直线的函数解析式为， ∴， ∴， ∴直线的函数解析式为； 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2， 答：这棵小树可达到的最大高度是2米； ②设第二棵树底横坐标为， 同理可得， ∵两棵树等高，即， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 题型7 增长率问题 解题技巧（固定模型套用）：1. 连续增长模型：初始量，增长率，两次增长后（二次函数）；2. 连续下降模型：下降率，两次下降后；3. 根据终值列方程，求解增长率，舍去负数解；4. 可结合函数趋势，判断增长快慢、最值情况。 必考提醒：二次函数对应两次增长/下降，是考试核心考法。 【典例7】．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式1】．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 【变式2】．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【答案】 （或） 【详解】解：由题意可知第一年的利润为万元； 第二年的利润为万元； 第三年的利润为万元， 则（或）； 由于利润呈增长状态，因此增长率为正，即． 【变式3】．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 题型8 其他问题 解题技巧（通用建模适配法）：1. 审题找变量关系，判断是否为二次变化规律；2. 套用六步建模法，规范列式、定范围、求解、检验；3. 常见场景：用料最省、距离最值、产量最值、损耗最小；4. 优先判断开口方向，确定最值类型，结合自变量区间求解；5. 所有实际问题，最终必须回归实际意义，舍去不合理解。 【典例8】．老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 【变式1】．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 【详解】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 【变式2】．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【答案】 【分析】（1）设安排加工A零件的工人人数为名，根据题意知加工C零件的工人人数为名，进而根据工人总人数为60名列方程求解即可； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名，根据题意列不等式得到，且x为正整数；分别求得生产A、B、C三种零件的总利润，则可得总利润且化简为，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）设安排加工A零件的工人人数为名，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为名， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8名； （2）设加工B零件的工人人数为y名，加工A零件的工人人数为x名，则加工C零件的工人人数为名， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 由题意，A零件总利润：， B零件总利润：，代入，得：， C零件总利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为直线， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24名． 【变式3】．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 【答案】(1)与的函数关系式为，当时，该充电站的收入为元 (2)的值为或，收入与的新关系式为 (3)，理由如下： 设净收益为W， ∴， ， 二次函数图象开口向下， ∴当时取得最大值， 由题意得，时净收益最大， ∴ 解得． 【分析】（1）观察表格数据可判断是的正比例函数，用待定系数法求出解析式，再代入计算即可； （2）根据收支平衡的定义列等式，整理为一元二次方程求解，再根据收入等于成本写出新关系式； （3）设净收益为W，再写出净收益的二次函数表达式，根据开口向下的二次函数在顶点处取得最大值，结合顶点横坐标为80即可求出的值． 【详解】（1）解：由表格数据可知与成正比例关系，设， 将，代入得， ∴与的函数关系式为， 当时，（元）； （2）解：收支平衡满足， ∴ 解得，，此时收支平衡时收入等于成本， ∴收入与的新关系式为； （3）略 1．如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，得到 ，把代入解析式，确定值即可． 【详解】根据题意得 ， 抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为． 2．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设正方形边长为，根据动点从到的路程为、动点从沿到的路程为且二者同时到达终点，得出的速度是的倍，即的运动路程为；再分三段讨论的运动位置：当在上运动时，写出的面积表达式，代入、求出的长度，即可判断选项；当在上运动时，写出对应的面积表达式，代入、和已求得的，求出正方形边长，即可判断选项B；当在上运动时，此时在线段上，写出面积的二次函数表达式并化为顶点式，得到顶点坐标即该时段函数图象的最高点，即可判断选项C和D． 【详解】解：设正方形边长为，则动点从到的路程为，动点从沿到的路程为， ∵二者同时到达终点， ∴点的速度是点的倍，即的运动路程为， 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，代入，得 ， 解得， ∴选项A正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 的面积， 将，，代入，得 ， 解得，即正方形边长， ∴选项B正确，该选项不符合题意； 当在上运动（即）时，的纵坐标为， 此时在线段上，， 的面积， 这是开口向下的二次函数，顶点坐标为， ∴，， ∴选项C正确，该选项不符合题意； 选项D错误，该选项符合题意． 3．如下图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田边长为2米，设计角．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂和，使两角顶点重合于田地对角线上的调节点，、为折叠后新田埂，设米．下列判断正确的是（     ） ①当时，米； ②田埂总长度随变化而改变； ③折叠后六边形种植区的最大面积为平方米； ④六边形种植区的周长保持不变． A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据题意可知，是菱形，是菱形，是平行四边形，是平行四边形，当时，可判断①；用来表示即可判断②；六边形种植区的面积为总面积减去和即可，进而根据二次函数的性质即可求解；用来表示各线段即可求解． 【详解】解：如图， 在菱形中，、为折叠后新田埂 ∴与相互垂直平分， ∴是菱形， 同理是菱形， 是平行四边形，是平行四边形， ∵． ∴, ∵， ∴, ∴, ∵, ∴, ∴, ∴, 故①正确， ∵，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②错误； ∵， 则， ∵， 则， ∵, ∴菱形的面积为：， 则折叠后六边形种植区的面积为：， 当时，面积取得最大为：； 故③错误； ∵, ∴，， 六边形种植区的周长为：, ∴周长保持不变， 故④正确． 4．如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据提供的信息分析两点运动的时间与路程，再利用面积公式求三角形面积，根据二次函数的性质求最值，解一元二次方程． 【详解】解：①当时，，， ∴，， ∴， 故①正确； ②由题意知，，， 如图，过点作，过点A作， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，最大，为， ∵， ∴当时，的最大面积不是， 故②错误； ③由②知， 当的面积为时，， 解得或， 即t有两个不同的值满足的面积为， 故③正确． 综上所述，正确的有①③，一共2个． 5．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是熟练地解一元二次方程． 令，解方程求即可． 【详解】解：令，则， 解得（舍去），， 运动员从起跳到落地所需要的时间为秒． 故选：D． 6．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用问题，设出点的坐标并代入解析式是解题的关键．设，然后用表示点的坐标，将点坐标代入抛物线解析式求出，从而可得到的值． 【详解】解：，矩形脚手架在大棚正中， 设，，则， 点坐标为， 将代入， 得， 解得或（舍）， ， 故选：B． 7．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 8．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 9．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式． 由题意得，，，然后将点，代入求出此时的，再将点，代入求出此时的，即可求解范围． 【详解】解：由题意得，，， 将点，代入，则， 解得； 将点，代入，则， 解得； ∴要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是， 故选：A． 10．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， ∴种花的面积的最大值为；故②正确 当，即， ∴， ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，则， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足种花的面积为，故③错误； 综上分析可知：正确的结论有2个． 故选：C． 11．某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为________元． 【答案】25 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，依据题意，正确建立函数关系式是解题关键． 设商品所获利润为w元，先根据“利润（售价进价）销售量”得出w与x的关系式，再根据二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设所获利润为w元 由题意得： 由二次函数的性质可知，当时，w随x的增大而增大；当时，w随x的增大而减小 则当时，w取得最大值，最大值为25元 故答案为：25． 12．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：水面宽为， 的横坐标为， 把代入， 得：， ， 此时拱顶到水面的距离为， 故答案为：4． 13．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 【答案】 【分析】本题考查了“二次函数的图象与性质”，理解题意，找到对应点的坐标是解题关键． 根据题意，通过距离关系，得到对应点的坐标，根据点坐标求解析式，解析式与y轴的交点纵坐标即为设计高度的值． 【详解】解：由题意，得，即，顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， 令，得， ∴这个装饰物设计高度为5． 故答案为： 5． 14．掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】本题考查二次函数的实际应用． 根据题意设二次函数的表达式为顶点式，代入起始点的坐标求出关于的函数表达式，令，求出落地点坐标即可与进行比较，从而作出判断． 【详解】解：由题可知抛物线的顶点为， 故可设关于的函数表达式为， 把起始点代入表达式，得，解得 ； 令，即， 解得（负值舍去）． ， 该男生在此项考试中能得到满分． 故答案为：能． 15．某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 【答案】 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（拱桥问题），直接开平方法解一元二次方程等知识点，熟练掌握实际问题与二次函数（拱桥问题）是解题的关键． 令，则，解方程可得，，然后根据即可求出这两个救生圈间的水平距离． 【详解】解：令，则， 解得：，， ， 故答案为：． 16．连云港市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数(人) 每天产量(件) 每件产品可获利润(元) 甲      乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润； (3)如何安排工人，可获得的总利润(元)最大？并求w的最大值． 【答案】(1) 产品种类 每天工人数（人） 每天产量（件） 每件产品可获利润（元） 甲 15 乙 (2)每件乙产品可获得的利润是元 (3)安排名工人生产乙产品，40名工人生产甲产品获得利润最大，为元 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）以“每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元”为等量关系列出方程进行求解，并保留符合实际意义的解； （3）写出W关于x的函数，利用二次函数的性质求最值． 【详解】（1）解：每天安排x人生产乙产品时，生产甲产品的有人， 共生产甲产品件， 在乙每件元获利的基础上，每增加1件，利润减少元每件，则乙产品的每件利润为元； （2）解：由题意得， ， ∴ 解得，（不合题意，舍去）， ∴（元）， 答：每件乙产品可获得的利润是元； （3）解：根据题意得： ， ∵， ∴当时，有最大值为， 此时（人）， 所以安排名工人生产乙产品，40名工人生产甲产品获得利润最大，为元． 17．科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度与时间的关系数据如下： 时间 火箭高度 (1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点． (2)你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？ (3)你能确定h关于t的函数表达式吗？ (4)你能求出该火箭的最大高度是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？ 【答案】(1)平面直角坐标系，如图所示： (2)二次函数 (3) (4)能；该火箭的最大高度是；根据顶点式求解 【分析】（1）建立直角坐标系，描出点，画出函数图象； （2）根据函数图象，即可解答； （3）设出二次函数的顶点式，代入坐标，即可解答； （4）根据函数图像的性质即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：由图象可知，h是关于t的二次函数； （3）解：由图象可知，二次函数的顶点坐标为， 设抛物线， 把代入可得：， 解得：， ∴； （4）解：根据顶点坐标可知，该火箭的最大高度是；根据函数图像开口向下的特征，最高点及函数的顶点，即根据顶点坐标求解． 18．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）将代入抛物线的解析式，求出y的值，再根据求出结果即可． 【详解】（1）解：由题意可知，点D的坐标为，P的坐标为． 设虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为：， 将点代入得，， 解得， ∴虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式为； （2）解：由题意知，，M、N关于抛物线的对称轴对称， ∴点N的横坐标为2， 当时，， ， ∴灯笼底端（点E或F）到的距离为米． 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 【答案】(1)， (2)机动车道一的限高高度为 【分析】（1）根据对称性建立坐标系，利用待定系数法求函数解析式； （2）根据函数解析式求出函数值即可． 【详解】（1）解：如图，以的中点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 由题意得，顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为， 由图可得，， ， 代入到， 得， 解得：， 抛物线的函数表达式为（答案不唯一）； （2）解：如图， 由题意得，， ， 点在（1）中所在坐标系的横坐标为， 当时，， ， 答：机动车道一的限高高度为． 20．某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 【答案】(1)月平均增长率为 (2)售价应降低元 (3)当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元 【分析】（1）设月平均增长率为x，根据题意列一元二次方程求解即可； （2）设售价应降低y元，根据题意列一元二次方程求解即可； （3）设每天的利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设月平均增长率为x， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴月平均增长率为； （2）解：设售价应降低y元 根据题意得， 解得， ∵为了尽快清理库存 ∴要尽可能大 ∴售价应降低元； （3）解：设每天的利润为w 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w取得最大值490 ∴当售价降低元时，每天获利最大，最大利润为元． 21．车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 (1)求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值． (3)年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 【答案】(1) (2) (3)该车的刹车性能符合年检标准， 计算如下： ∵， ∴当时，汽车停下，最大刹车距离为． ∵， ∴该车的刹车性能符合年检标准． 【分析】（1）根据表格数据，利用待定系数法求解函数表达式即可； （2）将代入（1）中解析式，即可解答； （3）根据（1）中函数解析式求出最大刹车距离，即可解答； 【详解】（1）解：由于当时，， 故设关于的函数解析式为， 将 代入，得， 解得， 故关于的函数解析式为； （2）解：由（1）知， 当时，， 解得：（舍去）， 所以当汽车刹车后行驶了时，的值为； （3）略 22．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 【答案】(1) (2)①米；②需要做防水处理区域的高度为2.5米 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为．利用待定系数法求出．令，则，解方程即可得到答案；②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为．待定系数法求出．令即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意，得，，顶棚所在抛物线的顶点的横坐标为4． 故可设顶棚所在抛物线的解析式为． 将，分别代入， 得 解得 顶棚所在抛物线的解析式为． （2）解：①抛物线的顶点坐标为， ． 故可设水压最小时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得， 解得， ． 令，则， 解得， ， （米）． ②设水压最大时，水流所在抛物线的解析式为． 将代入，得，解得， ． 令，则， 米，即需要做防水处理区域的高度为2.5米． 23．【问题背景】 自动紧急刹车系统（）是车辆安全的核心配置．为检测某车企研制的刹车系统在雨天对行人的保护能力，搭载该型号刹车系统的试验车辆在雨天以的速度匀速行驶．试验车辆刹车时间t（单位：秒）与刹车距离s（单位：米）的数据如下表： 刹车时间t（秒） 0 1 2 … 刹车距离s（米） 0 … 【模型构建】 (1)如图，在平面直角坐标系中，以刹车时间：t为横坐标，刹车距离s为纵坐标，描出了表中数据所对应的部分点，请你描出其它的点，并用光滑的曲线连接．估计该函数的类型是____________（填写“一次函数”，“二次函数”或“反比例函数”），并求出函数表达式（不必写自变量t的取值范围）； 【模型应用】 (2)求出试验车辆的刹停时间（开始刹车到车辆停止）和刹停距离（精确到0.01米）； (3)试验车辆以速度匀速行驶，突然有行人横穿马路，距离行驶中的车辆14米，系统瞬间触发紧急刹车．这款系统安全吗？请你说明理由．（安全评测标准：车辆停止时与前方行人距离不小于2米则判定为“安全”．） 【答案】(1)；二次函数； (2)该试验车辆的刹停时间是秒，刹停距离约为米 (3)安全，理由如下： ， 这款系统安全． 【分析】（1）根据表中数据描点，连线即可；根据图象即可判断函数的类型；用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求最值即可； （3）计算车辆停止时与前方行人距离，即可判断． 【详解】（1）解：如图所示； 由图可估计该函数的类型是二次函数； 设该函数的解析式为， 由表格可知，图象过，，， ， 解得， 该函数的解析式为； （2）解：， ，开口向下， 当时，s有最大值，最大值为（米）， 即该试验车辆的刹停时间是秒，刹停距离约为米． （3）略 24．【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． (1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． (2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． (3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 【答案】(1)； (2)；的最小值为； (3)的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 【分析】（）直接代入公式计算即可； （）①代入公式化简得到面积表达式； ②根据整数要求验证得到最小的； （）先整理得到关于的表达式，再利用二次函数性质得到的最大值，进而求出的最大值，最后判断三角形形状． 【详解】（1）解：已知三角形三边长，，， 根据公式得， ∴； （2）解：三角形三边长为，，，则， ∴，，， ∴； ∵且为整数，要使为整数， ∴当时，，不是整数， 当时，，是整数， ∴的最小值为； （3）解：∵，， ∴， ∴，， ∴， 又，则， ∴， ∴当时，的最大值为，此时， 将代入得（平方米）， 此时， ∴该三角形是等腰三角形， 答：的最大值为平方米，此时围成的三角形花圃是等腰三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲实际问题与二次函数 目录 知识点1 二次函数解实际问题通用六步法（必考） 2 知识点2 实际问题最值核心规则 2 知识点3 各类题型核心公式模型 2 知识点4 建模核心原则 2 题型1 图形问题 3 题型2 图形运动问题 5 题型3 拱桥问题 7 题型4 销售问题 10 题型5 投球问题 11 题型6 喷水问题 13 题型7 增长率问题 16 题型8 其他问题 16 1. 知识目标：掌握利用二次函数解决实际问题的通用建模步骤，理解面积、运动轨迹、商业销售、增长率、抛物线模型等各类实际场景的函数对应关系，明确实际问题中自变量的取值范围约束规则。 2. 能力目标：能从生活、几何、动态场景中抽象二次函数模型；熟练求解最值、定点、范围类问题；精准掌握图形、拱桥、投球、喷水、销售、增长率等8大高频题型的解题套路，规避实际问题专属易错点。 3. 素养目标：建立数学建模思想、数形结合思想、区间分类讨论思想，提升从实际情境中提取数学关系、转化求解、验证结果合理性的综合解题能力。 知识点1 二次函数解实际问题通用六步法（必考） 1. 审题：区分变量与常量，梳理题目中的数量、几何、变化关系； 2. 设元：合理设自变量、因变量，优先简洁设元，简化列式； 3. 列式：根据面积、利润、轨迹、增长率等等量关系，列出二次函数解析式； 4. 定范围：结合实际意义确定自变量的取值范围（正数、整数、区间限制等）； 5.求解：利用对称轴、顶点、区间最值规则求解问题； 6. 检验作答：验证结果是否符合实际场景，舍去不合理答案，规范答题。 知识点2 实际问题最值核心规则 1. 顶点在自变量取值范围内：顶点纵坐标即为最大/最小值（最小，最大）； 2. 顶点不在自变量取值范围内：函数最值出现在区间端点，根据增减性判断； 3. 实际问题默认：自变量取值多为正数、正整数，需严格取舍。 知识点3 各类题型核心公式模型 1. 面积模型：图形面积=各边长表达式乘积，整理为二次函数，求面积最值； 2. 销售利润模型：总利润=单件利润×销售量，单件利润=售价-进价； 3. 增长率模型：（基数，增长率，次数）； 4. 抛物线轨迹模型（拱桥、投球、喷水）：建立平面直角坐标系，设顶点式求解解析式，再代入求值。 知识点4 建模核心原则 1. 几何图形问题：边长、周长、面积约束自变量范围； 2. 动态运动问题：运动时间、路程限制变量区间； 3. 商业问题：售价、销量均为正数，多为整数； 4. 轨迹问题：高度、距离不能为负，舍去负数解。 题型1 图形问题 解题技巧（面积建模法）：1. 用含的代数式表示图形的长、宽、半径等关键边长；2. 代入对应面积公式，整理得到二次函数解析式；3. 根据图形边长大于0、周长限制条件，锁定自变量取值范围；4. 结合区间最值规则，求最大/最小面积、对应边长；5. 检验边长合理性，杜绝出现负数、不合几何约束的解。 易错提醒：不可直接套用顶点最值，必须优先判断顶点是否在有效区间内。 【典例1】．如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，，则花园最大面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】．如图所示，是一个长、宽的矩形花园，根据需要将它的长缩短、宽增加，要想使修改后的花园面积达到最大，则__________． 【变式2】．阅读材料： 配方法可以用来解一元二次方程，还可以用它来解决一些最值问题，比如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有在时，才能得到这个式子的最大值1． 请解决下列问题： (1)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (2)当 时，代数式有最　　 （填“大”或“小” 值为　　 ； (3)矩形花园的一面靠墙，另外三面栅栏的总长度16m，求：当花园与墙相邻（即垂直于墙）的边长为多少时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【变式3】．中国快递业已进入高质量发展的成熟阶段，市场规模稳居全球第一，业务量连续多年突破千亿件，正加速向智能化、绿色化和全球化升级．快递的包装盒也要跟上时代的步伐，为减少浪费，数学小组用周长为的矩形纸板为探究对象，研究底面积如何最大化问题．阅读以下材料： 使用材料 制作目标 制作方法 示意图 周长为的矩形纸板 操作1：制作一个无盖的长方体盒子 如图1，在正方形纸板四角剪去四个边长均为的小正方形，再沿虚线折合起来，就得到一个无盖的长方体盒子      操作2：制作一个有盖的长方体盒子 如图2，在正方形纸板四角剪去两个边长均为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来，就得到一个有盖的长方体盒子    操作3：制作一个有盖的长方体盒子 如图3，在矩形纸板四角剪去两个边长均为的小正方形和两个同样大小的长方形，再沿虚线折合起来，就得到一个有盖的长方体盒子    解决下列问题： (1)当时，请通过计算说明操作1和操作2中长方体盒子的底面积是否相同． (2)在（1）的条件下，操作3中的矩形纸板的各边长分别为多少时，得到的长方体盒子的底面积最大？底面积最大是多少？ 题型2 图形运动问题 解题技巧（以静制动法）：1. 设运动时间为，用速度×时间表示动态线段长度；2. 结合图形静态关系，列出面积、周长、线段长度关于的二次函数；3. 根据运动起止时间、图形不重叠不超出边界，确定取值范围；4. 分段判断函数增减性，求解动态过程中的最值、临界位置；5. 重点关注动点到达端点、图形重合的特殊临界状态。 核心思路：将动态变化转化为静态函数，用二次函数性质解决动态几何问题。 【典例2】．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1】．如图1，在中，，点D在上，．动点P在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止，以为边作正方形．设点P的运动时间为t秒，正方形的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当时，________；②________． 【变式2】．如图1，在中，，，，在中，，，，点与点重合．如图2，点从出发，以的速度沿运动；同时沿方向匀速运动，速度为，当点停止运动时，也停止运动．连接，，．设运动时间为． AI (1)为何值时，？ (2)设由、、、四点围成的多边形面积为，用表示，并求出的最大值； (3)若，求出的值． 【变式3】．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B的坐标为．点D在边上，且．点M在线段上（不与点A，O重合），将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，． (1)求点N的纵坐标； (2)求四边形面积的最大值． 题型3 拱桥问题 解题技巧（坐标系建模秒杀法）：1. 最优建系：以拱桥顶点为原点、对称轴为y轴建系，简化解析式；2. 设式：优先设顶点式，计算最简；3. 代入已知跨度、高度数据求参数；4. 已知宽度求高度、已知高度求宽度，直接代入解析式计算；5. 实际校验：桥梁高度、宽度均为正数，舍去负解。 得分关键：建系越合理，计算量越小，优先对称建系。 【典例3】．赛龙舟是中国端午节的习俗之一．某地计划进行一场划龙舟比赛，图①是比赛途中经过的一座拱桥，图②是该桥露出水面的主桥拱的示意图，可看作抛物线的一部分．如图所示建立平面直角坐标系，桥拱上的点到水面的竖直高度与到点的水平距离近似满足函数关系．据调查，龙舟最高处距离水面，为保障安全，通过拱桥时龙舟最高处到桥拱的竖直距离至少．有下列结论： ①水面宽度； ②拱桥的最大高度是； ③若每条龙舟赛道宽度为，最多可设计龙舟赛道条． 其中，正确结论的个数有（    ） A． B． C． D． 【变式1】．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 【变式2】．如图为某拱桥的示意图，桥面平行于水面，拱形桥洞可近似看作抛物线的一部分，桥洞最高处点与桥面的距离为米，当水面距离桥面时，拱孔横跨水面宽度为米．若以水面所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，请根据以上信息回答问题： (1)请求出桥洞对应抛物线的表达式； (2)若从桥面向下挂一条宽为米的长方形横幅，横幅上边沿与桥面重合，、恰好落在拱孔上，求横幅的长． 【变式3】．某城市建设调研小组发现，广州部分公交站台的遮阳棚在风雨天气下存在安全隐患与遮挡不足的问题．为优化设计，该小组考察了某遮阳棚的结构．以下为该小组调研报告的部分记录，请认真阅读，并解决问题． 发现问题确定目标 遮阳棚抗风加固 公交车安全停靠 模型抽象与图形表示 遮阳棚横截面示意图，棚顶可视为抛物线的一部分如图2所示． 公交车停靠示意图如图3所示（忽略公交车车顶的实际弧度、空调装置等微小起伏，假设车厢顶部在车辆全长范围内是完全平坦且水平的．） 条件与规范整理 如图4当风力较大时，需在棚内侧安装钢架（为线段）加固，且在棚顶与钢架之间安装一根垂直钢架（在棚顶，在上，轴）． 车身完全覆盖要求： 公交车需完全停入遮阳棚下方，即车辆整体（包括车厢最高点）均位于遮阳棚的横向覆盖范围内． 垂直安全间隙要求： 车厢最高点与棚顶之间需保持一定的安全间隙，以避免因车辆振动、风载或路面不平等因素发生碰撞． 实测数据采集 棚顶最高点到地面距离为4米，棚顶与立柱交点到地面距离为2米，、两点水平距离为12米． 已知车身长约8米，公交车车厢最高点距地面约米，车身宽度与站台停靠都匹配，不考虑宽度影响． 问题解决： (1)如图2，以地面为轴，过点的竖直直线为轴建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式： (2)如图3，请通过计算说明钢架加固前该公交车能否完全停入遮阳棚正下方； (3)如图4，根据安全规范，垂直钢架的长度不低于米．请问钢架加固后遮阳棚是否存在安全隐患或遮挡不足的问题． 题型4 销售问题 解题技巧（利润万能公式法）：1. 固定公式：总利润=(售价-进价)×销售量；2. 设涨价/降价金额为，用含式子表示新售价、新销量；3. 代入公式展开整理，得到利润二次函数（开口向下，必有最大值）；4. 根据售价、销量为正、题目限价要求，锁定范围；5. 求顶点最大值，若顶点不在区间内，取端点最值。 高频易错：忽略售价上限、销量非负、整数取值等实际约束条件。 【典例4】．某服装店衣服售价为280元时，获得的利润是进价的，此时每天可卖出200件衣服．为尽快清空库存，店主决定降价处理，当衣服售价每降低5元时，每天销量增加25件．店主要想每天获得的利润最大，则需要将售价定为多少元？（　　） A．200 B．220 C．240 D．260 【变式1】．某水果店单件水果售价（元）与销售月份满足一次函数关系 ，单件水果进价（元）与销售月份满足二次函数关系，二次函数的图象如图所示，抛物线顶点为并且经过，则这个水果店在一年中的最高单件水果利润为___________元． 【变式2】．2026年央视春晚在浙江义乌设立分会场，一只因缝制失误而嘴角下撇的毛绒小马“哭哭马”意外走红，成为春晚热销品． (1)某电商平台数据显示，该毛绒小马2月份销量为10万件，4月份销量已增至12.1万件．求该电商平台“哭哭马”2月到4月销量的月平均增长率． (2)某商铺以每件15元的价格购进“哭哭马”，分为线上和线下两种销售方式．线下市场调查发现，当售价为35元/件时，日销量为80件．售价每降低1元，日销量可增加10件． ①借助春晚热度尽快减少库存，商家决定降价促销．为使线下日销售利润达到1800元，则每件应降价多少元？ ②若线上售价与线下相同，但每件产品商家需多付3元快递费，且线上日销量固定为100件．当每件降价多少元时，线上和线下的日利润总和最大？并求出最大利润． 【变式3】．【项目主题】：清徐老陈醋礼盒销售利润优化问题 【项目背景】 太原清徐是“中国醋都”，某特产公司依托本地非遗酿造工艺，推出清徐老陈醋礼盒装．该公司以30元/盒的成本采购足量礼盒，销售过程中无库存损耗．为实现利润最大化，公司通过市场调研，建立销售单价与日均销量的函数模型，优化定价策略． 【信息收集】 素材1：礼盒的销售单价x（元/盒）与日均销量y（盒）满足某种函数关系，调研数据如下： 销售单价x（元/盒） 40 42 44 45 50 日均销量y（盒） 200 180 160 150 100 素材2：销售过程中，每盒还需额外支付各种费用d元． 【建立模型】 (1)根据素材1中的信息可知，日均销量y（盒）是销售单价x（元/盒）的________函数（选填“一次”“二次”“反比例”），y与x之间的函数关系式为________． 【问题解决】 (2)若不考虑额外费用d元，求日均销售利润w的最大值及对应的销售单价． (3)若考虑额外费用元，且日均利润为1800元，此时销售单价为________元/盒时更惠民． 题型5 投球问题 解题技巧（轨迹拟合解法）：1. 建系：以出手点地面为原点或出手点为基准建系；2. 分析运动：投球轨迹为开口向下的抛物线，最高点为顶点；3. 利用出手高度、最高点、落地点已知条件，求解析式；4. 求解定点高度、水平距离，判断是否投中、是否达标；5. 自变量范围：水平距离从出手到落地，区间外数值无实际意义。 核心结论：投球最高点对应二次函数顶点纵坐标。 【典例5】．从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】．实心球是越城区中考体育考试项目之一．某男生训练掷实心球时，实心球行进路线可以看成抛物线的一部分（如图），某次投掷时，实心球从y轴上的点处出手，实心球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系为，那么该男生本次投掷可得____分．（参考数据：） 越城区体育中考评分标准（实心球男） 掷实心球（m） 10.0 9.60 9.20 8.80 8.40 8.00 7.60 7.20 7.00 6.80 分值（分） 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 注：掷实心球的距离为a（m），当，得10分，当，得9分，当，得8分……依次类推，当时，得0分． 【变式2】．如图，一位足球运动员在一次训练中，从球门正前方的处射门，已知球门为，球射向球门的路线可以看作是抛物线的一部分．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球的竖直高度为．现以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式并判断能否射进球门（忽略其他因素）； (2)若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不变，则他应该带球向后方移动 米射门，才能让足球经过点正上方处． 【变式3】．为贯彻落实“五育并举”的教育方针，某校开设了篮球队，如图，篮球运动员投篮时，篮球的运动路线可近似看作抛物线的一部分．已知篮球从距地面2米的点A处投出，并落在水平地面上的点M处，其运动路线的最高点P距地面3.8米，最高点P与篮球出手点A的水平距离为3米．以地面所在直线为x轴，过点A且与垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求点P所在抛物线的函数表达式； (2)已知篮球运动路线的形状保持不变（即抛物线的形状不变），若将篮球从点A正上方1米的点B处投出，落地点为N，点N在x轴的正半轴上，求点B与落地点N的水平距离的长． 题型6 喷水问题 解题技巧：1. 建系：以喷水喷头为原点或地面垂足为原点，竖直为y轴；2. 水流轨迹为开口向下抛物线，顶点为最高喷水高度；3. 代入喷头高度、最远喷射距离、最高点数据求解析式；4. 可求解任意水平位置的水流高度、最大喷射半径；5. 实际约束：高度，负数高度无意义。 解题套路：和投球问题模型完全一致，均为平抛抛物线实际应用。 【典例6】．如图，这是一个简易桶装水的取水装置和其出水示意图，从出水口处喷出的水流可抽象为抛物线，点是水流与水杯底部的接触点．若水流运动的高度（单位：厘米）与水平距离（单位：厘米）近似满足函数关系式，则该抛物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2是一次捕食中一条射水鱼发现一只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点射出，水流运动的高度与水平距离近似满足函数关系．若这只昆虫在点，则这次射出的水流______击中昆虫．（填“能”或“不能”） 【变式2】．某公园的人工湖里有一处喷水景观（如图1），从垂直于湖面的喷头喷出的水柱呈抛物线形状．数学兴趣小组的同学对此展开研究，建立如图2所示的平面直角坐标系，并通过测量得出如下表中所示的几组数据，其中是水柱距喷水头的水平距离，是水柱距湖面的高度． … … 请解决以下问题： (1)求喷出的水柱所在抛物线的表达式； (2)已知喷出的水柱刚好落在人工湖边缘，如果改变喷头的推力大小，使得喷出的水柱所在抛物线为，那么此时喷出的水柱是否会落到人工湖外？请说明理由． (3)在（1）的条件下，公园增设了新的游玩项目，购置了宽度为，顶棚到湖面高度为的平顶游船，游船从水柱最高处的正下方通过，别有一番趣味，请通过计算说明游船是否有被水柱喷到的危险． 【变式3】．某体育馆外的下沉式广场正在进行音乐喷泉调试．喷泉的水流轨迹可以近似地看成抛物线．广场一侧有一段草坡，坡面上临时放置一棵装饰用的发光小树，用于测试水流水压．将草坡截面抽象为直角三角形，如图，，米，米，坡面上有一棵小树（小树粗细忽略不计，点在斜坡上且与点不重合，），现在斜坡底处安装一个喷水管，水流呈抛物线状，恰好落在处．技术人员以为原点，水平向右为轴，竖直向上为轴，记录了喷头开启后喷水管喷出水流到的水平距离（米）与水流的高度（米）的变化规律如表： 0 1 2 3 4 … … (1)根据表格数据，求出水流的函数解析式； (2)若调试时，水流恰好经过树顶点， ①为了美观，小树不能太高．请计算在现有水流轨迹下，这棵小树可达到的最大高度是多少？ ②在灯光测试中，需要在右侧（靠近的一侧）再放置一棵与等高的小树（在坡面上，树干垂直），且水流也能刚好经过树顶．为保证两棵树不在同一地点，求第一棵树底的横坐标的取值范围． 题型7 增长率问题 解题技巧（固定模型套用）：1. 连续增长模型：初始量，增长率，两次增长后（二次函数）；2. 连续下降模型：下降率，两次下降后；3. 根据终值列方程，求解增长率，舍去负数解；4. 可结合函数趋势，判断增长快慢、最值情况。 必考提醒：二次函数对应两次增长/下降，是考试核心考法。 【典例7】．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．某工厂第一年的利润为万元，第三年的利润万元与平均年增长率之间的函数关系式是______，自变量x的取值范围是______． 【变式3】．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 题型8 其他问题 解题技巧（通用建模适配法）：1. 审题找变量关系，判断是否为二次变化规律；2. 套用六步建模法，规范列式、定范围、求解、检验；3. 常见场景：用料最省、距离最值、产量最值、损耗最小；4. 优先判断开口方向，确定最值类型，结合自变量区间求解；5. 所有实际问题，最终必须回归实际意义，舍去不合理解。 【典例8】．老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【变式2】．某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元，加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_____ ； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_____ ． 【变式3】．综合与实践 【问题背景】 随着国家大力支持新能源汽车发展，国产电动汽车保有量持续增长，充电站作为配套基础设施，其运营效益成为关注重点．某充电站对其收入与充电汽车数量之间的关系进行了统计分析，并进一步研究成本与收支平衡问题． 【研究条件】 条件1：该充电站收入（单位：元）与当日充电汽车数量（单位：辆）之间的对应关系如下表： 1 2 3 4 5 50 100 150 200 250 条件2：该充电站的运营成本（单位：元）与充电汽车数量之间满足： 【模型构建】根据上述条件，请完成下列问题： (1)根据上表数据，求与的函数关系式，并计算当时，该充电站的收入为多少元？ (2)当收入等于成本时，充电站达到收支平衡．求此时的值，并写出该充电站收入与的新关系式； 【模型应用】 (3)由于电池技术迭代，单车充电费用提升，该充电站收入与汽车数量的关系调整为，成本关系保持不变．已知当汽车数量为80辆时，净收益（净收益收入成本）取得最大值，请写出符合条件的值，并说明理由． 【总结反思】 函数模型可以帮助分析充电站的经营状况，但实际中还需考虑充电桩利用率、电价波动、用户排队等因素，后续可进一步优化模型，以更准确地指导运营决策． 1．如图，物流无人机在配送包裹时，将无人机当作一个点看，其飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，设无人机从地面原点处起飞，飞行路线为 ，已知无人机在飞行过程中达到的最大高度为米，则该抛物线的解析式为（     ） A． B． C． D． 2．如图1，在正方形中，是边上一点，动点从处出发沿向目的地运动，同时动点从处出发沿向目的地运动，它们同时到达终点．设为（单位：），的面积为（单位：），关于的函数图象如图2所示，当点在线段上运动时，该时段函数图象的最高点坐标为．下列选项错误的是（     ） A． B． C． D． 3．如下图是茂名市滨海新区规划建设的“智慧农业示范园”，其中一块菱形试验田边长为2米，设计角．如图2，为适应季节性作物轮作，需折叠田埂和，使两角顶点重合于田地对角线上的调节点，、为折叠后新田埂，设米．下列判断正确的是（     ） ①当时，米； ②田埂总长度随变化而改变； ③折叠后六边形种植区的最大面积为平方米； ④六边形种植区的周长保持不变． A．①②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 4．如图，在中，，．动点M从点B出发，以的速度沿边BA向终点A运动；动点N从点C同时出发，以的速度沿边向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．当时，点M，N的位置如图所示．有下列结论：①当时，；②当时，的最大面积为；③t有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，在滑雪大跳台比赛中，运动员从跳台滑出后，在空中飞行的高度（米）与时间（秒）之间满足函数关系：，则运动员从起跳到落地所需要的时间为（    ） A．2秒 B．3秒 C．3.5秒 D．4秒 6．如图，搭建一座蔬菜大棚，横截面形状为抛物线 （单位：米），施工队计划在大棚正中搭建一个矩形脚手架，已知，则脚手架高为（    ）    A．7米 B．6米 C．5米 D．4米 7．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   8．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 9．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10．如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 11．某种商品进价20元，售价x元（，x为整数），销量为件，利润最大时售价为________元． 12．某湖面上有一座抛物线型拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶O到水面的距离为_______． 13．如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为____________． 14．掷实心球是广安市初中学业水平体育与健康学科考试的选考项目．一男生（图1）在抛掷实心球的过程中，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如（图2）所示，已知该男生掷球时的起点高度是，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．根据广安市2025年初中学业水平体育与健康学科考试项目评分标准（男生）：投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离不小于，则此项考试得分为满分20分．按此评分标准，该男生在此项考试中________得满分（选填：“能”或“不能”）． 15．某抛物线型的拱桥如图所示，已知该抛物线的函数表达式为，为了给行人提供安全保障，在该拱桥上距水面高为7米的点E、F处悬挂了两个救生圈，则这两个救生圈间的水平距离为_____米． 16．连云港市某企业安排名工人生产甲、乙两种产品，每人每天生产2件甲或1件乙，甲产品每件可获利元．根据市场需求和生产经验，乙产品每天产量不少于5件，当每天生产5件时，每件可获利元，每增加1件，当天平均每件获利减少2元．设每天安排x人生产乙产品． (1)根据信息填表： 产品种类 每天工人数(人) 每天产量(件) 每件产品可获利润(元) 甲      乙 x x (2)若每天生产甲产品可获得的利润比生产乙产品可获得的利润多元，求每件乙产品可获得的利润； (3)如何安排工人，可获得的总利润(元)最大？并求w的最大值． 17．科研人员在测试一枚火箭向上竖直升空时，获得火箭的高度与时间的关系数据如下： 时间 火箭高度 (1)根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点． (2)你能根据坐标系中各点的变化趋势确定h关于t的函数类型吗？ (3)你能确定h关于t的函数表达式吗？ (4)你能求出该火箭的最大高度是多少吗？你是根据哪种表示方式求解的？ 18．开封清明上河园中的虹桥是园区的核心地标，下面是虹桥及上方抛物线形框架结构的平面示意图，桥中间的大拱截面可视为抛物线的一部分，虹桥上悬挂两个灯笼． 现有以下三条素材： 素材1：整个图形是轴对称图形； 素材2：跨度米，竖直支撑米，最高点P到的距离为5米； 素材3：两灯笼，之间的水平距离为4米，点M、N均在抛物线上且关于抛物线的对称轴对称． 现以所在直线为x轴，的垂直平分线（直线）为y轴，建立平面直角坐标系． (1)求虹桥上半部分所在抛物线的函数表达式；（不必写出自变量取值范围） (2)若米，求灯笼底端（点E或F）到的距离． 19．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计高架桥的限高及车道方案？ 素材1 图1高架桥是一段抛物线结构，图2是它的示意图．经测量，高架桥跨度，最高点离地面，桥的两端点距离地面．       素材2 如图3，某道路规划部门计划在左侧公路分为非机动车道、机动车道一、机动车道二及绿化带四部分，原计划设计非机动车道宽，机动车道、宽均为．为了保证车辆的行驶安全，高架下方需要设置限高标志以警示车辆驾驶员．（限高即图中的高度，精确到）    问题解决： (1)确定模型：在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式； (2)探究原计划限高：如图3，点N为高架桥的最高点，在（1）的条件下，计算确定机动车道一的限高高度． 20．某义乌玩具厂赶制2026年马年春节吉祥物笑笑马（设计为上扬微笑、喜庆吉祥），缝纫工人赶工时操作失误，把原本向上弯的嘴角反向缝制，笑笑马变成满脸委屈丧萌的“哭哭马”，引起年轻人的情绪共鸣，更被网友解读为“不完美也值得被喜欢”，一跃成为2026年顶流网红马． (1)某网店“哭哭马”今年1月份的销售量为1200件，3月份的销售量为1728件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； (2)若该“哭哭马”的进价为每件15元，售价为每件25元，每天能销售40件；若售价每降价1元，每天可多售出10件．该店决定降价促销，若使销售“哭哭马”每天获利480元，为了尽快清理库存，则售价应降低多少元？ (3)当“哭哭马”售价降低多少元时，该网店每天获利最大，最大利润多少元？ 21．车辆年检是保障道路交通安全的关键环节．通过年检中的刹车距离检测，可准确判断刹车系统是否正常工作，避免因刹车失灵引发交通事故，因此刹车距离检测是车辆年检的重要项目之一．某车辆年检机构对一辆待检汽车进行刹车性能测试，模拟汽车在城市道路按规定速度行驶时的刹车情况，记录到以下一组数据： 信息窗 ①开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶的时间（单位：s）之间成二次函数关系； ②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止． 刹车后行驶的时间（单位：s） 0 1 2 3 刹车后行驶的距离（单位：m） 0 14 24 30 (1)求关于的函数解析式（不必写出自变量的取值范围）． (2)当汽车刹车后行驶了时，求的值． (3)年检标准规定，该型号汽车在此次测试速度下刹车，最大刹车距离不得超过，否则判定为刹车性能不合格．通过计算判断该车的刹车性能是否符合年检标准． 22．某蔬菜大棚的横截面如图1所示，顶棚呈抛物线形，两侧保温墙面，与地面垂直，且 米，米，宽度 米，顶棚最高点到墙面的水平距离为4米．左侧人行道米，蔬菜种植区米．以 为原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系． (1)求顶棚所在抛物线的解析式． (2)如图2，喷灌喷头安装在顶棚最高点下方0.5米处，当水压一定时，喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线形，且为水流所在抛物线的顶点． ①当水压最小时，水流左、右端分别落在地面上的点 ，处．求 的长． ②当水压最大时，水流右端恰好落在地面上的点处，左端落在保温墙面上的点 处，故需要在保温墙面上做防水处理，求需要做防水处理区域的高度（线段 的长）． 23．【问题背景】 自动紧急刹车系统（）是车辆安全的核心配置．为检测某车企研制的刹车系统在雨天对行人的保护能力，搭载该型号刹车系统的试验车辆在雨天以的速度匀速行驶．试验车辆刹车时间t（单位：秒）与刹车距离s（单位：米）的数据如下表： 刹车时间t（秒） 0 1 2 … 刹车距离s（米） 0 … 【模型构建】 (1)如图，在平面直角坐标系中，以刹车时间：t为横坐标，刹车距离s为纵坐标，描出了表中数据所对应的部分点，请你描出其它的点，并用光滑的曲线连接．估计该函数的类型是____________（填写“一次函数”，“二次函数”或“反比例函数”），并求出函数表达式（不必写自变量t的取值范围）； 【模型应用】 (2)求出试验车辆的刹停时间（开始刹车到车辆停止）和刹停距离（精确到0.01米）； (3)试验车辆以速度匀速行驶，突然有行人横穿马路，距离行驶中的车辆14米，系统瞬间触发紧急刹车．这款系统安全吗？请你说明理由．（安全评测标准：车辆停止时与前方行人距离不小于2米则判定为“安全”．） 24．【数学文化阅读】 我国南宋时期著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，其实质是根据三角形的三边长来求三角形的面积．古希腊数学家海伦也有类似的公式，因此这个公式常被称为海伦秦九韶公式．它是解决“已知三角形三边长求面积”问题的经典公式，具体形式为：若一个三角形的三边长分别为，，，记（为三角形周长的一半，即半周长），则三角形的面积． (1)【数学理解】已知一个三角形的三边长分别为，，，请求出该三角形的面积． (2)【数学应用】小明在研究该公式时发现，当三角形三边长为连续整数时，面积公式可简化．设三角形三边长分别为，，（且为整数）． 试用含的代数式表示该三角形的面积，并化简； 若该三角形的面积为整数，求的最小值． (3)【拓展探究】某公园计划借助一面围墙，用一段长米的篱笆围一个三角形花圃．测得所用围墙的长度米，用篱笆围成的两边长分别为，，且米．设该三角形花圃的面积为，请求出的最大值，并判断此时围成的三角形花圃是否为特殊三角形． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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