精品解析：四川绵阳市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题A卷

高中2024级第二学年末教学质量测试 数学（A） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. 3 D. 4 2. 已知随机变量X服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和．后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 4. 某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一组数据的方差为4、则数据的方差为（ ） A. 5 B. 8 C. 16 D. 17 6. 某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课．某学生需从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为（ ） A. 18 B. 30 C. 31 D. 34 7. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 36 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 10. 设，是一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 11. 已知函数是的一个极值点，则（ ） A. B. 的极大值为0 C. 当时，关于x的方程仅有一个实数解 D. 若，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 13. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 14. 某图书馆，有（，且）种不同的课外书，每种书至少有本．甲从中随机选种借阅，乙从中随机选种借阅，甲乙选择的结果相互独立．记为被甲或乙选中的图书种数，若的均值为，则__________． 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 16. 已知函数． （1）求的最大值； （2）对任意，求实数a的取值范围． 17. 某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150分），测试分数，且已知．平台将数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A，B，C，D四个等级，用于后续的个性化习题推荐． （1）若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人各自成绩的等级； （2）已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选．若从参加该次测试的学生中随机抽取1人，求该生答对这道题的概率． 18. 设函数． （1）分别讨论的单调性； （2）设数列满足，证明：； （3）设函数，且在区间上单调递增，求整数a的最小值． 19. “中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了m颗候选脉冲星，编号为1，2，3，…，，科研团队计划安排t次跟踪观测，每次观测1颗，观测规程规定：第k次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为x，且满足，则认定该次观测成功捕获1组有效脉冲信号．科研团队设计了两种观测方案： 方案一：每次观测均从m颗候选脉冲星中，等概率随机选择； 方案二：每次随机选择，且观测过的脉冲星不再列入后续选择的范围． （1）若采用方案一，且当时，设第1，2，3次观测，成功捕获有效脉冲信号的概率依次为． （i）求； （ii）记该望远镜前3次观测中，成功获取有效脉冲信号的组数为X，求； （2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．试比较两种方案下，该望远镜成功捕获有效脉冲信号的组数的数学期望的大小，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中2024级第二学年末教学质量测试 数学（A） 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷共4页；答题卡共6页．满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“准考证号”栏目内. 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 3．考试结束后将答题卡收回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数在区间上的平均变化率为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平均变化率的定义，计算区间端点处的函数值差值与区间长度的比值即可得到结果 【详解】， ， ，， 因此平均变化率为. 2. 已知随机变量X服从两点分布，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题可得， 解得. 3. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，这列数的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每个数都等于它前面两个数的和．后人把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，则（ ） A. 13 B. 21 C. 34 D. 55 【答案】B 【解析】 【详解】由题可得， 故. 4. 某篮球运动员每次投球的投中率是，每次投球的结果相互独立，则他投球4次，恰好投中2次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的概率公式进行计算即可求解. 【详解】设他投球次，投中的次数为，则. 根据二项分布的概率公式可知投球次，恰好投中次的概率为： . 5. 已知一组数据的方差为4、则数据的方差为（ ） A. 5 B. 8 C. 16 D. 17 【答案】C 【解析】 【详解】根据公式可得. 6. 某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课．某学生需从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课，则该生不同的选课方案的种数为（ ） A. 18 B. 30 C. 31 D. 34 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可分为2门知识类选修课和1门技能类选修课，1门知识类选修课和2门技能类选修课和3门技能类选修课，结合组合数公式，即可求解. 【详解】由题意知，从中选修3门，且至少包含一门技能类的选修课， 当2门知识类选修课和1门技能类选修课，有种选法； 当1门知识类选修课和2门技能类选修课，有种选法； 当3门技能类选修课，有种选法， 则该生不同的选课方案的种数为种不同的选法. 7. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，即， 解得，所以. 8. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，再结合时，即可求解. 【详解】因为，则函数的定义域为， 所以， 由，得或， 由，得且， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，， 又时，，分析图象可知，C选项正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前n项和为，且满足，则（ ） A. B. 为等比数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由及先求；再推出为等比数列，并逐项验证各选项. 【详解】对任意有. 当时，，又，故，得，故A正确. 当时，，代入得. 结合可推得（）， 故是首项为4、公比为的等比数列，，故B正确. 进而，即，从而，，故C错误. 又，且随增大而趋近于8但取不到8，故恒成立，故D正确. 10. 设，是一次随机试验中的两个事件，若，则（ ） A. 与相互独立 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】用全概率公式由已知条件先求，再逐项检验独立性与相关概率. 【详解】由全概率公式，得，解得，故B正确； 若与相互独立，则应有，但，故A错误； 又，不等于，故C错误； 而，故D正确. 11. 已知函数是的一个极值点，则（ ） A. B. 的极大值为0 C. 当时，关于x的方程仅有一个实数解 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，求导代入极值点求出；对于B，分析的单调性并求出极大值即可；对于C，画出的图像，观察的图像与的交点个数即可求解；对于D，利用单调性得出，再证明即可. 【详解】对于A，， ， 是的一个极值点，，即， 解得，又因为，所以，A正确； 对于B，将代入得， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在处取得极大值，B错误； 对于C，如上图，当时，与的交点只有一个，所以关于x的方程仅有一个实数解，C正确； 对于D，因为，所以， 由在上单调递增得：， ， 所以， 所以，D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填写在答题卡的横线上. 12. 曲线在点（0，1）处的切线方程为_________. 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：，，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为. 考点：利用导数求切线方程. 13. 的展开式中的系数为____________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式写出该式展开的通项，再结合指数为求解即可. 【详解】根据二项式定理，可得展开式的通项公式： ， 令的指数，解得 所以的系数为：. 14. 某图书馆，有（，且）种不同的课外书，每种书至少有本．甲从中随机选种借阅，乙从中随机选种借阅，甲乙选择的结果相互独立．记为被甲或乙选中的图书种数，若的均值为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】设第种书被甲或乙选中记为，第种书甲乙都没选中记为，，再由期望的性质得，再分别计算第种书被甲、乙选中的概率，再结合相互独立事件的概率可得，再由对立事件及期望的值可得. 【详解】设第种书被甲或乙选中记为，第种书甲乙都没选中记为，， 则，由期望的线性性质得. 甲从种书里选种：第种书被甲选中的概率， 乙从种书里选种：第种书被选乙中的概率， 因为甲乙选取相互独立，第种书甲乙都不选的概率， 所以. 因为，所以，， ，，解得（符合）. 因此. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，数列为等比数列，且． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前n项和． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，则； 因为，所以公比为，则； 【小问2详解】 由（1）得， 则，则， 两式作差得， 则. 16. 已知函数． （1）求的最大值； （2）对任意，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对求导，判断函数的单调性，从而求的最大值. （2）将问题对任意，转化为对任意恒成立.通过构造函数，利用函数的单调性求解. 【小问1详解】 由，则， 令，则，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此在处取得极大值，也是最大值， 所以. 【小问2详解】 不等式对任意恒成立， 即对任意恒成立， 令，问题转化为. ，令，即，解得. 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为， 所以. 17. 某校引入AI学习平台，高二全体学生参加了一次该平台的数学能力测试（满分150分），测试分数，且已知．平台将数学测试成绩从高到低按照20%，30%，30%，20%的比例分为A，B，C，D四个等级，用于后续的个性化习题推荐． （1）若甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75，试确定三人各自成绩的等级； （2）已知该次测试单选最后一道题，共4个选项，等级为A的同学都能选对，等级为B的同学能排除2个错误选项后再随机选，等级为C的同学能排除1个错误选项后再随机选，等级为D的同学随机选一个选项，且没人漏选．若从参加该次测试的学生中随机抽取1人，求该生答对这道题的概率． 【答案】（1）甲的等级为A，乙的等级为B，丙的等级为C （2）（或0.5） 【解析】 【分析】（1）利用正态分布的对称性求概率； （2）利用全概率公式求解. 【小问1详解】 由题意得，， ， 则按照分数将成绩划分为D，C，B，A四个等级， 因为甲、乙、丙三位同学在该项测试中的分数分别是：129、99、75， 故甲、乙、丙的成绩等级分别为A，B，C； 【小问2详解】 等级为A的同学答对的概率为；等级为B的同学答对的概率为； 等级为C的同学答对的概率为；等级为D的同学答对的概率为； 用表示第等级的学生答对，其中A等级对应，以此类推， 用表示从参加该次测试的学生中随机抽取1人，该生答对这道题， 则 ， 则从参加该次测试的学生中随机抽取1人，该生答对这道题的概率为. 18. 设函数． （1）分别讨论的单调性； （2）设数列满足，证明：； （3）设函数，且在区间上单调递增，求整数a的最小值． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 在上单调递减. （2）由（1）知，在上单调递减，当时，， 即，所以. 令，得. 由（1）知，当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，即，所以. 令，得， 即. 因此有 ， 所以. （3）的最小值为1 【解析】 【分析】（1）对求导，讨论的取值，判断单调性；对求导，判断导函数的正负，判断其单调性； （2）根据第（1）问，将要证的不等式放缩，转化为证明且. （3）在区间上单调递增，等价于在上恒成立.分离参数，转化为在上恒成立.构造函数，判断单调性转化为求函数的最大值. 【小问1详解】 ①讨论的单调性 ，定义域为，， 当时，，所以，在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减. ②讨论的单调性 ，因为，所以，所以在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，上单调递增，在上单调递减； 在上单调递减. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ， 由单调递增，得在上恒成立. ，所以在上恒成立. 令，则， ，令， 则， 当时，，所以，所以在上单调递减； 当时，，因为，， 所以存在唯一，使得， 所以. 由，得. 若，则，此时，与矛盾， 所以，此时，两边同除以， 得，因为，所以，所以，解得. 又在上单调递增，且， 所以，又因为，所以， 所以，即. 因为且，所以. 19. “中国天眼”FAST射电望远镜在银道面脉冲星巡天项目中，锁定了m颗候选脉冲星，编号为1，2，3，…，，科研团队计划安排t次跟踪观测，每次观测1颗，观测规程规定：第k次跟踪观测时，若选中的脉冲星编号为x，且满足，则认定该次观测成功捕获1组有效脉冲信号．科研团队设计了两种观测方案： 方案一：每次观测均从m颗候选脉冲星中，等概率随机选择； 方案二：每次随机选择，且观测过的脉冲星不再列入后续选择的范围． （1）若采用方案一，且当时，设第1，2，3次观测，成功捕获有效脉冲信号的概率依次为． （i）求； （ii）记该望远镜前3次观测中，成功获取有效脉冲信号的组数为X，求； （2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则．试比较两种方案下，该望远镜成功捕获有效脉冲信号的组数的数学期望的大小，并说明理由． 【答案】（1）（i）；（ii）； （2）两方案下期望一样；理由：记成功获取有效脉冲信号组数为， 设， 方案一：因为是有放回抽取，且，即，共种结果， 因此，则， 又，故， 方案二：无放回依次抽取，等价于从个编号中随机选个进行有序排列． 又因为任意指定第个位置，每一个编号出现该位置的概率都是， 故满足条件的编号共个，且这个编号每一个编号出现在该位置的概率都是， ∴仍然有，则， 又，故， 综上所述：两种方案下成功获取有效脉冲信号组数的数学期望相等． 【解析】 【分析】（1）（i）根据有放回抽样直接计算概率即可； （ii）方法1：首先分析的可能取值，再分别计算所对应的概率，最后利用期望公式即可得到答案；方法2：分别计算即可； （2）根据有放回和无放回的特征并结合求和公式即可得到答案. 【小问1详解】 当时，且是有放回抽样， 则. （ii）方法1：随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ； ； ； 0 1 2 3 ； 方法2：该望远镜3次观测成功获取有效信号的总组数为， 设， 因为方案一是有放回抽取，且由（i）知， ， 又，故. 【小问2详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $