精品解析：广西钦州市2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2026年春季学期高二期末教学质量监测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0．5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：北师大版选择性必修第一册第四章至第七章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某飞行器的飞行高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该飞行器在s时的瞬时速度为（ ） A. 9m/s B. 18m/s C. 19.8m/s D. 16.2m/s 2. 已知为等差数列的前n项和，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（ ） A. B. C. D. 5. 若函数存在两个极值点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（ ） A. B. 2 C. 3 D. 7. 已知甲、乙、丙三人准备去北京、上海、成都、杭州、西安这五座城市旅游，每人都选择城市去旅游，每座城市均有被选择且每座城市只能被一个人选择，记事件“乙恰好选择了两座城市旅游”，“甲只选择了杭州旅游”，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，则满足的实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则f 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知有6个不同的礼物，平均分给甲、乙、丙三人，共有60种分法 B. 已知m，n为正整数，且，则 C. 若，则 D. 已知有甲、乙等5名学生依次表演节目，甲不在第一个和最后一个表演，且乙不在第三个表演，则不同的表演顺序共有60种 11. 已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若为数列的前n项和，则数列中存在最小项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量， 若E(X)=1， 则D(X)=___________. 13. 在的展开式中，含项的系数为______. 14. 某软件科技公司近6年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示. 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则___（用分数表示）. 附：（1）参考数据：. （2）参考公式：，． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为64． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，某著名体育厂商推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的40%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人. 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有99%的把握认为对两种羽毛球的偏好与性别有关？ （2）现从偏好碳音球的羽毛球爱好者中按性别采用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中男性的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.记第n次传球后，球传到乙手中的概率为Pn． （1）求； （2）求； （3）记，证明：． 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围； （3）若，设，且有两个零点，，其中，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季学期高二期末教学质量监测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0．5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：北师大版选择性必修第一册第四章至第七章，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某飞行器的飞行高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则该飞行器在s时的瞬时速度为（ ） A. 9m/s B. 18m/s C. 19.8m/s D. 16.2m/s 【答案】B 【解析】 【分析】先对高度函数求导得到导函数，再将代入导函数计算，得到的导数值即为所求. 【详解】函数求导得， 则（m/s）. 该飞行器在s时的瞬时速度为18m/s. 2. 已知为等差数列的前n项和，，，则（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，联立方程组，求得，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，，可得，即， 解得，所以. 3. 已知随机变量，且，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用对称点的性质，两点的中点为对称轴的横坐标，代入中点公式列方程即可求解. 【详解】因为，所以，解得． 4. 已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由随机变量的分布列性质求解． 【详解】由随机变量分布列性质得： ，解得， 则 5. 若函数存在两个极值点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由函数存在两个极值点， 得有两个变号零点， 因此，解得或， 所以m的取值范围是． 6. 在正项等比数列中，为其前n项和，若，，则公比（ ） A. B. 2 C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用等比数列下标和相等则项乘积相等的性质求出首项，再排除公比的情况，代入等比数列前项和公式列方程求解公比并舍去不合理解. 【详解】若，由等比数列的性质可知，则， 若，则，不合题意，故， 所以，解得或（舍去）． 7. 已知甲、乙、丙三人准备去北京、上海、成都、杭州、西安这五座城市旅游，每人都选择城市去旅游，每座城市均有被选择且每座城市只能被一个人选择，记事件“乙恰好选择了两座城市旅游”，“甲只选择了杭州旅游”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由题意得，乙恰好选择了两座城市旅游的方法数为， 因为事件A与B都发生的所有可能结果有， 所以． 8. 已知函数，，则满足的实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求函数的导数，令确定的单调性，列出关于的不等式求解. 【详解】，令则， 故在上单调递增，，故在上单调递减， 所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列选项正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则f 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，若，则，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D错误． 10. 下列选项正确的是（ ） A. 已知有6个不同的礼物，平均分给甲、乙、丙三人，共有60种分法 B. 已知m，n为正整数，且，则 C. 若，则 D. 已知有甲、乙等5名学生依次表演节目，甲不在第一个和最后一个表演，且乙不在第三个表演，则不同的表演顺序共有60种 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，令，得①， 令，得②， ①－②，得，故，故C正确； 对于D，若甲在第三个表演，则有种， 若甲不在第三个表演，则有（种）， 综上，共有（种），故D正确. 11. 已知正项数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 若为数列的前n项和，则数列中存在最小项 【答案】ACD 【解析】 【详解】由题意，得，故， 所以，，…， ，， 由累加可得， 因为，所以，所以，所以，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； 因为， 所以数列为正项单调递增数列，且， 故，数列中存在最小项，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量， 若E(X)=1， 则D(X)=___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望、方差公式列式求解. 【详解】随机变量，由，得，解得， 所以. 故答案为： 13. 在的展开式中，含项的系数为______. 【答案】2 【解析】 【详解】因为的展开式的通项公式为 所以含项的系数为． 14. 某软件科技公司近6年的年利润额y与投入的年研发经费x（单位：千万元）如表所示. 6 11 11 12 15 17 根据散点图可以认为x与y之间存在线性相关关系，且相关系数，用最小二乘法求线性回归方程为，则___（用分数表示）. 附：（1）参考数据：. （2）参考公式：，． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：，， 由条件可得， 得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为64． （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意得，故，故， 设展开式中的第项为，则． 令，则，故常数项为； 【小问2详解】 由（1），得，故当时，二项式系数最大， 则． 16. 已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 【答案】（1）由，得，即， 又，∴为等差数列，首项为1，公差为4； 由，得. （2） 【解析】 【分析】（1）通过递推公式取倒数，即可证明，进而得到通项公式； （2）由错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， ①， ②）， ①②得， ， ∴． 17. 羽毛球运动在我国是非常受大众喜爱的一项运动，某著名体育厂商推出了人造羽毛球，名为碳音球，这款羽毛球采用碳纤维复合材料替代天然羽毛，其飞行轨迹与击球手感接近天然羽毛球，但价格却只有天然羽毛球的60%到70%，某市场调查机构调查了男性和女性各100名羽毛球爱好者对碳音球和天然羽毛球的偏好程度，现统计得出样本中偏好碳音球的人数占样本总数的40%，其中偏好碳音球的女性羽毛球爱好者有50人. 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 女性 50 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，并分析是否有99%的把握认为对两种羽毛球的偏好与性别有关？ （2）现从偏好碳音球的羽毛球爱好者中按性别采用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中男性的人数为X，求X的分布列和数学期望. 附，其中． 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 30 70 100 女性 50 50 100 合计 80 120 200 有99%的把握 （2） 0 1 2 3 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算出卡方，即可判断； （2）利用超几何分布的概率公式求出分布列，从而求出数学期望； 【小问1详解】 依题意，可得列联表如下： 偏好碳音球 偏好天然羽毛球 合计 男性 30 70 100 女性 50 50 100 合计 80 120 200 ∵， ∴有99%的把握认为对两种羽毛球的偏好与性别有关； 【小问2详解】 依题意，偏好碳音球的男性羽毛球爱好者抽取人， 偏好碳音球的女性羽毛球爱好者抽取人， 则X的可能取值为0，1，2，3， 则，， ，， 则X的分布列为 0 1 2 3 所以X的数学期望为：． 18. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人.记第n次传球后，球传到乙手中的概率为Pn． （1）求； （2）求； （3）记，证明：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明：由（2），得，． 【解析】 【分析】（1）根据题意计算即可. （2）建立和的递推关系，再利用构造等比数列的方法求解递推式得到；​ （3）利用等比数列前项和公式求出，结合等比数列求和公式证明不等式. 【小问1详解】 由题意可知； 【小问2详解】 当时，， 所以， 因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在其定义域内单调递增，求实数m的取值范围； （3）若，设，且有两个零点，，其中，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，进而求出切线方程即可. （2）利用分离参数法得到，再结合基本不等式求解参数范围即可. （3）结合题意将转化为一元函数，再利用导数求解其取值范围即可. 【小问1详解】 当时，，则， 可得，， 得到在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 由题意得的定义域为， ∵在上单调递增，∴在上恒成立， 即在上恒成立，又， 当且仅当时等号成立，∴，∴m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， ∵有两个零点，，且有两个极值点，， ∴，为方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理得，， ∵，∴， 又， 由对勾函数在上单调递减可知， ∴ ， 设，则， ∴在上单调递减，又，， ∴，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $