1.2用数学方法描述种群数量的变动规律（第一课时）教学设计2026-2027学年高二上学期生物沪科版选修二

该高中生物学教学设计聚焦“J”型与“S”型种群增长模型的数学描述，以小天蓝绣球繁殖计算题导入，承接种群数量特征旧知，通过数据演算与曲线推导构建数学模型，为后续实验和习题铺垫理论支架。 特色在于跨学科融合数学建模与生物种群规律，以小天蓝绣球、海蟾蜍入侵等真实案例为载体，通过小组合作演算、公式推导等方法，培养科学思维和探究实践能力，渗透生态观与社会责任，助力学生掌握定量分析方法，为教师提供逻辑清晰的教学方案。

教学设计 课程名称 用数学方法描述种群数量的变动规律（第一课时） 选用教材 高中生物沪科版选修二 教学章节 第一章第二节 授课对象 高二学生 授课类型 新授课 授课学时 1课时（45分钟） 一、教学内容分析 本节承接 1.1 种群六大数量特征基础，引入数学建模定量研究种群动态，是种群模块核心计算与模型课。本课时以小天蓝绣球实景导入，依托两道思考计算题引出理想条件下 “J” 型增长；第一板块结合小天蓝绣球数据表、增长曲线完整推导 “J” 型数学公式，明确恒定增长率 λ、理想环境前提，结合海蟾蜍入侵物种案例讲解生物入侵带来的 “J” 型爆发危害；第二板块依托大草履虫高斯实验、S 型增长曲线，定义环境容纳量 K，推导逻辑斯蒂 S 型数学公式，辨析曲线拐点 K/2 的渔业、畜牧业生产应用价值；整节课遵循 “实例计算→数学建模→曲线特征对比→生产入侵应用” 逻辑，搭建两类种群增长模型完整框架，落实稳态平衡、进化适应生命观念，为第二课时自然种群波动、酵母菌计数探究实验、自我评价综合习题铺垫理论与计算基础，同步训练学生数据演算、图像解读、公式定量推导的科学思维。 二、学情分析 1. 知识基础 学生上一节已经掌握种群密度、出生率死亡率、环境因子影响种群等基础概念，初中数学具备指数函数、函数图像基础；但学生无法将数学函数与生物种群繁殖规律结合，不理解 λ 增长率、环境容纳量 K 的生物学内涵；不能区分理想无限资源、自然有限资源两种环境对种群增长曲线的塑造作用；未接触种群增长数学建模思想，对逻辑斯蒂复杂公式、拐点 K/2 生产应用无认知；不清楚外来物种入侵与 “J” 型增长的内在关联。 2. 能力基础 高二学生具备基础表格数据读取、简单指数计算、单曲线图识别能力，能完成基础算术推演；但整合生物繁殖规律、数学指数函数、资源限制三重信息推导种群增长公式的跨学科推理能力薄弱；依托小天蓝绣球数据表、J/S 型曲线、海蟾蜍实物图，定量对比两类增长模型异同、推导核心公式的证据演算能力不足；结合渔业捕捞、入侵物种防控真实情境，运用 K/2 原理设计生产调控方案的综合探究实践能力，需要课堂分组演算活动逐步锻炼。 3. 认知基础 学生存在多处认知误区：一是认为所有生物种群都会持续指数增长，忽略自然界食物、空间、天敌的资源限制；二是混淆 “J” 型、“S” 型曲线增长速率变化规律，误以为 S 型全程增速持续上升；三是仅把 K 值看作种群最大数量，不理解 K 会随环境改变、K/2 是种群增长最快的关键节点；四是简单将外来物种泛滥等同于繁殖能力强，不知道缺少天敌、资源充足的理想环境才是 “J” 型爆发核心诱因；五是无法区分 λ 增长率恒定的 J 型、增长速率先升后降的 S 型数学逻辑差异。 三、教学目标 1. 生命观念 树立稳态与平衡观念，有限自然环境中种群受资源、种内竞争、天敌制衡，数量最终稳定在环境容纳量 K 附近；建立进化与适应观念，“J” 型仅存在短期理想环境，长期自然选择下物种均形成 “S” 型增长的适应模式；形成整体统一观念，种群增长曲线是生物繁殖能力与外界环境资源约束共同作用的综合结果，环境改变会直接改变 K 值、增长速率。 2. 科学思维 以小天蓝绣球实景图、种群数量数据表、J 型增长曲线图、海蟾蜍实物图、大草履虫 S 型曲线图为事实证据，归纳理想环境 “J” 型增长特征，完整推导指数增长数学公式；定量解读 S 型逻辑斯蒂公式，分析拐点 K/2 的生物学意义；对比两类增长模型的环境前提、增长率变化、曲线走势、现实存在场景，辩证分析生物入侵爆发、渔业可持续捕捞的底层数学规律；依托表格数据演算种群逐年数量，形成数据定量推演、图像证据支撑、跨学科数学建模的严谨思维习惯。 3. 科学探究 结合小天蓝绣球实景图，小组合作完成开篇两道思考计算题，自主演算 5 年种群数量并绘制简易增长曲线；小组合作绘制对比表格，横向梳理 “J”“S” 两类增长模型的环境条件、公式、增长速率、K 值、现实实例；依托海蟾蜍入侵案例，分组梳理入侵物种爆发的条件与防控措施；课后查阅本地入侵植物资料，测算其理想状态下种群增长倍数。 4. 社会责任 能够结合 “J” 型增长原理，理解外来物种入侵的生态危害，树立主动防范外来入侵物种、保护本土生物多样性的环保意识；掌握 S 型曲线 K/2 原理，向渔业、畜牧从业者科普维持种群数量在 K/2 实现可持续高产的生产技术；理解环境容纳量 K 受资源制约，树立合理开发自然资源、避免过度捕捞破坏种群稳态的可持续发展理念；关注入侵物种治理的生态工程，主动宣传生物入侵防控相关科普知识。 四、教学重难点 重点 1. “J” 型增长模型：环境前提、逐年数量演算、数学公式Nt​=N1​×λt−1、恒定增长率 λ 的含义、生物入侵实例； 2. “S” 型增长模型：高斯大草履虫实验、环境容纳量 K、逻辑斯蒂数学公式、拐点 K/2 的生产应用； 3. “J” 型与 “S” 型增长曲线的特征、形成条件、现实场景对比区分。 难点 1. 完整推导 “J” 型指数增长公式、S 型逻辑斯蒂公式，理解公式内每一个字母对应的生物学变量； 2. 区分两类曲线增长速率变化规律：J 型增长速率持续上升，S 型增长速率先升后降，在 K/2 达到最大值； 3. 结合 K/2 原理解释渔业休渔、畜牧业适度捕捞的可持续生产逻辑。 五、教学方法  实景计算情境导入法：利用小天蓝绣球繁殖计算题引入种群数学建模主题；  数据表格演算教学法：依托小天蓝绣球种群数据表分步演算逐年种群数量；  图示分层拆解法：依托 J/S 型增长曲线图、海蟾蜍实物图分步拆解两类模型特征；  公式推导教学法：分层拆解 J 型、S 型数学逻辑，完整推导种群数量计算公式；  小组讨论演算探究法：围绕开篇计算题、入侵物种防控、渔业捕捞方案开展分组演算交流。 六、教学资源 教材配套图文素材：赤狐和雪兔种群数量年变化曲线图、城市金线侧褶蛙种群调查数据表、以竹子为主食的大熊猫实物图；配套文本：水 / 温度 / 光照 / 天敌环境因子科普文字、自我评价三道综合习题、前沿视窗大熊猫食性进化完整拓展阅读材料。 七、教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 环节一 植物繁殖计算情境导入，梳理课堂学习主线（6 分钟）  生态繁殖计算情境导入：上一节课我们学习种群出生率、迁入率等静态数量特征，但是野外种群数量会随年份持续变化，我们可以借助数学表格、函数曲线定量描述种群变动；不同生物繁殖速度差异极大，亚洲象繁殖缓慢，蝗虫、外来观赏植物小天蓝绣球却能快速扩张，今天我们通过数学计算、函数模型区分两类核心种群增长模式。  出示小天蓝绣球实景图 介绍该外来观赏植物繁殖速度极强，抛出页面两道思考讨论计算题：  现有 100 株小天蓝绣球，假如每株每年可繁殖出 3 株后代，请推算这个种群今后 5 年的数量增长情况，并绘制曲线。  在自然环境中，生物种群以这样的繁殖速度可以世世代代保持下去吗？为什么？  板书梳理本课时两大学习板块：一、理想无限资源环境下 “J” 型种群增长数学模型；二、自然有限资源环境下 “S” 型逻辑斯蒂增长模型，明确第二课时学习自然种群周期性波动、酵母菌种群计数探究实验、教材自我评价综合习题。  回忆上一节种群出生率、环境限制因素旧知识，结合数学指数函数知识，带着 “理想条件下种群数量如何逐年翻倍、资源受限后种群增长为何放缓、两类增长曲线数学公式如何推导、拐点 K/2 有什么生产用途、外来物种为何会出现爆发式增长” 的疑问进入新课学习。  观看小天蓝绣球实景图，识别外来观赏植物物种，动手演算第一题 5 年种群数量，预判自然环境存在资源限制无法长期指数增长，记录本课时两大学习板块，准备小组交流两道思考题。 环节二 模块一 “J” 型指数增长数学模型（19 分钟）  组织小组展示 5 年种群演算结果，汇总学生计算数据后过渡到教材标准化小天蓝绣球实验种群案例，出示小天蓝绣球种群数量数据表 给出初始种群 996 株，第二年增长至 2408 株，计算种群增长倍数 λ=2408/996=2.4177，代表次年种群数量是前一年的 λ 倍。  分层完整推导 “J” 型增长核心数学公式： 设定第一年种群数量为N1​，第 t 年种群数量为Nt​，每年增长倍数恒定为 λ； 第二年种群：N2​=N1​×λ 第三年种群：N3​=N2​×λ=N1​×λ2 递推得到通用公式：(Nt​=N1​×λt−1) 逐字母解释含义：Nt​为第 t 年种群数量，N1​起始种群数量，λ 种群年增长倍数，t 年份；代入表格第三年数据 996×2.4177²，验证表格 5822 株的数据，带领学生同步演算。  出示小天蓝绣球 “J” 型增长曲线图 分层讲解曲线核心特征：曲线持续向上弯曲，种群增长速率逐年不断增大；明确模型成立四大理想前提：食物充足、生存空间无限、气候适宜、无天敌与种内竞争。  过渡引入生物入侵实例，出示海蟾蜍实物图 讲解海蟾蜍引入澳大利亚后，当地缺少制衡天敌、空间食物充裕，满足 “J” 型理想条件，种群爆发式扩张，挤压本土两栖类生存空间；组织小组交流思维训练两道入侵物种讨论题，梳理入侵物种防控措施、我国典型入侵物种案例。  观看小天蓝绣球实景图、种群数量数据表、J 型增长曲线图、海蟾蜍实物图，跟随教师分步演算逐年种群数量，抄写完整 “J” 型增长推导公式，代入例题数据完成演算验证。  分组绘制 “J” 型模型知识点记录表格，逐条记录环境前提、公式、曲线特征、增长速率变化、入侵物种实例，小组完整作答开篇两道思考计算题、海蟾蜍思维训练两道讨论题。  标记高频知识点：λ 恒定不变代表理想环境；自然原生环境不存在长期 “J” 型增长；外来新栖息地缺少天敌易爆发 J 型增长，造成生物入侵危害本土物种。 环节三 模块二 “S” 型逻辑斯蒂增长数学模型（16 分钟）  过渡讲解：自然界资源、空间存在上限，种群不可能无限指数增长，苏联生态学家高斯利用大草履虫完成有限环境种群增长经典实验；出示大草履虫 “S” 型增长曲线图（图片 1-11，教材第 11 页），介绍 0.5mL 培养液初始 5 只草履虫，前期增速缓慢，中期快速增长，第 5、6 天稳定在 375 只，定义环境容纳量 K：特定环境所能长期维持的种群最大数量，本例 K=375。  分层讲解曲线分段特征： 第一阶段：种群数量少，资源充足，增长速率逐步上升； 拐点 K/2：种群数量达到环境容纳量一半，此时种群增长速率达到全年最大值，渔业、畜牧养殖维持种群在此数量实现持续高产； 第三阶段：种群靠近 K 值，种内竞争、食物匮乏加剧，死亡率上升，增长速率持续下降； 第四阶段：种群数量稳定在 K 附近，出生率与死亡率基本平衡。  出示广角镜 S 型曲线数学模型文本，完整推导逻辑斯蒂公式： 逐字母解释变量：Nt​ t 时刻种群数量，N0​初始数量，K 环境容纳量，e 自然常数，r 初始种群增长率；对比 J 型公式，说明 S 型公式增加 K 值限制，体现资源约束作用。  课堂三层阶段性小结：第一，理想无限资源环境种群呈现 “J” 型指数增长，λ 恒定，对应外来入侵物种短期爆发；第二，自然有限资源环境种群呈现 “S” 型增长，存在环境容纳量 K，K/2 是增长速率最高点，适用于渔业、畜牧业可持续生产；第三，两类模型核心区分点在于是否存在资源、天敌等环境限制。  布置分层课后巩固任务：基础任务抄写 J 型、S 型两套完整数学公式，整理两类增长模型对比表格；提升任务手绘 J、S 两条增长曲线，标注 K、K/2、增长速率变化；拓展任务查阅我国水葫芦入侵案例，演算理想条件下种群增长倍数。  观看大草履虫 “S” 型增长曲线图，完整记录高斯实验过程、环境容纳量 K 定义、四段曲线变化规律，抄写逻辑斯蒂完整数学公式，区分 J 型无 K 约束、S 型受 K 限制的数学差异。  小组合作梳理 K/2 在渔业休渔、畜禽养殖中的应用逻辑，交流海蟾蜍、小天蓝绣球两类入侵物种 J 型增长的形成条件与治理方案。  跟随教师梳理本课时全部核心知识点，同桌互相复述两类增长模型的环境前提、公式、曲线特征，记录三层课后巩固任务。 环节四 课堂收尾，整理课堂笔记（3 分钟） 引导学生梳理本课时完整知识脉络：小天蓝绣球繁殖计算题导入→“J” 型指数增长公式、曲线、入侵实例→“S” 型逻辑斯蒂增长、K 值、K/2 生产应用，标记高频易错点：J 型增长速率持续上升，S 型增长速率先升后降，峰值在 K/2；原生稳定自然环境无长期 J 型增长；K 值会随食物、温度、天敌环境改变。预告下一节课学习自然种群周期性波动、酵母菌计数探究实验、教材自我评价综合习题，拓展逻辑斯蒂函数科学史阅读。 完善课堂全部笔记，重点抄写 J 型指数公式、S 型逻辑斯蒂公式、K/2 拐点三大核心内容，同桌互相抽查两类增长曲线区分条件、入侵物种形成原因、K/2 生产应用原理，巩固本课时全部知识点。 八、板书设计 九、课程思政 本节课依托小天蓝绣球、海蟾蜍外来入侵物种本土生态案例，结合 J 型增长数学模型，引导学生树立稳态平衡、进化适应的生命观念，认识到稳定自然生态系统依靠资源、天敌制衡形成 S 型种群稳态；通过种群增长数学公式、函数图像跨学科建模推导，培养学生借助数学定量工具解析生物学规律的严谨科学探究素养；结合 K/2 渔业可持续捕捞原理，体会种群数学模型支撑水产养殖、生态渔业绿色可持续发展的实用价值；立足外来物种入侵破坏本土生物多样性的生态危害，培育学生主动防范入侵物种、保护本土生态平衡、践行生物多样性保护的社会责任与环保意识。 十、教学反思与修改措施 1 教学反思 本节课使用小天蓝绣球实景图、种群数据表、J 型增长曲线图、海蟾蜍实物图、大草履虫 S 型曲线图五组教材素材，按照 J 型模型 —S 型模型逻辑完成 45 分钟授课。大部分学生能记住两类增长曲线名称，但课堂短板明显：一是学生推导 J 型公式时容易混淆 t、t-1 指数，代入数据计算种群数量时常出现演算错误；二是无法准确区分两类曲线增长速率变化规律，普遍误以为 S 型全程增速持续上升；三是对 K/2 拐点的生产应用理解浅薄，只能简单记住捕捞维持 K/2，不能结合增长速率峰值完整解释底层逻辑；四是小组分析入侵物种案例时，仅提及繁殖快，忽略缺少天敌、空间食物充足两大 J 型增长核心条件；五是课堂留给学生自主演算种群数量、对比两类模型曲线差异的交流演算时间不足，课后定量计算、曲线辨析题型逻辑混乱。 2 修改措施 课前发放 J 型公式分步演算填空预习单，标注指数 t-1 的推导来源，配套简易计算题当堂演算纠错；课堂增加两类增长速率变化对比填空互动，绘制增速变化辅助曲线，明确 S 型增速先升后降、K/2 为峰值；补充渔业休渔案例分层分析框架，强制串联 S 型曲线 K/2 增速最大原理；压缩教师图示、公式讲解时长，增加小组演算种群逐年数量、设计入侵物种防控实操方案的交流时间；课前给小天蓝绣球两道思考题设置分层分析框架，要求答案必须区分理想环境、自然有限环境；课后配套 J 型公式计算、S 型曲线拐点辨析、入侵物种成因三类专项习题，夯实种群数学建模基础，提升学生定量推演、跨模型对比分析的逻辑能力。 学科网（北京）股份有限公司 $