专题10 相似三角形综合（5年汇编）（福建专用）2022-2026年中考数学真题分类汇编

**基本信息** 聚焦福建中考相似三角形综合专题，汇编2022-2026年5年真题及2026年模拟题，突出几何压轴题的分层设问与跨知识整合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|25题（含5道真题）|相似三角形判定与性质、圆周角、图形旋转、二次函数动点，如2026真题结合圆内接四边形，2025真题涉及圆与三角形交点|分层多小问设计，第(1)(2)问侧重相似证明，第(3)问融合方程思想与最值问题；高频出现A字型、8字型等相似模型，与圆、几何变换、函数联动，匹配福建中考压轴题命题规律|

函学科网 专题10 中 考点分类 福建考情(2022-2026 2026福建中考 2025福建中考 考点01相似三角 2024福建中考 形综合 2023福建中考 2022福建中考 ww.zxxk.com 让教与学更高效 相似三角形综合 5年真题1年模拟 考命题透析园 命题规律 作为几何压轴/函数几何综合大题，分层多小 问梯度设问。载体丰富：圆内接四边形、等腰 直角三角形旋转、户外实地测量、二次函数动 点。核心以相似三角形判定与性质为工具，串 联圆周角、图形旋转、平行线分线段成比例、 面积比例、解直角三角形综合考查；第(1)②) 小问侧重相似证明、角度推导：第（③）小问结 合线段比例、面积比值最值、周长计算，常融 合方程思想。试题综合性极强，相似模型(A 字型、8字型、旋转相似)高频出现；近五年 稳定和圆、几何变换、二次函数联动，是整张 试卷区分度最高的板块。 1/93 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 五年真题分类园 品 考点01相似三角形综合 1.(2026福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于O0,E是DC延长线上的一点，EB的延长线 交OO于点F,AB=BD,∠CBE=∠ABD=60°， D B (1)求∠E的度数： (2)求证：四边形AFEC是平行四边形： CG 2 BD B)设CF交BD于点G,且FG3,求AC的值. 【答案】(1)60 (2)证明：∠ACD=∠ABD=60°， ∴.∠ACD=∠E .AC∥EF :四边形AFBD是⊙O的内接四边形， ∴.∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， ∠ADB=60°， ∴.∠AFB=120° ∴.∠AFB+∠E=180° .AF∥CE, ∴四边形AFEC是平行四边形. √7 3)3 2/93 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【分析】(I)先判定△ABD是等边三角形，得到∠BAD=∠BDA=60°，利用圆的内接四边形的性质，证 明∠BCE=∠BAD=60°，最后利用三角形内角和定理解答即可； (2)先利用∠ACD=∠E判定AC‖EF,利用圆的内接四边形的性质求得∠AFB=120°，证明AF‖CE, (3)过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a,先判定△BCE是等边三角形，证明 △CFE≌△BDE(AAS ）,得到EF=ED,再证明△DEF是等边三角形，证明BCT DF,△BCGDFG】 △BCE∽aFDE,得到BE=2a,EF=3a,接着利用勾股定理表示出CH,CF,利用平行四边形的性质表示 出AC,进一步解答即可。 【详解】(1)解：AB=BD,∠ABD=60°， ∴△ABD是等边三角形 ∴.∠BAD=∠BDA=60° ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠BAD+∠BCD=180° 又：∠BCE+∠BCD=180°， ∴.∠BCE=∠BAD=60° ∠CBE=60°， ∴.∠E=180°-∠CBE-∠BCE=60° (2)略 (3)解：过点C作CH⊥BE,垂足为H,连接DF,设CD=a, A B E∠E=∠CBE=∠BCE=60° :△BCE是等边三角形， ∴.BE=CE 又：∠CFB=∠CDB,∠E=∠E, ∴.△CFE≌△BDE(AAS) 3/93 可学科网 ..EF =ED ∴.BF=CD=a ∠E=60°， ∴△DEF是等边三角形. ∴.∠FDE=∠BCE=60 ∴.BCI∥DF ∴.△BCG∽△DFG BC_CG_2 DFFG3· :BCI∥DF .△BCE∽△FDE BE BC 2 FEFD3· ∴.BE=2a,EF=3a. :四边形AFEC是平行四边形， ∴.AC=EF=3a :△BCE是等边三角形，CH⊥BE, :B明=2BE=a 在R△BCH中，tan∠CBE CH=3 BH .CH=3BH =3a FH BF+BH =2a, CF=vFH+CH=2a+5a)月 △CFE≌△BDE, ∴.BD=CF=V√7a BD a AC 3a 3. www.zxxk.com 让教与学更高效 a. 4/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 2.(2025福建中考真题)如图，四边形ABCD内接于OO,AD,BC的延长线相交于点E,AC,BD相 交于点F.G是AB上一点，GD交AC于点H,且AB=AC,BG=DG G H O● B C E (I)求证：∠ABC=∠DBE+∠E; (2)求证：AH2=HF·HC: tanZABC =5,AD=2DE,CD=6 (3)若 求△AGH的周长。 【答案】(1) 证明：“AB=AC, ,∠ABC=∠ACB AB=AB ∴，∠ACB=∠ADB ∴.∠ABC=∠ADB ∠ADB=∠DBE+∠E, ∴.∠ABC=∠DBE+∠E G H D B C E (2) 证明： .AD=AD ∴，∠ABD=∠ACD 5/93 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 BG=DG. ∴.∠BDG=∠ABD=∠ACD 又：∠DHF=∠CHD .△HDF∽△HCD, HF HD ‘HDHC, :HD2=HF.HC. 由(1)知，∠ABC=∠DBE+∠E, 又：∠ABC=∠DBE+∠ABD, ∠ABD=∠E, .∠BDG=∠E '∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, .∠ADG=∠DBC .CD=CD .∠DAC=∠DBC, .∠ADG=∠DAC, .AH DH, .AH2=HF.HC. ⊙3v6 B=AC得∠ABC=∠ACB,结合同弧MB所对圆周角 ∠ACB=∠ADB 【分析】(1)利用 再根据三角形 外角性质∠ADB=∠DBE+∠E,完成证明， (2)先证△HDF~aHCD得HD=HF,HC,再通过角的等量代换证∠ADG=∠DAC,推出AH=DH,从 而得AH2=HF·HC. (3)利用(2)结论将△AGH周长转化为AB,通过相似三角形△ACD~aAEC及三角函数、勾股定理求出 3v6 AB的长，即△1GH周长为 【详解】(1)略 (2)略 6/93 可学科网 www.zxxk.com (3)解：由(2)知，AH=DH, .△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG= 设DE=m,则AD=2DE=2m,AE=AD+DE=3m. G H D H 由(2)可知，∠ACD=∠E 又：∠CAD=∠EAC, △ACD△AEC, 、AC AD CD AE AC EC .AC2 AD.AE =6m2, ∴.AC=V6m 又CD=V6 Jom6 3m EC, ∴.EC=3 过点C作CP⊥AE,垂足为P,则∠CPD=∠CPE=90° ~四边形ABCD是圆内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180°. 又∠ADC+∠CDP=180°， .∠CDP=∠ABC, ∴.tan/CDP=tan∠ABC=√5 :.在Rt△DCP中，PD PC-5,即PC=5PD ..CD=PD2+PC2=6PD 7/93 让教与学更高效 AG+BG=AB 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 √6PD=6 .PD=1, ∴，PE=DE-DP=m-1 在Rt△CPE中，PE2+PC2=CE2, .m-102+(5=32 解得m=3,或m=-1(舍去). ..AB=AC=36 ∴.△AGH v6 的周长为 【点睛】本题考查圆的性质、等腰三角形、相似三角形、解直角三角形等知识，通过角与边的转化、相似 三角形判定与性质解题，关键是利用圆的性质和三角形知识进行边角关系推导， 3.(2024福建中考真题)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,以AB为直径的⊙0交BC于点D, AE10C,垂足为 E,BE AD 的延长线交 D于点F OE (I)求AE的值： (2)求证：△AEBABEC: (3)求证：AD与EF互相平分. 【答案】(1)2 (2) 过点B作BM‖AE,交EO延长线于点M. 8/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D ·.∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90° AO=BO ∴.△AOE≌△BOM, ∴.AE=BM,OE=OM 0E-1 AE2· ∴.BM=2OE=EM. .∠MEB=∠MBE=45° .∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°， .∠AEB=∠BEC :AB=AC,∠BAC=90° .∠ABC=45°， ∠ABM=∠CBE, ∴.∠BAE=∠CBE ∴.△AEB∽△BEC 3) 如图，连接DE,DF D 是 的直径， .AB ⊙0 ∴.∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO 9/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :AB=AC,∠BAC=90° ∴.BC=2BD,∠DAB=45° 由(2)知，△AEBP△BEC」 AE AB 2A0 AO ,∠EAO=∠EBD BE BC 2BD BD ∴.△AOE∽△BDE .∠BED=∠AEO=90° .∠DEF=90° ,∠AFB=∠DEF, .AFI‖DE 由(2)知，∠AEB=135°， .∠AEF=180°-∠AEB=45° ∠DFB=∠DAB=45°， .∠DFB=∠AEF, AE∥FD .四边形AEDF是平行四边形， ∴.AD与EF互相平分 【分折】（少先证得4C=240:再在R4OC中，m∠40C=C AO =2.在Rt△A0E中， tan∠AOC=AE 45-2,再证得结果： OE,可得OE (2)过点B作BM‖AE,交EO延长线于点M,先证明△AOE≌△BOM,可得AE=BM,OE=OM,再证 得∠BAE=∠CBE,再由相似三角形的判定可得结论； AE AB 2AO AO (3)③如图，连接DE,DF,由(2)△AEB-BEC,可得BEBC2BD8BD∠EA0=∠EBD,从而得 出△AOE∽aBDE,得出∠BED=∠AEO=9O°，得出∠AFB=∠DEF,再由平行线判定得出AFI‖DE, AE∥FD,从而得出四边形AEDF是平行四边形，最后由平行四边形的性质可得结果. 【详解】(1)：AB=AC,且AB是⊙O的直径， ∴.AC=2AO 10/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :∠BAC=90°， .在RtsAOC中，tan∠AOC=4C =2 O AE⊥OC, :在Rt△AOE中，an∠AOC= OE AE=2 OE OE 1 AE2: (2)略 (3)略 【点睛】本小题考查等腰三角形及直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、全等三角形的判定与性质、 相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、圆的基本性质等基础知识， 考查推理能力、几何直观、运算能力、创新意识等，熟练掌握相关图形的性质定理是关键， 4.(2023福建中考真题)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是AB边上不与A,B重合的一个 定点.AO⊥BC于点O,交CD于点E.DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的，FD,CA的延长 线相交于点M. M M D B 图1 图2 (I)求证：△ADE∽△FMC: (2)求∠ABF的度数： 3)若N是AF的中点，如图2.求证：ND=NO 【答案】I) 证明：：DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的， 11/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∠DFC=45°， :AB=AC,AO⊥BC 六∠BAO=∠BAC 2 :∠BAC=90°， ·.∠BAO=∠ABC=45° ∴，∠BAO=∠DFC :∠EDA+∠ADM=90,∠M+∠ADM=90°， ∴.∠EDA=∠M. ∴.△ADE∽△FMC (2)∠ABF=1350 3) 证明：如图2：延长ON交BF于点T,连接DT,DO, M D B 图2 :∠FBI=∠BOA=90° .BF∥AO, ∴.∠FTN=∠AON N是AF的中点， .AN=NF 又：∠TNF=∠ONA, ∴.△TNF≌△ONA, .NT=NO,FT=AO :∠BAC=90°，AB=AC,AO⊥BC」 12/93 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 A0=C0, ∴.FT=CO 由(2)知，△BIFn△DIC, .∠DFT=∠DCO」 .DF DC, ∴.△DFT≌△DCO ∴.DT=DO,∠FDT=∠CDO .∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,即∠ODT=∠CDF. .∠CDF=90°. .∠ODT=∠CDF=90°， :.ND-1TO-NO 2 【分析】（④）由旋转的性质可得∠DFC-45·再根据等膜三角形的性质可得∠B40∠B4C,再证明 2 ∠BAO=∠DFC、∠EDA=∠M,即可证明结论： BI DI (2)如图1：设BC与DF的交点为I'先证明：△BD∽△FIC可得FC,再证明△BIF∽△DIC可 得∠IBF=∠IDC=90°，最后运用角的和差即可解答： (3)如图2：延长ON交BF于点T,连接DT,DO,先证明△INF≌aONM可得NT=NO,FT=A0,再证 △BIF∽△DIC可得∠DFT=∠DCO;进而证明△DFT≌aDCO即DT=DO,再说明∠ODT=∠CDF=90° 则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：如图1：设BC与DF的交点为I, M E 图1 .·∠DBI=∠CFI=45°，∠BID=∠FIC 13/93 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .△BID∽△FIC, BL_DI FI CI BI FI DCI· ∠BIF=∠DIC, ∴.△BIF∽△DIC .∠IBF=∠IDC. 又∠IDC=90°， .∠IBF=90° .∠ABC=45°，∠ABF=∠ABC+∠IBF ∴.∠ABF=135° (3)略 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形 的判定与性质、等腰三角形及直角三角形的判定与性质等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键. 5.(2023福建中考真题)阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走向的最大宽 度，如图1 工具：一把皮尺（测量长度略小于AB)和一台测角仪，如图2.皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点 间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P,Q两点，可测得∠PO0的大小，如 图3. 小明利用皮尺 图1 图2 图3 图4 测量，求出了小水池的最大宽度AB,其测量及求解过程如下：测量过程： (i)在小水池外选点C,如图4，测得AC=am,BC=bm: C)分别在4C,C,上到得CM-m,QW-含m,到得Nm 求解过程： 14/93 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 由测量知，AC=a,BC=b, CM-3.CN-3 CM CN 1 CA=CB=3,又：① MN 1 △CMN∽△CAB,AB3· 又MW=c .AB=② (m) 故小水池的最大宽度为 m (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容： (②)小明求得AB用到的几何知识是 (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB.请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何 量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB,写出你的测量及求解过程.要求：测量得到的 长度用字母a,b,c…表示，角度用a,B,Y…表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出AB, 且测量的次数最少，才能得满分)· 【答案】1)①∠C=∠C:②3c (2)相似三角形的判定与性质 m (3)最大宽度为 acosaasina tanB,见解析 【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质求解即可： (2)根据相似三角形的判定和性质进行回答即可： (3)测量过程：在小水池外选点C,用测角仪在点B处测得∠ABC=Q,在点A处测得∠BAC=P:用皮 尺测得BC=am: 求解过程：过点C作CD⊥AB,垂足为D,根据锐角三角函数的定义推得BD=acosa,CD=asina, AD=asina anB,根据AB=BD+AD'即可求得 【详解】1)：4C=a·C=,CM=分，Cv-9 3· CM CN1 CA CB 3' 15/93 函学科网 www.zxxk.com 又：∠C=∠C, .△CMN∽△CAB. MN1 ·AB3 又，MN=c, AB=3c(m) 故小水池的最大宽度为3cm. (2)根据相似三角形的判定和性质求得AB=3MN=3C, 故答案为：相似三角形的判定与性质。 (3)测量过程： (i)在小水池外选点C,如图，用测角仪在点B处测得∠ABC=Q,在点 D B B a (ii)用皮尺测得BC=am 求解过程： 由测量知，在△ABC中，∠ABC=a,∠BAC=B,BC=a. 过点C作CD L AB,垂足为D 在R△CBD中，cOs∠CBD=BD BC 即cosa= BD a,所以BD=acosa 同理，CD=asina 在RtACD中， tan∠CAD=CD AD· AD,所以AD=ina 即tanB=asina tanB· 所以AB=BD+AD=acosa+ asina(m） tanB 16193 让教与学更高效 A处测得∠BAC=B: 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 asina acosa+ m 故小水池的最大宽度为 tanB 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，根据题意画出几何图形，建立 数学模型是解题的关键， 6,（2022福建中考真题)在平面直角坐标系0中，已知抛物线'=r+x 经过A(4,0),B(1, 4)两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的上方. 1 4 x (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标： B)如图，OP交AB于点C,PD∥B0交AB于点D.记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为氵， S S2 S S2 S,·判断S,+了，是否存在最大值.若存在，求出最大值：若不存在，请说明理由 【答案】=号2+x 3 16 (2)存在， 2,3)或3,4 9 3)存在， 【分析】(1)待定系数法求解析式即可求解： ②待定系数法求得直线48的解析式为少号+5。 +3,过点P作PMLx轴，垂足为M,PM交AB于点 N过点B作B8LPM,垂足为8.可得Sapu=Sm+Sa号PN,设Pm-号m+9m<m<4)】 17193 品学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则Nmm+).由PN=m+m(m+》. 解方程求得m的值，进而即可求解： SS2 =CD+PC 2PD (3)由已知条件可得AOBCPAPDC,进而可得SS,BC OC=OB,过点B,P分别作x轴的垂线， 垂足分别F,E,PE交AB于点O,过D作x的平行线，交PE于点G,可得△DPG∽aOBF,设 16 PD DG 3 根据OBOF可得4n=m2-m+4, 果是受-误先-引根黑衣通数指作时米的品大 【详解】(1)解：1)将4(4,0)，B(4,4)代入'=r+ [16a+4b=0 得a+b=4, 4 a-3 解得 16· b=3 所以抛物线的解析式为=专+9：。 y=x+t(k≠0) (2)设直线AB的解析式 将A(4,0),B(1,4)代入y=+t, 4k+t=0 得k+t=4, 4 k=- 3 解得 16 18/93 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 4.16 所以直线AB的解析式为y=一3x+3: 过点P作PMLx轴，垂足为M,PM交AB于点N. 过点B作BE⊥PM,垂足为E. X B A 01 M 4 x 所以 SAPAB=SAPNB+SAPNA =号PNxBE+号PNxAM =PNx(BE+AM)） -3PN 因为4(4,0)，B(1,4),所以S0B=2×4×4=8. 因为△OAB的面积是△PAB面积的2倍， 所以2x号PV=8,PN=8 3 i设P(m,-号m+号m1<m<4),则Nm,-号m+) 所以Pw-(号+号m小（号m+9-s。 即青m+m-。 解得%=2,=3 19193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 6 3 所以点P的坐标为 3或3,4). (3)PD∥BO ∴△OBC∽aPDC CD PD PC BC OB OC S+S.CD+PC2PD 记△CDP,△CPB,△CBO的面积分别为S,S,S,·则S,+S,=BCOC=OB 如图，过点B,P分别作x轴的垂线，垂足分别F,E,PE交AB于点O,过D作x的平行线，交PE于点G 4 B P C D G Q E A B(1,4) .F(1,0) ∴.OF=1 .PD∥OB,DG∥OF ..ADPGAOBF PD PG DG OB BF OF 设Pmm+号m<m<4 416 ~直线4B的解析式为y=3x+3。 20/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 设号+》，则cm 4.16 Gm,-3m+3 PG=-4m2 2+m+4n-16 3 3 33 -a-m-a+4到 DG=m-n ，：·322一4n-n+4) m-n X 1 整理得4n=m2-m+4 章音-哭瓷调 =2DG OF =2(m-n) =2m-m-m+4 4 =m2-5m+4 m-9 2m-2+8 ..m= 5 + 9 时，S,+了，取得最大值，最大值为 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，面积问题，相似三角形的性质与判定，第三问 中转化为线段的比是解题的关键. 一年模拟练测园 1.(2026福建漳州模拟预测)如图，在四边形ABCD中，连接对角线AC,AB=AC,∠BAC=90°，过点 A作AEI‖DC交BC于点E,将线段AE绕点A顺时针旋转9O°得到AF，连接EF. 21/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (I)求证：∠BAF=∠ACD: EG (2)记AB与EF交于点G,若BE=AC,求FG的值. 【答案】I)证明：：AE‖DC, .∠ACD=∠CAE, 由旋转可得，∠FAE=90°， ,∠BAC=90°， ∴.∠FAE=∠BAC. .∠BAF=∠CAE, .∠BAF=∠ACD: ②2+1 【分析】(1)根据旋转的性质以及平行线的性质证明即可； F,E (2)连接BF,过点，E分别作 N⊥AB,EM⊥ B,垂足为点N,M,先证 △BAF≌△CAE(SAS),则 ∠4BF=∠4CE=45°，BF=CE,设BE=AC=2x,则在等腰R△4BC中，BC=V28=22x,则 CE=BF=22-2F、可得ABME是等腰直角三角形，则M=,8E=V② 2 ,△FBN是等腰直角三角 形，则 NB证=2-2少再证明△BMG∽△FG即 2 【详解】(1)略 (2)解：连接BF,过点F,E分别作FN L AB,EM⊥AB,垂足为点N,M, 22193 可学科网 WW AB=AC,∠BAC=90° ∴.∠ABC=∠ACB=45° 由旋转可得，AF=AE ··∠BAF=∠CAE △BAF≌△CAE(SAS) ∴.∠ABF=∠ACE=45°，BF=CE, 设BE=AC=2x, 则在等腰Rt△MBC中，BC=V2AB=2√2x :.CE=BF=(2V2-2x ,EM⊥AB,∠ABC=45 ∴.△BME是等腰直角三角形 EM=BE= 2 .FN⊥AB,∠ABF=45 .△FBN是等腰直角三角形， ,FN=2BF=(2-2)x 2 FN⊥AB,EM⊥AB ∴.EM∥FW ∴.△EMG∽△FNG EG EM √2x =2+1 ·.FGFN(2-2)x v.zxxk.com 让教与学更高效 23/93 学科网 www zxxk.com 2.(2026福建莆田模拟预测)如图，△ABC中，点D在边BC上， 得到4E,点D的对应点E在BC上，连接，月9二2 4 (I)判断△ADE的形状，并说明理由： (2)若DE2=BD.CE,求∠BAC的度数. 【答案】(I)解：△ADE是等边三角形，理由如下： 过点A作AF⊥BC于点F, B D F E C .S.ADE= DE·AF 2 SADE= DE2 4 4 ∴.AF= 及DE AD=AE, :DF EF, ∴.DE=2DF AF√5 2DF2, DE 24/93 让教与学更高效 连接AD,线段AD绕点A逆时针旋转 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 tan/ADF=√3 ∠ADF=60°， AD=AE, △ADE是等边三角形. (2)120° E.AF-5 DE2 【分析】(1)过点A作AF⊥BC于点F,根据三角形面积公式，得2 得到 tanZADF=3 继而得到 ADF=-60° 根据等边三角形的判定求解即可： (2)先证明△BAD△ACE,再根据三角形外角性质，解答即可. 【详解】(1)略 (2)解：根据(1)得△ADE是等边三角形， ∴.AD=DE=AE,∠ADE=∠AED=∠DAE=∠60° ∴.∠ADB=∠AEC=120°， DE2=BD·CE, DE CE BD DE' AE CE BDAD· .△BADAACE, .∠BAD=∠ACE, .∠AED=∠EAC+∠ACE=60°. .∠EAC+∠BAD=60°」 .∠BAC=∠DAE+∠EAC+∠BAD=120° 3.(2026福建三明模拟预测)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,点F在BC上，点E在AD上， 连接EF,将矩形沿EF折叠，点A,B的对应点分别为点H,G(点G落在CD边上)，连接BG 25193 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B EF ①)求BG的值： (②)若BF=5,求AE的长 EF 3 【答案】I)BG4 (2)AE的长为2 【分析】(I)过点A作AP∥EF,交BC于点P,交BG于点Q,结合矩形的性质推导出四边形APFE为 平行四边形，利用平行四边形的性质推导出△ABP∽△BCG,再运用相似的性质即可求解； (2)连接BE,EG,根据折叠求出BE=EG,BF=FG=5,根据矩形性质求出∠C=90°，AB=CD=6, BC=8 CG AE=x E2=AB2+AE2=EG2=DE2+DG2 再根据勾股定理求出的值，最后设“，根据 ,列出 方程求解即可 【详解】(1)解：如图，过点A作AP∥EF,交BC于点P,交BG于点Q B :四边形ABCD为矩形， .ADI BC :AP∥EF, ∴.四边形APFE为平行四边形. ∴AP=EF ,将矩形沿EF折叠，点A,B的对应点分别为点H,G(点G落在CD边上)， 26/93 函学科网 ∴.EF⊥BG .AP⊥BG .∠BAP+∠ABQ=90° .:∠CBG+∠ABQ=90° .∠BAP=∠CBG 又：∠ABP=∠BCG=90°， ∴.△ABPP△BCG. AP AB 63 ·BGBC84 EF 3 即BG4; (2)解：如图，连接BE,EG H D G :点B,G关于直线EF对称， ∴.BE=EG,BF=FG=5 :四边形ABCD为矩形， ∴.∠C=90°，AB=CD=6,BC=8 .CF=BC-BF=8-5=3 :CG=VFG2-CF3=V52-32=4 ∴.DG=CD-CG=6-4=2 设AE=x,则DE=AD-AE=8-x. BE2=AB2+AE2=EG2=DE2+DG2 解得x=2 AE的长为2. www.zxxk.com 让教与学更高效 得6+r=(8-x+2 27/93 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 4.(2026福建泉州·二模)如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等 的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即 在直角三角形中，c2=a2+b2(c为斜边). D b E G (I)证明：若a、b、c均为整数，则它们不可能都是奇数： AM ②)如图，若a=3,c=5,直线FH交边AB于点M,求BM的值. 【答案】（①）证明：假设a、b、c均为奇数， 则a2、b2、c2均为奇数 a2+b2为偶数， 由勾股定理得c2=a2+b2,.c2为偶数， 与c2为奇数相矛盾，假设不成立 .a、b、c不可能都是奇数. 4 ② 【分析】(I)假设a、b、c均为奇数，推出c为偶数，即可得证： AM AN (2)过A作AN⊥AH,交HM的延长线于点N,证明AAMW∽aBMF,进而得到BM=BF,求出 AN,BF 的长即可 【详解】(1)略 (2)解过A作AN⊥AH,交HM的延长线于点N, .∠NAE=∠AEB=90°， 28193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .AW∥BE, .△AMW∽aBMF, AM AN ·BMBF, 在直角三角形ADH中，DH=a=3,AD=c=5, AH2=AD2-DH2=52-32=16 .AH=b=4(负值舍去)， 在正方形EFGH中，∠EHF=45°， .∠AWNH=45°=∠EHF, .AN=AH=4. 又：BF=a=3, AM AN 4 BMBF3 A b M F入 B 5.(2026福建泉州模拟预测)如图，将矩形ABCD(AB>AD)绕点A逆时针旋转α得到矩形AEFG, 且点B的对应点E恰好落在边CD上，连接BE,BG,BG与AE交于点P.过点P作PHI‖AG交AB于点 H H G (1)求∠CBE的大小（用含C的代数式表示）： (②)试猜想线段PH，,EF的数量关系，并证明你的猜想 29193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 【答案】)2 Q)PH=1EF 2 证明：过点B作BM⊥AE于点M, B G .∴∠BME=∠BMA=90 :∠ABE=∠AEB=90°- 2 ·∠EBM= 2, ∴，∠EBM=∠CBE :四边形ABCD是矩形， ∠C=90°，BC=AD, ∴.∠C=∠BME=90°， 又BE=BE, .△BCE≌△BME(AAS) .BC=BM, :AD=BM, 由旋转的性质可得∠GAP=90°，AG=AD, AG=BM,∠GAP=∠BMP=90°， 又：∠BPM=∠GPA, .△BMP≌△GAP(AAS) :BP=PG, PH∥AG, ∴△BPHP△BGA 30193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 PH BP 1 AGBG2· 1 .PH-7AG 四边形AEFG是矩形， :.AG=EF, 【分析】 0 由旋转性质可得AB=AE,∠BAE=Q,则有∠ABE=∠AEB,从而有 ∠ABE=∠AEB=90°- 2:通过矩形的性质可得∠ABC=90,则∠CBE=∠ABC-∠ABE= 2 (2)过点B作BM⊥AE于点M,则∠BME=∠BM1=90°，则有∠EBM=∠CBE,证明 △BCE≌aBME(AAS),所BC=BM,则有4D=BM,由旋转性质可得∠G1P=90°，MG=D,所以 4AG=BM,∠GAP=∠BMP=90°，证明△BMP%aGMP(S）,则有BP=PG,再证明△BPHABGA, PH BP 1 汉汇G2,故有PH=AG,然后通过矩形的性质即正 【详解】(1)解：由旋转性质可得AB=AE,∠BAE=a, ∴.∠ABE=∠AEB」 :∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°， ∠ABE=∠AEB=90°-7， 四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°， ∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=90° (2)略. 6. (2026福建漳州模拟预测)在平面直角坐标系中，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A,与y轴 31193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 y=-x2+bx+c 交于点B,抛物线 经过A,B两点. (1)求抛物线的函数表达式与顶点坐标： ②点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，连接Op:交线段AB于点Q,若Se5m,求点P 的坐标 【答案】)y=-x2+2x+3(但，4) 3+V573+V57 4 8 【分析】(1)先求出直线与坐标轴的交点坐标，再由待定系数法求解函数表达式，再配方求解顶点坐标 即可； 1 04_194-1 (2)由 ae250,可得02，则Bi,过点0作QT1x轴于点7，由△10To△1B0求出 2 2(2,1) 00 然后求解直线 的函数表达式，再与抛物线的表达式联立求解即可. 【详解】(1)解：，一次函数y=-x+3的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B, 当x=0y=3 当y=0,-x+3=0,解得x=3 :3,0)B0,3) y=-x2+bx+c ,抛物线 经过A,B两点 32193 函学科网 [-9+3b+c=0 ∴.c=3 b=2 解得c=3 y=-x2+2x+3 ∴抛物线的函数表达式为 y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 1,4) 顶点坐标为 1 (2)解：So4e= QA 1 ..BO 2 QA 1 ·AB3 过点2作QT1x轴于点T, 则QT∥y轴， △AQT∽△ABO A0 AT OT 1 ·AB AO B03 430)B(0,3) ∴.A0=B0=3 www.zxxk.com 让教与学更高效 33193 可学科网 www.zxxk.com :AT=OT=1, ∴.OT=A0-AT=2 .2,) 设直线OQ:y=mx,则2m=1, 1 解得m=2 1 直线00：y=2 2x=-x2+2x+3 1 与抛物线表达式联立可得， 3+V57 3-V57 解得专 4, x2= 4 (舍去) ,p3+573+V57 4 8 7.(2026福建漳州模拟预测)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于 BA延长线上一点，GE与AC交于点F,AF=AG. G (I)求证：AD‖GE (②)若A,F分别是BG,CA的中点，EG=8,求EF的长. 【答案】I)证明：，AD平分∠BAC, a∠BD=D1C-号B4C. AF=AG, ∴.∠AGF=∠AFG, ,∠BAC=∠AGF+∠AFG, 34193 让教与学更高效 点D,E为BC上一点，G为 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :.∠AGF=∠AFG= ∠BAC, .∠BAD=∠AGF, .ADI GE (2)2 【分折1（山白AD平分∠B4C,可得∠BD=∠D1C-BAC.由E=AG:可得∠AGF=∠AG, 再由三角形的外角定理可得∠BAD=∠AGF,即可证明结论： AD BA (2)由(1)可知，AD‖GE,可得BADABGE,可得GE=BG,由A是BG的中点，可得 1 EF CF 1D=2GE=4,再由*CFEACAD:可得DC,再由P是CA的中点，即可得EF=4D=2. 【详解】(1)略 (2)解：由(1)可知，AD川GE, .△BAD ABGE, AD BA .GE BG' A是BG的中点， :BA=号BG 2 AD BA 1 ·GEBG2' :4D=)GE=x8=4 20 2 同理可得，△CFE∽aCAD, EF CF .AD CA' F是CA的中点， CF-7CA, EF CF1 AD CA 2' 35193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .EF 2D= 4=2. 1 EF的长为2. 8.(2026福建宁德一模)如图，AB是⊙0的直径，射线AM与⊙0相切于点A,D是射线AM上一点， OD交OO于点C,射线BC交AD于点E. M 6 (I)求证：∠DAC=∠OCB: AC AD ②)若OB=BC,求∠B的度数： 3)若CD=AE,求tan∠ADO的值. 【答案】() 证明：OC=OB, ∴.∠OCB=∠B. :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， ,AM是⊙O的切线， ∠DAB=90°， ∠DAC+∠CAB=90°， .∠B=∠DAC, .∠DAC=∠OCB； (2)∠B=30° B)tan∠AD0= 2 【分析】(1)由OC=OB,可得∠OCB=∠B,又根据切线的性质及圆周角定理可得∠B=∠DAC,进而 得到∠DAC=∠OCB: 36/93 可学科网 www zxxk.com (2)设∠B=a,利用相似三角形的判定得到△ACD∽aBOC, (3)通过论证△ACD∽aBOC,△EAC∽△ABC可得AD=AB 【详解】(1)略 (2)解：设∠B=a, 由(I)得∠DAC=∠OCB=∠B=a, .AC_AD OBBC· ∴△ACD∽△BOC, ∠CDA=∠OCB=a. ∴.∠DOA=∠B+∠OCB=2a 由(1)得∠DAB=90°， ∴.∠CDA+∠DOA=90°. .u+2a=90°， ∴.a=30° 即∠B=30°： (3)解：由(1)得∠DAC=∠OCB, ∠DCE=∠OCB, .∠DAC=∠DCE, 又∠ADC=∠CDE, ∴.△DAC∽△DCE, CD EC AD AC' 由(1)得∠EAC=∠B, ∠ECA=∠ACB=90°， .△EAC∽△ABC. EC AE AC AB' CD AE AD AB' .CD=AE .AD=AB=20A, 37/93 让教与学更高效 继而可得∠CDA+∠DOA=90°，求解即可： 2OA,进而计算tan∠ADO的值即可. 函学科网 www zxxk.com ∴.tan∠ADO= OA 1 AD2· 9.(2026福建三明·二模)如图1，C是以AB为直径的半圆O上一点， 的延长线于点E,AC,BD相交于点F, D D F F O O 图1 图2 (I)求证：AC=2DE: EF 2)如图2，若O,F,E三点共线，求OF· 【答案】(I) 证明：解法一：连接OD交AC于点G,连接OC, D D是AC的中点， AG=CG=AC 0D 14C :.∠DGC=90°， ,AB为直径， .∠ACB=90° ∴.∠ACE=90° DE⊥BC, .∠E=90°， .四边形DGCE为矩形， 38193 让教与学更高效 D是AC的中点，DE⊥BC交BC 西学科网 .DE=CG=. .AC=2DE: 解法二：延长AD,CE相交于点N E ,AB为直径， ∴.∠ACB=∠ADB=∠BDN=90° :D是AC的中点， .AD=CD ∴.∠ABD=∠CBD 又BD=BD, ∴△ABD≌ANBD. ∴.AD=ND :DE⊥BC, ∠DEB=90°=∠ACB, .DE∥AC, DE ND 1 ·ACNM2: .'.AC=2DE EF ②OF =2 【分析】(1)连接OD交AC于点G, ODL AC,再由∠ACB=∠ACE=∠E AC=2DE: www.zxxk.com 让教与学更高效 连接0OC,由D是AC的中点结合垂径定理的推论得4G=CG4C, g0得到四边形DGCE为矩形，DE=CG=号4C,即可证明 39/93 可学科网 www zxxk.com (2)根据三角形中位线得到BC=2OG,由DE GC,DO川EC,DE=GC, BC BE △DOF∽aBEF,得到CEOD,设BC=2a,CE=b,则BE=2a+b,OD EF-CE_b- 即可得到OF=OGa 【详解】(1)略 (2)解：解法一：由(1)知，AG=CG, 又：OA=OB, ∴.BC=20G, 由(1)知，四边形DGCE为矩形， D .DEll GC,DOll EC,DE=GC, BC BF CE DF' 且∠DOF=∠BEF,∠ODF-=∠EBF, ∴.△DOF∽aBEF, BF BE :DF OD' BC BE :CE OD' 设BC=2a,CE=b, BE=BC+CE=24+b OD-OG+DG-BC+CE-+b 2 2a2a+b .ba+b’ .b=Va 40193 让教与学更高效 BC BF 得到CEDF,即可证明 a+b,代入整理得b=√2a, 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 EF_CE-b=√反 .OF OG a 解法二：过O作AC的平行线交BC于点H, D B CF EC BH_OB=1. 则OH=EH,CH=OA .BH=CH, ..AC=20H 由(1)得，AC=2DE, ..OH=DE, CF EC ·DEEH 由(1)得，∠BCF=∠BED=90°， 又：∠CBF=∠EBD, ∴△BCF∽△BED. CF BC ·DEBE, EC BC ·EHBE, 设BC=2a,EC=b,则CH=a,EH=a+b,BE=2a+b, b 2a .a+b 2a+b' ,b=√2a EF_EC_b=V反 ∴.OF FO a 10.(2026福建南平·二模)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE,其中点D与点A是对应点， 点E与点C是对应点，且点D恰好落在BC的延长线上，点E恰好落在AC的延长线上， 41/93 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (I)求证：△DAE是等腰三角形： C.CDE=1 (2)若CBDE2,BC=3,求AB的长 【答案】1) 证明：由旋转的性质，得∠ABC=∠DBE,∠ACB=∠DEB,BA=BD,BC=BE, <Bi0=∠BD1.1048D.∠BCE∠BgC-180-∠D8E 2 2 ∴.∠BAD=∠BDA=∠BCE=∠BEC. ',∠ACB=∠CAD+∠BDA,∠DEB=∠BEC+∠DEA, ∴.∠CAD=∠DEA. .DA=DE, ∴，△DAE是等腰三角形： (2)4 【分析】(1)由旋转性质得：BA=BD,BC=BE,对应角相等；由等腰三角形性质推出： ∠BAD=∠BDA=∠BCE=∠BEC;结合外角性质∠ACB=∠CAD+∠BDA、∠DEB=∠BEC+∠DEA,推出 ∠CAD=∠DEA;由等角对等边得DA=DE,证明△DAE是等腰三角形， (2)由旋转性质和三角形内角和，证得∠DEC=∠DBE,结合公共角∠CDE，,推出△DCE∽aDEB,由相 CD DE 1 似三角形周长比等于相似比，得DE=DB2:设CD=x,则DE=2x,DB=4x:利用BD=BC+CD列 方程4x=3+x,解得x=1,得DB=4;由旋转性质AB=BD,得AB=4. 【详解】(1)略 (2)解：由旋转的性质，得∠BAC=∠BDE, ,∠ACB=∠DCE, .∠ABC=∠DEC, 又：∠ABC=∠DBE. 42193 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠DEC=∠DBE. .∠CDE=∠CDE, .△DCE∽△DEB」 CD_DE CACDE=1 'ED DB CABDE 2 设CD=x,则ED=2x,DB=4x, CD+BC=BD. .x+3=4x, 解得x=1, .AB=BD=4. 11.(2026福建莆田·模拟预测)阅读材料，回答问题. 主 设计能读出并联电路总电阻值的教具 题 1=1+1 物理课上学习了计算并联电路总电阻公式R。R'R,每次计算R时总感觉计算麻烦，故某校 提 111 “勤奋”实践小组结合数学相似三角形的知识：如图，若AB/EF∥CD,则EF=ABCD·他们 出 就积极思考，并设计了一个能读出并联电路总电阻值的教具. 问 R 题 R 分 析 如图1，利用直尺AB、直尺DC和直尺EF(其中A,D,E,F,G处均装有滚轮，滚轮可在直尺上调 解 节滚动，直尺EF可以在BC上左右滚动)设计教具，AB⊥BC,DC⊥BC,AC与BD相交于点E 决 ◇ EBF1BC,垂足为F.若设置1，D在直尺上的读数分别为，R,则点E在直尺上的读数为并 R,R2 题 43/93 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 联电路总电 R 的值 -o n D E 证明： B利 六 C 滚轮 图1 :EF⊥BC,AB⊥BC EF∥AB,.① EF CF AB CB ”(依据②】 EF BF 同理可得：CDCB, ③ 111 AB CD EF “若设置4D 直尺上的读数分别为 ,品，则点E在直尺上的读数为并联电路总电阻的值。 受“勤奋”实践小组的启发，“严谨”实践小组提出设计教具的方案，如下：如图2，Rt△ABC 中， RR的 ∠C=90°，AC=BC,D是边CB的延长线上一点，设线段BC,BD的长度分别为 创 值，则图中可作出一条长度作为值的线段； 新 设 计 C B D 图2 (1)请把①②③补充完整； (②)请帮“严谨”组在图中作出该线段，并说明理由： EFEF BF CF 【答案】I)D△CFE△CBA:②相似三角形对应边成比例：③AB+CDCB+CB 1 44193 可学科网 www.zxxk.com 解：如图，作BE LBC交4D于点瓜，BE的长度作为值， R总 证明：~EB⊥BC,∠C=90°， .∠EBD=∠C=90°， EB∥AC, ∴.∠CAD=∠BED, ∴△DBEP△DCA, AC CD ·BEBD' ·AC=BC. BCBD+BC=1+ BC BE BD BD 1 1 1 BE BC BD· ∴.BE 的长度可以作为值。 【分析】(1)根据相似三角形的判定和性质分析即可： (2)作BE⊥BC交AD于点E,证明EB∥AC,推出△DBE∽△DCA 即可求解， 【详解】(1)证明：EF⊥BC,AB⊥BC, ∴.EF IAB ∴.△CFE∽△CBA, EF CF ABCB(依据：相似三角形对应边成比例) 45/93 让教与学更高效 根据相似三角形对应边成比例，列式 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 EF BF 同理可得：CDCB EFEF BF CF AB CD CBCB =1 1,11 AB'CDEF· “若设置4 在直尺上的读数分别为 ,R,则点E在直尺上的读数为并联电路总电阻R的值， (2)略 12.(2026福建三明·一模)如图，点A、B在⊙0上，过B点的切线交A0所在的直线于点C,过点A作 AD⊥CB于D,连接AB. D B 0 (I)求证：AB平分∠CAD: (②)连接DO并延长，交OO于点E,F,若BD=3,DE=1.求tan∠EAB的值. 【答案】1) 证明：如图，连接OB, B 是 的切线， .BC⊙O .OB⊥BC, AD⊥CB .OB∥AD ∴.∠BAD=∠ABO 46/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :0A=OB, ∴.∠ABO=∠BAO. ∴.∠BAD=∠BAO. ∴.AB平分∠CAD: 1 2 【分析】(1)连接OB,根据圆的切线的性质推出OB‖AD,利用平行线的性质和等边对等角的性质，得 出∠BAD=∠BAO,即可得证： (2)连接BF、BE,由直径可得∠EBF=9O°，由同角的余角相等以及等边对等角，得出∠DBE=∠OFB, 从而证明ABDE∽AFDB' 得到tanF=BE-DE1 FBBD3,再根据同弧所对的圆周角相等求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接BF、BE, D 是直径， EF ∴.∠EBF=90° .∠EB0+∠OBF=90°， ∠EBO+∠DBE=90°， ∴.∠OBF=∠DBE OB=OF, ∴.∠OBF=∠OFB ∴.∠DBE=∠OFB. 又：∠BDE=∠FDB, ∴.△BDE△FDB. BE DE 1 FB BD3 47193 可学科网 www.zxxk.com BE 1 在RtoBEF中，tanF= FB3· BE=BE .∠EAB=∠F, 、1 ∴.tan∠EAB=tanF= 3· 13.(2026福建漳州一模)如图，正方形1BCD ⊙0 内接于 交BC于点E,连接CF,BP,DP F 0 E (I)求证：△BEF∽△PBF: BD=2,EF=EC DP (2)若 ,求 的长： B)探究AP,BP,DP之间的等量关系， 【答案】1) 证明：：四边形ABCD是正方形， .AB=CD ..AB=CD ∴.∠APB=∠CBD .∠BFE=∠PFB ∴.△BEF∽△PBF: 2 23n 3) BP+DP=2AP ,理由如下： 48193 让教与学更高效 点P在C上，连接4，交BD于点F, 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 延长PB到点H,使得BH=DP,连接AH, H B ∠ADP+∠ABP=180°，∠ABH+∠ABP=180°， .∠ADP=∠ABH, :正方形ABCD中，AB=AD, 又，BH=DP ADPABH (SAS) AH=AP,∠BAH=∠DAP :正方形ABCD中，∠BAD=90°」 ∴.∠HAP=∠BAH+∠BAP=∠DAP+∠BAP=∠BAD=90° PH=VAP+AH=AP .BP+BH=2AP BP+DP=2AP 【分析】()根据正方形的性质得到1B=CD,则B=CD, 再由圆周角定理得到∠APB=∠CBD 然后 结合公共角即可： (2)先证明 MBF≌aCBF(SAS),结合EF=BC,则可设∠EFC=∠BCF=∠B1F=X,那么 ∠AEB=∠EFC+LBCF=2x,由∠AEB+∠BAF=90°，求出x=30°，由(1)知△BEF∽△PBF,则 ∠FEB=∠FBP=60°，连接OP,则∠DOP=2∠FBP=120°，确定BD是⊙O的直径，再由弧长公式求解即 可； 49193 可学科网 www.zxxk.com (3)延长PB到点H,使得BH=DP,连接H,先证明 ADP≌△ABH(SAS) AH=AP,∠BAH=∠DAP 可得∠HAP=∠BAD=90 则由勾股定理得到PH 等量代换求证即可. 【详解】(1)略 (2)解：四边形ABCD是正方形，BD是对角线， AB=BC,∠ABC=∠BAD=90°，∠ABD=∠CBD=45° 又，FB=FB, ÷△1BF≌*CBF(SAS) ∴.∠BAF=∠BCF, .EF EC. ∴.∠EFC=∠BCF 设∠EFC=∠BCF=∠BAF=x, ∴.∠AEB=∠EFC+∠BCF=2x .∠AEB+∠BAF=90° .3x=90° .x=30°， ∴.∠AEB=60°， 由(1)知△BEF△PBF .∠FEB=∠FBP=60° 连接OP,则∠DOP=2∠FBP=120° B :正方形ABCD内接于⊙O,∠BCD=90° ∴.BD是OO的直径， .BD=2 50/93 让教与学更高效 则 VAP2+AH=√2AP 再 函学科网 www.zxxk.com 小`.OD三2BD=1 120 2 ·DP的长为360Y 2rx1= 3 (3)略 14.(2026福建泉州模拟预测)如图1，在四边形ABCD中，对角线AC ∠ADB=∠ABC,AD,BC的延长线交于点E. D 图1 图2 (I)求证：△ACE∽△BDE: 2若BD1CD,求证： 2AD+CD=BD CE 3)如图2，若AB=10: tan∠ABC=4 ,当DE的值最小时，求CD的长。 【答案】I) 证明：：AB=AC,∠ADB=∠ABC, ∴∠ADB=∠ABC=∠ACB, ∴.∠ACE=∠BDE, ∠E=∠E, △ACE△BDE: (2) 证明：如图，作AH⊥AD于点A,交BD于点H, D H,' E.∠DAH=90° BD⊥CD, ∴.∠BDC=90° 由(I)得：△ACE∽△BDE. 51193 让教与学更高效 BD相交于点G,AB=AC, 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∠CAE=∠DBE, :∠AGD=∠BGC, △AGDn△BGC, AG DG BG CG' :∠AGB=∠DGC, AAGB△DGC, ∴，∠BAG=∠BDC=90°， ∴.∠BAH=∠CAD AB=AC. ∴.∠ADB=∠ABC=∠ACB=45°， :.AH AD HD=2AD 在△ABH和△ACD中， AB=AC ∠BAH=∠CAD AH=AD '.△ABH≌△ACD(SAS) .BH=CD .2AD+CD=HD+BH BD 0)2 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性 质，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键。 (1)根据等腰三角形的性质易证得∠ACE=∠BDE,结合∠E=∠E,从而得出结论： AG DG (2)作AH⊥AD于点A'交BD于点H,易证得。AGDABGC,进而证得BGCG,再证得 △AGB∽aDGC,，进而得到∠BMH=∠CAD,最后证 △ABH≌AACD(SAS) 进而得到BH=CD,从而得 52193 可学科网 www.zxxk.com 出结论： CE (3)根据题意易得到A、B、C、D四点共圆，则当BD最长时，DE最小， 圆的直径，根据tan∠ADB=tan∠ABC= 4 AB AE4 列方程为：ADAB3,设CE DE=5x=35 ,解方程即可 【详解】(1)略 (2)略 (3)证明：由(1)得：△ACE∽△BDE, CE AC DEBD·∠CAE=∠DBE: A、B、C、D四点共圆， .∠DCE=∠BAD∠CDE=∠ABC AC=AB=10. CE .当BD最长时，DE最小， 此时BD为四边形ABCD外接圆的直径， ∴.∠DCE=∠BAD=90° 4 .∴.tan∠ADB=tan∠ABC= 3, AB AE 4 即ADAB3' 六4D=3AB=5 =2,AE=44B=40 3 DE=AE-AD=3 , 又'tan∠CDE=CE-4 CD3· 53193 让教与学更高效 此时BD为四边形ABCD外接 4x’CD=3x,则 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .设CE=4x,CD=3x, 则DE=5x=35 6 7 .x= 6’ 7 ∴.CD= 2· 15.(2026福建泉州一模)如图1，在等边三角形ABC中，F为边AC延长线上的一点，将线段AF绕着 点A逆时针旋转60°得到线段AD,连接CD,BF, D F D (图1) (图2) (I)求证：∠ADC=∠AFB: (②)如图2，将线段BF沿BA方向平移BA的长度得到线段AE,AE与CD相交于点G,连接EF. ①求证：D,E,F三点在同一条直线上： ②当EG=2AG时，求tan∠ADC的值. 【答案】I) 证明：由旋转的性质，得AF=AD,∠DAC=60° :△ABC是等边三角形， ∠BAC=60°，AB=AC ∴.∠FAB=∠DAC ,AF=AD,∠DAC=∠FAB,AC=AB, △DAC≌△FAB(SAS) .∠ADC=∠AFB: (②)①证明：由平移的性质，得EF‖AB ∴.∠AFE=∠FAB=60° 54193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 连接DF, E G 由(1)得 AF=AD∠DAC=60° △DAF是等边三角形，∠AFD=60°=∠AFE, .D,E,F三点在同一条直线上： ②2-v3 【分析】(1)运用旋转的性质得到4F=AD,∠D1C=60°，从而证明 DAC≌AFAB(SAS) 即可得证： (2)①由平移的性质可知EFI‖AB,连接DF,则△DAF是等边三角形，证明∠AFD=60°=∠AFE,从 而证明D,E,F三点在同一条直线上： ②延长DC交4B的延长线于点Q,证明△D6G∽△01G可得DE=210,设4C=0,CF=b,则 可得 AQ AC EE=a,则DE=DE-EE=a+b-a=b:A0=2DE=2,再证明△4C0△FCD,可得F元6 2 =1+V a=- -b 从而找到a与b的关系即2a2+2ab-b2=0,解得2，作CH⊥AD,求出CH和DH,从而利用 tan∠ADC=tan∠HDC=C H求解即可. 【详解】(1)略 (2)①略 ②延长DC交AB的延长线于点O, 55/93 函学科网 ..EF Il AB △DEGP△QAG DE EG ·QAAG, 又：EG=2AG, DE_EG=2」 OA AG .DE=240 设AC=a,CF=b,则AB=EF=a, ,△DAF是等边三角形， ∴AF=DF=a+b, .'DE=DF-EF=a+b-a=b .EF Il AB △ACQ∽△FCD b ..40_A ,即2=， FD FC a+bb 整理得：2a2+2ab-b2=0. a=1+56a=-1- b 解得： 2或 Γ2（舍去） www.zxxk.com 让教与学更高效 56/93 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 作CH⊥AD,垂足为H,则∠DHC=∠AHC=90°， ,△DAF是等边三角形， .∠HAC=60° 在Rt△AHC中，AC=a, CH=3 -a AH-a , DH=AD-AH=AF-AH=AC+CF-AH=a+b-a=at 2 3a 在 中，an∠HDc=CH、2a DH a+2b a+2b, Rt△DHC 2 V3x-1+/3 .tan∠ADC=tan∠HDC= 2 b3-5 -1+3b+263+ =2-5 16.(2026福建泉州模拟预测)张老师开展“45°角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题， 现邀请你一同思考解答. 图1 图2 图3 (1)如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AB=4,D是BC的中点，则AD= (2)如图2，正方形ABCD中，E,F分别在边BC,CD上，且∠EAF=45°，连接BD分别交AE,AF于点 H,G,试猜想BE,DF,EF的数量关系，并说明理由. BE B)如图3，在(2)基础上，点B为正方形ABCD的BC边上的点，点F在射线BC上，求EF的最大值， 请直接写出结果， 【答案】a)v10 (2) 解：BE+DF=EF, 理由：延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 57193 学科网 www.zxxk.com G M B E ,四边形ABCD是正方形 .AB=AD,∠ABM=∠ADF=90°， 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠ABM=∠ADF BM=DF △ABM≌AADF(SAS) ∴.AM=AF,∠BAM=∠DAF, .∠EAF=45°，∠BAD=90°， ∴.∠BAE+∠DAF=45° 又，∠BAM=∠DAF, .∠BAE+∠BAM=45°，即∠MAE=45°， 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠MAE=∠FAE AE=AE △MAE≌△FAE(SAS) ∴.ME=EF, ME=BE+BM,BM=DF, ∴.BE+DF=EF. √2-1 (3)2 【分析】(1)根据已知条件证得△ABC是等腰直角三角形，得到AC=B 58/93 让教与学更高效 C,利用勾股定理求得 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 AC=BC=22 BC CD ,进而通过D是 的中点求得的值，最后通过勾股定理即可得出结果： ②)延长CB至M,使BM=DF,连接AM,证明MBM≌△1DF(SMS) 利用全等三角形的性质和角的 和差关系再证明 M1E≌△FAE(S4S）,从而得出E=EF,最后利用线段和差关系即可得证： (3)作正方形ABCD的外接圆，连接AC,取AC的中点O,此时O为圆心，利用相似三角形的判定证得 BE GE △AEFAGEB,从而得出EF=AE,再过点G作GH⊥BF于点H,证得AAEB∽AGEH,随即推出 BEGH 取B,度，00的字身h，当大，那的大，当有G,,o程 BE 时，GH有最大值为OG-OH=r-OH,而OH⊥BC时，OH的值最小，即可求得OH的最小值表达式， 进而求得GH的最大值表达式，并最终推出结果】 【详解】(1)解：在△ABC中，∠C=90°，∠B=45°， “.△ABC是等腰直角三角形， .AC=BC 由勾股定理AC2+BC2=AB2,AB=4, 得：2AC2=42,即2AC2=16, AC=BC=22 解得： :D是BC的中点， CD-1BC-1x2 2 在RtsACD中 AC=2V2,CD=2 :AD2=AC2+CD2=(22+(N2=8+2=10 AD=10 解得： 59/93 函学科网 www.zxxk.com (2)略 (3)解：如图，作正方形ABCD的外接圆，连接AC,取AC的中点O, B ∴.∠AGB=∠ACB=∠EAF=45°， .BG∥AF, ,∠AEF=∠BEG, .△AEFr△GEB, BE GE EF AE' 过点G作GH⊥BF于点H, .AB∥GH, ,∠AEB=∠GEH, ∴.△AEB∽aGEH, GH GE ·ABAE' BE GH ·EFAB 设B=m,则⊙0的半径= -m 2, BE ·当GH最大时，EF的值最大， 点G在⊙0上运动， .当点G,H,O三点共线时，GH有最大值为OG-OH=r-OH, 当OH⊥BC时，OH的值最小， 1 六OH的最小值为2AB=)m, 2 60193 让教与学更高效 此时O为圆心， 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 1 m- ∴.GH的最大值为 -OH= 2 √21 “E的最大值为之m-2”2-1 EF m 2 17.(2026福建漳州模拟预测)如图，⊙0是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙0 于点D,连接BD、CD,过点D作BC的平行线与AC的延长线相交于点P, (I)求证：PD是O0的切线： AB BD (2)求证： DC CP 3)当AB=12,AC=8时，求DP的长. 【答案】(1)证明：如图，连接OD, :BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， :AD平分∠BAC, .∠BAC=2∠BAD, BD-BD ∴.∠BOD=2∠BAD. ∴∠BOD=∠BAC=90°， DP∥BC, 61193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠ODP=∠BOD=90°， .PD⊥OD, :OD是⊙0半径， PD是⊙O的切线： (②)证明：：DP∥BC, .∠ACB=∠P, 4B=4B 、∠ACB=∠ADB. .∠ADB=∠P :四边形ABDC是圆内接四边形， .∠ABD+∠ACD=180° ,∠ACD+∠DCP=180°， .∠ABD=∠DCP .△ABD∽△DCP AB BD DCCP· 10W13 (3)3 【分析】(1)先得出∠BAC=2∠BAD,进而得出∠BOD=∠BAC=90°，得出PD⊥OD即可得出结论： (2)先说明∠ADB=∠P,再推出∠DCP=∠ABD,即可得出结论： AB BD (3)在Rt△ABC中，求出BC=4V3,在RtABCD中，求出BD=CD=226,由(2)知，DC=CP, 可求出CP=DCBD26 AB=3,过点C作CE⊥DP于点B,在Rt△CDE中，求出DE=CE=CD:sin45°=2N3, 在Rt△CEP中，求出 EP=CP2 CE:=413 3,然后根据DP=DE+EP求解即可. 【详解】(1)略： (2)略： 62193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (3)解：：BC是⊙0的直径， ·.∠BAC=∠BDC=90° 在Rt△ABC中， BC=AB2+AC2=4v13 :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD. .BD=CD .BD=CD. BD=CD=BC.sin45=4x226 在Rt△BCD中， AB BD 由(2)知，DCCP, CP=DC:BD2126x2126 26 AB 12 3, 过点C作CE⊥DP于点E, ..OB=OC, ∴.∠BD0=∠CD0=45°. .∠ODP=90°， ∠CDE=45°， DE=CE=CD.sin45-26x2 在Rt△CDE中， 在Rt△CEP中， EP=VCP:-CE:=413 3, 63193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 DP=DE+EP=213+4131013 3 3 18.(2026福建厦门模拟预测)如图，在口ABCD中，点E在BC边上，点B关于直线AE的对称点F落在 ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点P,射线EF交CD边于点O. D 图1 图2 (I)如图1，当CE=BE时，点P在BC延长线上 △EFP≌△ECQ ①求证： ②若CG=3,G0=5,求D0的长： Co 2 CG ②)如图2，当CE=2BE时，点p在BC边上，若D03,求DG的值. 【答案】(I)①证明：由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE, ',四边形ABCD是平行四边形， ABIICD, .∠B=∠PCG. .∠AFE=∠PCG, :∠AFE=∠QFG, .∠PCG=∠QFG. :∠FGQ=∠CGP, ∴.由三角形内角和定理得，∠CQE=∠P. CE=BE,BE=EF .EF =EC, 又，∠CEQ=∠FEP. △EFP≌aECQ(AAS) 64193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ②4 (2)15 【分析】(1)①由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE,再结合平行四边形的性质可得∠PCG=∠OFG 然后根据三角形内角和定理可得∠CQE=∠P,即可求证； EO=EP O=CP △FQG≌△CPG ②根据全等三角形的性质可得 ,从而得到 ,可证明 ,从而得到 FG=CG=3,GO=GP=5 再由折叠的性质得：1F=AB 再根据△CGPB ，可得B=12 ,即可求 解： (2)延长AD,EO交于点M,设CQ=2a,BE=b,证明△DOMACOE得出DM=3b,证明 aFBP心aCE0得出pF=a,证明a1 MFPEF得出EP-,进而求得CP-2n)b 2n+2,根据PC14D得 出△GPC∽aGAD,根据相似三角形的性质，即可求解. 【详解】(1)解：①略： △EFP≌△ECQ ② EO=EP .EF =EC, .FO=CP. ,∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, .△FQG≌△CPG(AAS) :.FG=CG=3,G0=GP=5, 由折叠的性质得：AF=AB, ,四边形ABCD是平行四边形， 65193 可学科网 :ABII CD,AB=CD, .△CGPn△BAP, CG PG ·.ABAP, 3 .ABAB+3+5' 解得：AB=12, ..CD=12, .DO=CD-CG-OG=4. (2)解：如图，延长AD,EO交于点M G 图2 设C0=2a,BE=b C02 DO3 CE=2BE .D0=3a,EC=2b, .根据平行四边形可得，AB=CD=5a, ,折叠， .AF=AB=5a ,AD∥BC,即DM∥EC ADOMACOE DM DO DM 3a 3 Ec-c0即26-2a2 .DM=3b ,四边形ABCD是平行四边形， www.zxxk.com 让教与学更高效 AD=BC=3b 66193 学科网 ∠B=∠ADQ 又折叠， .∠AFE=∠B ∠AFQ+∠AFE=180° ∠AFQ+∠ADQ=180° ∠DAF+∠DQF=180° ∠EQC+∠DQF=180° ∠EQC=∠DAF ,AD∥BC ∴.∠DAF=∠FPE ∠EQC=∠FPE 又：∠FEP=∠CEQ △FEPOACEO EF FP b FP ·Ecco即2b=2a ∴PF=a .AB∥CD ∴.△AMF∽△PEF EP PF ·AMAF EP a ·3b+3b5a 解得：EP=b 5 .CP=EC-EP=2b 6b1 5 又，PCII AD www zxxk .com 让教与学更高效 67193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ..△GPC∽aGAD CG CP 4 DG AD 3b 15 19 (2026:福建厦门三模)如图1，点E是矩形ABCD的边CD上任意一点，点C关于BE的对称点是点 R,连接BF,EF B M\/E D 图1 图2 (I)如图1，当点F在边AD上时，求证：△ABF∽△DFE; (2)如图2，AB=AD,连接CF并延长交BE于点N,交AD于点H,连接AF并延长交边DC于点M,交 BE的延长线于点P. ①求证：FV=PV: ②若AP=24,DH=DE,求ME的长， 【答案】(I)证明：由对称的性质可得BF=BC,EF=CE, BE=BE △BCE≌aBFE(S,S,S) .∠BFE=∠C, :矩形ABCD中，∠A=∠D=∠C=90°. .∠BFE=∠C=90°. .∠AFB+∠DFE=90°， .∠AFB+∠ABF=90°， ∴.∠ABF=∠DFE, :∠A=∠D=90°， ∴.△ABF∽△DFE: (2)①证明：矩形ABCD中，AB=AD, 68193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴四边形ABCD是正方形， .AB=BC, 由对称的性质得BC=BF,BP⊥CF ∠FNP=90°，BF=AB,∠PBF=∠PBC. ∴.∠BAF=∠BFA, 设∠BAF=∠BFA=a,∠ABF=B, pc-()4 2 :∠BAF+∠BFA+∠ABF=180°，即2a+B=180° a+号=90e 2 ∠BnA=∠P+∠PBr,即a=∠P+45-号 2 ∠P=a+9-450=450 2 ∴.∠PFN=90°-∠P=45°. .∠PFN=∠P=45° ..FN=PN: ②f0 【分析】(L)）由对称的性质可得BF=BC,EF=CE,结合BE=BE,易证 △BCE≌△BFE(S,S,S ,利用矩 形的性质可得∠BFE=∠C=90°，进而得到∠AFB+∠DFE=90°，由∠AFB+∠ABF=90°，易证 ∠ABF=∠DFE,结合∠A=∠D=90°，即可证明： (2)①证明四边形ABCD是正方形，由对称的性质得推出∠FNP=90°，BF=AB,∠PBF=∠PBC, BE=Bg4Ea,ABF=B,求出a+90P=a+A45°=45，证明PpN=p45P,D 2 可证明结论： ②过点F作FI1CD于点'，设BC=D=AD=AB=6,证明△BCE2aCDH(4S4）,则CE=DH, BE=CH结合0H=D6可得，E=E=01=20=文.利用勾限定理可得E-G1-35x 69193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 再使用面积法可得 CN =FN-6/5 x,则9 CF 12V5 5.由FI∥AD可判定△CFI∽△CHD和 MP ME1 △MfH∽△AD:从而计算出MD=2x'ME=x·由ABI‖CD可判定AMPE∽AAPB,则AP=AB6, 计算得AM=20,在Rt△ADM中，利用勾股定理构造方程求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：①略 ②过点F作FI⊥CD于点I,设BC=CD=AD=AB=6x, .∠EBC+∠BCF=∠BCF+∠HCD=90°、 ∴.∠EBC=∠HCD. 在△BCE和△CDH中 「∠EBC=∠HCD BC=CD ∠BCE=∠CDH=90°' △BCE≌ACDH(ASA) .CE=DH,BE=CH, .DH=DE, DE CE DH-CD=3X 在RtBCE中，BE=VBC2+CE=35x BE CH =3/5x S.mc-1BC-CE=BE-CN 1 2 2 70193 可学科网 CN=BC-CE_65 BE .CN=FN, CF=2Cw=125 .FI⊥CD .FI∥AD. ∴.△CFI∽△CHD, 125 :FI CI_CF5 4 DH CD CH-35x5 DH-12x C-4CD-24 .4 5 5 5 .DI=CD-CI=x 6 5 :FI∥AD, ∴.△FI∽△MAD 12 2 MD AD 6x5' M--,-=2x 4 3 31 .'ME=DE-MD=x, .ABII CD ∴.△MPE∽△APB, MP ME x 1 ..AP AB 6x 6' AM=4P=20 6 在Rt△ADM中，AD+MD2=AM2, (6x+(2=20 ,解得x=V0（负值， www zxxk.com 让教与学更高效 舍去)， 71/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ME=x=10 20.(2026福建三明·二模)如图，在△ABC中，∠ACB=45°，直线AB上方有一点E(不与点C重合)， 且满足△AEB∽aBEC,作∠BCD=∠BCE,交AB的延长线于点D. E B B D 备用图 (I)求证：△BEC∽aDBC: (②)当BE平分∠ABC时，求证：A、E、C三点共线： BE 3)若AB=2,AB是否存在最大值？若存在，求出该最大值：若不存在，请说明理由. 【答案】(I)证明：：△AEB∽△BEC, .∠ABE=∠BCE ,'∠BCD=∠BCE」 .∠ABE=∠BCD .·∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠BCD+∠D. ∴.∠CBE=∠D, ∴.△BEC∽△DBC (2)证明：：BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC △AEB∽△BEC, ∠ABE=∠BCE,∠EAB=∠EBC, ·∠ABE=∠BCE=∠EAB=∠EBC, BE=BE, ∴.△AEB≌△BEC(AAS) AB=CB」 .∠ACB=∠CAB=45°，∠ABC=90° 72193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∠ABE=LCBE=45°， ∠BCE=∠EAB=45°， ∴，∠AEB=∠CEB=90° .∠AEB+∠CEB=180°， A、E、C三点共线. BE 3)解：存在；（AB最大 2. 【分析】(I)由△AEB∽aBEC得到∠ABE=∠BCE,进一步求出∠CBE=∠D,即可求证： (2)由角平分线的定义得到∠ABE=∠EBC,利用相似的性质进一步得到 AEB≌△BEC(A,A,S ,接着求 出∠AEB=∠CEB=9O°后即可求证； (3)先利用相似三角形的性质得到AB=BD,再构造点C所在的轨迹⊙O,利用圆周角定理等知识构造 △DMA∽aDBC,最后得出AM=2BE,结合圆内最大的弦是直径以及勾股定理即可求解. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：存在， :△AEBABEC, AB BE ∴BCCE' .△BEC∽△DBC, BE CE BDBC· BE BD CE BC AB BD BCBC .AB=BD. :∠ACB=45°， ∴点C在以AB为弦，圆心角为90°的圆周上， 连接CD,作CD关于CB的对称线，此时点E在此条射线上，CD与OO交于点M,连接AM 73193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ·.·BM=BM ∴.∠BCD=∠BAM ∠D=∠D, .△DMA△DBC, AD AM CDBC· △AEBABEC,△BECADBC, AEB△DBC, BE AB BCDC· 1 AB=BD=-AD AM 2AB 2BE BC CD BC .AM=2BE」 BE :AB=2,AB取最大值即BE取最大，BE取最大即AM取最大，当AM为⊙O直径时最大 C.BE=AM =0A t△AOB 在 中， 4B=0+0B,即204=4.解得01=5 .BE=OA=2 (BE √2 (AB)最大2. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理等知识，涉及到了线段的最值问题 解题关键是相等角的转化与圆的构造， 74193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 21.(2026福建厦门二模)已知：如图，四边形 D内接于O0,AB为O0 ABCD 的直径， BC=CD ,弦 CE⊥AB于点F,交BD于点G. H H 0 D 备用图 (1)求证：∠HDC+∠FCB=90°： (2)延长AD,EC相交于点H. ①求证：FC2=FG·FH: BF ②若8C(,若Cm表示AABD的周长，求AC的值.请用含1的式子表示. 【答案】I)证明：，四边形ABCD内接于OO, .∠ABC+∠ADC=180°， ,∠HDC+∠ADC=180°， ∴.∠HDC=∠ABC, :CE⊥AB .∠BFC=90°， .∠FCB+∠FBC=90°， ∴.∠HDC+∠FCB=90°. (2)①证明：，AB为⊙O的直径， ∠ACB=∠ADB=90°， ∴.∠GDH=180°-∠ADB=90°， .CE⊥AB .LBFG=∠AFH=90°， ,∠H+∠HGD=90°，∠GBF+∠BGF=90°，∠BGF=∠HGD, 75/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠H=∠GBF, .△BGF∽aHFA. FG BF ·AFFH, .FG·FH=BF·AF. :∠ACF+∠BCF=LBCF+∠CBF=90°， .∠ACF=LCBF, :∠AFC=∠BFC=90°， ∴.△BFC∽aCFA, BF CF ·CFAF, BF·AF=CF2, .FC2=FG·FH: ②2(-平+) 【分析】(1)由圆内接四边形的性质可得∠ABC+∠ADC=180°，再结合∠HDC+∠ADC=180°，得出 ∠HDC=∠ABC,由题意可得∠BFC=90°，则∠FCB+∠FBC=90°，由此即可得证： (2)①由圆周角定理可得∠ACB=∠ADB=90°，证明△BGF∽aHFA,得出FG·FH=BF·AF,再证明 △BFC∽ACFA BF·AF=CF2 ，得出 即可得证：②由垂径定理并结合圆周角定理可得 ∠CBD=∠BCE=∠B4C=∠CAD,由正切的定义，设BC=1则4B t,BF=t,由勾股定理可得 AC=-2 作CM LBDT M0B0=2BMCM1'求甜BD2MD=小-2 表示 出Cm=AB+BD+4D=+2-F+-2 则9-1+21-7+0-2x明 AC V1-t2 76193 可学科网 www zxxk.com in ∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,求出a<45°，即∠BCF<45°，从而可得 0<1<② 2,即1-2>0，再结合二次根式的性质化简即可得出结果 【详解】(1)略 (2)①略： ② 解： ,.CE⊥ABAB⊙O 为的直径， ∠BFG=∠AFH=90°BC=BE∠ACB=∠ADB=90° .BC=CD BC=CD=BE CD=BC ∴.LCBD=∠BCE=∠BAC=∠CAD, BF t, :BC sin∠BCF=B t, BC :.sin∠BAC=BC t, AB 设BC=1,则AB= t,BF=t' AC=VAB -BCT=- t, 作CM⊥BD于M,则BD=2BM, 77193 让教与学更高效 LBCF < √2 2,结合题意可得 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 D B ·sin∠CBD=CM」 BC t ..CM=t, BM =BC2-CM=1- BD=2BM=21- .AD=AB2-BD2 V0-2r2)月 t C.-4B+D+4D2-2) C.ABD= +2-+-2 t 1+21-7+V-2r2 ∴.AC 1-2 v1-2 设∠BCF=∠BAC=∠CAD=a,则∠CAD+∠CAB+∠ABD=90°， ∴.2a+∠ABD=90° ∴.a<45°，即∠BCF<45°， sim∠BCF<V2 2, ∴结合题意可 0st< 2, .1-22>0, 78193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 1+21-F+-22 AC 1-R 1+2tW1-t2+1-22 V1-t 2-2+1-2） v1-2 21-(-F+t 1-2 =2-F+) 【点睛】在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；直径所对的圆周角为直角；相似三角形的对应 边成比例。 22.(2026福建宁德二模)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上运动（不与A,B重合），将△AOC OC 沿 翻折，得到ADOC。点是D的中点，连接D, B B E D E D 图1 图2 I)如图1，若∠CAB=15°，求证：AD=OA: ②)证明：不论点C如何运动，∠CAE的大小不变；（以图2为例证明） )如图2，当点E在AB下方，an∠BME 4,AD=4时，求⊙0的直径. 【答案】(I)证明：，OA=OC, 79193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B E 图1 .∠ACO=∠CAB=150 由翻折得，∠DC0=∠ACO=15°， .∠ACD=30° .∠AOD=2∠ACD=60°， .OA=OD :.△OAD是等边三角形， 、AD=OA (2)证明：设∠CAB=a, 由(1)得∠ACD=2a, 由翻折得AC=DC. ∠C4D=∠CDA=180°-，∠4CD-90°-a 2 .∠BAD=∠CAD-∠CAB=90°-2a. ·点E是B 的中点， ·∠BAE= ∠BAD=45°- 2 ∴.∠CAE=∠CAB+∠BAE=45° 68 3)⊙0的直径为15 【分析】(1)由OA=OC得∠AC0=∠CAB=15°，由翻折得，∠DC0=∠AC0=15°，得∠ACD=30°，由 圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=60°，由OA=OD可证明aOAD是等边三角形，从而可证明结论： (2)设∠CAB=a,得∠ACD=2a,由翻折得AC=DC,得∠CAD=∠CDA=90°-a,求出 ∠BAD=90°-2a BD ,由点E是b的中点可得 BAE=45°-“，从而可得出 CAE=45° 故可得结论： 80193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 (3),延长BE,AD相交于点F,连接DE,设BE=x,解Rt△ABE,求得AE=4x,根据勾股定理得 AB=V7x,根据ASA证明△AEF≌△AEB,得出DE=EF=x;证明△FDE∽aFBA,求 FD=27 17 417 根据FD+AD=AF求出”15，从而可求出AB. 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：如图2，延长BE,AD相交于点F,连接DE, B D市 图2 设BE=x, :AB是OO的直径， ∴∠AEB=90° ∴.∠AEF=180°-∠AEB=90° 在R△ABE中，an∠BAE=BE=1 AE 4 .'AE=4x. 由勾股定理得AB=√AE2+BE2=V7x BD :点E是D的中点， ∴.∠EAF=∠EAB,BE=DE AE=AE, 81/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 △AEF≌AAEB(ASA) :EF=BE=x,∠ABE=∠P,AF=AB=V7x ∴.DE=EF=x. ∴.∠EDF=∠F=∠ABE. ,∠F=∠F, ∴.△FDESAFBA. FD FE FB FA FD x ·2x17x D-27 FD+AD=AF. :7x+4=7x 217 417 X= 解得 15. 4B=V7x=6 5 68 即⊙0的直径为15. 23.(2026福建厦门模拟预测)如图1，AB为半圆O的直径，AB=4,点C为半圆O上一点（不与A, B重合)，连接OC,点A关于OC的对称点为点D,连接OD, C 0 图1 图2 备用图 (1)如图2，当∠AOC=60°时，连接BD,求∠ABD的度数； (②)过点A作半圆O的切线I,延长OC交切线I于点E,点F为OE中点，连接AF, 82193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 O当m∠A0C=时，延长AP至点N,使得FN=FE,连接DN,求DN的长： ②当0°<∠AOC<60°时，延长AF交半圆O于点P(P与D不重合)，直线DP分别交切线I,射线OC于 点G,点M,探究DG与DP的数量关系. 【答案】(1)60° 20Dw=35 DG=2-1DP DG=2+lDP 5:②当0°<∠A0C<45°时， 21 ；当45°<∠A0C<60°时， 【分析】(1)利用点A和点D关于OC对称的性质，得到两个相等的角∠AOC=∠COD,进而求出 LBOD的度数，结合OD=OB,得∠COD=∠AOC=60°，得到∠ABD的度数： (2)①连接D交CO于点K,连接N,EBN,在Rt△1O 中，求出E=1OE=V5 FN-FE-OF-AF- 2,AW=2AF=V5.得四边形AONE为矩形.证明OC为AD的垂直平分线，可 证明∠ADN=∠OKA=90°，Rt△AOK中，求出 4K=26 AD=45 5, 5.Rt△AND中，由勾股定理得 Dw=35 5 ②连接BD,当0°<∠AOC<45°时，点P在点D右侧，当45°<∠AOC<60°时，点P在点D左侧，两种情 况讨论：当O°<∠AOC<45°时，点P在点D右侧，证明四边形OBDM为平行四边形，设DP=m, AO FO 2 a .1 OF=EF=AF=a,证明△A0Fn△PMF得PMPM,即m+2FM,PM=a+2am, 22a 1 ME=FM-EF=。am.证明 月人。。入MEG·1守GMEM’。. am,求得DG=2-DP.当 45°<∠40C<60时，点P在点D左侧，同理可得DG=2+DP 【详解】(1)解：连接AD, 83193 学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 :AB为半圆O的直径，点A关于OC对称点为点D,∠AOC=60°， .OC为AD的垂直平分线， ∴.OA=OD ∴点D在半圆O上 .∠COD=∠AOC=60°， ∴.∠AOD=∠AOC+∠C0D=120°， :∠ABD=∠A0D=60r (2)解：，1与半圆0相切于点A, ∴.∠EA0=90° ,AB为半圆O直径，AB=4, .'.OA=OB=r=2. F为Rt△AOE斜边OE中点， FE-OF-AF-70E. 1 .∠FAO=∠FOA=x. ①连接AD交CO于点K,连接ON,EN, 在R△MOE中，an∠AOC=4E-1 A02: AE=1 OF=5 84193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 FN-FE-OF-AF-5 ,AN=2AF=5 ∴，四边形AONE为平行四边形， 又AN=OE, .四边形AONE为矩形. :点A关于OC对称点为点D, “.OC为AD的垂直平分线， ·∠0K4=900, 4K-DK-74D 又：FN=AF, FK∥DN, .∠ADN=∠OKA=90° RIAOK中，tan∠AOK=K-1 OK2·OA=2, :K35 5, D46 5. Rt△AND中，∠ADN=90°， .AD2+DN2 AN2. DN=3V5 5. ②连接BD, E AMPD G A P与D不重合， 85193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .∠40C≠45° :点D在半圆O上，∠AOC=∠COD=x, ·∠AOD=2x ∠ABD=)∠A0D=x, 2 ∴∠ABD=∠AOC=x, .BD∥OC (I)当0°<∠A0C<45°时，点P在点D右侧，如图， B .∠AOD=2x, &∠APD=)∠AOD=x, .∠APD=∠FAO=x. ∴.AB∥PM. 又BD∥OC, ∴.四边形OBDM为平行四边形，∠PMF=∠FOA=x, ∴.DM=OB=2 设DP=m,OF=EF=AF=a, ∴.PM=PD+DM=m+2」 .∠FAO=∠APD,∠FOA=∠PMF, ∴.△AOF∽△PMF AO FO 2 s、a PMFM,即m+2FM, FM-a+zam ME=FM-EF=1a ∠FOA=∠PMF,∠OEA=∠MEG, ∴.△OEA∽△MEG 86193 可学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 22a :A0、EO 即GM1 GM EM 2n, GM=。m DG=DM-GM=2-1 m, ..DG=2-DP 2 (Ⅱ)当45°<∠A0C<60°时，点P在点D左侧， E F M B :∠APD=180°-∠B=180°-x, ∴.∠PAB+∠APD=180°， ∴.AB∥PD. ∴.四边形OBDM为平行四边形，∠PMF=∠FOA=x, .DM=OB=2 设DP=m,OF=EF=AF=a, .PM=DM-PD=2-m ,∠FAO=∠FPM,∠AFO=∠PFM, .△AOF∽△PMF AO FO 2 a PMFM,即2-mFM, 1 FM-a-2am, 1 :.ME=EF-FM -7am, .∠PMF=∠EMG, 87193 可学科网 www.zxxk.com ∴.∠FOA=∠EMG,∠OEA=∠OEA, .△OEA∽△MEG, 22a ∴40-0.即GM GM EM 1 GM=号m 2 1 DG=DM+GM=2+m, 2 :.DG-2+DP 2 24.(2026福建泉州模拟预测)如图1，△ABC内接于⊙0，作直径 连接CD,BD. E 图1 图2 I)若∠DAC=50°，求∠ADC的度数， 2)如图2，作CE⊥AB于点E,交AO于点F ①求证：∠DCF=∠DFC. ②若OF=OG+1,且FG22,求DG的最小值. 【答案】(1)40° (2)①证明：设∠AB0=a, :BO平分∠ABC ∴.∠ABO=∠OBC=a, ∴.∠EBC=2a, .OB=OA. .∠BAO=∠ABO=a, CE⊥AB, 88/93 让教与学更高效 AD交边BC于点G,BO平分∠ABC, 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 ∴.∠AFE=90°-a=∠DFC,∠BCE=90°-2a, :∠BCD=∠BAD=C., ∴.∠DCF=∠BCD+∠BCE=a+90°-2a=90°-a, ∴.∠DCF=∠DFC: ②DG的最小值为1 【分析】(1)根据圆周角定理以及直角三角形的性质求解即可； (2)①设LAB0=a,则∠EBC=2a,证明LDFC=∠DCF=90°-a即可；②证明△BOGCDG，,得 BO OG DCDG,设OG=xDG=y,则OF=x+1,DC=DF=y+2x+l,BO=D0=x+y,代入比例式得 x+y x y+2中少，整理得y=2x2+x”求得x之2，根据二次函数的性质得)2=1从而得出y的最小值为 1,即DG的最小值为1. 【详解】(1)解：：AD为直径， .∠ACD=90°， ,∠DAC=50° .∠ADC=90-∠DAC=40°： (2)②解：由①得，∠DCF=∠DFC ∴.DF=CD ,∠BAD=∠ABO=∠OBC,∠BAD=∠BCD, .∠OBC=∠BCD. .OB∥CD, ∴.△BOGACDG, BO OG ·DCDG' OG=x,DG=y,OF=x+1,DC=DF=y+2x+1,BO=DO=x+y, x+y y+2x+1 y' 整理得广=2x2+x=2x+ 48, 89/93 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 .FG=2x+1≥2， 1 :x22: “2>0,对称轴为直线x=- 4 ∴当x≥2，y随着x的增大而减小， “当x=2时，2=1， 又y>0. ∴.y的最小值为1，即DG的最小值为1. 25.(2026福建厦门三模)四边形ABCD内接于O0,AC为⊙0的直径，AC与BD相交于点E. B D 图1 图2 Q)如图1，若B是MC的中点，求∠4DB的度数： (2)如图2，点F在边CD上，且满足∠BAC=∠ACD+∠CEF,当EF2=OE·CE时， ①证明：∠COF=∠BAC: ②若AB+AC=5:cos∠ABD= 6·求⊙0的半径. 【答案】1)45° (2)证明：①：EF2=OE.CE EF CE ·OEEF, ,∠OEF=∠CEF, ∴.△EOF∽aEFC, 90193 函学科网 www zxxk.com ∴.∠EOF=∠EFC, .∠COF=∠EFD ,∠BAC=∠ACD+∠CEF,∠EFD=∠ACD+∠CEF, ∴∠BAC=∠EFD, ∴.∠COF=∠BAC 9 ②⊙0的半径为5 【分析】(1)证明∠ADC=90,结合B是C的中点，进一步可得答案： (2)①证明△EOF∽aEFC,可得∠COF=∠EFD,证明∠BAC=∠EFD,进 ②如图，过E作EK1CD于K·结合o0s∠ACD=CP-C =AC6CE,设CD=5m, 7 25m AC=6m,CE=6n,证明ACOFACDE,可得：a=5”,求解”=32，进 角形可得答案 【详解】(1)解：：AC为⊙O的直径， ∴.∠ADC=90°， :B是AC的中点， :∠ADB=∠BDC=2∠4DC=459 (2)证明：①略 ②如图，过E作EK⊥CD于K, ,AC为⊙0的直径， ∠ABC=∠ADC=90°， :cos∠ABD=S 6,ABD=∠ACD, os∠ACD=CD-5CK AC6CE· ∴.设CD=5m,CK=5n,DK=a,则AC=6m,CE=6n,CO=A0=3m, 91193 让教与学更高效 步可得∠COF=∠BAC. CK=5n'DK=a'则 步结合勾股定理与相似三 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 B 由①得：∠BAC=∠EFD=∠EDF=∠COF. ∴EF=ED, ∴.FK=DK=a, ..CF=5n-a, .∠OCF=∠DCE, .△COFACDE, CF CO 3m 3 CE CD 5m 5' 5n-a_3 6n5 7 解得：a=5”, =DK=CD=CK+DK=5n+ 7.32n=5m, 5 ..ns 25m 32· 2-16,4E=6m75m2m :CE=6n=6x25m_75m 1616 .EK⊥CD :EK=VCE2-CK2=而n DE、FK2+DK2=n+25n=°n=1Sx25m4 -X- -m= -m =53216, ,∠BAC=∠BDC,∠AEB=∠CED, ∴△AEB∽aDEC, 92193 函学科网 www.zxxk com 让教与学更高效 21 AB-AE 16m 7 .CD DE 45 15, -m 16 AB 7 .5m15 :B 3m, .AB+AC=5, 7 3m+6m=5 3 解得：m= 5, 18 .AC=6m= 5· ∴o0的半径为5 【点睛】压轴问关键是参数的使用，利用相似三角形的性质确定参数之间的关系是解题的突破口. 93/93函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题10相似三角形综合 5年真题1年模拟答案版 五年真题分类园 考点01相似三角形综合 1.【答案】(1)60 (2)证明：∠ACD=∠ABD=60°， ∴.∠ACD=∠E ·AC∥EF. ,四边形AFBD是OO的内接四边形， ∴.∠AFB+∠ADB=180° :△ABD是等边三角形， ∴∠ADB=60°， ∴.∠AFB=120° .∠AFB+∠E=180° ∴.AF∥CE ∴.四边形AFEC是平行四边形. 万 3)3 2.【答案】(1) 证明：，AB=AC, .∠ABC=∠ACB AB=AB ∴.∠ACB=∠ADB, .∠ABC=∠ADB 1/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠ADB=∠DBE+∠E, .∠ABC=∠DBE+∠E」 4 G H D B E 2) 证明：：AD=AD ∴，∠ABD=∠ACD .BG=DG .∠BDG=∠ABD=∠ACD. 又'∠DHF=∠CHD .△HDF∽△HCD, HF HD HDHC· .HD2=HF.HC 由(I)知，∠ABC=∠DBE+∠E, 又'：∠ABC=∠DBE+∠ABD, ∠ABD=∠E, .∠BDG=∠E ·∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, ∴.∠ADG=∠DBC .CD=CD ∴.∠DAC=∠DBC, .∠ADG=∠DAC, :AH DH .AH2=HF·HC. 2/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 63v6 3.【答案】(1)2 (2) 过点B作BM‖AE,交EO延长线于点M. D 6 .∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90° AO=BO. .△AOE≌△BOM, .AE=BM,OE=OM OE 1 AE2· ∴.BM=2OE=EM, ∴.∠MEB=∠MBE=45° .∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°，∠BEC=180°-∠MEB=135°， ∴.∠AEB=∠BEC AB=AC,∠BAC=90°， ∠ABC=45°， .∠ABM=∠CBE, .∠BAE=∠CBE, ∴.△AEB∽ABEC 3) 如图，连接DE,DF 3/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 是 的直径， B .:AB⊙O ∴.∠ADB=∠AFB=90°，AB=2AO AB=AC,∠BAC=90° ∴.BC=2BD,∠DAB=45° 由(2)知，△AEBABEC, 、AEAB2AOA BE BC2BD BD ∠EAO=∠EBD ∴.△AOE∽△BDE, ∴.∠BED=∠AEO=90° .∠DEF=90° ∴.∠AFB=∠DEF, ∴.AF‖DE 由(2)知，∠AEB=135°， .∠AEF=180°-∠AEB=45°」 ∠DFB=∠DAB=45°， ∠DFB=∠AEF, .AE∥FD, ∴四边形AEDF是平行四边形， .AD与EF互相平分. 4.【答案】(1) 证明：：DF是由线段DC绕点D顺时针旋转90°得到的， .∠DFC=45° :AB=AC,AO⊥BC ·∠BAO=∠BAC 21 4/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :∠BAC=90°， ∠BAO=∠ABC=45°. .∠BAO=∠DFC :∠EDA+∠ADM=90°，∠M+∠ADM=90°， .∠EDA=∠M ∴.△ADE∽△FMC (2)∠ABF=135° 3) 证明：如图2：延长ON交BF于点T,连接DT,D0, M D B6 图2 ∠FBI=∠BOA=90° .BF∥AO, ∴.∠FTN=∠AON ~N是AF的中点， .AN=NF 又：∠TNF=∠ONA, ∴.△TNF≌△ONA. ∴.NT=NO,FT=AO ∠BAC=90°，AB=AC,AO⊥BC, ..AO=CO, ∴.FT=CO 由(2)知，△BIF∽△DIC, .∴.∠DFT=∠DCO .DF=DC, 5/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.△DFT≌△DCO, ∴.DT=DO,∠FDT=∠CDO ∴.∠FDT+∠FDO=∠CDO+∠FDO,即∠ODT=∠CDF. .∠CDF=90° .∠ODT=∠CDF=90°， .ND-TO-NO 5.【答案】(I)①∠C=∠C:②3c (2)相似三角形的判定与性质 acosa+asina m (3)最大宽度为 tanB 一年模拟练测园 【答案】(I)证明：AE‖DC, .∠ACD=∠CAE, 由旋转可得，∠FAE=90°， :∠BAC=90°， ∴.∠FAE=∠BAC, ∴.∠BAF=∠CAE, .∠BAF=∠ACD; ②2+1 2. 【答案】(I)解：△ADE是等边三角形，理由如下： 过点A作AF⊥BC于点F, 6/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B DFE 2 DE2 :SADE=4 DE-AF=5 DE 4 AF=DE 2 .AD=AE, :DF=EF, ∴.DE=2DF ,AF-3 2DF2, -5 DF :tan∠ADF=√3 ∠ADF=60°， AD=AE, ∴△ADE是等边三角形 (2)120° 3. EF 3 【答案】I)BG=4 (2)AE的长为2 4 【答案】(I)证明：假设a、b、c均为奇数， 7/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 则a2、b2、c2均为奇数 .a2+b2为偶数， 由勾股定理得c2=a2+b2,.c2为偶数， 与c2为奇数相矛盾，假设不成立 ∴.a、b、c不可能都是奇数 4 ②3 5. 【答案】)2 hr-eF 6. 【答案】)y=-x2+2x+3（1,4) 【答案】(I)证明：：AD平分∠BAC, &∠BAD=∠DAC=)∠BMC, AF=AG. .∠AGF=∠AFG, :∠BAC=∠AGF+∠AFG. ∠AGF=∠AFG=)∠BAC. .∠BAD=∠AGF, 、ADIGE 8/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)2 8. 【答案】I) 证明：OC=OB, .∠OCB=∠B, :AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， .∠CAB+∠B=90°， AM是⊙O的切线， ∠DAB=90°， ∠DAC+∠CAB=90°， .∠B=∠DAC, ∠DAC=LOCB: 2)∠B=30° 6)tan∠ADo= 2 9. 【答案】1) 证明：解法一：连接OD交AC于点G,连接OC, o G B :D是AC的中点， 4G-CG-AC OD⊥AC, ∴.∠DGC=90°， ,AB为直径， ∴.∠ACB=90°， .∠ACE=90°， 9/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :DE⊥BC, ∠E=90°， :.四边形DGCE为矩形， 1 DE-CG-2AC. .AC=2DE: 解法二：延长AD,CE相交于点N B ,AB为直径， ∴.∠ACB=∠ADB=∠BDN=90° :D是AC的中点， AD-CD ,∠ABD=∠CBD 又：BD=BD, ∴△ABD≌△NBD」 ∴.AD=ND :DE⊥BC, .∠DEB=90°=∠ACB. DE∥AC, .DE_ND1 AC-NA2' AC=2DE: ②)OF 10. 【答案】(I) 10123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 证明：由旋转的性质，得∠ABC=∠DBE,∠ACB=∠DEB,BA=BD,BC=BE, :∠BAD=∠BDA=180°-∠ABD ∠BCE=∠BEC=180°-∠DBE 2 ∴.∠BAD=∠BDA=∠BCE=∠BEC, ,∠ACB=∠CAD+∠BDA,∠DEB=∠BEC+∠DEA, .∠CAD=∠DEA, :DA=DE, ∴.△DAE是等腰三角形： (2)4 11. EFEF BF CF 1 【答案】(I)D△CFE∽△CBA:②相似三角形对应边成比例：③AB+CDCB+CB @解：如图.作E18C交4D于点B,E的长度作为R值 B D 证明：：EB1BC,∠C=90°， ∴.∠EBD=∠C=90°， ·EB∥AC, .∠CAD=∠BED. △DBEADCA, AC CD 'BEBD· .AC=BC, BC BD+BC=1+ C BE BD BD 11,1 BE=BC*BD, 11/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∴.B 的长度可以作为值。 12. 【答案】1) 证明：如图，连接OB, D B E 是 的切线， .BC⊙O .OB⊥BC, AD⊥CB, OB∥AD, .∠BAD=∠ABO, OA=OB. .∠ABO=∠BAO, ∴.∠BAD=∠BAO, ∴.AB平分∠CAD: ②)3 13. 【答案】) 证明：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=CD 4B-CD .∠APB=∠CBD .∠BFE=∠PFB .△BEF∽△PBF: 2 5π 12/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3) BP+DP=2AP 理由如下： 延长PB到点H,使得BH=DP,连接AH, H B F 0。 ·∠ADP+∠ABP=180°，∠ABH+∠ABP=180°， ∴.∠ADP=∠ABH, :正方形ABCD中，AB=AD, 又，BH=DP :△ADPABH(SAS)) AH=AP,∠BAH=∠DAP :正方形ABCD中，∠BAD=90°， .∠HAP=∠BAH+∠BAP=∠DAP+∠BAP=∠BAD=90° PH=VAP+AH=AP BP+BH=2AP BP+DP=2AP 14 【答案】1) 证明：·'AB=AC,∠ADB=∠ABC, .∠ADB=∠ABC=∠ACB, ∴.∠ACE=∠BDE. 13123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠E=∠E, :△ACEABDE: (2) 证明：如图，作AH⊥AD于点A,交BD于点H, H E.:.∠DAH=90° BD⊥CD, ∴.∠BDC=90° 由(I)得：△ACE∽△BDE, .∠CAE=∠DBE, :∠AGD=∠BGC, .△AGDABGC, AG DG BGCG· ∠AGB=∠DGC, △AGBn△DGC, ∠BAG=∠BDC=90°， ,∠BAH=∠CAD, ∵AB=AC, .∠ADB=∠ABC=∠ACB=45°. :AH=AD HD=2AD 在△ABH和△ACD中， AB=AC ∠BAH=∠CAD AH=AD ∴.△ABH≌△ACD(SAS) 14123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 :.BH=CD, .√2AD+CD=HD+BH=BD 62 15. 【答案】(I) 证明：由旋转的性质，得AF=AD,∠DAC=60°， :△ABC是等边三角形， .∠BAC=60°，AB=AC ∴.∠FAB=∠DAC :AF=AD,∠DAC=∠FAB,AC=AB, △DAC≌△FAB(SAS) .∠ADC=∠AFB: )O证明：由平移的性质，得EF‖AB, .∠AFE=∠FAB=60°， 连接DF, D E G 由(1)得 AF=AD∠DAC=60 ∴.△DAF是等边三角形，∠AFD=60°=∠AFE, D,E,F三点在同一条直线上： ②2-V5 16. 【答案】)而 15/23 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2) 解：BE+DF=EF, 理由：延长CB至M,使BM=DF,连接AM, 0 M&-- B :四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠ABM=∠ADF=90°， 在△ABM和△ADF中， AB=AD ∠ABM=∠ADF BM=DF △ABM≌△ADF(SAS) ∴.AM=AF,∠BAM=∠DAF, :∠EAF=45°，∠BAD=90°， .∠BAE+∠DAF=45°， 又，∠BAM=∠DAF, .∠BAE+∠BAM=45°，即∠MAE=45°， 在△MAE和△FAE中， AM=AF ∠MAE=∠FAE AE=AE △MAE≌AFAE(SAS) ∴.ME=EF, ME =BE+BM,BM=DF, ∴.BE+DF=EF 16123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2-1 3)2 17. 【答案】I)证明：如图，连接OD, ○ :BC是⊙O的直径， .∠BAC=90°， ,AD平分∠BAC, .∠BAC=2∠BAD, BD=BD ∴.∠BOD=2∠BAD. ∴.∠BOD=∠BAC=90°， :DP∥BC, .∠ODP=∠BOD=90°， .PD⊥OD, :OD是⊙0半径， .PD是⊙O的切线： (2)证明：，DP∥BC, .∠ACB=∠P, 4B=4B ∴∠ACB=∠ADB, .∠ADB=∠P, ,四边形ABDC是圆内接四边形， ∴.∠ABD+∠ACD=180° .∠ACD+∠DCP=180°， 17/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠ABD=∠DCP, ∴.△ABD∽△DCP AB BD .DCCP· 10W13 3)3 18. 【答案】Q)①证明：由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE, ,四边形ABCD是平行四边形， ..ABII CD .∠B=∠PCG. .∠AFE=∠PCG, :∠AFE=∠QFG, :∠PCG=∠QFG, ..ZFGQ=ZCGP, ∴.由三角形内角和定理得，∠CQE=∠P, .CE=BE,BE=EF .EF =EC. 又：∠CEQ=∠FEP △EFP≌△ECQ(AAS) ②4 4 (2)15 19. 【答案】(I)证明：由对称的性质可得BF=BC,EF=CE, BE=BE, △BCE≌△BFE(S,S,S) 18123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠BFE=∠C, :矩形ABCD中，∠A=∠D=∠C=90°， ∴∠BFE=∠C=90°， ∴.∠AFB+∠DFE=90°， :∠AFB+∠ABF=90°， .∠ABF=∠DFE, .∠A=∠D=90°， ∴.△ABF∽△DFE: (2)①证明：：矩形ABCD中，AB=AD, :.四边形ABCD是正方形， .AB=BC, 由对称的性质得BC=BF,BP⊥CF ∠FNP=90°，BF=AB,∠PBF=∠PBC, .∠BAF=∠BFA, 设∠BAF=∠BFA=a,∠ABF=B, a2P8F=∠P8c=90-∠ABF)=45- 2 :∠BAF+∠BFA+∠ABF=180°，即2a+B=180°， :QtB =90° 2 ∠BFA=∠P+∠PBF,即a=P+45- 2 ∠P=a+9450=450 .∠PFN=90°-∠P=45°. ∴.∠PFN=∠P=45°， ∴.FN=PN; ②i0 20. 【答案】(I)证明：·△AEB∽aBEC, ∠ABE=∠BCE 19/23 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ∠BCD=∠BCE, ∴.∠ABE=∠BCD ·,·∠ABC=∠ABE+∠CBE=∠BCD+∠D .∠CBE=∠D, ∴.△BEC∽△DBC (2)证明：：BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC. :△AEB∽ABEC, .∠ABE=∠BCE,∠EAB=∠EBC, ∴.∠ABE=∠BCE=∠EAB=∠EBC, BE=BE, ∴.△AEB≌△BEC(AAS) .AB=CB .∠ACB=∠CAB=45°，∠ABC=90° ∠ABE=∠CBE=45°， ∠BCE=∠EAB=45°， ∠AEB=∠CEB=90°， :∠AEB+∠CEB=180°， A、E、C三点共线. BE 3)解：存在：（AB最大 2. 21. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD内接于⊙O, .∠ABC+∠ADC=180°， :∠HDC+∠ADC=180°， .∠HDC=∠ABC, .CE⊥AB」 ∠BFC=90°， 20123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 .∠FCB+∠FBC=90°， :.∠HDC+∠FCB=90°： (2)①证明：，AB为⊙0的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90° .∠GDH=180°-∠ADB=90°， CE⊥AB」 ∴.∠BFG=∠AFH=90°， .∠H+∠HGD=90°，∠GBF+∠BGF=90°，∠BGF=∠HGD, .∠H=∠GBF, .△BGF∽aHFA. FG BF ·AFFH' ∴.FG·FH=BF.AF :∠ACF+∠BCF=∠BCF+∠CBF=90°， .∠ACF=∠CBF, :∠AFC=∠BFC=90° ∴.△BFCOACFA, BF CF CFAF· BF·AF=CF2, .FC2=FG·FH: @2(1-2+) 22, 【答案】(I)证明：：0A=0C, 21123 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 B D E 图1 .∠AC0=∠CAB=15° 由翻折得，∠DC0=∠ACO=15°， .∠ACD=30° .∠AOD=2∠ACD=60°， .OA=OD, ∴.△OAD是等边三角形， .AD=OA (2)证明：设∠CAB=a, 由(1)得∠ACD=2a, 由翻折得AC=DC, ∠CD=∠CDA=180-,4CD-90-a .∠BAD=∠CAD-∠CAB=90°-2a. :点E是BD 的中点， ∠BAE= 1 ∠BAD=45°-u 2 .∠CAE=∠CAB+∠BAE=450 68 3)⊙0的直径为15 23. 【答案】(1)60 )0Dw=35 DG=2-]DP DG=2+LDP 5:②当0°<∠A0C<45°时， 2 :当45°<∠A0C<60°时， 24. 22123 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 【答案】(1)40° (2)①证明：设∠ABO=a, ,BO平分∠ABC ∴.∠ABO=∠OBC=a, .∠EBC=2a, .OB=OA. .∠BAO=∠ABO=C, CE⊥AB, .∠AFE=90°-a=∠DFC,∠BCE=90°-2a, :∠BCD=∠BAD=a., ∴.∠DCF=∠BCD+∠BCE=a+90°-2a=90°-a, .∠DCF=∠DFC: ②DG的最小值为1 25. 【答案】1)45 2)证明：①EF2=OECE, EF CE ·OEEF· LOEF=∠CEF, ∴△EOFEFC, ∴.∠EOF=∠EFC, .∠COF=∠EFD. ,∠BAC=∠ACD+∠CEF,∠EFD=∠ACD+∠CEF, ∴.∠BAC=∠EFD、 .∴∠COF=∠BAC 9 ②⊙0的半径为5 23123 专题10 相似三角形综合 5年真题1年模拟 考点分类 福建考情（2022-2026） 命题规律 考点01相似三角形综合 2026 福建中考 2025 福建中考 2024 福建中考 2023 福建中考 2022 福建中考 作为几何压轴 / 函数几何综合大题，分层多小问梯度设问。载体丰富：圆内接四边形、等腰直角三角形旋转、户外实地测量、二次函数动点。核心以相似三角形判定与性质为工具，串联圆周角、图形旋转、平行线分线段成比例、面积比例、解直角三角形综合考查；第 (1)(2) 小问侧重相似证明、角度推导；第 (3) 小问结合线段比例、面积比值最值、周长计算，常融合方程思想。试题综合性极强，相似模型（A 字型、8 字型、旋转相似）高频出现；近五年稳定和圆、几何变换、二次函数联动，是整张试卷区分度最高的板块。 考点01 相似三角形综合 1．（2026·福建·中考真题）如图，四边形 内接于， 是延长线上的一点，的延长线交于点，，． (1)求的度数； (2)求证：四边形是平行四边形； (3)设交 于点，且，求的值． 2．（2025·福建·中考真题）如图，四边形ABCD内接于，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F．G是AB上一点，GD交AC于点H，且． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的周长． 3．（2024·福建·中考真题）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为的延长线交于点． (1)求的值； (2)求证：； (3)求证：与互相平分． 4．（2023·福建·中考真题）如图1，在中，是边上不与重合的一个定点．于点，交于点．是由线段绕点顺时针旋转得到的，的延长线相交于点．    (1)求证：； (2)求的度数； (3)若是的中点，如图2．求证：． 5．（2023·福建·中考真题）阅读下列材料，回答问题 任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度远大于南北走向的最大宽度，如图1． 工具：一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）； 测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点处，对其视线可及的，两点，可测得的大小，如图3．   小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度，其测量及求解过程如下：测量过程： （ⅰ）在小水池外选点，如图4，测得，； （ⅱ）分别在，，上测得，；测得．求解过程： 由测量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大宽度为___________． (1)补全小明求解过程中①②所缺的内容； (2)小明求得用到的几何知识是___________； (3)小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度，写出你的测量及求解过程．要求：测量得到的长度用字母，，表示，角度用，，表示；测量次数不超过4次（测量的几何量能求出，且测量的次数最少，才能得满分）． 6．（2022·福建·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线经过A（4，0），B（1，4）两点．P是抛物线上一点，且在直线AB的上方． (1)求抛物线的解析式； (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C，交AB于点D．记△CDP，△CPB，△CBO的面积分别为，，．判断是否存在最大值．若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由． 1．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)记与交于点G，若，求的值． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，中，点在边上，连接AD，线段绕点逆时针旋转得到，点的对应点在上，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数． 3．（2026·福建三明·模拟预测）如图，在矩形中，，，点在上，点在上，连接，将矩形沿折叠，点，的对应点分别为点，（点落在边上），连接． (1)求的值； (2)若，求的长． 4．（2026·福建泉州·二模）如图所示的“赵爽弦图”，由三国时期吴国数学家赵爽创制，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，利用面积关系证明直角三角形三边之间的数量关系，即在直角三角形中，（为斜边）． (1)证明：若、、均为整数，则它们不可能都是奇数； (2)如图，若，，直线交边于点，求的值． 5．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，将矩形（）绕点逆时针旋转得到矩形，且点的对应点恰好落在边上，连接，，与交于点．过点作交于点． (1)求的大小（用含的代数式表示）； (2)试猜想线段，的数量关系，并证明你的猜想． 6．（2026·福建漳州·模拟预测）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点． (1)求抛物线的函数表达式与顶点坐标； (2)点P是抛物线上位于第一象限内的一动点，连接，交线段于点Q，若，求点 P 的坐标． 7．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，在中，平分交于点 D，E为上一点，G为延长线上一点，与交于点 F，． (1)求证：； (2)若A，F分别是，的中点，，求的长． 8．（2026·福建宁德·一模）如图，是的直径，射线与相切于点是射线上一点，交于点，射线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 9．（2026·福建三明·二模）如图1，C是以为直径的半圆O上一点，D是的中点，交的延长线于点E，，相交于点F． (1)求证：； (2)如图2，若O，F，E三点共线，求． 10．（2026·福建南平·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，其中点D与点A是对应点，点E与点C是对应点，且点D恰好落在的延长线上，点E恰好落在的延长线上． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 11．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 主题 设计能读出并联电路总电阻值的教具 提出问题 物理课上学习了计算并联电路总电阻公式，每次计算时总感觉计算麻烦，故某校“勤奋”实践小组结合数学相似三角形的知识：如图，若，则．他们就积极思考，并设计了一个能读出并联电路总电阻值的教具．      分析解决问题 如图1，利用直尺、直尺和直尺（其中，处均装有滚轮，滚轮可在直尺上调节滚动，直尺可以在上左右滚动）设计教具，，，与相交于点，，垂足为．若设置，在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值．   证明：， ，①__________， （依据②_______________） 同理可得：，_____③_____， 若设置在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值． 创新设计 受“勤奋”实践小组的启发，“严谨”实践小组提出设计教具的方案，如下：如图2，中，，，是边的延长线上一点，设线段，的长度分别为，的值，则图中可作出一条长度作为值的线段；    (1)请把①②③补充完整； (2)请帮“严谨”组在图中作出该线段，并说明理由； 12．（2026·福建三明·一模）如图，点、在上，过点的切线交所在的直线于点，过点作于，连接． (1)求证：平分； (2)连接并延长，交于点，若．求的值． 13．（2026·福建漳州·一模）如图，正方形内接于，点在上，连接，交于点，交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)探究之间的等量关系． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若，，当的值最小时，求的长． 15．（2026·福建泉州·一模）如图1，在等边三角形中，为边延长线上的一点，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)如图2，将线段BF沿方向平移的长度得到线段与相交于点，连接． ①求证：三点在同一条直线上； ②当时，求的值． 16．（2026·福建泉州·模拟预测）张老师开展“角”主题学习活动，收到了同学们分享的几道优质习题，现邀请你一同思考解答． (1)如图1，在中，，，，D是的中点，则______． (2)如图2，正方形中，E，F分别在边，上，且，连接分别交，于点H，G，试猜想，，的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）基础上，点E为正方形的边上的点，点F在射线上，求的最大值，请直接写出结果． 17．（2026·福建漳州·模拟预测）如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当，时，求的长． 18．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，在中，点在边上，点关于直线的对称点落在内，射线交射线于点，交射线于点，射线交边于点． (1)如图1，当时，点在延长线上 ①求证：； ②若，，求的长； (2)如图2，当时，点在边上，若，求的值． 19．（2026·福建厦门·三模）如图1，点 E是矩形的边上任意一点，点C关于的对称点是点F， 连接． (1)如图1， 当点F在边上时， 求证：； (2)如图2，，连接并延长交于点N， 交于点H， 连接并延长交边于点M，交的延长线于点 P． ①求证： ； ②若，，求的长． 20．（2026·福建三明·二模）如图，在中，，直线上方有一点（不与点重合），且满足，作，交的延长线于点． (1)求证：； (2)当平分时，求证：、、三点共线； (3)若，是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由． 21．（2026·福建厦门·二模）已知：如图，四边形内接于，为的直径，，弦于点F，交BD于点G． (1)求证：； (2)延长，相交于点H． ①求证：； ②若，若表示的周长，求的值．请用含t的式子表示． 22．（2026·福建宁德·二模）如图，是的直径，点在上运动（不与，重合），将沿翻折，得到，点是的中点，连接． (1)如图1，若，求证：； (2)证明：不论点如何运动，的大小不变；（以图2为例证明） (3)如图2，当点在下方，，时，求的直径． 23．（2026·福建厦门·模拟预测）如图1，为半圆的直径，，点为半圆上一点（不与，重合），连接，点关于的对称点为点，连接． (1)如图2，当时，连接，求的度数； (2)过点作半圆的切线，延长交切线于点，点为中点，连接， ①当时，延长至点，使得，连接，求的长； ②当时，延长交半圆于点（与不重合），直线分别交切线，射线于点，点，探究与的数量关系． 24．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，内接于，作直径交边于点，平分，连接， (1)若，求的度数． (2)如图，作于点，交于点． ①求证： ②若，且，求的最小值． 25．（2026·福建厦门·三模）四边形内接于，为的直径，与相交于点E． (1)如图1，若B是的中点，求的度数； (2)如图2，点F在边上，且满足，当时， ①证明： ； ②若；．求的半径． 试卷第1页，共3页 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $