综合测试卷（二）-《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 本专项以章节AB卷分层训练为基础，通过综合测试卷整合圆锥曲线、立体几何、向量等核心知识，强化基础巩固与能力提升的递进式训练，培养数学抽象与空间观念。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-7、16-17题|直接考查定义（如椭圆顶点、抛物线准线）|从几何图形要素到符号表示，构建概念生成链条| |性质应用|单选8-15、18-20题|结合计算与推理（如离心率、线面角正切值）|通过数量关系推导几何性质，体现逻辑推理| |综合应用|解答21-24题|多知识点整合（如双曲线方程求解、面面垂直证明）|从单一知识应用到跨章节综合，培养数学应用意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 椭圆 的顶点坐标为（　　） A. B. C. 和 D. 和 【答案】D 【解析】，，顶点坐标为 和 。 2. 在空间中，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是（　　） A. 平行或异面 B. 一定平行 C. 一定异面 D. 无法确定 【答案】A 【解析】空间中两直线无公共点，可能平行也可能异面。A正确：平行或异面。 3. 已知 ，则与 相等的向量是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】两向量相等当且仅当坐标对应相等。。 4. 双曲线 的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，，，，焦点为 。 5. 下列条件中能判定直线 与平面 平行的是（　　） A. 与 内一条直线平行 B. 与 内无数条直线平行 C. 且 与 内一条直线平行 D. 与 有且仅有一个公共点 【答案】C 【解析】线面平行判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 6. ""是""的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 可推出 （充分性成立）； 推出 ，即 或 ，不能推出 （必要性不成立）。故为充分不必要条件。 7. 抛物线 的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】，，，，焦点为 。 8. 在正方体 中，直线 与平面 所成的角的正切值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 在底面 上的射影为 。设棱长为 ，，，。 9. 复数 在复平面内对应的点位于（　　） A. 第四象限 B. 第一象限 C. 第二象限 D. 第三象限 【答案】A 【解析】 对应点 ，位于第四象限。 10. 椭圆 （）中，若 ，则离心率 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，，。 11. 若平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A. 一定平行 B. 平行或异面 C. 一定异面 D. 可能相交 【答案】B 【解析】两平行平面内的两直线可能平行也可能异面，不能相交（若相交则平面不平行）。 12. 已知 ，，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 时 ，即 。 13. 计算 （　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】。 14. 双曲线 的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】焦点在 轴上的双曲线，渐近线为 ，即 。 15. 二面角 的平面角 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】二面角的平面角满足 ，即 。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 抛物线 的准线方程为 ______。 【答案】 【解析】，，，，开口向下，准线 。 17. 不共线的三点可以确定 ______ 个平面。 【答案】 【解析】平面的基本性质：不在同一直线上的三点确定唯一一个平面。 18. 已知 ，，，则 与 的夹角 的余弦值为 ______。 【答案】 【解析】。 19. 设 ，，则 是 的 ______ 条件。（填"充分必要"、"充分不必要"、"必要不充分"或"既不充分也不必要"） 【答案】充分必要（充要） 【解析】 与 等价，两者可以互相推出，故为充要条件。 20. 在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是 ______。 【答案】平行 【解析】，， 与 在平面 内相交， 与 在平面 内相交，由面面平行判定定理得两平面平行。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，实轴长为 ，离心率为 。（1）求双曲线的标准方程；（2）求双曲线的渐近线方程和焦点坐标。 【答案】（1）；（2）渐近线 ，焦点 【解析】（1），。，。。标准方程为 。（2）渐近线：。焦点：。 22. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面角的定义结合面面垂直的性质定理可知为与平面所成的角，设，根据已知条件结合直角三角形中正切的定义即可求解. （2）利用面面垂直的性质定理即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，因为为等边三角形，所以． 又平面平面，交线为，所以平面， 又平面，所以， 则为与平面所成的角， 设，则 ． 在平面中，过作于， 因为 ，所以，又， 所以 ， 所以．    （2）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． 23. 已知 的三个顶点 ，，。（1）求向量 和 的坐标；（2）求 ；（3）判断 是否为直角三角形，并说明理由。 【答案】（1），；（2）；（3）不是直角三角形 【解析】（1）；。（2）。（3），，；。虽然 ，但可以计算边长验证：，，。。等验证方式均可。 24. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点。（1）求焦点 的坐标；（2）求证：，；（3）若 ，求直线 的方程。 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1），，焦点 。（2）设直线 ，代入 得 ，。，。由韦达定理 。。得证。（3）。令 ，，。直线：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块一上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 椭圆 的顶点坐标为（　　） A. B. C. 和 D. 和 2. 在空间中，两条直线没有公共点，则它们的位置关系是（　　） A. 平行或异面 B. 一定平行 C. 一定异面 D. 无法确定 3. 已知 ，则与 相等的向量是（　　） A. B. C. D. 4. 双曲线 的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 5. 下列条件中能判定直线 与平面 平行的是（　　） A. 与 内一条直线平行 B. 与 内无数条直线平行 C. 且 与 内一条直线平行 D. 与 有且仅有一个公共点 6. ""是""的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 抛物线 的焦点坐标为（　　） A. B. C. D. 8. 在正方体 中，直线 与平面 所成的角的正切值为（　　） A. B. C. D. 9. 复数 在复平面内对应的点位于（　　） A. 第四象限 B. 第一象限 C. 第二象限 D. 第三象限 10. 椭圆 （）中，若 ，则离心率 （　　） A. B. C. D. 11. 若平面 平面 ，直线 ，直线 ，则 与 的位置关系是（　　） A. 一定平行 B. 平行或异面 C. 一定异面 D. 可能相交 12. 已知 ，，且 ，则 （　　） A. B. C. D. 13. 计算 （　　） A. B. C. D. 14. 双曲线 的渐近线方程为（　　） A. B. C. D. 15. 二面角 的平面角 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 抛物线 的准线方程为 ______。 17. 不共线的三点可以确定 ______ 个平面。 18. 已知 ，，，则 与 的夹角 的余弦值为 ______。 19. 设 ，，则 是 的 ______ 条件。（填"充分必要"、"充分不必要"、"必要不充分"或"既不充分也不必要"） 20. 在正方体 中，平面 与平面 的位置关系是 ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 已知双曲线的中心在原点，焦点在 轴上，实轴长为 ，离心率为 。 （1）求双曲线的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程和焦点坐标。 　 　 　 22. 如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 　 　 　 23. 已知 的三个顶点 ，，。 （1）求向量 和 的坐标； （2）求 ； （3）判断 是否为直角三角形，并说明理由。 　 　 　 24. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点。 （1）求焦点 的坐标； （2）求证：，； （3）若 ，求直线 的方程。 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $