综合测试卷（四）-《数学 基础模块下册》（高教版第三版）单元过关卷(原卷版+解析版)

**基本信息** 立足教材章节，通过AB卷分层训练与综合测试卷整合空间几何、解析几何、概率统计及函数模块，构建知识网络，提升解题能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |空间几何|6题（如三视图识别、体积计算）|侧重几何体识别与体积表面积计算|由三视图抽象几何体，通过棱长、半径推导体积公式，体现几何直观与空间观念| |解析几何|5题（如点距、圆方程）|涉及距离、斜率、圆方程求解|从点坐标到直线斜率，由圆的一般方程转化为标准方程，构建代数与几何联系| |概率统计|5题（如抽样、频率分布）|包含概率计算、数据特征分析|通过抽样估计总体，用频率分布直方图处理数据，发展数据意识与运算能力| |函数|4题（如定义域、单调性）|考查函数性质与应用|由指数函数定义推导定义域，通过导数判断单调性，体现推理能力与模型意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 点 与点 之间的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】。 2. 某几何体的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为圆，则该几何体是（　　） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 棱柱 【答案】B 【解析】正视图和侧视图为矩形，俯视图为圆，符合圆柱的特征。 3. 的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】，故 。 4. 从 中任取一数，取到奇数的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 个数中奇数有 共 个，。 5. 半径为 的球的表面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】。 6. 过点 和 的直线的斜率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】。 7. 事件 与 互斥且 ，，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】互斥事件加法公式：。 8. 函数 的图像一定过点（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】令 即 时，，过点 。 9. 圆 的圆心坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】配方：，，圆心 。 10. 正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，其体积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】底面积 ，。 11. 为估计某地区初中生的身高，随机抽取100名初中生测量身高，下列说法正确的是（    ） A．该地区所有初中生是总体 B．100名初中生的身高是样本容量 C．样本平均数一定比总体平均数小 D．样本方差反映样本数据的离散程度 【答案】D 【分析】根据题意结合总体，样本容量，样本平均数，方差的定义及性质即可得解. 【详解】为估计某地区初中生的身高，随机抽取100名初中生测量身高， 该地区所有初中生的身高是总体，故错误； 样本容量为，故错误； 样本平均数是总体平均数的估计值，可能大于、等于或小于总体平均数，故错误； 样本方差反映样本数据的离散程度，故正确， 12. 函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】真数 ，即 。 13. 圆 与点 的位置关系为（　　） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不确定 【答案】A 【解析】点到圆心距离 ，点在圆上。 14. 数据 的中位数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】数据已排序，共 个（偶数），中位数为第 和第 个数的平均值：。 15. 圆柱的底面半径变为原来的 倍，高不变，则体积变为原来的（　　） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 不变 【答案】B 【解析】， 变为 ，。 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 某校有高一 人、高二 人、高三 人，现按 比例分层抽样，高二应抽取 ______ 人。 【答案】 【解析】分层抽样按比例：高二人数 ，抽样比例 ，应抽取 人。 17. 数据 的标准差为 ______。（保留根号） 【答案】 【解析】，，。 18. 若 ，则 ______。 【答案】 【解析】，故 。 19. 两平行直线 与 的距离为 ______。 【答案】 【解析】。 20. 棱长为 的正方体的对角线长为 ______。 【答案】 【解析】正方体对角线 。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 2026年的美加墨世界杯是世界杯历史上首次由三个国家联合承办的盛会，某学校统计了该校500名学生一周内观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．    (1)求a的值以及一周观看时间在的人数； (2)估计该校每个学生一周内观看世界杯比赛直播的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 【答案】(1)，200人 (2)157.6分钟 (3) 【分析】（1）由各组频率和为1，列方程可求的值，再根据频率、频数及样本容量的关系可得的人数； （2）根据平均数的概念可求解； （3）由分层抽样的定义结合频率分布直方图求出在和所抽取的人数，利用列举法得基本事件， 根据古典概型的计算公式可求得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得：， 解得， 所以一周观看时间在的人数为：； （2）根据频率分布直方图，设平均数为， ， 据此可估计该校每个学生一周内观看世界杯比赛直播的平均时间为157.6分钟； （3）和的频率之比为， 故选取的6人中观看时长在的人数为4人，设为，，，， 观看时长在的人数为2人，设为，， 设事件A为“抽取的2人观看时长在”， 基本事件为：，，，，，， ，，，，，，，，，共15个， 事件A包含的基本事件有：，，，，，，共6个， 所以， 所以抽取的2人恰好观看时长在的概率为． 22. 已知圆 的圆心在直线 上，且经过点 和 。（1）求圆心坐标；（2）求圆的标准方程。 【答案】（1）圆心 ；（2） 【解析】（1）设圆心 ，由 ：，得 ，。圆心 。（2）。。 23. 已知正三棱柱的底面边长为 ，高为 。（1）求底面积；（2）求体积。 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）正三角形边长 ，。（2）。 24. 已知 。（1）求 ，，；（2）判断 在 上的单调性并说明理由。 【答案】（1），，；（2）单调递增 【解析】（1）；；。（2） 底数 单调递增， 也单调递增，复合函数 在 上单调递增。 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 基础模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1. 点 与点 之间的距离为（　　） A. B. C. D. 2. 某几何体的正视图和侧视图均为矩形，俯视图为圆，则该几何体是（　　） A. 圆锥 B. 圆柱 C. 球 D. 棱柱 3. 的值为（　　） A. B. C. D. 4. 从 中任取一数，取到奇数的概率为（　　） A. B. C. D. 5. 半径为 的球的表面积为（　　） A. B. C. D. 6. 过点 和 的直线的斜率为（　　） A. B. C. D. 7. 事件 与 互斥且 ，，则 （　　） A. B. C. D. 8. 函数 的图像一定过点（　　） A. B. C. D. 9. 圆 的圆心坐标为（　　） A. B. C. D. 10. 正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，其体积为（　　） A. B. C. D. 11. 为估计某地区初中生的身高，随机抽取100名初中生测量身高，下列说法正确的是（    ） A．该地区所有初中生是总体 B．100名初中生的身高是样本容量 C．样本平均数一定比总体平均数小 D．样本方差反映样本数据的离散程度 12. 函数 的定义域为（　　） A. B. C. D. 13. 圆 与点 的位置关系为（　　） A. 点在圆上 B. 点在圆内 C. 点在圆外 D. 不确定 14. 数据 的中位数为（　　） A. B. C. D. 15. 圆柱的底面半径变为原来的 倍，高不变，则体积变为原来的（　　） A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 不变 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 16. 某校有高一 人、高二 人、高三 人，现按 比例分层抽样，高二应抽取 ______ 人。 17. 数据 的标准差为 ______。（保留根号） 18. 若 ，则 ______。 19. 两平行直线 与 的距离为 ______。 20. 棱长为 的正方体的对角线长为 ______。 三、解答题（本大题共4小题，每小题10分，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 21. 2026年的美加墨世界杯是世界杯历史上首次由三个国家联合承办的盛会，某学校统计了该校500名学生一周内观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图．    (1)求a的值以及一周观看时间在的人数； (2)估计该校每个学生一周内观看世界杯比赛直播的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (3)采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 　 　 　 22. 已知圆 的圆心在直线 上，且经过点 和 。 （1）求圆心坐标； （2）求圆的标准方程。 　 　 　 23. 已知正三棱柱的底面边长为 ，高为 。 （1）求底面积； （2）求体积。 　 　 　 24. 已知 。 （1）求 ，，； （2）判断 在 上的单调性并说明理由。 　 　 　 学科网（北京）股份有限公司 $