第2单元 06 增分微课2 破解抽象函数的方法（word学生用书）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

该高中数学讲义聚焦抽象函数核心考点，涵盖单调性、奇偶性、周期性及求值、迭代问题，按通法（赋值、性质推导）与模型化（联想具体函数）分类，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建系统解题思路。 资料以模型化策略（如f(x+y)=f(x)f(y)联想指数函数）和真题驱动（融入2023新课标Ⅰ卷等）为特色，设计赋值法专项训练、性质推导步骤分解，培养数学思维与符号表达能力，分层练习保障复习效果，助力学生提升抽象问题转化能力，为教师提供精准复习指导。

增分微课2　破解抽象函数的方法 　　抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数.抽象函数主要有两个研究方向:一是由抽象函数结构、性质,联想已学过的基本函数或其他知识,再由此预测、猜想抽象函数可能有的相关结论;二是根据给出的抽象函数性质,推导其特殊的性质和关系.考题多和函数的性质(单调性、奇偶性、周期性等)相结合,以小题的方式考查居多. 解决抽象函数问题的常用方法 方法一(通法): 1.赋值,特殊值代入求值,如令x=-1,0,1等. 2.通过函数式得到抽象函数的性质: (1)通过f(x1)-f(x2)的变换判断单调性; (2)令式子中出现f(x)和f(-x),判断函数的奇偶性; (3)换x为x+T确定是否具有周期性. 方法二(模型化): 结合具体函数,使得抽象函数具体化,常见的有: (1)f(x+y)=f(x)+f(y)→f(x)=kx; (2)f(x+y)=f(x)f(y)→f(x)=ax(a>0且a≠1); (3)f(xy)=f(x)+f(y)→f(x)=logax(a>0且a≠1); (4)f(xy)=f(x)f(y)→f(x)=xn(n为常数); (5)f(x+y)=→f(x)=tan x; (6)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)→f(x)=cos ωx. 类型一　抽象函数求值 例1 [2025·青岛三模] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),f(1)=1,则f(2025)= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A.-1 B.0 C.1 D.2 变式题 已知函数f(x)的定义域为R,对任意的a,b∈R,f(a+b)=f(a)+f(b)-ab恒成立.若f(-1)=3,则f(3)= (　 ) A.0 B.-9 C.-12 D.-15 类型二　抽象函数的性质 例2 已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0,f(2)=1. (1)求证:f(x)是偶函数; (2)求证:f(x)在(0,+∞)上单调递增; (3)解不等式f(2x2-1)<2.     变式题 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　 ) A.f(0)=0 B.f(1)=0 C.f(x)是偶函数 D.x=0为f(x)的极小值点 (2)[2026·大同调研] 已知定义域为R的函数f(x),对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)>0,f(-1)=-2,则当x∈[-2,1]时,f(x)的取值范围为　　　　.  例3 [2022·新高考全国Ⅱ卷] 若函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则f(k)=(　 ) A.-3 B.-2 C.0 D.1 变式题 (多选题)[2026·重庆巴蜀中学开学考] 已知定义域为R的函数f(x),对任意实数x,y都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(2)=-1,则以下结论正确的是 (　 ) A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 C.f(x)的图象关于点(1,0)中心对称 D.f(1)+f(2)+…+f(2025)=0 类型三　抽象函数迭代 例4 [2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(x)>f(x-1)+f(x-2),且当x<3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是 (　 ) A.f(10)>100 B.f(20)>1000 C.f(10)<1000 D.f(20)<10 000 变式题 (多选题)[2025·南京六校调研] 已知定义在R上的函数f(x),其导函数为f'(x),且满足f(x+y)=f(x)+f(y)+xy,f(1)=0,f'(1)=,则 (　 ) A.f(1-x)+f(1+x)=0 B.f(2)=1 C.f(2024)=1012×2023 D.f'(k)=2023×2024 学科网（北京）股份有限公司 $草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 增分微课2破解抽象函数的方法 例1C[解析]令x0,则)少片212)，)-)，x)为奇函数.令 =1,则+1)x-1)=21-x1)=21-x),.x)为奇函数，∴.1-x)x-1),∴+1)= x1),∴.x+2)=x),.+4)=x),x)的周期为4，故2025)=1)=1.故选C. 变式题D[解析]令-b0,得0)20)，所以0)0，令=1，b=-1,得 0)1)+-1)+1=0,又-1)=3，所以1)=-4，令=b=1,得2)=1)+1)-1=9，令 =1,b=2,得3)=1)十2)-2=15.故选D. 例2解(1)证明：令x1x2=1,得1)=21)，.1)0， 令x1x2二1，得1)=-1)+-1)=0，∴-1)0， ∴-x)=-1x)式-1)十xx),又x)的定义域关于原点对称，x)是偶函数 2证阴设n0才气货 g0:1.0即P0,0在0，m）上单词递增 (3).2)=1,.4)=2)+2)=2. .x是偶函数，∴.不等式f2x2-1)2可化为2x2-1)4), 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 又勇数在0，)止竿调透指21解行-亚亚又2x1 2 V2 2 不等式的解集为 V102u2V2u2V1⑩ 22,22’2 变式题(1)ABC(2)[-4,2] [解析](1)令x=y0,可得0)=0，故A正确，令x=1,可得1)贰1)十1)，即1)=0，故 B正确，令x=y=-1,则1)=-1)十-1)，可得-1)=0，令x=-1,y=x,可得 (-1)×x]x2-1)+(-1)×x),即-x)x),故x是偶函数，故C正确；设函数x)=0, 此时满足y)yx)+x),但函数x)没有极值点，故D错误故选ABC. (2)设x1<x,则x2->0,所以x2-x1)0.又x)x)=(x2x1)x1]x1)=式x-x1)十fx)- x)=x-)>0,所以函数x)为增函数.令x一=0，得0)0，令y=-x,则0)=孔x)十- x)0.因为x的定义域为R,关于原点对称，所以x)为奇函数，所以1)= -1)=2-2)-1-1)=2-1)=-4,所以x)在[-2,1]上的取值范围为[-4,2] 例3A[解析]方法一：令-1，y=0,得21)=1)0)，所以0)=2.令y=1,得 +1)十x1)=x1),所以+1)tx-1)=x),即x+1)=x)x-1),所以 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 +2)=+1)x),所以x+2)=x-1),即+3)=x),所以x)=x+3)x+6),即x) 是周期为6的周期函数.因为0)=2,1)=12)=1)0)=1,3)=0)--24)= 1)=15)=2)=1,6)=0)=2,所以 22 f(k)=[f(1)+f(2)+.+f(18】+[f(19)+f(20)+f(21)+f(22]=f(19)+f(20)+f(21)+f(22) 方法二：令x=1,y=0,得21)=1)0)，所以0)=2.设x)=acos0x,则由0)=2,1)=1 知2,2og0l解得co0不妨取0胥则元)-2co子x所以元e ,=4cosπcosπ式x),所以)2cosx符合 3 33 3 2π 条件，因此x)的最小正周期T=π=6，且2)=13)-24)=-15)=16)=2，所以 3 1)+2)+3)+4)+5)+6)=0,所以 f(k)=f1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-1=-3.故进A. 变式题ACD[解析]方法一：对于A,令x0,可得2[0)]-20)，解得0)0或 0)-1,令x=1,可得2)+0)=2[1)]，当0)=0时，-1=2[1)]，显然不成立，故 0)=1,故A正确，对于B,令x0,得20)y)孔y汁)，即无y)式y),又函数x)的定 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 义域为R,所以x)为偶函数，故B错误；对于C,由选项A知，2[1)]'=2)十0)-0，所 以1)=0，令x=1,得21)=1+y汁1-)=0，即1+x)+1-x)=0,所以函数x)的图 象关于点(1,0)中心对称，故C正确；对于D,因为)为偶函数，所以孔-x)=x),又由C 选项得1+x)十1-x)=0,即-x)十2+x)0,得x)汁2+x=0,所以4+x)2+x)x), 故函数x)的周期为4，因为1)=0,2)=-1,3)=-1)=1)=0,4)=0)=1，所以 1)+2)+3)+4)=0+(-1)+0+1=0,所以1)+2)+..+2025)2025)1)0，故D 正确.故选ACD. 方法二根据题意可设cos@x由2c0s20=l,可得ok∈2)，不妨 令0受则)co受x满足题意易知九)是偶函数B错误0心o0-1,A正确，令 受受a∈刀，则l+2∈，当0时，l,故)的图象关于点(1,0冲心对 2π 称，C正确：x)的最小正周期T=π=4，又1)=0,2)=-13)0孔4)=1，所以 1)+2)+..+2025)=506[1)+2)+3)+4)]+2025)=2025)=1)=0,D正确.故选 ACD. 草学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 例4B[解析]因为x)>x1)+x-2),且当x<3时x)=x,所以 3)2)+1)=3,4)>3)+2)>5,5)>4)+3)>86)>5+8=13,7)>8+13=21,8)>13 +21=349)>21+34=55,10)>34+55-89,..20)>10946.故选B. 变式题BC[解析]令x=y=0,则有0)=0)+f0)+0,即0)=0，令y=1,则有 +1)x)汁1)+xx)+x,所以2)式1)+1=10=0)，所以函数x)的图象不关于点 (1,0)对称，故A错误，B正确；由x+1)x)十x,得x+1)x)=x,则2024)=2024)- 2023)H2023)-2022++/2)1)+f1)-2023+2022+..+1+0(2023+1)×2023 2 =1012×2023,故C正确；因为+1)x)十x,所以f+1)=fx)+1,即f+1)fx)=1,令 a=o0∈N,则有aa,1,又a寸1，所以数列a)是等差数列，其首项为2 公差为1，所以a之r-1)1号即f0m=r2则 1+2024.1×2024 2024 f(k) =1012×2024,故D错误.故都C. 2