第2单元 07 第10讲 幂函数、对勾函数与一次分式函数（word习题）-【满分思维】2027年高考一轮总复习·数学（人教B版）

**基本信息** 聚焦幂函数、对勾函数与一次分式函数三大核心函数，通过概念辨析、性质应用与综合题型构建知识网络，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|7题|定义辨析、解析式求参、单调性判断、图像分析|从幂函数定义（系数、指数）出发，推导单调性与图像特征，结合比较大小考查性质应用| |对勾函数|2题|单调性区间判断、闭区间最值求解|基于对勾函数结构特征，通过导数或基本不等式分析单调性，解决最值问题| |一次分式函数|6题|定义域值域、对称性、奇偶性与单调性综合|通过分离常数转化为反比例函数模型，探究定义域、值域及中心对称性质，结合充要条件考查逻辑推理|

第10讲　幂函数、对勾函数与一次分式函数 1.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(,4),则α= (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.2 C.4 D.8 2.[2026·广东河源高级中学、东莞六中、中山实验中学联考] 已知幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递增,则m的值为 (　 ) A.1 B.-3 C.-4 D.2 3.若函数f(x)=x+在(0,t)上单调递减,则t的取值范围是 (　 ) A.(0,) B.(0,] C.(,+∞) D.[,+∞) 4.记a=30.2,b=0.3-0.2,c=log0.20.3,则 (　 ) A.a>b>c B.b>c>a C.c>b>a D.b>a>c 5.(多选题)已知幂函数f(x)=(-3a+1),其中a,m∈R,则下列说法正确的是 (　 ) A.a=-1 B.当<m<1时,f(2)>f(1) C.当m=4时,f(x)的图象关于y轴对称 D.f(x)的图象恒过定点(-1,-1) 6.(多选题)已知函数f(x)=,则 (　 ) A.f(x)的值域是{y|y≠4} B.f(x)的定义域为{x|x≠±2} C.f(2026)+f(-2022)=8 D.f(2023)+f(-2019)=8 7.函数f(x)=在[2,6]上的最大值为　　　　,最小值为　　　　.  8.[2025·辽宁大连三校联考] 已知幂函数f(x)=(2m+3)xm,则使得不等式组-1<f(3-2x)<-成立的自然数x的值为　　　　.  9.如图所示是函数y=(m,n∈N*且互质)的图象,则 (　 ) A.m,n是奇数且<1 B.m是偶数,n是奇数,且<1 C.m是偶数,n是奇数,且>1 D.m是奇数,n是偶数,且>1 10.[2025·广东佛山二模] 已知函数f(x)=(a∈R),p:f(x)是奇函数,q:f(x)在(0,+∞)上单调递减,则p是q的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 11.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0.若a,b∈R,且a<0<b,|a|<|b|,则f(a)+f(b)的值 (　 ) A.恒大于0 B.恒小于0 C.等于0 D.无法判断 12.(多选题)已知函数f(x)=,则下列结论正确的是 (　 ) A.存在x0∈R,使得f(x0)=- B.函数f(x)的图象是一个中心对称图形 C.曲线y=f(x)有且只有一条斜率为的切线 D.存在实数a,b,使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为 13.已知函数f(x)=-4x-8-,x∈[0,1],g(x)=x2-4mx-2m(m≥1),若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数m的取值范围为　　　　.  14.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1-x)=6-f(x+1),g(x)=,若函数f(x)与g(x)的图象有4个交点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4),则(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=　　　　.  15.(多选题)已知函数f(x)=(k∈Z),若对于任意正实数x1,x2,x3,均存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,则整数k的取值可能是 (　 ) A.-1 B.1 C.2 D.3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲　幂函数、对勾函数与一次分式函数 1.C　[解析] 依题意可得4=()α,即()4=()α,解得α=4.故选C. 2.A　[解析] 因为幂函数f(x)=(m2+2m-2)xm+2在(0,+∞)上单调递增,所以解得m=1.故选A. 3.B　[解析] 对勾函数f(x)=x+在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在(-,0)和(0,)上单调递减,所以t∈(0,].故选B. 4.D　[解析] 因为b=0.3-0.2=,幂函数y=x0.2在(0,+∞)上单调递增,>3,所以>30.2>30=1,所以b>a>1.因为对数函数y=log0.2x在(0,+∞)上单调递减,所以c=log0.20.3<log0.20.2=1,故b>a>1>c.故选D. 5.BC　[解析] 对于A,因为f(x)=(-3a+1)是幂函数,所以-3a+1=1,解得a=0,故A错误;对于B,当<m<1时,m2-3m+2=(m-1)(m-2)>0,根据幂函数的性质可知,此时f(x)是增函数,则f(2)>f(1),故B正确;对于C,当m=4时,f(x)==x6,满足f(-x)=f(x),所以f(x)的图象关于y轴对称,故C正确;对于D,根据幂函数性质可知,f(x)的图象恒过定点(1,1),故D错误.故选BC. 6.ACD　[解析] 由f(x)==4+,得f(x)的定义域为{x|x≠2},值域为{y|y≠4},所以点(2,4)是f(x)的图象的对称中心,则f(2026)+f(-2022)=f(2023)+f(-2019)=8.综上,A,C,D正确,B错误.故选ACD. 7.　1　[解析] 因为函数f(x)===2-,所以函数f(x)在区间[2,6]上单调递增,所以函数f(x)在区间[2,6]上的最小值为f(2)==1,最大值为f(6)==. 8.3或4　[解析] 因为f(x)=(2m+3)xm为幂函数,所以2m+3=1,解得m=-1,则f(x)=.由-1<f(3-2x)<-可得-1<<-,解得2<x<,所以符合条件的自然数x的值为3或4. 9.B　[解析] 由图象可看出y=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递增,当x>0时,随着x的增加,y增加得越来越慢,故∈(0,1)且m为偶数,又m,n∈N*且互质,所以n是奇数.故选B. 10.A　[解析] 若f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),即==恒成立,所以a=1,则f(x)==1+,因为y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,充分性成立;若f(x)==1+在(0,+∞)上单调递减,因为y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以1+a>0,故a>-1,此时不一定有a=1,必要性不成立.所以p是q的充分不必要条件.故选A. 11.B　[解析] 因为函数f(x)对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足<0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.由f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x3在(0,+∞)上单调递增,不满足题意;当m=-1时,f(x)=x-3在(0,+∞)上单调递减,满足题意,故f(x)=x-3,且f(x)为奇函数.因为a<0<b,|a|<|b|,所以0<-a<b,所以f(-a)>f(b),所以-f(a)>f(b),所以f(a)+f(b)<0.故选B. 12.ABD　[解析] 由题知f(x)==2-.若f(x0)=-,则2-=-,可得=,所以x0= ln =-2ln 3,所以存在x0∈R,使得f(x0)=-,A选项正确;f(-x)+f(x)=2-+2-=4-=-1,则f(x)的图象关于点对称,所以函数f(x)的图象是一个中心对称图形,B选项正确;f'(x)===,因为ex+2+≥2+2=4,当且仅当x=0时取等号,所以f'(x)=≤,所以曲线y=f(x)没有斜率为的切线,C选项错误;令f(x)=x,则=,所以ex==-1+,易知y=ex,y=-1+两个函数的图象有两个交点,所以存在实数a,b,使得函数f(x)的定义域为[a,b],值域为,D选项正确.故选ABD. 13.　[解析] f(x)=-4x-8-=-4(x-2)--16,x∈[0,1],因为x∈[0,1],所以x-2∈[-2,-1],设t=x-2,则t∈[-2,-1],y=-4t--16,t∈[-2,-1].由对勾函数的性质可得,当t∈时,y=-4t--16单调递减,当t∈时,y=-4t--16单调递增,当t=-时,函数y=-4t--16取得最小值,ymin=-4×--16=6+6-16=-4,当t=-2时,y=8--16=-,当t=-1时,y=4+9-16=-3,设函数f(x)的值域为M,则M=[-4,-3].由g(x)=x2-4mx-2m=(x-2m)2-4m2-2m(m≥1),得g(x)在[0,1]上单调递减,则g(x)在[0,1]上的最大值为g(0)=-2m,最小值为g(1)=1-4m-2m=1-6m,设g(x)的值域为N,则N=[1-6m,-2m].若对于任意x1∈[0,1],总存在x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则M⊆N,即解得1≤m≤,所以实数m的取值范围是. 14.16　[解析] 由f(1-x)=6-f(x+1)可知,函数f(x)满足f(1-x)+f(x+1)=6,所以f(x)的图象关于点(1,3)中心对称.g(x)==+3,显然函数g(x)的图象是由y=的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度得到的,而y=的图象关于原点对称,所以g(x)=+3的图象关于点(1,3)中心对称.故(x1+x2+x3+x4)+(y1+y2+y3+y4)=2×2+2×6=16. 15.BCD　[解析] 因为对任意正实数x1,x2,x3,都存在以f(x1),f(x2),f(x3)为三边长的三角形,所以f(x1)+f(x2)>f(x3)对任意的x1,x2,x3恒成立.f(x)==1+=1+,因为x>0,所以x++1≥2+1=3,当且仅当x=,即x=1时取“=”.令t=x++1≥3,则y=1+(t≥3).当k-1>0,即k>1时,该函数在[3,+∞)上单调递减,则y∈;当k=1时,y∈{1};当k-1<0,即k<1时,该函数在[3,+∞)上单调递增,则y∈.当k>1时,因为2<f(x1)+f(x2)≤,1<f(x3)≤,所以≤2,解得1<k≤4;当k=1时,f(x1)=f(x2)=f(x3)=1,满足条件;当k<1时,≤f(x1)+f(x2)<2,且≤f(x3)<1,所以≥1,解得-≤k<1.综上可得,-≤k≤4.故选BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $