精品解析：北京市第二十中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷高一启承数学

北京市第二十中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高一启承 数学 （时间：120分钟 满分：150分 为选择性必修三模块结业考试） 命题人：张小艳 审题人：刘颖 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 11 B. 42 C. 31 D. 20 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A. B. C. D. 4. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 30种 D. 48种 5. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 6. 展开式的第8项的系数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A. 2025 B. 4050 C. 2026 D. 4052 8. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数在点处的切线方程为_______． 12. 已知的展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为_______． 13. 设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________. 14. 已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________． 15. 已知数列满足（），则下列说法正确的是 ． ①若且，则单调递减； ②若存在无数多个使得，则或； ③当时，存在使； ④当时，对任意，都有． 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的值． （3）设，求数列的前项和． 17. 心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降．同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响． （1）求甲在3次测试中至少完成背诵1次的概率； （2）设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望． 18. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 19. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. （1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； （2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 20. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）是的导数，若有三个不同的零点（）. ①求实数的取值范围； ②证明：. 21. 设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. （1）请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； （2）设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； （3）对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第二十中学2025-2026学年第二学期期末考试试卷 高一启承 数学 （时间：120分钟 满分：150分 为选择性必修三模块结业考试） 命题人：张小艳 审题人：刘颖 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目要求的一项 1. 已知数列的前项和，则（ ） A. 11 B. 42 C. 31 D. 20 【答案】A 【解析】 【详解】． 2. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据简单的复合函数的导数求得，再将代入即可得解. 【详解】因为，所以， 所以． 3. 已知函数，则在上的平均变化率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题意，函数， 则在上的平均变化率． 4. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 30种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】分最高位是4和最高位是3两种情况，结合排列组合知识求解． 【详解】当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法， 共有种. 当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间三位，共种排法， 共有种. 两类相加，总共有种. 5. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 【答案】D 【解析】 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 6. 展开式的第8项的系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】， 则第8项的系数为，选项C正确. 7. 已知正数数列是公比不等于1的等比数列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（ ） A. 2025 B. 4050 C. 2026 D. 4052 【答案】D 【解析】 【分析】由函数解析式得到，再结合等比数列下标和性质即可求解. 【详解】因为正数数列是公比不等于1的等比数列，且，所以， 又∵函数， 令，则， ． . 8. 袋中有个球，其中红、黄、蓝、白、黑球各一个，甲、乙两人按序从袋中有放回的随机摸取一球，记事件甲和乙至少一人摸到红球，事件甲和乙摸到的球颜色不同，则条件概率（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出和的值，利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，事件甲、乙只有一人摸到红球， 则，， 因此，. 故选：D. 9. 已知数列，则“，（k为常数）”是“为等差数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】若，则的奇数项和偶数项分别成等差数列，不一定为等差数列， 如通项公式为的数列，满足，不是等差数列； 反之，若为等差数列，设其公差为，则，即符合条件， 所以“，（k为常数）”是“为等差数列”的必要不充分条件. 10. 已知不等式对任意的恒成立，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】同构变形，由函数单调性得到不等式，参变分离，求出函数单调性和最值，得到答案 【详解】，对任意的恒成立， 则对任意的恒成立， 令，易知在单调递增， ，，，， 令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 的最小值为，故， 又，的取值范围. 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数在点处的切线方程为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 则，即切线的斜率为， 所以切线方程为，即. 12. 已知的展开式中，所有二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的性质，求得，结合二项展开式的通项公式，即可求解. 【详解】因为的展开式中，所有二项式系数之和为， 可得，解得，所以二项式即为， 则二项式的展开式的通项为， 令，可得， 所以展开式中的常数项为. 13. 设为等差数列的前项和，，则___________，若，则使得不等式成立的最小整数___________. 【答案】 ①. 6 ②. 13 【解析】 【分析】根据等差数列的性质求和，再由等差数列的单调性确定满足的最小值． 【详解】因为，所以；因为，所以，所以为递减数列，又，，所以. 故答案为：6；13． 14. 已知函数的导数，若在处取到极大值，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分，和三种情况，结合二次函数的图象性质与极值的定义判断即可. 【详解】由题意当时不成立，当时有两个零点与. ①当时，开口向上，且，故当时，时，在处取到极大值； ②当时，开口向下； 当时，，无极大值； 当时，在区间上，上，故在处取到极大值； 当时，在区间上，上，故在处取到极小值. 综上有或. 故答案为： 15. 已知数列满足（），则下列说法正确的是 ． ①若且，则单调递减； ②若存在无数多个使得，则或； ③当时，存在使； ④当时，对任意，都有． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对①先证，然后再排除即可； 对于②将转化为，再分类讨论可得； 对于③由数列的单调性可得且，故可判断； 对于④通过对递推关系变形，再裂项求和及数列的单调性可判断范围. 【详解】因为，所以， 当且仅当时等号成立. 对于①：因为且，由， 得，即. 若，则，，解得或， 与条件且矛盾，所以. 同理，即. 若，则，，解得或，与矛盾. 若，则，即， 此方程的判别式，方程无实数解，故，所以. 依次类推，可得，即单调递减，所以①正确； 对于②：若，则，即，解得. 所以若存在无数多个使得等价于存在无数个使得. 若，则.由，得，依次类推，得，符合题意； 若，则，同理得，依次可得，符合题意. 若且，则由选项①可知数列单调递减，即， 所以不存在无数个使得，所以②正确； 对于③：由，令是开口向下， 对称轴为的抛物线，且. 因为，所以，即，再由①知数列单调递减， 所以，而，所以不存在使.故③不正确； 对于④：由， 所以 . 当时，. 又由结合①可知数列单调递减，且，所以， . 所以，即.所以④正确. 故答案为：①②④. 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出相应文字说明，演算步骤或证明过程． 16. 已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的值． （3）设，求数列的前项和． 【答案】（1） () （2） （3） () 【解析】 【分析】（1）根据等差数列，列方程可求得首项与公差，进而求得数列的通项公式； （2）由根据裂项求和法，即可求解； （3），利用分组求和法即可求解. 【小问1详解】 设公差为d，由，解得，故. 【小问2详解】 ， 则 . 【小问3详解】 由题可得， 则 17. 心理学研究表明，人类学习新知识后，记忆留存会随时间先快后慢逐渐下降．同学甲为了解自己的记忆能力，他先练习背诵一首古诗，然后分别在练习结束后20分钟、1小时、1天这三个时间节点进行测试，假设他在这三个时间节点完成背诵的概率依次为，，，且每次是否完成互不影响． （1）求甲在3次测试中至少完成背诵1次的概率； （2）设表示甲在3次测试中完成背诵的次数，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 数学期望 【解析】 【分析】（1）利用对立事件概率性质，先计算3次测试全部未完成的概率，再用1减去该值得到至少完成1次的概率； （2）先确定X的所有可能取值，根据独立事件概率乘法公式计算各取值对应概率得到分布列，再代入期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 记事件A为“甲在3次测试中至少完成背诵1次”，则其对立事件为“甲3次测试均未完成背诵”. 由于各次测试是否完成相互独立， 因此：， 由对立事件概率公式得：. 【小问2详解】 由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,3，分别计算对应概率： ； ； ； ； 因此X的分布列为： 0 1 2 3 根据离散型随机变量数学期望公式：. 18. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； （2）若恒成立，求a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【小问1详解】 当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. 【小问2详解】 ， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 19. 随着人们生活水平的提高，参观文博馆成为人们外出旅游的一项重要活动.某市2015年到2025年的文博馆接待的成年人和未成年人的参观次数（单位：万人次）统计图如下： 假设各年的参观情况互不影响. （1）在2016年到2025年这10年中任选一年，求这一年与其前一年相比，该市未成年人参观文博馆次数出现增长的概率； （2）从2015年至2020年这6年中任选1年.再从2021年至2025年这5年中任选2年，记选出的3年中该市年参观文博馆总人次超过120万的年数为X，求X的分布列和数学期望； （3）记2015年至2025年该市未成年人和成年人年参观文博馆次数的方差为和、年参观文博馆总人次的方差为，给出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2） X 0 1 2 3 P ， （3） 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求解； （2）确定X的取值，求出每个值相应的概率，即可得分布列和数学期望； （3）根据数据的变化趋势以及波动情况即可得结论. 【小问1详解】 2016年到2025年共10年，依次与前一年比较未成年人参观次数， 其中增长的年份共8年，因此所求概率为； 【小问2详解】 2015-2020年共6年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有4个； 2021-2025年共5年，总人次超过120万的年份有2个，不超过的有3个。 X的可能取值为0，1，2，3，分别计算概率： ，， ，， 故X的分布列为： X 0 1 2 3 P ； 【小问3详解】 未成年人数据：波动较小（22，25，26，29，30，32，14，20，16，32，35），波动范围在14–35； 成年人数据：波动大（62，68，75，86，92，102，48，65，48，108，120），波动范围在48–120，且有明显下降回升， 总人次：波动更大（84，93，...，155），因为两个序列叠加且趋势类似， 由此从数据波动幅度可看出： 总人次波动最大，其次是成年人，最后是未成年人， 故. 20. 已知函数. （1）若，求的单调区间； （2）是的导数，若有三个不同的零点（）. ①求实数的取值范围； ②证明：. 【答案】（1）的减区间，增区间 （2）①； ②由①可知，函数在恰有一个零点，在恰有一个零点， 在恰有一个零点，则， 由是方程的根，即，得， 即也是方程的根，于是， 要证，只需证，令， 因为，所以， 则， ，则， ， 所以函数在上单调递减， ，因此在上恒成立， 则恒成立，所以. 【解析】 【分析】（1）求出，再利用导数分类探讨函数的单调性，进而求出单调区间. （2）①当时，在上单调递增，不符合题意；当时，利用导数探讨函数两个变号零点的区间，然后利用零点存在性定理判断即可得解.②先证得，要证，只需证，令，利用导数求出最值即可证明. 【小问1详解】 时，函数的定义域为， 求导得， 令，求导得， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，，当时，，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 【小问2详解】 ①， 当时，， 所以在上单调递增，不符合题意； 当时，有两个变号的正零点， 由，得，可得在上单调递增， 在上单调递减，又，则， 而， 函数，求导得， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 于是，当且仅当时取等号，则当时，， 因此，， 因此函数在恰有一个零点， 在恰有一个零点，在恰有一个零点， 综上所述，； ②略 21. 设为无穷数列，为正整数集的无限子集，且，则数列称为数列的一个子列. （1）请写出一个无穷等差数列，其任意子列均为等比数列； （2）设无穷数列为等差数列，，证明：的任意子列不是等比数列； （3）对于公差不为零的无穷等差数列，试探究其任意子列不是等比数列的一个充分条件. 【答案】（1）（答案不唯一）； （2） 若存在一个子列是等比数列，则中必存在某三项成等比数列， 下证的任意三项不能构成等比数列， 假设，其中且， 因为公差，所以， 从而， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，（1）中左边为无理数，右边为有理数，不可能相等， 所以假设不成立，故的任意三项不能构成等比数列， 从而的任意子列不是等比数列； （3）是无理数. 【解析】 【分析】（1）既是等差数列又是等比数列的数列是非0常数列，由此可得； （2）用反证法证明其中任意三项都不可能成等比数列； （3）在（2）的提示下， 是无理数是其充分条件，利用反证法得是无理数时，假设其为等比数列不成立． 【小问1详解】 既是等差数列又是等比数列的数列最简单的是非0常数列， 如，它是等差数列，它的任意子列均为公比为1的等比数列； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若无穷等差数列的任意三项均不能构成等比数列，则其任意子列必定不是等比数列， 设的公差为，则，下证“是无理数”为满足题意的一个充分条件． 假设，其中且， 因为， 所以， 整理得， 若，则，从而，与矛盾， 所以，此时，有理数， 所以，当是无理数时，假设不成立，从而的任意三项不能构成等比数列，进而的任意子列不是等比数列， 故“是无理数”为“的任意子列不是等比数列”的一个充分条件． 【点睛】方法点睛：在证明数列无穷等差数列的任意子列不可能是等比数列时，考虑其中任意三项（成等比数列的数列的最小项数）不能成等比数列，由于题中条件较少，因此用反证法，可以把等比数列作为一个条件进行推导，根据是有理数与无理数不可能相等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $