精品解析：湖北咸宁市2025-2026学年下学期高中期末考试高二数学试卷

咸宁市2025—2026学年度下学期高中期末考试 高二数学试卷 （本试卷共4页，时长120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 组合数，则（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2或8 【答案】D 【解析】 【分析】利用组合数的性质即可求解. 【详解】由题意得：或. 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 3. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将10个数据去掉最高分和最低分后45百分位数不变. 【详解】对A，若每个数据都不相同，则极差一定变化，故A错误； 对B，由，所以将10个数据从小到大排列，45百分位数为第5个数据， 从10个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到8个有效评分，， 所以45百分位数为8个数据从小到大排列后第4个数据，即为原来的第5个数据． 对C，去掉一个最高分一个最低分，平均数可能变化，故C错误； 对D，去掉一个最高分一个最低分，众数可能变化，故D错误. 故选：B. 4. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知,,,即, ,解得．故B正确． 考点：1二项式系数；2组合数的运算． 5. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，，从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得，进而得，再由二项分布的数学期望公式即可求解. 【详解】由，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 6. 已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】原回归直线过样本均值点，已知，则， 故原样本均值为， 加入新数据和后，样本容量为， 新样本均值，， 新回归直线斜率为3，设新回归方程为， 则方程过样本均值点，故，解得， 故新回归方程为， 当时，预测值． 7. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算“3位女生中有且只有2位女生相邻”的总排法，再减去“男生甲站两端且3位女生中有且只有2位女生相邻”的排法． 【详解】从3位女生中选2位捆绑为一个整体，内部有顺序，共种方法， 3位男生全排列，共种，排好后形成4个空隙， 把“2人女生组”和“单独女生”插入4个空隙，共种方法， 总排法数为：种， 若甲固定在队伍最左端，剩余2位男生全排列，共种方法， 甲左侧无法插入女生，故3位男生仅形成3个可用空隙， 插入两组女生共种方法， 女生捆绑分组为6种方法， 故甲在左端的排法为：种， 同理，甲在右端的排法为：种， 故甲在两端的总排法为：种， 故“甲不在两端且女生恰有2位相邻”的排法为：种． 8. 已知函数的定义域为，是的导函数，，对，有．则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由等价于，令，即，令，利用导数研究单调性，进而求解. 【详解】由， 令，， 所以， 令，所以， 令， 令， 令， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以， 所以在单调递减， 又，所以，解得， 所以的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若随机变量X，Y满足，则 C. 样本相关系数的值越小，则成对样本数据的线性相关程度就越弱 D. 一组样本数据，，，，，满足，，则这组数据的方差为 【答案】ABD 【解析】 【详解】整理得，化简得，故A正确； 由期望性质易知，故B正确； 样本相关系数的绝对值越小，线性相关程度越弱；本身值小（如）不代表相关程度弱，故C错误； 由题意得，样本均值， 令，则 ， 的方差 ， 由方差性质，得，故D正确. 10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】分别求出从乙袋子中取出2个红球、2个白球和1个红球和1个白球的概率，分析X的可能取值，求出各个概率，可判断A、B的正误，代入期望和方差公式，可判断C、D的正误. 【详解】设从乙袋子中取出2个红球为事件A，则， 从乙袋子中取出2个白球为事件B，则， 从乙袋子中取出1个红球和1个白球为事件C，则， 由题意，X的可能取值为0和1， 则 ，故A错误，B正确； 所以， 则，故C正确，D错误. 11. 先后掷一个均匀的骰子3次（骰子有六个面，对应点数分别为1，2，3，4，5，6），得到的点数依次为x，y，z，记事件为“”（），事件为“”，则（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，设，推出，分和两种情况，得到情况数，从而得到概率；B选项，计算出，，故，B错误；CD选项，利用条件概率公式进行求解. 【详解】A选项，设， 则， 事件：， 当时，中间数， 若，则有种情况，若，则有种情况， 共有； 当时，中间数，同理共有， 故总共有种， 掷一个均匀的骰子3次，共有种情况， 所以，A正确； B选项，事件：，中间数， ，当时，当时， 两类有1种重复，即，所以总共种， 所以， 又，， 故事件与事件不相互独立，B错误； C选项，事件：， 事件：，中间数， ，当时，当时， 有1种重复，所以总共种，所以，又， 所以，C正确. D选项，事件：， 当时，中间数，共有； 当时，中间数，共有； 当时，中间数，共有， 故总共有种，，又， 所以，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的常数项为__________． 【答案】 【解析】 【详解】的展开式中第项为 令可得 故展开式中的常数项为， 13. 已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________. 【答案】4 【解析】 【分析】由得，所以，根据解方程即可求出结果． 【详解】因为函数有两个极值点与 由，则有两根与 所以，得 因为， 所以，又 则， 所以 故答案为： 14. 某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，） 【答案】13 【解析】 【分析】根据全概率公式结合题意计算即可. 【详解】记文件最终成功恢复为事件，则由全概率公式， . 根据二项式定理，因此有： ，， 所以. 令，得， 所以. 所以的最小值为13. 故答案为：13. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙两个盒子，每个盒子最多放4个，有多少种不同的放法？（结果用数字表示） （2）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙、丙三个盒子，每个盒子非空，其中1号球不放入甲盒子，有多少种不同放法？（结果用数字表示） 【答案】（1）50（2）360 【解析】 【分析】（1）根据每个盒子小球的情况，分类讨论，利用排列组合即可求解； （2）对甲盒子放1个，2个，3个，4个小球的情况，分类讨论，进而求解. 【详解】（1）因为每盒至多放4个，所以分两种情况： 两盒都放3个：， 一盒2个一盒4个：， 所以，故一共有50种不同放法； （2）可以对甲盒放1个，2个，3个，4个球讨论， 当甲盒放1个球时：种， 当甲盒放2个球时：种， 当甲盒放3个球时：种， 当甲盒放4个球时：种， 种. 16. 电视台为了了解观众是否喜欢观看某电视节目与性别是否有关，随机抽取了300名市民，调查他们是否喜欢观看这个电视节目．若从这300名市民中随机挑选一人，记事件为“该市民为女性”，事件为“该市民喜欢观看此节目”，且，，． 不喜欢看 喜欢看 人数总计 男性 女性 人数总计 （1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析观看此节目是否与性别有关？ （2）从调查到喜欢观看此节目的市民中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人获得一等奖，其余的获得二等奖．记获得一等奖中女性的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，（结果精确到0.001） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 不喜欢看 喜欢看 人数总计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 人数总计 75 225 300 看此节目与性别有关 （2） X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）先根据题意完善列联表，然后计算，然后进行判断即可. （2）根据题意可知女性数服从超几何分布，然后列出分布列，求出期望. 【小问1详解】 不喜欢看 喜欢看 人数总计 男性 25 150 175 女性 50 75 125 人数总计 75 225 300 零假设：假设观看此节目与性别无关， ， 依据小概率值的独立性检验，假设错误，即观看此节目与性别有关； 【小问2详解】 根据分层抽样，抽取女性人，男性4人， 的取值可以为0，1，2， ，，， 所以的分布列为： X 0 1 2 P . 17. 函数． （1）求函数在区间上的极值点个数， （2）存在实数，对任意的，恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）极值点个数为2个，分别为， （2） 【解析】 【分析】（1）先求导，利用导数研究极值即可求解； （2）由（1）求得的范围，将看作关于的一次函数，令，进而得，进而求解. 【小问1详解】 由题意得：，令，， 列表得： x 0 - 0 + 0 + 0 - 减 极小值 增 不是极值点 增 极大值 减 由上可知：在区间上的极值点个数为2个，分别为，； 【小问2详解】 由（1）可知，在区间上单调递增，故 ， 将看作关于的一次函数，令，因为，所以是增函数， 所以， 所以对任意的恒成立， 即，所以， 故实数b的最大值为． 18. 某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. （1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. （2）若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. （3）使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 【答案】（1）0.1 （2）0.0486 （3） 应该引进该自动化检测系统，理由如下： 设使用自动化检测系统时每日总支出（即总损失）为元. 设备故障且被判为故障的概率为， 设备正常却被判为故障的概率为， 设备故障却被判为正常的概率为， 则. 因为，所以应该引进该系统. 【解析】 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中结果，结合独立重复性实验的概率公式运算求解即可； （3）根据题意求使用自动化检测系统时每日总支出的期望，并与每日故障损失的期望对比分析即可. 【小问1详解】 设某日检测结果与设备实际状态不符为事件， 由全概率公式可得， 故某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1. 【小问2详解】 由（1）可知：某日检测结果与设备实际状态不符的概率为0.1， 设恰有2天检测结果与实际不符为事件， 则， 故恰有2天检测结果与实际不符的概率为0.0486. 【小问3详解】 略 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）若正项数列满足，，试比较与1的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间． （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数及转化思想即可求得函数的单调区间； （2）利用导数、转化思想，分和分别求解即可； （3）由题意可得得，结合（1）可得，令，则有，即有，则有，结合，可得，从而，即有． 【小问1详解】 解：当时，， 所以， 令， 则，即为， 则， 当，即时，单调递减， 当，即时，单调递增， 所以， 故， 所以， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 【小问2详解】 解：注意到，，， 设，则，， ①当时，恒成立， 所以，在上单调递增， 所以， 所以， 所以在上单调递增， 所以，满足题意； ②当时，令，得， 即存在，使得时，单调递减， 时，，单调递增， 故， 所以，当，，，单调递减， 所以，存在，不满足对任意恒成立． 综上，实数a的取值范围为． 【小问3详解】 解：由，得． 由（1）知，当时，在上单调递增， 故当时，， 令，则， 即，故， 又因为，所以， 故． 一方面，当时，，， 另一方面，当时，． 即，所以． 综上，． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用方法有：1、转化为求函数的最值；2、参变分离，转化为求参数与函数最值之间关系. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸宁市2025—2026学年度下学期高中期末考试 高二数学试卷 （本试卷共4页，时长120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 组合数，则（ ） A. 8 B. 5 C. 4 D. 2或8 2. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 某项比赛共有10个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是（ ） A. 极差 B. 45百分位数 C. 平均数 D. 众数 4. 设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 5. 某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，，从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知变量和变量的一组成对样本数据为（），其中，其回归直线方程为，当增加两个样本数据和后，重新得到的回归直线斜率为3，则在新的回归直线条件下，时变量预测值为（ ） A. B. C. D. 3 7. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有2位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，是的导函数，，对，有．则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. 若随机变量X，Y满足，则 C. 样本相关系数的值越小，则成对样本数据的线性相关程度就越弱 D. 一组样本数据，，，，，满足，，则这组数据的方差为 10. 甲、乙两个不透明的袋子里分别装有若干个除颜色外均相同的球，其中甲袋子里有2个红球，乙袋子里有3个红球和2个白球．现从乙袋子里随机取出2个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随机取出1个球．记从甲袋子里取出红球的个数为，则（ ） A. B. C. D. 11. 先后掷一个均匀的骰子3次（骰子有六个面，对应点数分别为1，2，3，4，5，6），得到的点数依次为x，y，z，记事件为“”（），事件为“”，则（ ） A. B. 事件与事件相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式的常数项为__________． 13. 已知函数有两个极值点与，若，则实数a＝____________. 14. 某文件被切分成n个独立分片上传云端，每个分片上传成功的概率为，且相互独立.当成功上传了m个分片时，文件可被成功恢复的概率为．为使文件最终成功恢复的概率不小于，正整数n的最小值为________.（参考数据：，） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. （1）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙两个盒子，每个盒子最多放4个，有多少种不同的放法？（结果用数字表示） （2）将编号分别为1~6的六个小球全部放入甲、乙、丙三个盒子，每个盒子非空，其中1号球不放入甲盒子，有多少种不同放法？（结果用数字表示） 16. 电视台为了了解观众是否喜欢观看某电视节目与性别是否有关，随机抽取了300名市民，调查他们是否喜欢观看这个电视节目．若从这300名市民中随机挑选一人，记事件为“该市民为女性”，事件为“该市民喜欢观看此节目”，且，，． 不喜欢看 喜欢看 人数总计 男性 女性 人数总计 （1）请完成列联表，依据小概率值的独立性检验，分析观看此节目是否与性别有关？ （2）从调查到喜欢观看此节目的市民中用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人获得一等奖，其余的获得二等奖．记获得一等奖中女性的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，（结果精确到0.001） 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 函数． （1）求函数在区间上的极值点个数， （2）存在实数，对任意的，恒成立，求实数的最大值． 18. 某工厂某设备每日出现故障的概率为0.2，工厂采用一种自动化检测系统，若设备正常，检测结果为“正常”的概率为0.9，若设备故障，检测结果为“故障”的概率为0.9，已知每日的检测结果相互独立. （1）求某日检测结果与设备实际状态不符的概率. （2）若该工厂对该设备进行连续4天的检测，求恰有2天的检测结果与实际不符的概率. （3）使用自动化检测系统时，每日固定检测费为100元，若检测结果为“故障”，则需花费400元检修费（检修后无损失），若检测结果为“正常”但设备实际故障，则当日损失2000元.若不使用自动化检测系统，每日故障损失的期望为280元，试问是否应该引进该自动化检测系统？说明你的理由. 19. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若对任意恒成立，求实数a的取值范围； （3）若正项数列满足，，试比较与1的大小关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $