考点精练9 数列求和-2027年广东省“3+证书”考试复习必备(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦数列求和三大核心方法，以题型为载体构建“通项推导-求和应用”的逻辑链条，精选广东“3+证书”考真题，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列求和|4题（含2023真题）|先求通项公式再求和，结合简单代数变形|从基本量（首项、公差）到通项公式，再应用等差数列求和公式，体现概念生成到应用拓展| |等比数列求和|4题（含2024真题）|已知首项与项求公比，推导通项后求和|通过等比中项求公比，建立通项与求和公式的关联，强化公式应用的严谨性| |裂项相消求和|4题|依托等差数列背景，构造可裂项形式|以等差数列前n项和为基础，通过代数变形实现裂项，培养模型意识与转化思维|

2027年广东省“3+证书”考试 考点精炼09 数列求和 题型一、等差数列求和 1.(2023·广东3+证书)已知等差数列{aₙ}满足a₁=1，a₂+a₄=10 (1)求{aₙ}的通项公式； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前10项和。 (1)答案：aₙ=2n-1 解析：设等差数列{aₙ}公差为d，a₁=1。 由a₂+a₄=10，a₂=1+d，a₄=1+3d， (1+d)+(1+3d)=10，2+4d=10，解得d=2。 通项aₙ=1+(n-1)×2=2n-1。 (2)答案：60 解析：bₙ===n，{bₙ}是首项1、公差1的等差数列。 S₁₀=10×(1+10)÷2=60。 2.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₃=8。 (1)求数列{aₙ}的通项公式； (2)设bₙ=aₙ+1，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 (1)答案：aₙ=3n-1 解析：设公差d，a₁=2，a₃=8。 a₃=a₁+2d，2+2d=8，d=3。 aₙ=2+(n-1)×3=3n-1。 (2)答案：Tₙ= 解析：bₙ=aₙ+1=3n，{bₙ}首项3，公差3。 Tₙ=n=。 3.在等差数列{aₙ}中，a₁=1，a₂+a₅=14。 (1)求{aₙ}的通项公式及前n项和Sₙ； (2)求S₈。 (1)答案：aₙ=3n-2，Sₙ= 解析：设公差d，a₁=1，a₂+a₅=14。 a₂=1+d，a₅=1+4d，(1+d)+(1+4d)=14，2+5d=14，d=3。 aₙ=1+(n-1)×3=3n-2。 Sₙ=n(a₁+aₙ)÷2=n(1+3n-2)÷2=。 (2)答案：92 解析：S₈=(3×8²-8)÷2=(192-8)÷2=92。 4.已知等差数列{aₙ}满足a₁=3，a₄=12。 (1)求{aₙ}的通项公式； (2)设cₙ=2aₙ-3，求数列{cₙ}的前10项和。 (1)答案：aₙ=3n 解析：等差数列a₁=3，a₄=12。 a₄=a₁+3d，3+3d=12，d=3。 aₙ=3+(n-1)×3=3n。 (2)答案：300 解析：cₙ=2aₙ-3=6n-3，首项c₁=3，c₁₀=57。 S₁₀=10×(3+57)÷2=300。 题型二、等比数列求和 5.(2024·广东3+证书)等比数列{aₙ}中，a₁=1/2，a₃=1/8 (1)求aₙ； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和。 (1)答案：aₙ=()ⁿ 解析：等比数列a₁=，a₃=。 a₃=a₁q²，=()q²，q²=，取q=。 aₙ=()×()ⁿ⁻¹=()ⁿ。 (2)答案：Sₙ=2ⁿ⁺¹-2 解析：bₙ= =2ⁿ，首项2，公比2。 Sₙ=2(2ⁿ-1)÷(2-1)=2ⁿ⁺¹-2。 6.(2026·广东3+证书)已知等差数列{aₙ}满足a₁=1，a₂+a₄=6 (1)求{aₙ}的通项公式； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。 (1)答案：aₙ=n 解析：等差数列a₁=1，a₂+a₄=6。 a₂=1+d，a₄=1+3d，(1+d)+(1+3d)=6，d=1。 aₙ=1+(n-1)×1=n。 (2)答案：Sₙ=2ⁿ⁺¹-2 解析：bₙ==2ⁿ，首项2，公比2。 Sₙ=2(2ⁿ-1)÷(2-1)=2ⁿ⁺¹-2。 7.已知等比数列{aₙ}中，a₁=2，公比q=3。 (1)求aₙ； (2)求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。 (1)答案：aₙ=2·3ⁿ⁻¹ 解析：等比数列a₁=2，q=3，通项aₙ=a₁qⁿ⁻¹=2·3ⁿ⁻¹。 (2)答案：Sₙ=3ⁿ-1 解析：Sₙ=2(3ⁿ-1)÷(3-1)=3ⁿ-1。 8.在等比数列{aₙ}中，a₂=6，a₃=18。 (1)求首项a₁及通项公式aₙ； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 (1)答案：a₁=2，aₙ=2·3ⁿ⁻¹ 解析：a₂=6，a₃=18，q=a₃÷a₂=3。 a₂=a₁q，6=3a₁，a₁=2。 aₙ=2·3ⁿ⁻¹。 (2)答案：Tₙ=- 解析：bₙ==()·()ⁿ⁻¹，首项，公比。 Tₙ=()[1-()ⁿ]÷(1-)=-。 题型三、分组求和 9．在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 答案：（1）即，所以. （2）由上知， 则 . 10．设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 答案：（1）设等差数列的公差为． 由题意可得，解得，， 则． （2）由（1）可知，则， 故 11．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 答案：（1）当时，，得， 当时，由得，， 两式相减得：， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，且. （2）由（1）知， 所以， 所以 ， 即. 12．已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 答案：（1）当时，. 当时，，也符合上式，所以. 设正项等比数列的公比为，则，又， 所以，即，解得， 所以. （2）设的前项和为， 所以. . 13．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和. 答案：(1) ， ，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知， 题型三、裂项相消求和 14.(2025·广东3+证书)在等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₄=8 (1)求数列{aₙ}的通项公式及前n项和Sₙ； (2)若数列{bₙ}满足bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 (1)答案：aₙ=2n，Sₙ=n(n+1) 解析：等差数列a₁=2，a₄=8。 a₄=a₁+3d，2+3d=8，d=2。 aₙ=2+(n-1)×2=2n。 Sₙ=n(2+2n)÷2=n(n+1)。 (2)答案：Tₙ= 解析：bₙ=ₙ=。 =-。 Tₙ=[(1-)+( -)+…+(-] =1- = 15.已知等差数列{aₙ}中，a₁=1，d=1。 (1)求前n项和Sₙ； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 (1)答案：Sₙ= 解析：等差数列a₁=1，d=1，aₙ=n。 Sₙ=n(1+n)÷2=。 (2)答案：Tₙ= 解析：bₙ==2(-)。 Tₙ=2[(1-)+( -)+…+(-] =2(1-) = 16.在等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₃=6。 (1)求Sₙ； (2)设cₙ=，求{cₙ}的前n项和Tₙ。 (1)答案：Sₙ=n(n+1) 解析：等差数列a₁=2，a₃=6。 a₃=a₁+2d，2+2d=6，d=2，aₙ=2n。 Sₙ=n(2+2n)÷2=n(n+1)。 (2)答案：Tₙ= 解析：cₙ==2(-)。 Tₙ=2[(1-)+( -)+…+(-] =2(1-) = 17.已知等差数列{aₙ}满足a₁=3，a₂+a₄=18。 (1)求Sₙ； (2)设dₙ=，求Tₙ。 (1)答案：Sₙ= 解析：等差数列a₁=3，a₂+a₄=18。 a₂=3+d，a₄=3+3d，(3+d)+(3+3d)=18，d=3，aₙ=3n。 Sₙ=n(3+3n)÷2=。 (2)答案：Tₙ= 解析：dₙ==3÷[]= =2(-)。 Tₙ=2[(1-)+( -)+…+(-] =2(1-) = 18．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 答案：（1）因为，当时，， 当时，， 检验，当时，，也满足．所以． （2）因为，， ， ． 19．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 答案：（1）由，所以， 所以， 所以数列是以为公差，首项为的等差数列； （2）由（1）有，所以， 所以， 所以. 20．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 答案：（1）设等比数列的公比为，则， 于是 ； 则， 故的通项公式为，的通项公式为. （2）由题可知 数列的前项和为 . 试卷第1页，共3页 试卷第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年广东省“3+证书”考试 考点精炼09 数列求和 题型一、等差数列求和 1.(2023·广东3+证书)已知等差数列{aₙ}满足a₁=1，a₂+a₄=10 (1)求{aₙ}的通项公式； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前10项和。 2.已知等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₃=8。 (1)求数列{aₙ}的通项公式； (2)设bₙ=aₙ+1，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 3.在等差数列{aₙ}中，a₁=1，a₂+a₅=14。 (1)求{aₙ}的通项公式及前n项和Sₙ； (2)求S₈。 4.已知等差数列{aₙ}满足a₁=3，a₄=12。 (1)求{aₙ}的通项公式； (2)设cₙ=2aₙ-3，求数列{cₙ}的前10项和。 题型二、等比数列求和 5.(2024·广东3+证书)等比数列{aₙ}中，a₁=1/2，a₃=1/8 (1)求aₙ； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和。 6.(2026·广东3+证书)已知等差数列{aₙ}满足a₁=1，a₂+a₄=6 (1)求{aₙ}的通项公式； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ。 7.已知等比数列{aₙ}中，a₁=2，公比q=3。 (1)求aₙ； (2)求数列{aₙ}的前n项和Sₙ。 8.在等比数列{aₙ}中，a₂=6，a₃=18。 (1)求首项a₁及通项公式aₙ； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 题型三、分组求和 9．在数列中，，，． (1)证明数列为等比数列，并求的通项公式； (2)求的前n项和． 10．设等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 11．已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． 12．已知数列的前项和为，且，数列为正项等比数列，且. (1)求和的通项公式； (2)求的前项和. 13．已知数列满足，且． (1)证明：数列是等比数列； (2)求的前项和. 题型四、裂项相消求和 14.(2025·广东3+证书)在等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₄=8 (1)求数列{aₙ}的通项公式及前n项和Sₙ； (2)若数列{bₙ}满足bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 15.已知等差数列{aₙ}中，a₁=1，d=1。 (1)求前n项和Sₙ； (2)设bₙ=，求数列{bₙ}的前n项和Tₙ。 16.在等差数列{aₙ}中，a₁=2，a₃=6。 (1)求Sₙ； (2)设cₙ=，求{cₙ}的前n项和Tₙ。 17.已知等差数列{aₙ}满足a₁=3，a₂+a₄=18。 (1)求Sₙ； (2)设dₙ=，求Tₙ。 18．已知数列的前项和为，且（）． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 19．已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，求数列的前项和． 20．已知数列是等比数列，，，数列满足：． (1)求，的通项公式； (2)数列求数列的前项和． 试卷第1页，共3页 试卷第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 $