福建福州市台江区六校2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 高二数学期末卷涵盖函数、几何、统计等模块，解答题注重立体几何证明、导数应用等综合能力，梯度合理，适配期末测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、复数求解、统计直方图分析|结合选科物理成绩情境，考查数据处理（数学眼光）| |多选|3/18|二项式定理、命题否定、空间轨迹|正方体轨迹问题体现空间观念（数学思维）| |填空|3/15|成绩中位数、函数值域、比赛概率|羽毛球比赛概率渗透数据观念（数学语言）| |解答题|5/77|四棱锥证明、导数单调性、解三角形|函数零点证明综合推理与运算能力（数学思维）|

■ 报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) ▣▣ 2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学答题卡 姓名： 班级： 考场/座位号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场填写清楚，并认真核对 条形码上的姓名和准考证号。 2.选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不 (正面潮上，切勿贴出虚线方框) 留痕迹。 3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答 无效。要求字体工整、笔迹清晰。作图时，必须用2B铅笔，并描浓。 正确填涂 ■ 缺考标记 4.在草稿纸、试题卷上答题无效。 5.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁。 单选题 1[A][B][C][D] 3[A][B][c][D] 5[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二 多选题 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D]11[A][B][C][D] 三填空题 12 13. 14 四解答题 15.(13分) 囚囚■ 16.(15分) 17.(15分) ▣囚■ a ■ 18.(17分) ■ 囚■囚 a 口 19.(17分) 囚■囚 ■2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 (满分：150分：考试时间：120分钟) 班级 姓名 座号 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求. 1.已知集合M={x-3<x<),N={(x-1≤x<4),则MUN=（) A.{x-1≤x<1B.{xx>-3}C.{xx<4D.{x|-3<x<4} 2.下列函数中，定义域为(0，+o)的函数是() A.f(x)=B.f(x)=Inx C.f(x)=2*D.f(x)=tanx 3.已知复数z满足z(2-i)=1+i,则z=() A.5 B.2V5 D.210 5 5 4.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织 了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到 如图所示的频率分布直方图.根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则(). A.频率分布直方图中的m的值为0.15 频率组距 0.030- B.该年级物理成绩的众数的估计值为80分 0.025 C.该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D.若物理成绩排名前70%的学生适合选报物理， 0.010 0.005 则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 O405060708090100成绩（分） 5.已知a>0且a≠1，则“0<a< 1”是“a>a”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6现有6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中 甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法 共有() A.300种 B.210种 C.120种 D.60种 高二数学第1页共4页 7.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”， 事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，则() A.当n=2时，PA-月 B.当n=2时，事件A与事件B独立 C.当n=3:AU-日 D.当n=3时，事件A与事件B互斥 8.定义在R上的函数f(x)的导函数为'(x),且满足1<f'(x)<2,f(-1)=0, f(5)>10,则下列不等式一定成立的是() A.f(4)<9 B.f(3)>6 C.f(1)<3 nfo月 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 的展开式中，若所有项的二项式系数和为4，则() A.n=7 B.展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等 C.展开式中的常数项为-240D.展开式中的各项系数之和为1 10.下列说法正确的是( A.命题“x>0,都有e>x+1”的否定是“x>0,使得e≤x+1” B.复数z=1+√5i是方程x2-2x+4=0在复数集内的解 Q若>3，则+兰的最小值是5 D.若向量a=(2.0),6=(-1,),则万在a上投影向量为2d 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,C,D,中，点E在棱CC1上，且CE=2CC,, 点F在正方形ABC,D内（含边界）运动，则() A.当元=时，平面AD,E截该正方体所得的截面面积为18 B当元=2时，点D到平面AD,E的距离为25 C.当元=，且BF11平面AD,E时，点F的轨迹长度为5 D.当元=4且EF LAEE时，点F的轨迹长度为2 4 高二数学第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某学生最近五次的数学考试成绩分别为125,123,120,133,130， 则该学生数学成绩的中位数为 l0g2(x+2),-2<x<2, 13.若函数f(x)= 的值域为R,则m的取值范围是 x2-2mx,x≥2 14.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计 负两场者被淘汰：每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一 人淘汰：当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜， 比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为)，则甲连胜四场的概率为 需要进行第五场比赛的概率为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(本题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC, 且AD=2BC,PA⊥PD,AB=PB,F为PA的中点. (1)求证：BF∥平面PCD;(2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 16.(本题15分)己知函数f()=nx+x2+ax在点(L,f(I)处的切线与x轴平行. (1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间和极值. 17.(本题15分)己知向量m=(W3(cosx-sinx),2cosx), n=(cosx+sinx,sin x),f(x)=m.n, (1)求f(x)的单调递增区间： C2)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,B∈0，习f(B)=l, b=2,求V2a+c的最大值. 高二数学第3页共4页 18.(本题17分)在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,C, c(3sinB-cosB)=26-a. (1)求C; (2)若∠C的平分线交AB于D ①若△BCD与△ACD的面积之比为2：1，求AB 的值： CD ②若AB中点为E,且CD-2S,CR-,求AA8C的白观 3 I9(木7分)E知画数f儿)-a=R)为前至数 (1)求a的值； (2)设函数g(x)=lnx+sinx, ①证明：y=g(x)有且只有一个零点： ②记函数y=g(d的零点为七，证明：f(2sin)>。之一 e2+1 高二数学第4页共4页2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求， 1.已知集合M={x-3<x<1,N={(x-1≤x<4},则MUN=() A.{x1≤x<B.{xr>-3}C.{xx<4}D.{x-3<x<4 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案， 【详解】由题意得MUW={x-3<x<4 故选：D 2.下列函数中，定义域为(0，+0)的函数是() A.f(x)=x B.f(x)=Inx C.f(x)=2 D.f(x)=tanx 【答案】B 【解析】 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案 【详解】对于A,要使得根号下有意义，则x≥0，即定义域为0，+0)，故A错误： 对于B,要使得对数有意义，则真数x>0,即定义域为(0，+o),故B正确： 对于C,由指数函数的定义可知其定义域为R,故C错误： 对打D,要使得正切腰数有忘义，则x子红+受人eZ,即定义该为刘x≠机受人c乙，放D腊 误； 故选：B 3.已知z(2-i)=1+i,则d=() A.5 B.2V5 c.vio D.2f0 5 5 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出乙，进而求出复数乙的模 【详解】由z(2-i)=1+i,则z= 1+i(1+i)(2+i)2+i+2i+i21+3i1,3 2-i(2-i)(2+i)4-iP 55+1, 31 所以 5 +5 5 故选：C 4.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考 试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方 图.根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则(). 频率组距 0.030-- 0.025 m 0.010 0.005 0405060708090100成绩（分） A.频率分布直方图中的m的值为0.15 B.该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C.该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D.若物理成绩排名前70%的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 【答案】D 【解析】 【分析】A选项由小长方形的面积之和是1可求出m,B选项根据最高的长方形中点值判断，C选项根据平 均数公式求解，D选项先判断30%分位数所在区间，然后列方程求解. 【详解】A选项，由小长方形的面积之和是1，得到10(0.005+0.01+2m+0.025+0.030)=1,解得 m=0.015,A选项错误； B选项，由图可知，众数的估计值是75，B选项错误； C选项，由图可知，平均值是45×0.1+55×0.15+65×0.25+75×0.3+85×0.15+95×0.05=69，C 选项错误： D选项，物理成绩排名前70%的学生，等效于求解图中30%分位数， 由图[40,60]的频率是0.25，[40,70]的频率是0.5，故30%分位数出现在[60,70]， 设其为x,则(x-60)×0.025+0.25=0.3,解得x=62,D选项正确， 故选：D 5.已知a>0且a≠1，则“0<a<”是“a>V后”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分0<a<1、a>1两种情况讨论，利用指数函数的单调性解不等式a“>√a,可得出实数a的取 值范围，利用集合的包含关系可得出结论 1 1 【详解】当0<a<1时，由a'>√a=a2可得a<),此时0<a< 21 当a>1时，由a>V后=a2可得a>2,此时a>l, 所以，满足不等式a°>√a的实数a的取值范围是a0<a<)或a>1 ga分axjin-imn 故“0<a<”是“a>√后”的充分不必要条件 故选：A. 6现有6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有() A.300种 B.210种 C.120种 D.60种 【答案】B 【解析】 【分析】甲场馆安排2名志愿者可以知有C。种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种 乙馆安排1名志愿者丙安排3名有C4种情况，第二种是乙、丙各安排2名有C,第三种是乙安排3名 丙安排1名C,根据分步计算可得答案， 【详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有C?种， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法 第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有C4种情况， 第二种是乙、丙各安排2名有C, 第三种是乙安排3名丙安排1名C, 所以根据分步算法可得C%(C4+C+C)=210种. 故选：B 7.抛掷一枚质地均匀的硬币n次，记事件A=“n次中既有正面朝上又有反面朝上”， 事件B=“n次中至多有一次正面朝上”，则() A.当n=2时，P(AB)=2 1 B.当n=2时，事件A与事件B独立 C.当=3时，AAUB-员 D.当n=3时，事件A与事件B互斥 【答案】C 【分析】利用列举法求出古典概率，再结合互斥事件、相互独立事件的意义逐项判断. 【详解】当=2时，样本空间22={（正正），（正反），（反正），（反反）}，A={(正反)，（反正）》， B={(正反)，（反正），（反反）}， 对于A,B是2次正面都朝上，AB是不可能事件，P(AB)=0,A错误： 对于B,P0==,P(B)=是则P(AB)=≠P(0P(B),B错误： 当n=3时，样本空间23={（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）， A=正正反)，（正反正），（反正正，（正反反），（反正反），（反反正）}， B={(正反反)，（反正反），（反反正），（反反反）} 对于C,P(A+B)=则P(A+B)=1-P(A+B)=子C正确： 对于D,事件A与事件B可以同时发生，D错误 故选：C 8.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足1<f'(x)<2,f(-1)=0,f(5)>10, 则下列不等式一定成立的是() A.f(4)<9 B.f(3)>6 c.f(1)<3 Dfo 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得g（x)=f(x)-x,单调递增，h(x)=f(x)-2x,单调递减，所以 g(-1)=1,h(-1)=2,g(5)>5,h(5)>0,从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在R上的函数∫(x)的导函数f'(x)满足1<f'(x)<2, 所以f'(x)-1>0,f'(x)-2<0, 令8(x)=f(x)x,h(x)=f(x)-2x,则g'(x)>0,h(x)<0, 所以g(x)单调递增，h(x)单调递减， 又f(-1)=0,f(5)>10, 所以8(-1)=f(-1)-(-1)=1,h(-1)=f(-1)-2×(-1)=2,8(5)=f(5)-5>5, h(5)=f(5)-2×5>0, 因为g(x)单调递增，h(x)单调递减， 所以8(-1)<8(0)，h(-1)>h(o), 又g(0)=f(0)=h(0),所以1<f(0)<2,故D错误： 同理，g(1)=f()-1>8(-1)=1,h(1)=f(1)-2<h(1)=2, 所以2<f(1)<4,故C错误： h(3)=f(3)-2×3=f(3)-6>h(5)>0,所以f(3)>6,故B正确： 8(4)=f(4)-4>8(-1)=1,h(4)=f(4)-2×4=f(4)-8<h(-1)=2, 所以5<f(4)<10,故A错误。 故选B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.在x- 的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则() A.n=7 B.展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等 C.展开式中的常数项为-240 D.展开式中的各项系数之和为1 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式系数和为4计算可判断A,求得通项公式，令6-3弘=0，解得K=4,代入计算可判 断B；结合通项公式计算可判断C:令x=1,代入计算可判断D 【详解】对于A,由二项式系数和为64得2=64，解得=6，故A错误： 2 对于C =C(2 令6-3站=0，得k=4,即常数项为T=C(-2x=240,故C错误： 2 对于B,第3项二项式系数为C%=15,第5项的二项式系数为C4=15, 所以展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等，故B正确： 对于D,令x=1得 故选：BD 10.下列说法正确的是（ A.命题“x>0,都有e>x+1”的否定是“]x>0,使得e≤x+1” B.复数z=1+√3i是方程x2-2x+4=0在复数集内的解 C.若x>3,则x+4的最小值是5 x-1 D若向量a=(20.6-1同)，别5在a上投影向堡为4 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A,含量词的命题的否定，一是改量词，二是否定结论， 这里将x”改为x”,将"e>x+1"改为“e≤x+1”,A正确； 对于选项B,(1+V3i-21+√3i)+4=1+2W3i+3i2-2-23i+4=0, 复数z是方程x2-2x+4=0在复数集内的解，B正确. 4 对于选项C,x十 =x-1+4+1≥24+1=5， x-1 x-1 -:即x=3时取等号，而x>3,所以+ 4 ->5,C错误： 4 当且仅当x-1= a.b -2 1 对于选项D,b在ā上的投影向量为 二d=-一aD正确： 4 2 故选：ABD 11.在棱长为4的正方体ABCD-AB,CD,中，点E在棱CC上，且CE=2CC, 点F在正方形ABC,D内（含边界）运动，则() 1 A.当入=二时，平面AD,E截该正方体所得的截面面积为18 B.当元=时，点D到平面AD,E的距离为25 2 1 C当元=4且BF/平面AD,E时，点F的轨迹长度为5 D.当元=年，且EF L AE时，点F的轨迹长度为32 1 4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,取BC中点G,连接AD,AG,GE,ED,可得平面ADE截该正方体所得的截面即为 梯形AGED,并求出该梯形面积即可判断；对于B,设点D到平面AD,E的距离为d,则由 V,AEn=V4Dn即可求解判断；对于C,分别取AA,AD,DD四等分点H,L,J,且 A_D义-D-3,可得平面AD,E11平面BIC即可得点F的轨迹，进面得解：对于D,在平面 V IA JD AACC内过E作EF⊥AE交AC于点F,过此时的点F作SR/B,D分别交B,C,CD,于S,R,求 证AE⊥平面SER即可得动点F的轨迹并求出轨迹长度， 【详解】对于A,当元=】时，由愿可知此时点E在棱CC,中点上， 取BC中点G,连接ADAG,GE,ED,则GE/1BC, 因为AB/1CD,且AB=C,D,所以四边形ABC,D,是平行四边形，所以BC,I1AD, 所以GE/1AD,所以由GE,AD可唯一确定一个平面， 所以平面AD,E截该正方体所得的截面即为梯形AGED, B F B 因为AG=ED,=V4+22=2√5，AD=2GE=4V2, 所以平面AD,E截该正方体所得的截面梯形AGED,的面积为 对于B,当入=二时，由题可知此时点E在棱CC,中点上，设点D到平面AD,E的距离为d, 4× ×4×4 则由m=Vm即Smd=年sm→d= AS EDD P 故B错误； 3 3 x4W2x3√2 3 对于C,当元=即CE=CC,分别取A4,AD,D,D四等分点H,1J, 4 AH_DL_D=3,连接BC,BH,H,1C,HW,则I1IAD,HJIAD且HW=AD, 且V=AJD 由A可知BCI1AD,所以BC,/IH,则由BC,HI可唯一确定一个平面， D B :H A B 又BC1在平面AD,E外，AD1C平面ADE,所以BC1II平面ADE, 由正方体性质可知BCI/AD且BC=AD,所以HJIIBC且HJ=BC, 所以四边形HJCB是平行四边形，所以BH/ICJ,同理可得CJ/1ED, 所以BH //ED,因为BH在平面AD,E外，ED1C平面ADE,所以BH//平面AD,E, 因为BC⌒BH=B,BC,BHC平面BHIC,所以平面AD,E//平面BHIC, 因为BF//平面AD,E,所以BFC平面BHIC, 所以点F的轨迹为C,所以点F的轨迹长度为VD,I2+CD2=V32+4=5,故C正确： 对于D,由正方体结构性质可知BD,⊥平面AACC, 因为AEC平面AACC,所以BD,⊥AE, A ----D 在平面AACC内过E作EF⊥AE交A,C,于点F, 则此时∠ACE=∠ECF=90',∠AEC=∠EFC,所以△AEC与△EFC1相似， 所以ACC→Cr-3 CECF ,过此时的点F作SR/1BD分别交B,C,CD于S,R, 8 SR CF 则SR⊥AE且B,DCO SR=-8 即 32×4 32 2√2 Γ4 因为SREF=F,SR,EFC平面SER,所以AE⊥平面SER, 因为EF LAE,所以动点F的轨迹为线段SR,所以动点F的轨迹长度为3N2 ,故D正确， 4 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.某学生最近五次的数学考试成绩分别为125,123,120,133,130，则该学生数学成绩的中位数为 【答案】125 【解析】 【详解】由题意得120,123,125,130,133， 得中位数是第三个数字，为125. 故答案为：125 13.若函数f(x)= l0g2(x+2),-2<x<2, x2-2mx,x≥2 的值域为R,则m的取值范围是 【答案】 【解析】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在（一2,2）上的值域，再通过对参数m的范围讨论，通过二次函 数的性质求出函数在2，+0）上的值域，通过并集为全集求出参数m的范围，从而求得结果。 【详解】D函数y=1og2（x+2)在x∈（-2,2)上单调递增， 0当x∈(-2,2)时，f(x)∈(-o,2), 令h(x)=x2-2mx,x∈[2，+oo), 当m≤2时，函数对称轴x=m≤2，则函数h(x)在[2，+oo)上单调递增， 则h(x)≥h(2)=4-4m,即函数h(x)的值域为4-4m,+oo), 要想函数f(x)的值域为R,则4-4m≤2，即m≥2， 1 m≤2， 当m>2时，函数对称轴x=m>2,则函数h(x)在2，m上单调递减，在，+oo)上单调递增， 则h(x)≥h(m)=-m2,即函数h(x)值域为[-m2,+n）, ,-m2≤2，口此时函数f(x)的值域为R,即m>2, 「1 综上所述：m∈ 2.+c0 14.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰： 每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的 两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为)，则 甲连胜四场的概率为 :需要进行第五场比赛的概率为 【答案】 0. 1 -#0.0625 0.3#0.75 16 4 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；计算出四局以内结束比赛的 概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 1 【详解】甲连胜四场，。 记事件A为甲输，事件B为乙输，事件C为丙输，则四局内结束比赛的概率为 PPA+PACAC)PBCBC)PBAB-4( 所以需要进行第五场比赛的概率为P=1-P-3 13 故答案为：164 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AD∥BC, 且AD=2BC,PA⊥PD,AB=PB,F为PA的中点. (1)求证：BF∥平面PCD:(2)求证：平面PAB⊥平面PCD. 【分析】(1)取PD中点E,连接EF、EC,可得EF//BC且EF=BC,则四边形EFBC为平行四边 形，则BF//EC,根据线面平行的判定定理，即可得证 (2)根据三角形性质，可证BF⊥AP,结合(1)可得EC⊥AP,根据线面垂直的判定定理，即可得证 【详解】(I)取PD中点E,连接EF、EC,如图所示 --1分 因为E、F分别为PD、A中点， 所以EF/AD,且EF号AD, -2分 又因为ADI‖BC,且AD=2BC, 所以EF//BC且EF=BC, -3分 所以四边形EFBC为平行四边形， --4分 所以BF//EC, -5分 因为BFa平面PCD,ECC平面PCD, -6分 所以BF‖平面PCD -7分 (2)因为AB=PB,F为PA中点， 所以BF⊥AP, -9分 因为BF//EC 则EC⊥AP, ---10分 因为PA⊥PD,EC,PDC平面PCD,EC∩PD=E --11分 所以PAL平面PCD -12分 所以平面PAB⊥平面PCD. --13分 16.(本题15分)已知函数f(x)=nx+x2+ax在点(1，f(I)处的切线与x轴平行. (1)求a的值：(2)求函数f(x)的单调区间和极值. 【答案】(1)-3(2)答案见解析 【解析】 【分析】(1)由函数f(x)在(1，∫(I)处的切线与x轴平行，则根据f'()=0求解即可； (2)利用导数分析函数的单调性并求解极值即可. 【小问1详解】 由题意，函数f(x)的定义域为{xx>O}, 则f'(x)=-+2x+a, -2分 因为函数f(x)在(1，f(I)处的切线与x轴平行， 所以f'(1)=3+a=0, --3分 解得a=-3. -4分 【小问2详解】 函数f(x)的定义域为(0，+o). -5分 且f0=1+2x-3=2r-3x+1_2x-0x-) -7分 当xe〔0uo时.f>0: 当xe.r<0. ----11分 所议函数f)的单调递增区间为0，和L+0), 单调递减区间 6 -13分 所以当x=时，函数f)取到极大值广 -n2, 4 当x=1时，函数f(x)取到极小值f(①)=-2. -15分 17.(本题15分)已知向量m=(W3(cosx-sinx,2cosx),i=(cosx+sinx,sin),f()=m:i, (1)求∫(x)的单调递增区间： 2》设6AC的内角1，，C的对边分别为a,,6,8e0到引®)-1，b=2, 求√2a+c的最大值 【答案】(1) a设a+ (kez) (2)20 【解析】 【小问1详解】 由向量m=(√5(cosx-sinx),2cosx),i=(cosx+sinx,sinx), 所以f(x)=m-i=V5(cos2x-sin2x)+2 sinxcosx -l分 =5cos2+sm2x=2sm2+写》 -3分 所以2km-T≤2x+T≤2km+2，k∈Z, 3 解得：kπ- 红≤x≤km+Z,keZ, -5分 12 12 --6分 【小问2详解】 由/-1可：f)-2n2B+}-1, --7分 因为引 所以2B+π=5 ,解得：B= -8分 36 4 正弦定理可得a b =2W2, sin A sinC sin B 则V2a+c=4sinA+2W2sinC=4sinA+2√2sin(A+T) -10分 =4sin A+2(sin A.cos+cosA.sin) =6sinA+2cosA=2i而sin4+0)(其中iam9=3 ---13分 当anA=3时，(V2a+c）=2而 ---15分 18.(本题17分)在△ABC中，角A,B,C对应的边分别为a,b,c, c(3sinB-cosB)=2b-a. (1)求C: (2)若∠C的平分线交AB于D ①若△BCD与aACD面积之比为2：1，求AB 的值： CD ②若AB中点为E,且CD= 2 ,cE 求△ABC的面积 3 2 【答案】(1)C=乃 2 【解析】 【分析】(1)利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角C: (2)①利用三角形的面积公式，结合S4Am+S.c0=S,AcB可得CD=2V5 ,又由余弦定理可得 3 AB AB=√3b,于是得到 的值. CD ⑧设AC=.CB-y,利用5m+5m=5am可得+y-多.利用20E-a+C西可为 (x+y)2-y=7,可求出y的值，进而求△ABC的面积 【小问1详解】 在△ABC中，由正弦定理得sinC(V3sinB-cosB=-2sinB-sinA, --1分 因为sinA=sin(B+C)=sinB.cosC+cosB.sinC, -2分 代入得√3sinC:sinB=2sinB-sinB.cosC. 3分 nB￥0,6sinC+coC=2,n(C+君-l -4分 ce(ac+名至c-骨 -5分 【小问2详解】 B D ①∠ACD=∠BCD=T 6 1 S△BCD= a.CD.sin 2 6=2 -6分 S△ACD b.CD.sin 1 2 6 ∴.a=2b ----7分 因为SACD+SBCD=SACB, …小4c-CDi.cDmg4 CBCin --8分 62 3 则有6：CD+2b:CD)=2沙.5.解得CD=256 ---9分 3 在△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cOS∠ACB=3b2, 解得AB=√b ----10分 AB 3 ∴CD2 --11分 ②设AC=x,CB=y. S△ACD+S△BCD=S△ACB' 元，1 .AC.CD-sin +BC-CD-sin =AC.BC-sin ----------12分 62 62 3 CD= 2,代入化简得x+y=亏y① 3 ---13分 3 2 2CE=CA+CB-4CE=CA'+CB+2CA.CB ---14分 1 7=x2+y2+2xy 2 (x+y)2-=7② --15分 代入①得9x2y2-4y-28=0,即(xy-2)9y+14)=0 得y=2 -16分 C.ScCA.CB.sinc=sin π5 -17分 32 19（本圈17分)已知函数f(x)=a心+ (aeR)为奇函数. e-1 (1)求a的值： (2)设函数g(x)=lnx+sinx, ①证明：y=g(x)有且只有一个零点： ②记函数y=g()的零点为，证明：f(2sin)>。- e2+1 【答案】(1)a=1(2)①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】(1)根据f(-x)=-f(x)可求出a的值： (2)①讨论x∈ 和x∈ 时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数 8(x)有且只有一个零点： ②由①可得2sinx,=-2nx,结合x,的范围分析函数单调性可证明不等式. 【小问1详解】 函数f(x)的定义域为(-0,0)U(0,+o) -1分 由题意得，f(x)=ae士-a+C=-f)=e-e出 -3分 e-*-1 1-e* e-11-e" ∴.a+e=ae+l,即a(e-1=e"-1恒成立， -4分 ∴.a=1 -5分 【小问2详解】 当xe0 时，函数y=lnx与函数y=sinx均在 02 上单调递增， y-8(在0 上单调递增， -7分 日-1smg0.g-0+sml-snl>0 又g ∴y=g(x)存在唯一零点xo -------------9分 当x∈2r}时，y=血x>0,y=simx20,8(W>0, 当x∈（兀，+oo)时，y=lnx>nπ>1，y=sinx≥-1，.8(x)>0, ∴.当x∈ ,十0 时，y=g(x)无零点， -11分 综上，y=g(x)有且只有一个零点，且该零点x,∈ --12分 ② (法一)由①可知x,∈ 21,且8(x)=h+sin=0, 故2sinx,=-2lno, --13分 、1 +1 ..f(2sinx)=f(-2Inx)= e-2in *0-1 1 15 1-’ ----14分 令h(=-1+,2 1-r2 数0 4x --15分 当xeC时.(>0，h(在 上单调递增， --16分 2 e2+1 e2+1得证， 即f(2sino)>e2-i -17分 (法二) 出0可知飞2e@孕.且0e2n<2. --14分 c+1e-1+2-1+2在0，+切)上单调递减 :f()8e-11+。可 --16分 (2n) +-f(2)得证 e2-1 ----17分 2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据并集含义即可得到答案. 【详解】由题意得. 故选：D. 2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案. 【详解】对于A，要使得根号下有意义，则，即定义域为，故A错误； 对于B，要使得对数有意义，则真数，即定义域为，故B正确； 对于C，由指数函数的定义可知其定义域为，故C错误； 对于D，要使得正切函数有意义，则，即定义域为，故D错误； 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算求出，进而求出复数的模. 【详解】由，则， 所以. 故选：C. 4.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（ ）． A. 频率分布直方图中的m的值为0.15 B. 该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D. 若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理，则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 【答案】D 【解析】 【分析】A选项由小长方形的面积之和是可求出，B选项根据最高的长方形中点值判断，C选项根据平均数公式求解，D选项先判断分位数所在区间，然后列方程求解. 【详解】A选项，由小长方形的面积之和是，得到，解得，A选项错误； B选项，由图可知，众数的估计值是，B选项错误； C选项，由图可知，平均值是，C选项错误； D选项，物理成绩排名前70％的学生，等效于求解图中分位数， 由图的频率是，的频率是，故分位数出现在， 设其为，则，解得，D选项正确. 故选：D 5. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分、两种情况讨论，利用指数函数的单调性解不等式，可得出实数的取值范围，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】当时，由可得，此时， 当时，由可得，此时， 所以，满足不等式的实数的取值范围是， 因为是的真子集， 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6.现有6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】甲场馆安排2名志愿者可以知有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法第一种乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，第二种是乙、丙各安排2名有，第三种是乙安排3名丙安排1名，根据分步计算可得答案. 【详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以知有种， 乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法 第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况， 第二种是乙、丙各安排2名有， 第三种是乙安排3名丙安排1名， 所以根据分步算法可得种. 故选：B 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”， 事件“次中至多有一次正面朝上”，则（ ） A．当时， B．当时，事件与事件独立 C．当时， D．当时，事件与事件互斥 【答案】C 【分析】利用列举法求出古典概率，再结合互斥事件、相互独立事件的意义逐项判断. 【详解】当时，样本空间(正正),(正反),(反正),(反反)，(正反),(反正)， (正反),(反正),(反反)， 对于A，是2次正面都朝上，是不可能事件，，A错误； 对于B，，则，B错误； 当时，样本空间(正正正),(正正反),(正反正),(反正正),(正反反),(反正反),(反反正),(反反反)， (正正反),(正反正),( 反正正),(正反反),(反正反),(反反正)， (正反反),(反正反),( 反反正),(反反反)， 对于C，，则，C正确； 对于D，事件与事件可以同时发生，D错误. 故选：C 8. 定义在上的函数的导函数为，且满足，，， 则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，可得，单调递增，，单调递减，所以，，，，从而对各个选项分别进行求解即可. 【详解】根据题意，定义在上的函数的导函数满足， 所以，， 令，，则，， 所以单调递增，单调递减， 又，， 所以，，，， 因为单调递增，单调递减， 所以，， 又，所以，故D错误； 同理，，， 所以，故C错误； ，所以，故B正确； ，， 所以，故A错误. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等 C. 展开式中的常数项为-240 D. 展开式中的各项系数之和为1 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式系数和为64计算可判断A；求得通项公式，令，解得，代入计算可判断B；结合通项公式计算可判断C；令，代入计算可判断D. 【详解】对于A，由二项式系数和为64得，解得，故A错误； 对于C，展开式通项为， 令，得，即常数项为，故C错误； 对于B，第3项二项式系数为，第5项的二项式系数为， 所以展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等，故B正确； 对于D，令得，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 复数是方程在复数集内的解 C. 若，则的最小值是5 D. 若向量，则在上投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，含量词的命题的否定，一是改量词，二是否定结论， 这里将“”改为“”，将""改为“”， A正确； 对于选项B，， 复数是方程在复数集内的解，B正确. 对于选项C，， 当且仅当，即时取等号，而，所以，C错误； 对于选项D，在上的投影向量为 D正确； 故选：ABD. 11. 在棱长为4的正方体中，点在棱上，且， 点在正方形内（含边界）运动，则（ ） A. 当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B. 当时，点到平面的距离为 C. 当，且平面时，点的轨迹长度为5 D. 当，且时，点的轨迹长度为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，取中点，连接，可得平面截该正方体所得的截面即为梯形并求出该梯形面积即可判断；对于B，设点到平面的距离为d，则由即可求解判断；对于C，分别取四等分点，且，可得平面平面即可得点的轨迹，进而得解；对于D，在平面内过E作交于点，过此时的点F作分别交于，求证平面即可得动点F的轨迹并求出轨迹长度. 【详解】对于A，当时，由题可知此时点在棱中点上， 取中点，连接，则， 因为且，所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以由可唯一确定一个平面， 所以平面截该正方体所得的截面即为梯形， 因为， 所以平面截该正方体所得的截面梯形的面积为，故A正确； 对于B，当时，由题可知此时点在棱中点上，设点到平面的距离为d， 则由即，故B错误； 对于C，当即，分别取四等分点， 且，连接，则，且， 由A可知，所以，则由可唯一确定一个平面， 又在平面外，平面，所以平面， 由正方体性质可知且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 所以，因为在平面外，平面，所以平面， 因为，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 所以点F的轨迹为，所以点的轨迹长度为，故C正确； 对于D，由正方体结构性质可知平面， 因为平面，所以， 在平面内过E作交于点， 则此时，所以与相似， 所以，过此时的点F作分别交于， 则且即， 因为，平面，所以平面， 因为，所以动点F的轨迹为线段，所以动点的轨迹长度为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130，则该学生数学成绩的中位数为______． 【答案】125 【解析】 【详解】由题意得120，123，125，130，133， 得中位数是第三个数字，为125. 故答案为：125. 13. 若函数的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】 【分析】先通过函数单调性，求出分段函数在上的值域，再通过对参数的范围讨论，通过二次函数的性质求出函数在上的值域，通过并集为全集求出参数的范围，从而求得结果. 【详解】∵函数在上单调递增， ∴当时，， 令，， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递增， 则，即函数的值域为， 要想函数的值域为，则，即， ∴， 当时，函数对称轴，则函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即函数值域为， ∵，∴此时函数的值域为，即， 综上所述：. 14. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲连胜四场的概率为________；需要进行第五场比赛的概率为________. 【答案】 ①. ##0.0625 ②. ##0.75 【解析】 【分析】根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率；计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】甲连胜四场，则； 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则四局内结束比赛的概率为 ， 所以需要进行第五场比赛的概率为. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题13分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，， 且，，，F为PA的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求证:平面平面PCD. 【分析】（1）取PD中点E，连接EF、EC，可得且，则四边形EFBC为平行四边形，则，根据线面平行的判定定理，即可得证 （2）根据三角形性质，可证，结合（1）可得，根据线面垂直的判定定理，即可得证 【详解】（1）取PD中点E，连接EF、EC，如图所示 -------------------------------------1分 因为E、F分别为PD、PA中点， 所以，且， ------------------------------------------------------------2分 又因为，且， 所以且， ------------------------------------------------------------3分 所以四边形EFBC为平行四边形， ----------------------------------------------------------4分 所以， ------------------------------------------------------------5分 因为平面PCD，平面PCD， ------------------------------------------------------------------6分 所以平面PCD ------------------------------------------------------------7分 （2）因为，F为PA中点， 所以， ------------------------------------------------------------9分 因为 则， ------------------------------------------------------------10分 因为，平面PCD， -----------------------------------11分 所以平面PCD. -----------------------------------12分 所以平面平面PCD. -----------------------------------13分 16. （本题15分） 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）由函数在处的切线与轴平行，则根据求解即可； （2）利用导数分析函数的单调性并求解极值即可. 【小问1详解】 由题意，函数的定义域为， 则， -----------------------------------2分 因为函数在处的切线与轴平行， 所以， -----------------------------------3分 解得． -----------------------------------4分 【小问2详解】 函数的定义域为 -----------------------------------5分 且， -----------------------------------7分 当时，； -----------------------------------9分 当时，， -----------------------------------11分 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． -----------------------------------13分 所以当时，函数取到极大值， 当时，函数取到极小值． -----------------------------------15分 17. （本题15分）已知向量，，， （1）求的单调递增区间； （2）设的内角，，的对边分别为，，，，， 求的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由向量，， 所以 -----------------------------------1分 -----------------------------------3分 所以，， -----------------------------------4分 解得：，， -----------------------------------5分 所以的单调递增区间 .-----------------------------------6分 【小问2详解】 由可得：， ----------------------------------7分 又因为， 所以，解得： -----------------------------------8分 正弦定理可得， -----------------------------------9分 则 --------------------------10分 ----------------------------13分 当时， -----------------------------------15分 18. （本题17分）在中，角，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于. ①若与面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理转化后，结合三角形的内角和与三角恒等变换，可求角； （2）①利用三角形的面积公式，结合可得，又由余弦定理可得，于是得到的值. ②设，，利用可得，利用可得，可求出的值，进而求的面积. 【小问1详解】 在中，由正弦定理得， ----------------1分 因为， -----------------------------------2分 代入得. -----------------------------------3分 ，，. -----------------------------------4分 ，，. -----------------------------------5分 【小问2详解】 ①， -----------------------------------6分 . -----------------------------------7分 因为， ， --------------------8分 则有，解得. --------------------9分 在中，由余弦定理得， 解得. -----------------------------------10分 . -----------------------------------11分 ②设，. ， . ---------------------------12分 ，代入化简得①. -----------------------------------13分 -------------------------------14分 ② -----------------------------------15分 代入①得，即. 得 -----------------------------------16分 . -----------------------------------17分 19. （本题17分）已知函数为奇函数． （1）求a的值； （2）设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据可求出a的值； （2）①讨论和时函数的单调性或函数值的正负，结合零点存在性定理可证明函数有且只有一个零点； ②由①可得，结合的范围分析函数单调性可证明不等式. 【小问1详解】 函数的定义域为 -----------------------------------1分 由题意得，， --------------3分 ∴，即恒成立， -----------------------------------4分 ∴ .-----------------------------------5分 【小问2详解】 ①当时，函数与函数均在上单调递增， ∴在上单调递增， -----------------------------------7分 又，， ∴存在唯一零点. -----------------------------------9分 当时，，，∴， 当时，，，∴， ∴当时，无零点， -----------------------------------11分 综上，有且只有一个零点，且该零点. -----------------------------12分 ② （法一）由①可知，且， 故， -----------------------------------13分 ∴， ----------14分 令， 则. ----------------------------------15分 当时，，∴在上单调递增， -------------------------16分 ∴， 即得证. -----------------------------------17分 （法二） 由①可知，且， -----------------------------------14分 在上单调递减 -----------------------------------16分得证 -----------------------------------17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末考试 高二数学试卷 （满分：150 分；考试时间：120 分钟） 班级 姓名 座号 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，定义域为的函数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4.为了帮助高一学生更好地了解自己适合选报物理还是历史，某校在学生选科之前组织了一场物理考试，并从中随机抽取了部分学生的成绩（满分为100分），将数据整理得到如图所示的频率分布直方图．根据该频率分布直方图，用样本估计总体，则（ ）． A. 频率分布直方图中的m的值为0.15 B. 该年级物理成绩的众数的估计值为80分 C. 该年级物理成绩的平均数的估计值为75分 D. 若物理成绩排名前70％的学生适合选报物理， 则适合选报物理的学生此次成绩应不低于62分 5. 已知且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6.现有6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中 甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法 共有（ ） A. 300种 B. 210种 C. 120种 D. 60种 7. 抛掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中既有正面朝上又有反面朝上”， 事件“次中至多有一次正面朝上”，则（ ） A．当时， B．当时，事件与事件独立 C．当时， D．当时，事件与事件互斥 8. 定义在上的函数的导函数为，且满足，，，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在的展开式中，若所有项的二项式系数和为64，则（ ） A. B. 展开式中的第3项和第5项的二项式系数相等 C. 展开式中的常数项为-240 D. 展开式中的各项系数之和为1 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“，都有”的否定是“，使得” B. 复数是方程在复数集内的解 C. 若，则的最小值是5 D. 若向量，则在上投影向量为 11. 在棱长为4的正方体中，点在棱上，且， 点在正方形内（含边界）运动，则（ ） A. 当时，平面截该正方体所得的截面面积为18 B. 当时，点到平面的距离为 C. 当，且平面时，点的轨迹长度为5 D. 当，且时，点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某学生最近五次的数学考试成绩分别为125，123，120，133，130， 则该学生数学成绩的中位数为______． 13. 若函数的值域为，则的取值范围是 . 14. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.规定：累计负两场者被淘汰；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲连胜四场的概率为________； 需要进行第五场比赛的概率为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （本题13分）如图，在四棱锥中，底面ABCD是梯形，， 且，，，F为PA的中点. （1）求证：平面PCD； （2）求证:平面平面PCD. 16. （本题15分） 已知函数在点处的切线与轴平行． （1）求的值；（2）求函数的单调区间和极值． 17. （本题15分）已知向量，，， （1）求的单调递增区间； （2）设的内角，，的对边分别为，，，，，求的最大值. 18. （本题17分）在中，角，，对应的边分别为，，，. （1）求； （2）若的平分线交于. ①若与的面积之比为，求的值； ②若中点为，且，，求的面积. 19. （本题17分）已知函数为奇函数． （1）求a的值； （2）设函数， ①证明：有且只有一个零点； ②记函数的零点为，证明：． 高二数学 第3页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $