宁夏回族自治区银川一中2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

**基本信息** 银川一中高一下期末数学卷立足基础，通过统计图表分析、立体几何动态问题、点球大战概率等情境，考查向量、复数、统计、立体几何、概率等知识，体现用数学思维解决实际问题与空间想象能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|向量共线、复数共轭、样本数据、立体几何线面关系等|单选考基础（如样本上四分位数），多选考辨析（如概率事件关系、空间向量基底）| |填空题|3题15分|分层抽样、空间向量分解、立体几何线面平行|结合实际（如54人分层抽样）与空间向量运算| |解答题|5题77分|统计直方图、解三角形、立体几何证明与夹角、点球大战概率、翻折问题|综合题注重探究（如立体几何存在性问题）与实际应用（如环保满意度调查、点球概率计算），体现数学眼光与逻辑推理|

银川一中高一下学期期末考试数学试卷 解析 1．【答案】B 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 2．【答案】A 【详解】依题意，复数，则， 所以z的共轭复数在复平面内对应的点位于第一象限. 3．【答案】D 【分析】利用百分位数的定义求解即可. 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：，，，，，，． 上四分位数即分位数，， 所以该组数据的上四分位数为从小到大排列的第个数，即. 故选：D． 4．【答案】C 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，可由平行和垂直的性质和判定证明. 【详解】A选项，若，则或，A错误； B选项，若，不能推出，B错误； C选项，因为，所以， C正确； D选项，若，则不能推出，D错误. 故选：C 5．【答案】A 【分析】根据平均数、方差公式判断数据添加平均数后新的平均数、标准差变化情况即可. 【详解】因为，所以， 所以， ， ， 所以，解得， 所以. 6．【答案】D 【分析】分情况讨论：三人中恰有两人获得一等奖、三人都获得一等奖，根据独立事件的概率乘法公式求解出对应概率即可. 【详解】设甲、乙、丙获得一等奖的概率分别是 则不获一等奖的概率分别是 则这三人中恰有两人获得一等奖的概率为： 这三人都获得一等奖的概率为 所以这三人中至少有两人获得一等奖的概率 故选:D. 7．【答案】A 【分析】利用正弦定理将边化为角，转化为角B的三角函数的值域问题，结合锐角三角形条件确定角B的取值范围，从而得到三角函数的值域，求出的取值范围. 【详解】由已知得：，即， 所以，又，所以， 由正弦定理得：， 所以， 所以 又 所以由是锐角三角形得：， ，即的取值范围是． 8．【答案】C 【分析】结合图形，由题意过点作于点，得到直角梯形，求出该几何体的高,再借助于求出该几何体的外接球半径,即得其表面积. 【详解】 如图，设正四棱柱的上下底面中心分别为点,过点作于 点，连接， 依题意，易得直角梯形,因为边长为2的正三角形, 则，且, 又，则. 设该几何体外接球球心为点,半径为,则点为的中点，则, 在中，, 于是该几何体外接球的表面积为. 故选：C. 9．【答案】BD 【分析】举反例判断A；根据互斥事件的概念及加法概率公式判断B；根据对立事件的概念判断C；根据独立事件的概念判断D. 【详解】选项A：设连续掷一枚质地均匀的硬币2次的试验中， 设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”， 显然，但与不是对立事件，故A错误； 选项B：因为，是互斥事件，所以，，故B正确； 选项C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果： 一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球； 故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； 选项D：根据相互独立事件的定义，若事件与满足，则与相互独立， 因为，，，满足， 因此事件，相互独立，故D正确. 故选： BD 10．【答案】ABD 【分析】利用共面向量定义判断A；利用数量积定义判断B；利用空间位置关系的向量证明判断C；利用空间基底的意义判断D. 【详解】对于A，由空间向量共面定理知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，A正确； 对于B，由非零向量的夹角是钝角，得，B正确； 对于C，由，得，则或，C错误； 对于D，由是空间的一个基底，得不共面，假定向量共面， 则存在实数对使得，整理得， 于是，方程组无解，即假设错误，因此也是空间的一个基底，D正确. 故选：ABD 11．【答案】ABD 【分析】A利用中位线及线面平行的判定判断；B利用线面平行有到平面的距离为定值，利用锥体体积公式求解即可；C由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表面的交线，由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆；D利用平面的基本性质得到截面为正六边形，进而得解. 【详解】如图，设点是棱中点，连接并延长，分别交的延长线于， 连接交于，结合正方体的结构特征及平面的性质有均为中点， D，根据平面的基本性质知，过三点的平面截正方体所得截 面为正六边形，边长，所以面积为，正确； A，根据中位线易得，平面， 平面，则平面，正确； B，由，又为线段上一点，平面， 所以到平面的距离为定值，且为定值， 则为定值，正确； C，由知点轨迹为为球心，为半径的球与正方体表 面的交线，如图， 由正方体棱长得，交线为三段半径为的四分之一圆， 长度为，错误. 12．【答案】 【分析】利用等比例分层抽样中样本与总体各层比例一致的 性质，结合男生的总体占比计算抽取人数. 【详解】由男女生人数比为5：4，得男生占全班人数的比 例为. 根据等比例分层抽样的性质，样本中男生的占比与总体一致， 因此应抽取的男同学人数为. 13．【答案】/ 【分析】设，，，以构成空间的一个基底，根据，可得，将分别用表示，再根据数量积得运算律即可得解. 【详解】设，，， 则构成空间的一个基底， 设， 因为， 所以， 因为，， 所以，即， 即，解得. 故答案为：. 14．【答案】3∶1/3 【分析】如图，连接交于点，连接交于点，由题意 可得为的中点，作，即可求出答案． 【详解】如图，连接交于点，连接交于点， 由平面，可得， ，，为的中点， 作，， ，则 ， 故答案为： 15．（13分）【答案】(1)，中位数为（分）(2) 【分析】（1）根据小矩形的面积之和为即可求出，再根据频率分布直方图求出中位数即可； （2）分别求出和的市民人数，再根据古典概型即可得解. 【详解】（1）由题意可得， 解得， 由， 可得此次问卷调查分数的中位数在上，设为， 则，解得， 所以此次问卷调查分数的中位数为（分）； （2）的市民有人，记为a，b， 的市民有人，记为1，2，3，4， 则从中抽取两人的基本事件有：共15种，其中两人来自不同的组的基本事件有8种， 则所求概率为. 16．（15分）【答案】(1) (2) 【分析】（1）法1:由余弦定理求，再用正弦定理求，法由正弦定理求，得到，再用和角公式计算即可. （2）由余弦定理可知,再用得到，两式结合求出再用面积公式计算即可. 【详解】（1）法1:由余弦定理可知 又 由正弦定理知： 法2:因由正弦定理知： （2）由条件知：由余弦定理可知 ① ② 由①②得 17．（15分）【答案】(1) 略(2)存在， 【分析】（1）利用勾股定理以及线面垂直判定定理可证明平面，再由线面垂直性质定理可得，即可证明平面； （2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出平面与平面的法向量，根据夹角余弦值确定点的位置，再由空间中点到直线距离的向量求法计算可得结果. 【详解】（1）记中点为，连接，， 则四边形为正方形，且根据勾股定理得， 所以，则，所以. 又，，，平面， 所以平面. 因为平面，所以， 易知，所以， 又因为，，平面， 所以平面. （2）由（1）知平面，且，所以，，两两相互垂直. 以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立如图空间直角坐标系， 则，，，，， 设，，则， 则，，， 设平面的法向量为 则，令， 得. 设平面的法向量， 设平面与平面的夹角为，， 则，解得. 所以. 18．（17分）【答案】(1)甲、乙两队打成平局的概率为 (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为 (3)甲队第5个球员需出场罚球的概率为 【分析】（1）平局包含两人都罚进或两人都罚不进两个互斥事件，利用独立事件乘法分别计算两种情况的概率，再相加即可. （2）3 轮后两队各剩 2 次罚球机会，落后方最多追回2分，因此分差≥3时比赛提前终止. 3轮内分差≥3，仅有两种极端比分：甲 3:0 乙、乙 3:0 甲（前两轮分差均未达终止条件，天然成立）.分别计算两种比分的概率，求和即得总概率. （3）分析甲队第5个球员需出场的前提条件：前两轮甲队2:0领先，若甲队第5个球员需出场，说明第三、四轮罚球结束后比赛未提前终止，即前四轮总比分甲队与乙队的分差不超过1分，分别计算三种比分情况2:1、2:2、3:2的概率，再计算概率之和即可. 【详解】（1）设甲队球员罚进点球为事件，未罚进为事件，乙队球员罚进点球为事件，未罚进为事件. 因为，所以；同理，因为，所以. 则甲、乙均罚进的概率为， 甲、乙均未罚进的概率为， 所以甲、乙两队打成平局的概率为. （2）设踢完轮后，甲队总得分为，乙队总得分为. 分类讨论：踢完3轮分差大于或等于3，且前1、2轮未提前结束， ①当3轮后甲队比乙队多3分，甲队3轮全进，乙队3轮全不进，即，则概率为： ​ ②当3轮后乙队比甲队多3分，乙队3轮全进，甲队3轮全不进，即，则概率为： 综上，求经过3轮罚球后，比赛结束的概率为. （3）因为甲队第5个球员需出场罚球，则前四轮罚球甲、乙两队分差不能超过1分，即四轮罚球结束时比分可能为或或，则需要分以下情况来讨论： ①比分为的概率为： . ②比分为的概率为： . ③比分为的概率为： . 综上，甲队第5个球员需出场罚球的概率为. 19．（17分）【答案】(1)∵，分别是，的中点， ∴又 平面， 平面，∴平面， 又∵平面平面 ， 平面，∴， 又∵ 平面， 平面，∴平面． (2)(3) 【分析】（1）利用中位线得，由线面平行判定及性质证. （2）建立空间直角坐标系，由确定坐标，求出两平面法向量，利用夹角公式计算. （3）由体积范围确定的参数，计算线面角的正切，消去变量得到只与位置有关的表达式，再求值域即可. 【详解】(1)∵，分别是，的中点， ∴又 平面， 平面，∴平面， 又∵平面平面 ， 平面，∴， 又∵ 平面， 平面，∴平面． （2）法一：几何+向量法 由已知得在翻折过程中，，．当时， 易知，又，由勾股定理得． 如图，取PD中点G，连接EG，因为△PDE是等边三角形， 所以， 所以向量与向量的夹角即为平面PDB与平面PDE夹角（ 或补角）， 且，，设向量与向量的夹角为γ， ， 同时 所以，即平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为． 法二：坐标法 取BC中点N，连，则M为DE的中点， 在平面APN内，过M作， 在等边△ABC中，由，得， 又，所以， 所以，，所以DE⊥平面APN， 又Mz平面APN，所以， 所以Mz，AN，DE两两垂直，以M为坐标原点， 直线MN，ME，Mz分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标 系， 设，则，， ，，，， ， 则， ， 又，则，，解得， 则，所以， 则，，， 设平面PDB的一个法向量为， 则，令，得， 设平面PDE的法向量为，则， 令，得，， 所以平面PDB与平面PDE夹角的余弦值为． （3）因为点P在平面内的射影在四边形内部， 所以，由，得到， 因为，所以， 则，又， 所以，则， 所以， 则，，，， 因为点Q在线段BC上运动（不含端点），设， ，，设平面PDE的法向量为 则，即， 令，，即， 所以，， 得到. 因为，所以， 可得， 而， 故的取值范围是． 试卷第6页，共20页 答案 第7页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川一中2025/2026学年度(下)高一期末考试 数 学 试 卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若A，B，C三点共线，则 A．2 B． C． D． 2．已知复数，则z的共轭复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为 A．9 B．10 C．11 D．12 4．已知，表示两个不同的平面，a，b，c表示三条不同的直线，则下列说法正确的是 A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，则 D．若，，，，则 5．一组样本数据，，，…，的平均数为，标准差为2.另一组样本数据，， ，…，，的平均数为，标准差为，则 A．， B．， C．， D．， 6．甲、乙、丙三人参加英文演讲比赛，若甲、乙、丙三人能荣获一等奖的概率分别为 且三人是否获得一等奖相互独立，则这三人中至少有两人获得一等奖的概率为 A． B． C． D． 7．在锐角中，内角的对边分别为，已知，，则的 取值范围是 A． B． C． D． 8．图①是底面边长为2的正四棱柱，直线经过 其上，下底面中心，将其上底面绕直线顺时 针旋转，得图②，若为正三角形， 则图②所示几何体外接球的表面积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是 A．如果，那么与相互对立 B．若，是互斥事件，则 C．从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件 “恰好有两个黑球”是对立事件 D．已知事件，发生的概率分别为，且，则事件，相互独立 10．关于空间向量，以下说法正确的是（　　） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若两个非零向量的夹角是钝角，则 C．已知，平面的法向量为，则 D．已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11．如图，正方体棱长为2，、、分别为棱，，的中点，是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是 A．平面 B．若为线段上一点，则三棱锥的体积 为定值 C．若，则点的轨迹长度为 D．过、、三点的平面截正方体所得截面的面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某个班共有54名学生，其中男女生人数比为，现采用等比例分层随机抽样的方法从全班学生中抽取18人参加合唱比赛，则应抽取男同 学_______人. 13．在如图所示的平行六面体中，已知 ，，，N为 上一点，且.若，则的值为______. 14．如图，四棱锥的底面是平行四边形，分别为 线段上一点，若，且平面，则 _______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分） 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中a的值，以及此次问 卷调查分数的中位数； (2)若分数在区间的市民视为对环保不满意的 市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调 查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率． 16．（15分） 在中 (1)若求； (2)若D为边BC上的点且AD平分求的面积. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形.，且，，为中点. (1)证明：平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平 面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在， 说明理由. 18．（17分） 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战.点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球.若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第二阶段，双方每轮各派一名球员罚球，直到出现某一轮一方罚进而另一方未罚进的局面，则罚进的一方获胜.设甲、乙两支球队进入点球大战，由甲队球员先罚球，甲队每位球员罚进点球的概率均为，乙队每位球员罚进点球的概率均为.假设每轮罚球中，两队进球与否互不影响，各轮结果也互不影响. (1)求每一轮罚球中，甲、乙两队打成平局的概率； (2)求经过3轮罚球后，比赛结束的概率； (3)若在点球大战的第一阶段，甲队前两名球员均得分而乙队前两名球员均未得分，甲队暂时以领先，求甲队第5个球员需出场罚球的概率. 19．（17分） 如图，已知是边长为4的等边三角形，，分别是，的中点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥． (1)设平面平面，证明：平面； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)若点在平面的射影在四边形的内部，四棱锥的体积，设点在线段上运动（不含端点），记直线与平面所成的角为，四棱锥的高为，求的取值范围． 试卷第6页，共6页 高一期末数学试卷 第1页(共2页) 学科网（北京）股份有限公司 $