第13卷 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（2）2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦圆锥曲线核心概念与综合应用，以“一考一讲”模式构建从基础到综合的知识逻辑链，适配中职高考即时检测与巩固需求。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|5题|焦距、离心率、标准方程求解|从a,b,c关系切入，强化定义与方程互化| |几何性质|7题|渐近线、焦点、准线应用|结合图形直观，深化性质与坐标运算关联| |综合应用|6题|直线与圆锥曲线位置关系、跨知识结合|以方程思想为核心，构建几何与代数转化模型|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第13卷 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．双曲线的焦距为（   ） A． B．6 C． D．12 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 3．如图所示，双曲线的中心在原点，是其一个焦点，是其中一个顶点，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．设抛物线上一点P到y轴的距离为2，则点P到该抛物线焦点的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 6．双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知点是双曲线渐近线上的一点，点E，F是它的左、右焦点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 9．已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 10．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，且是等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．双曲线的渐近线方程是________． 12．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则_____. 13．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆的方程为__________． 14．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则椭圆的离心率__________. 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于A，B两点，且A，B在以为圆心的圆上，求实数k的值. 17．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的一点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，如图所示. (1)求抛物线的方程； (2)过M作，垂足为N，求点N的坐标. 18．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.    (1)求抛物线及双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线过一、三象限的渐近线平行，交抛物线于，两点，交双曲线于点，且点是线段的中点，求直线的方程. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第13卷 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（2） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．双曲线的焦距为（   ） A． B．6 C． D．12 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程，即可求得，继而求得的值，即可求得焦距. 【详解】因为双曲线标准方程为， 所以，， 所以， 所以焦距为. 故选：D. 2．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，那么（    ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【分析】根据直线与抛物线的焦点弦性质求解即可. 【详解】由可得：，， 则. 故选：B. 3．如图所示，双曲线的中心在原点，是其一个焦点，是其中一个顶点，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题图可知，，，即可得双曲线的长轴，短轴，即可得其标准方程. 【详解】由图可知，，所以，故知双曲线的标准方程为. 故选：D． 4．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，离心率为，则该椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的性质，结合已知条件求出椭圆方程中的的值即可． 【详解】∵椭圆的焦距为，∴，即， ∵离心率为，∴，可得， ∴， ∵椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上， ∴椭圆的标准方程为． 故选：B． 5．设抛物线上一点P到y轴的距离为2，则点P到该抛物线焦点的距离为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据抛物线的定义可求解. 【详解】由抛物线可知，准线方程为，且P在y轴的右侧， 因为点P到y轴的距离为2， 所以点P到抛物线准线的距离为4， 根据抛物线的定义知，点P到抛物线焦点的距离为4. 故选：A 6．双曲线的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则该双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的渐近线为正方形的两个边，可得渐近线互相垂直，利用双曲线的性质即可得解. 【详解】双曲线，渐近线方程为， 因为双曲线的渐近线为正方形边所在的直线. 所以双曲线的渐近线互相垂直，即即. 因为正方形的边长为，所以. 所以即. 因为. 所以. 由图像可知双曲线的焦点在轴上. 所以双曲线的标准方程为. 故选：. 7．已知，分别是双曲线（，）的左、右焦点，经过的直线l与双曲线C的左支交于A，B两点，若，，，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义求出，再结合勾股定理求出，进而得到离心率. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可知，. 又，所以，. 因为，所以， 所以在中，，所以，， 故双曲线C的离心率.    故选：D. 8．已知点是双曲线渐近线上的一点，点E，F是它的左、右焦点，若，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在双曲线的渐近线上，求得和的关系，再根据，解得的值， 然后利用解得和的值，从而写出双曲线的标准方程. 【详解】因为点在双曲线的渐近线上，即点在直线上， 所以，设，，则，， 由得，解得， 又因为，所以，， 则双曲线的方程为． 故选：C． 9．已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由成等比数列可知，求出，根据曲线方程判断表示的圆准曲线，进而利用离心率公式求解即可. 【详解】∵三个数成等比数列，∴，则， ∴当时，曲线方程为，表示椭圆， 则长半轴长为，半焦距为1，∴离心率为； 当时，曲线方程为，表示双曲线， 则实半轴长为，半焦距为，∴离心率为． 故选：D． 10．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，且是等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆标准方程确定顶点，焦点坐标，再由是等腰三角形列方程，求解离心率即可. 【详解】由椭圆可得， 左顶点为，上顶点为，， 因为是等腰三角形，且，， 如图，则，所以， 即， 又， 所以，即， 因为，所以等式两边同时除以， 得，即， 得，解得， 因为，所以， ， 故选：D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．双曲线的渐近线方程是________． 【答案】 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线，标准形式为， 焦点在x轴的双曲线渐近线公式为. 故答案为：. 12．已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则_____. 【答案】4 【分析】先根据抛物线方程确定准线方程，再利用抛物线的定义求出的值. 【详解】抛物线的准线方程为. 已知点在抛物线上， 根据抛物线定义可知，等于点到准线的距离， 所以， 故答案为：4. 13．设中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且它们的离心率互为倒数，则椭圆的方程为__________． 【答案】 【分析】根据双曲线方程求得其焦点坐标和离心率，进而可得椭圆的焦点坐标和离心率，求得椭圆的长半轴和短半轴的长，进而可得椭圆的方程. 【详解】由题可知双曲线的标准方程为， 则，所以， 所以双曲线的焦点为，离心率为， 所以椭圆的焦点为，离心率为， 设椭圆方程为， 所以，解得， 所以椭圆的方程为. 故答案为：. 14．椭圆的一个顶点与两个焦点构成等腰直角三角形，则椭圆的离心率__________. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义与题干，可求，之间关系，然后根据离心率公式可求 【详解】如图，由椭圆的定义与题干可知，，，； 由勾股定理有，解得， 根据离心率公式有，， 故答案为：. 15．已知双曲线的左、右焦点分别为，，虚轴长为4，离心率为，若过的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且是与的等差中项，则________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义结合等差数列的性质列式即可求解. 【详解】因为是与的等差中项，所以， 由双曲线定义，， 相加得，所以， 因为虚轴长为4，则解得， 又，，解得， 所以． 故答案为：.    三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．已知椭圆的短轴长为4，离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于A，B两点，且A，B在以为圆心的圆上，求实数k的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由椭圆的短轴长可求解b的值，由离心率可求解a的值，代入椭圆的标准方程即可求解. （2）设A，B两点，联立直线与椭圆的方程，求出的值，再由点在圆上，将A，B两点代入圆的方程即可求解k的值. 【详解】（1）椭圆的短轴长为4， 所以， 又因为离心率为， 所以， 解得， 所以椭圆的标准方程为 （2）设点， 联立直线与椭圆的方程有， 消y得，， 由韦达定理可得，，， 设以为圆心的圆的半径为r， 则以为圆心的圆的标准方程为， 因为A，B在圆上， 所以有，， 两式相减有，， 又因为， 所以有， 整理得， 因为， 所以， 因为， 所以有， 整理得，， 即，解得， 即或， 所以实数k的值为或. 17．已知抛物线的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的一点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M，如图所示. (1)求抛物线的方程； (2)过M作，垂足为N，求点N的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义，列出准线方程，再根据与A点的关系求出p的值即可求出抛物线方程. （2）根据抛物线，求出相应的点坐标，求出两条直线，求出交点坐标即可. 【详解】（1）抛物线的准线为， 因为A是抛物线上横坐标为4，A到抛物线准线的距离等于5， 所以，解得， 所以抛物线方程为. （2）因为A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的一点， 代入抛物线得，所以点A的坐标是， 又因为过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M， 所以得， 又，所以， 因为，所以， 则FA的方程为， MN的方程为， 解方程组，解得， 所以. 18．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是抛物线与双曲线的一个交点，如图所示.    (1)求抛物线及双曲线的标准方程； (2)若直线与双曲线过一、三象限的渐近线平行，交抛物线于，两点，交双曲线于点，且点是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入抛物线方程，求得抛物线方程及焦点坐标，从而得双曲线的焦点坐标，利用双曲线的定义，求出的值，据此可求解； （2）设，根据双曲线的渐近线方程，可得直线的斜率，由中点公式可得， 将，两点代入抛物线方程，作差变形可得，代入双曲线方程求出点，据此可求解. 【详解】（1）因为点是抛物线上的一点， 所以，解得， 所以抛物线的标准方程为，焦点坐标为 所以双曲线的焦点为，. 又点是双曲线上的点，根据双曲线的定义可得： ，解得， 从而，所以双曲线的标准方程为； （2）由双曲线可知，过一、三象限的渐近线， 故所求直线的斜率. 设，则 ，两式相减，可得， 因为，， 所以，解得， 又因为在上， 所以，解得或（舍去）. 从而，直线的方程为， 即为所求. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $