第12卷 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（1）2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦圆锥曲线定义、方程及几何性质，通过“一考一讲”实现检测-讲解-巩固闭环，适配中职高考即时巩固需求，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|10|定义辨析（椭圆定义）、性质应用（离心率、准线）|从定义到标准方程，再到几何性质的递进| |填空|5|参数范围、方程求解、距离计算|强化概念间关联（渐近线与方程关系）| |解答|3|直线与圆锥曲线位置关系（弦长、面积）|综合应用定义、方程、性质解决实际问题|

编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第12卷 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（1） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 2．双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．7或17 C．12 D．22或2 3．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 6．已知抛物线上一点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 7．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 8．已知双曲线离心率是，经过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 9．点F为椭圆：的右焦点，直线：与椭圆C交于两点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．方程表示椭圆，则的取值范围为________ 12．与双曲线有一条共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是________. 13．已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 14．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则______________ 15．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 17．已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值； 18．已知椭圆经过． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积． 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学45分钟训练卷》，以历年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 山东省春季高考《数学45分钟训练卷》 第12卷 圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）（1） 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单项选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分. 1．到两定点和的距离之和为4的点的轨迹是（    ） A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 【答案】B 【分析】先求出线段的长度，使其与距离之和进行比较，然后求解即可. 【详解】∵点到两定点和的距离之和为， ，， ， 的轨迹是以，为端点的线段. 故选：B. 2．双曲线上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（    ） A．2 B．7或17 C．12 D．22或2 【答案】D 【分析】根据题意，结合双曲线方程先求得a的值，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】因为双曲线标准方程为， 所以，即， 由双曲线的定义可得， 由题意，不妨设，所以， 解得或2. 故选：D. 3．抛物线的准线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将抛物线化为标准方程，再由抛物线的几何性质求解即可. 【详解】将抛物线化为标准方程， 故焦点在y轴上，所以， 所以，所以， 故其准线方程为. 故选：D. 4．已知双曲线的焦点为，点M在双曲线上，且轴，则到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程与定义求得，再利用等面积法求解即可. 【详解】由题可得，， 所以，    设，则，解得， 由于双曲线的对称性，不妨取，所以， 根据双曲线的定义可得，，解得， 设到直线的距离为，又， 在直角三角形中，， 即，所以. 故选：C. 5．若抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合，则的值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据椭圆方程求出左焦点坐标，结合抛物线的焦点坐标公式即可得解. 【详解】椭圆中，焦点在轴上，且，， 则，，则左焦点坐标为， 抛物线的焦点与椭圆的左焦点重合， 则，， 故选：. 6．已知抛物线上一点到准线的距离为，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据抛物线上一点在第二象限，判断焦点位置可能在轴负半轴，或轴正半轴,分别讨论两种情况. 【详解】∵抛物线过第二象限点， ∴设抛物线的标准方程为或． 当抛物线的焦点在轴负半轴上时，抛物线上一点到准线的距离为， ∴， ∴抛物线的标准方程为． 当抛物线的焦点在轴正半轴上时，抛物线上一点到准线的距离为， ∴， ∴抛物线的标准方程为． 综上，抛物线的标准方程为或． 故选：C. 7．若双曲线的渐近线方程为，其中一个焦点是，则双曲线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合双曲线渐近线方程，列出方程组求出的值即可得解. 【详解】因为双曲线的一个焦点为，所以双曲线的焦点在轴上，且， 则渐近线方程为， 所以，解得， 双曲线方程为， 故选：. 8．已知双曲线离心率是，经过点，则双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等轴双曲线的性质，结合待定系数法即可得解. 【详解】由，则双曲线为等轴双曲线，设其方程为， 又因为经过点，则， 所以双曲线方程为. 故选：A. 9．点F为椭圆：的右焦点，直线：与椭圆C交于两点，为坐标原点，为正三角形，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正三角形的性质求出点A 的坐标，代入椭圆方程，然后转化成关于离心率e的方程即可求解. 【详解】因为为正三角形，，不妨设A在第一象限，所以， 因为点A在椭圆上，代入得， 因为， 所以， 因为，所以上式可转化为， 通分化简得， 根据求根公式得， 因为，故解得． 故选：A． 10．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线中焦点到渐近线的距离等于实轴长列式整理，再由离心率公式求值即可. 【详解】已知双曲线， 焦点为，渐近线为，即， 则焦点到渐近线的距离， 所以， 则其离心率为， 故选：A. 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．方程表示椭圆，则的取值范围为________ 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程的定义，列出不等式组即可求解. 【详解】方程表示椭圆， 则，且， 解得，且， 即. 故答案为：. 12．与双曲线有一条共同的渐近线，且经过点的双曲线方程是________. 【答案】 【分析】根据有相同渐近线的双曲线方程设出双曲线方程，再将点代入方程即可求解. 【详解】设与双曲线有一条共同的渐近线的方程为， 将点代入方程，得，解得， 故所求双曲线方程为，可化为. 故答案为：. 13．已知抛物线的焦点为，则点到直线的距离为__________. 【答案】 【分析】首先由抛物线方程确定焦点坐标，再由点到直线的距离公式求值即可. 【详解】已知抛物线，其中， 所以焦点为， 到直线的距离为， 故答案为：. 14．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则______________ 【答案】3 【分析】根据椭圆的定义及几何性质，分析求解即可. 【详解】设椭圆的另一个焦点为， 由椭圆的定义可知，， 因为，所以， 又因为分别为中点， 所以， 故答案为：. 15．抛物线内有一点，F为抛物线的焦点，P为抛物线上的点，则的最小值为__________． 【答案】3 【分析】根据抛物线定义，将点到焦点的距离转化为到准线的距离. 【详解】如图：    设P点到准线距离为，则由定义 若值最小，即值最小，此时，P、A、B三点共线， ∵抛物线方程为， ∴抛物线的准线为， ∴距离最小值为点到准线的距离， 则的最小值为． 故答案为:. 三、解答题：本大题共3小题，每小题10分，共30分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 16．过抛物线的焦点，且斜率为2的直线交抛物线于，两点. (1)求直线的方程. (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线方程得到焦点坐标，利用点斜式即可得出直线方程. （2）设出点的坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点坐标为， 直线的方程为，即. （2）设两点坐标为， 联立方程组，可得， ， 抛物线中， 所以. 线段的长度为. 17．已知双曲线C：的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线C的方程； (2)若直线被双曲线C截得的弦长为，求实数m的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的性质结合离心率公式和实轴长列出方程组即可解得. （2）将直线方程与双曲线进行联立，设出交点坐标，根据韦达定理和弦长公式即可解得. 【详解】（1）双曲线的离心率为，实轴长为2. 则由题意可得， 故双曲线C： （2）联立 因为直线被双曲线C截得弦长为， 设直线与双曲线交于点， 则， 根据弦长公式可得，解得. 18．已知椭圆经过． (1)求椭圆的方程； (2)若直线交椭圆于不同两点，，是坐标原点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将两点坐标代入椭圆方程中，求出，的值，可求出椭圆的方程； （2）直线方程与椭圆方程联立，消去，得到一元二次方程，解这个方程，求出两点的纵坐标，，设直线与轴交于点，利用进行求解． 【详解】（1）椭圆经过，将两点坐标代入椭圆方程中，得，解得：，， 即椭圆的方程为； （2）记，，可设的方程为， 由，消去得，解得， 直线与轴交于点，则 . 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $