湖南张家界市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2026年普通高中二年级第二学期期末考试 数学 满分150分，考试时间120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．样本数据3，7，11，7，13，15的第40百分位数为 A．7 B．9 C．11 D．12 2．已知，，且，则 A． B． C． D． 3．已知，，则 A． B． C． D． 4．曲线在点处的切线如图所示，则 A．0 B．2 C．-2 D．-1 5．已知抛物线上的一点与焦点间的距离为3，则的值为 A． B． C． D． 6．已知是函数的一个极值点，则 A．0 B．1 C．2 D．3 7．一百零八塔，位于宁夏回族自治区吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为 A．15 B．16 C．17 D．19 8．已知数据1，2，3，4，的平均数与中位数相等，从这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则下列结论正确的有 A．的虚部是 B．的共轭复数是 C．在复平面内对应的点在第二象限 D． 10．已知点是圆：上一动点，点，点，则 A．点到直线的距离的最大值为 B．满足的点有2个 C．过点作圆的两条切线，切点分别为，，则直线的方程为 D．的最小值是 11．已知点是棱长为2的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有 A．当在线段上运动时，三棱锥的体积为定值 B．当在线段上运动时，直线与所成角的取值范围为 C．当在底面上运动时，记的中点为，若，则的最小值为 D．使直线与平面所成角为的点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若椭圆的焦距是2，则其离心率为________． 13．函数的部分图象如图所示，其中为函数图象的一个最高点，为函数图象与x轴的一个交点，则的值为________． 14．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列，第1次“差扩充”后得到数列，，，第2次“差扩充”后得到的数列，，，，．设数列，经过第n次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且． （1）求A； （2）若，，求的面积． 16．（15分） 如图1所示的平行四边形中，，．现将沿折起，使得点D到达点P的位置，且，得到如图2所示的三棱锥，记M为棱的中点． （1）求证：； （2）记E为棱的中点，在直线上存在点N，使得平面．请确定点N的位置，并求出二面角的大小． 17．（15分） 某素质训练营设计了一项闯关比赛．规定：三人组队参赛，每次只派一人，且每人只派一次．如果一人闯关失败，再派下一人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关．现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立． （1）若依次派甲、乙、丙进行闯关，且，，，求该小组比赛胜利的概率； （2）若依次派甲、乙、丙进行闯关，请写出所需派出的人数的分布列，并求的期望； （3）已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人数的期望较小，试确定甲、丙谁先派出． 18．（17分） 已知点，，双曲线：经过点A，且的一条渐近线与直线平行，为上异于顶点的任意一点，为的左顶点． （1）求的方程； （2）求直线与的斜率之积； （3）设为上异于顶点和点的任意一点，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，证明：直线恒过定点． 19．（17分） 已知函数的定义域为．定义：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”． （1）判断函数是否具有“性质”； （2）若函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的值； （3）已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是具有“性质”． 学科网（北京）股份有限公司 $ 张家界市2026年普通高中二年级第二学期期末联考 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D D C B C C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14．1013 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 解：（1）由，得， 2分 4分 ． 6分 （2）由余弦定理得， 7分 代入，，，可得 9分 整理得，解得（舍负） 11分 的面积为． 13分 16．（15分） （1）证明：因为，，， 所以，所以，即， ， 1分 图2中，，，， 则，所以， 2分 又，又，为平面内两条相交直线，所以面， 4分 又面，所以， 5分 又，为平面内两条相交直线，所以面， 6分 又面，所以． 7分 （2）解：存在点，使得平面， 理由：如图，以，为邻边，构造矩形，连接，易知过点， 8分 因为，分别为，的中点，所以 9分 又平面，平面，所以平面， 10分 即点就是点． 11分 由（1）知平面，平面，所以． 12分 又，，是平面内两条相交直线，所以面． 13分 又平面，所以． 又，所以为二面角的平面角． 14分 因为，，所以，即二面角的大小为． 15分 解法2： 因为，，，所以， 所以且 2分 以，为邻边，构造矩形．以为原点，，，所在直线 分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系 3分 则，，，， 5分 所以，， 6分 则，所以 7分 （2）因为是矩形，所以，为中点， 则，，， 8分 所以，， 9分 所以，即． 10分 而在平面内，在平面外，所以平面，即点就是点． 11分 由于，，所以就是二面角的平面角， 所以， 14分 所以，即二面角的大小为． 15分 17．（15分） 解：（1）设事件表示“该小组比赛胜利”，则； 5分 （2）由题意可知，的所有可能取值为1，2，3， 6分 则，，， 9分 所以的分布为： 1 2 3 所以； 10分 （3）若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为， 由（2）可知，， 若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为， 则， 11分 则 ， 13分 因为，所以，，所以，即， 14分 所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲． 15分 18．（17分） 解：（1）由经过点，得． 2分 由，又因为双曲线：一条渐近线与直线平行， 所以，则， 4分 故的方程为． 5分 （2）设，则，即， 6分 易得， 7分 则：，， 8分 所以， 即直线与的斜率之积为． 10分 （3）证明：由（2）知，，因为，所以． 11分 设直线的方程为，代入，得， 则且，即且． 12分 设（且），则，． 13分 因为， 再将，代入得：得， 即， 所以， 14分 因为直线不过点，所以，所以， 15分 ， 化简整理得，解得， 16分 所以直线的方程为，故直线恒过定点． 17分 19．（17分） 解：（1）函数不具有“性质”， 2分 理由如下： 例如当，时，显然成立， 3分 ，，根据指数函数的单调性可知， 4分 所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”． 5分 （2）因为函数具有“性质”，所以取，有， 于是有， 6分 当时，由， 当时，由， 7分 若，若，则有， 取， 此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意， 故，此时， 8分 若，，时，则，由， 若，，时，则， 由， 9分 因此，综上所述：当且仅当，时，满足条件． 10分 （3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数． 若存在，，不妨设， 记，，即， 因为函数的值域为，所以， 11分 若，则有， 12分 若，则有， 13分 故对任意，，这与的值域为矛盾， 所以不成立，则有，因此函数是偶函数； 14分 必要性：若是偶函数，则具有“性质”． 当时，因为在上是严格增函数， 所以， 15分 又因为函数是偶函数， 所以由，因此具有“性质”． 16分 所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $