北京市大兴区2025-2026学年高二下学期7月期末练习数学试题

**基本信息** 聚焦高二数学核心内容，以排列组合、概率统计、导数应用为主体，通过研学活动、企业研发等真实情境设计问题，突出数学思维与应用能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二项式定理、概率、随机变量、导数极值|基础概念辨析，如第8题导数极值点条件判断| |填空题|5/25|二项式系数、排列组合、分布列与方差、导数几何意义|第12题结合讲座选择考排列与概率，体现应用| |解答题|6/85|摸球问题（排列组合）、研学排队概率（独立事件）、企业研发统计分布、导数单调性证明、集合生成数列|第17题研学排队考期望方差，第21题集合生成数列培养创新意识，符合数学眼光与思维|

大兴区2025~2026学年度第二学期期末练习 高二数学 2026.7 本试卷共页，150分。考试时间120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。 第一部分 （选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1） （A） （B） （C） （D） （2）在的展开式中，常数项是 （A） （B） （C） （D） （3）已知事件，且，，则 （A） （B） （C） （D） （4）设随机变量，，则 （A） （B） （C） （D） （5）某射手连续射击次，每次击中的概率都是，则次中只有第次击中的概率为 （A） （B） （C） （D） （6）将名志愿者分到甲、乙、丙个不同的公益小组，其中人分到甲组，人分到乙组， 人分到丙组，则不同的分法种数为 （A） （B） （C） （D） （7）已知函数，则 （A）有最大值无最小值 （B）有最大值也有最小值 （C）无最大值有最小值 （D）无最大值也无最小值 （8）已知函数的定义域为，导函数，则“”是“ 是的极大值点”的 （A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 （9）函数，曲线存在与直线垂直的切线，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） （10）设点集，集合，记样本空间，从中随机取一个样本点，定义随机变量如下：对中的每一个样本点，令，则的数学期望是 （A） （B） （C） （D） 第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 （11）在的展开式中，含的项的系数是 . （12）名同学去听同时举行的个不同的讲座，每名同学可自由选择听其中的个讲座，不同选择的种数是 ；恰有个讲座这名同学都没选的概率是 . （13）已知随机变量的分布列分别如下所示，则使方差成立的一个的值是 . （14）已知函数．则在处的瞬时变化率为 ；若 至多有个零点，则的取值范围是 . （15）已知函数，给出下列四个结论： ① 当时，曲线在点处的切线斜率是； ② 若对任意的都有成立，则； ③ 当时，导函数在区间上存在唯一的零点； ④ 若存在，使得成立，则． 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （16）（本小题13分） 一个袋子里装有个大小相同的球，其中有个红球，个白球. （Ⅰ）若不放回地从袋中依次摸出个球，共有多少种不同的摸球方法； （Ⅱ）若有放回地从袋中依次摸出个球，恰好有个白球，共有多少种不同的摸球方法； （Ⅲ）若不放回地从袋中依次摸球，规定：个红球全部被摸出后才停止摸球，那么直到第次摸球后才停止摸球，共有多少种摸球方法． （17）（本小题13分） 某学生参加研学活动，需依次前往个打卡点，每个打卡点遇到排队的概率均为， 若遇到排队，则每次排队均需额外耗时分钟．假设在各打卡点是否遇到排队相互独立． （Ⅰ）求该生首次遇到排队发生在第个打卡点的概率； （Ⅱ）设该生在这个打卡点排队的额外总耗时为分钟，求和． （18）（本小题14分） 为了解某行业的研发情况，从该行业所有企业中随机抽取家，对这家企业的研发投入与专利产出进行调研，整理数据成下表： 企业 A B C D E F 研发投入（万元） 500 680 970 1200 1900 2700 专利产出（件） 4 5 8 8 9 14 假设用频率估计概率，且各企业的研发投入相互独立． （Ⅰ）从该行业所有企业中随机抽家，估计其研发投入大于万元的概率； （Ⅱ）从这家企业中随机抽家，求家中专利产出大于件的企业个数的分布列； （Ⅲ）设定临界值，现有预测研发情况的规则：若企业研发投入大于万元，则预测其专利产出大于件；若企业研发投入不大于万元，则预测其专利产出不大于件．记为“该规则对此行业内企业的研发情况预测正确的概率估计值”， 写出当时，临界值的取值范围．（结论不要求证明） （19）（本小题15分） （见第5页学校自主命题） （20）（本小题15分） 已知函数，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求导函数的单调区间； （Ⅲ）证明：对任意的，. 条件①：是的一个极小值； 条件②：直线与曲线相切. 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． （21）（本小题15分） 已知正整数集合，其中．由集合生成的数列满足：. 表示满足的的个数． （Ⅰ）若集合，求； （Ⅱ）若，问：需要满足什么条件，能使成立？并写出一个能满足条件的集合； （Ⅲ）若，且，写出使成立的充要条件， 并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 大兴区2025~2026学年度第二学期期末练习 高二数学参考答案 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）D （2）C （3）A （4）B （5）B （6）A （7）B （8）A （9）D （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （11） （12） ； （13）（答案不唯一） （14） （15）①③④ （全选对5 分，漏选1 个3 分，不选或选错0 分） 三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共13分） 解：（Ⅰ）不放回地依次摸个球，摸球方法有种. ……4分 （Ⅱ）有放回地从袋中依次摸出个球，恰好有个白球， 摸球方法有种. ……4分 （Ⅲ）不放回地从袋中依次摸球，规定：个红球全部被摸出后才停止摸球，那么 直到第次摸球后才停止摸球，摸球方法有种. ……5分 （17）（共13分） 解：（Ⅰ）设事件A为“该生首次遇到排队发生在第3个打卡点”，……1分 则． 所以该生首次遇到排队发生在第3个打卡点的概率为． ……5分 （Ⅱ）所有可能的取值为． ……1分 ， ． ……5分 ……7分 ．……8分 （18）（共14分） 解：（Ⅰ）根据题中数据，家企业中研发投入大于（万元）有共家 企业，所以估计概率为．……3分 　 （Ⅱ）家企业中专利产出数大于件有家． 　　　　 根据题意，随机变量的所有可能取值为：．……1分 　　　 　，，．……7分 所以的分布列为： ……8分 （Ⅲ）取值范围是．……3分 （19）（本小题15分） 见学校自主命题答案 （20）（本小题15分） 解：（Ⅰ）定义域为. . ……2分 选条件①令，解得. 与在区间上的变化情况如下： 极小值 ……3分 所以有极小值为. ……4分 解得.……5分 选条件②：设切点. 则，……3分 . ……4分 解得.……5分 （Ⅱ）当时，，. 设，. . ……3分 因为，， ……4分 所以，在单调递增. ……5分 所以的单调增区间为，无单调减区间. （Ⅲ）不妨假设取定， 设,. ……1分 则. ……2分 因为，，所以. 又由（Ⅱ）知，在单调递增， 所以，即. 所以在单调递增. ……3分 又因为， ……4分 所以. ……5分 所以对任意的，. （21）（共15分） 解：（Ⅰ）因为，……1分 ，……2分 ，……3分 ，……4分 所以满足的正整数为，所以.……5分 （Ⅱ）由题意得，，，，……1分 因为，所以. 因为， 所以或……2分 当时，则 所以.……3分 当时，则 所以.……4分 综上所述，需要满足的条件为 或. 不妨，，，则取， 所以满足该条件的集合可以是.（答案不唯一）……5分 （Ⅲ）使成立的充要条件是 ①当时， 集合中元素满足，； ②当且为奇数时， 集合中元素满足，， ，． ③当时， 集合中元素满足，， ． 先证明：当为偶数时，. 当为偶数时， . 因为，所以. 所以 所以当为偶数时，. 以下证明：当为奇数时，. 因为， 所以. 所以. 因为为正整数，且，， 所以或. ①当对任意的奇数，满足时， ， 所以. 所以满足的正整数的个数不可能为， 所以不满足. ②当存在奇数，使时， 则. 所以. 因此若，则. 因为 ， 所以当，时， ，此时. 以下证明必要性： 若，则数列中只有这两项. 故为奇数，且. 中元素满足，， . 以下证明：若，则必有． 当，，且为奇数时， 所以． 当时，，不满足． 所以若，则必有． 故“集合中元素满足： ①当时， 集合中元素满足，； ②当且为奇数时， 集合中元素满足，， ，． ③当时， 集合中元素满足，， ．”是“成立”的必要条件． 以下证明充分性： 若当时，集合中元素满足，， 所以，， 且当，为奇数时，． 所以． 若当时， 集合中元素满足，， ， 所以， 且当，为奇数时，． 所以． 若当为奇数时， 集合中元素满足，， ，， 则有， 且当，为奇数时，， 当时，． 所以． ……5分 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $