专题2.3 分式的加法与减法（12大题型+过关检测） （小模块.微专题.大压轴）2026-2027学年数学鲁教版（五四制）八年级上册

**基本信息** 以“小模块-微专题-大压轴”为框架，系统构建分式加减知识体系，通过典例变式实现从基础运算到素养提升的层级突破，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |同分母分式加减|1典例+3变式|分母不变分子加减法则|从分式基本性质到同分母运算| |最简公分母|1典例+3变式|因式分解确定最高次幂积|为异分母通分奠定基础| |通分|1典例+3变式|三步通分法（定公分母→除分母→乘分子）|连接分式性质与加减运算| |异分母分式加减|1典例+3变式|先通分再同分母运算|同分母运算的延伸拓展| |混合运算/化简求值|2微专题|运算顺序与整体代入技巧|综合应用分式加减乘除| |压轴突破|2专题|比较大小作差法/规律探索归纳法|提升数学思维与创新意识|

挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 纳无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.3 分式的加法与减法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 同分母分式的加减 微专题1分式的加减乘除混合运算 模块2 最简公分母 微专题2分式混合运算中的化简求值 模块3 通分 微专题3已知分式恒等式确定分子或分母 模块4异分母分式的加减 压轴1 比较分式值的大小 模块5 整式与分式的加减 压轴2 分式运算背景下的规律探索 模块6分式的加减混合运算 通关检测·实战演练 模块7分式加减的实际应用 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式的通分 1通分 .根据分式基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 2.最简公分母 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母 3.通分的步骤 (1)求各分式的最简公分母; (2)用这个最简公分母除以分式的分母; (3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母. 知识点2分式的加减 1.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示为。 2.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示为 模块通关·举一反 三 【模块一】同分母分式的加减 【典例1】计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选A． 【点睛】本题主要考查了同分母分式减法，正确计算是解题的关键． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．2 【答案】D 【分析】根据同分母分式加法计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故选D． 【点睛】本题主要考查了同分母分式加法，熟知相关计算法则是解题关键． 【变式1-2】若，则（  ）中的数是（     ） A．－1 B． C． D．任意实数 【答案】B 【分析】用减去即可． 【详解】解：由题意得， ． 故选B． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减． 【变式1-3】计算： 【答案】 【分析】利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果 【详解】=. 【点睛】此题考查了同分母分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键 【模块二】最简公分母 【典例2】，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简公分母的概念是各分式分母所有因式的最高次幂的积，按概念解题即可． 【详解】解：分式中分母的因式是，分式中分母的因式是，分式中分母的因式是，所有因式的最高次幂的积是． 故选：D 【点睛】本题考查最简公分母的概念，确定分式的最简公分母的步骤：取各分式分母系数的最小公倍数；取各分式分母中所有因式的最高次幂；系数的最小公倍数与各因式的最高次幂的积即为最简公分母． 【变式2-1】分式，，的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】各分母系数的最小公倍数和所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母，据此即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是最简公分母的概念，取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【变式2-2】分式，，的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解，，的最简公分母是， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里． ②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂． 【变式2-3】分式，，的最简公分母是 (   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简公分母定义∶通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 确定最简公分母的一般方法：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数；相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里.分母是多项式的要先分解因式． 【详解】解：， 分式，，的最简公分母是． 故选B． 【点睛】本题考查了最简公分母的定义，熟练掌握最简公分母的定义是解答本题的关键． 【模块三】通分 【典例3】把，，通分的过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】按照通分的方法依次验证各选项，找出不正确的答案． 【详解】A、最简公分母为，正确，该选项不符合题意； B、，通分正确，该选项不符合题意； C、，通分正确，该选项不符合题意； D、通分不正确，分子应为，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查根据分数的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．解题的关键是通分保证（1）各分式与原分式相等；（2）各分式分母相等． 【变式3-1】把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接利用已知进行通分运算，进而得出答案． 【详解】解∶， 故的分子为． 故选∶B． 【点睛】此题主要考查了通分，正确进行通分运算是解题关键． 【变式3-2】求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【变式3-3】把下列各式通分： (1)x−y与； (2) , 与. 【答案】(1) x−y=，； (2) ;；； 【分析】（1）先找到最简公分母，再通分即可； （2）先对分母因式分解，再找到最简公分母，通分即可． 【详解】(1)最简公分母：x+y， x−y=； ； (2)最简公分母：3(a+3)(a−3)2； ， ， . 【点睛】此题考查通分，解题关键在于掌握运算法则. 【模块四】异分母分式的加减 【典例4】化简分式过程中开始出现错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据异分母分式的加法法则可以检查出出错的步骤． 【详解】解：∵= 经过仔细比对，发现出错的步骤是题中所示②，分子相减时没有把第二个分子当作整体用括号括起来， 故选B． 【点睛】本题考查异分母分式的加减，先对异分母分式通分并在加减过程中把每个分子当作一个整体是解题关键 ． 【变式4-1】化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式两项变形后约分，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式4-2】化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先通分，再按同分母分式的加减法法则计算． 【详解】． 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 【变式4-3】下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解决本题首先对每个分式进行通分，然后进行加减运算，找出正确选项． 【详解】解：A．，错误； B．，错误； C．，正确； D．，错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加减运算，同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母的分式相加减，先把它们通分，变为同分母分式，再加减．分式运算的结果要化为最简分式或者整式． 【模块五】整式与分式的加减 【典例5】先化简再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据分式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算． 【变式5-1】计算，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对原式进行通分化简，然后进一步计算出答案即可. 【详解】由题意得：==， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了分式的减法，熟练掌握相关方法是解题关键. 【变式5-2】计算(1)．(2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 【变式5-3】若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据代数式的值可得，代入将化简后的分式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选A 【点睛】本题考查了分式的减法运算，求分式的值，整体代入是解题的关键． 【模块六】分式的加减混合运算 【典例6】在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【解析】根据分式的运算法则求解． 【详解】解：∵ = =， ∴甲乙两人都做错了， 故选：D ． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【变式6-1】为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（    ） ………………甲 ………乙 ………………………丙 =—2……………………………………丁 A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【答案】B 【分析】分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的． 【详解】解：原式 ， 因此从丙开始出现错误．故得分为20分． 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练分解因式是解题的关键． 【变式6-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意依据分式的加减运算法则对各个选项进行计算后判断即可． 【详解】解：A、，A选项错误； B、，B选项错误； C、，C选项正确； D、，D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查分式的化简，熟练掌握分式的加减运算法则是解题的关键． 【变式6-3】下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（    ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据分式的加减乘除运算法则，逐一判断，即可得到答案． 【详解】∵， ∴①错误， ∵是最简分式，不能化简， ∴②错误， ∵， ∴③错误， ∵， ∴④正确， 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的加减乘除运算法则，掌握分式的通分，约分是解题的关键． 【模块七】分式加减的实际应用 【典例7】小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C．千时 D．千米/时 【答案】D 【分析】先表示出上山时间与下山时间，然后根据总路程除以总时间，即可求解． 【详解】解：依题意，上山所用时间为：，下山所用时间为：， ∴小强上山和下山的平均速度为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列代数式，分式的加减运算，根据题意列出代数式是解题的关键 【变式7-1】从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】根据时间=路程÷速度，计算出去的时间和返回的时间，再根据往返所需的时间=去的时间+返回的时间，列出式子计算即可． 【详解】解：由题意，得往返所需的时间为：小时， 故选：C． 【点睛】本题考查分式加法的应用，掌握往返所需的时间=去的时间+返回的时间是解题的关键． 【变式7-2】某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（　　） A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天 【答案】A 【分析】工程提前的天数＝原计划的天数﹣实际用的天数，把相关数值代入即可． 【详解】解：原计划用的天数为，实际用的天数为， 故工程提前的天数为（）天． 故选：A． 【点睛】此题考查了列分式解决实际问题，正确理解题意是解题的关键． 【变式7-3】甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修，那么（　　） A．甲队先完成任务 B．乙队先完成任务 C．甲、乙两队同时完成任务 D．不能确定哪个队先完成任务 【答案】A 【分析】甲队完成任务需要的时间工作总量工作效率，乙队完成任务需要的时间前所用的时间后所用的时间，然后把甲队所用的时间和乙队所用的时间比较大小即可求解． 【详解】由题意可得： 甲队完成任务需要的时间为：， 乙队完成任务需要的时间为：， 甲、乙队完成任务需要的时间差为：， ,,, ， 甲队先完成任务． 故选：A． 【点睛】本题考查了列代数式以及分式的加减法，解题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分式的加减乘除混合运算 【典例8】以下是代数式排乱的化简步骤： ①； ②； ③； ④． 则正确化简步骤的顺序是（    ） A．①→③→④→② B．③→①→④→② C．③→④→①→② D．①→④→③→② 【答案】C 【分析】先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式即可． 【详解】解：原式 ． 由上化简过程可得顺序为：③→④→①→②． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式混合运算，掌握运算步骤是解题的关键． 【变式8-1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算括号内的减法运算，再计算乘法运算即可． 【详解】解： 故选：A 【点睛】此题考查了分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键 【变式8-2】老师在黑板上写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式子的一部分（如图），则被遮住的部分是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出算式，再根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得． 【详解】解：被遮住的部分是 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)； (8)； (9)； (10)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）根据分式的减法可以解答本题； （2）根据分式的减法可以解答本题； （3）根据分式的加法可以解答本题； （4）根据分式的除法和加减法可以解答本题； （5）根据分式的除法和加减法可以解答本题； （6）根据分式的乘除法可以解答本题． （7）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （8）第一项可化为，再约分，第二项的分母化为，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （9）先通分，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案； （10）将第二项的分母化为，再根据同分母分式的加减运算法则计算，即可得出答案． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） （6） （7）解：原式 （8）解：原式 （9）解：原式 （10）解：原式 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 【微专题二】 分式混合运算中的化简求值 【典例9】若，则的值为（　　） A．11 B． C．13 D． 【答案】A 【分析】根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用． 【变式9-1】（1）；        （2）先化简，再求值： ，其中． 【答案】（1）；（2），6 【分析】（1）利用平方差公式计算即可； （2）先计算括号内的同分母分式减法，再计算乘法，化简后代入字母的值． 【详解】（1） 原式 ； （2） ． 当时，原式． 【点睛】此题考查了计算能力，正确掌握平方差公式及分式的混合运算法则是解题的关键． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中a满足． 【答案】 【分析】原式化简得，由去分母变形得，进而即可求解. 【详解】 = = ∵ ∴ ∴原式==． 【点睛】本题主要考查分式的化简、运算及等式的基本性质；对题设的等式作恒等变形得出代数式的值是解题关键． 【变式9-3】先化简在求值 其中x、y满足方程组 【答案】； 【分析】先计算括号内的，再计算乘除，然后根据方程组可得，再代入，即可求解． 【详解】解： ， 由得：， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【微专题三】已知分式恒等式确定分子或分母 【典例10】若分式（A、B为常数），则A、B的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式右边进行分式的减法运算，再根据对应项的系数相等可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴，则， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的加减法、解二元一次方程组，熟练掌握分式加减运算法则是解答的关键． 【变式10-1】若   ，则 和 的值分别是（    ） A．1 和 B． 和 1 C．3 和 D．和 3 【答案】C 【分析】先根据分式的加减法运算法则，将左边的式子通分，然后组成的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解： 联立可以得到：, 解得， 故选C． 【点睛】本题考查了分式的加减法和二元一次方程的求解，先通分，再联立方程组求解即可得到答案． 【变式10-2】若恒成立，则A-B=__________． 【答案】2 【分析】已知等式右边通分并利用同分母分式的加法法则计算，再根据分式相等的条件即可求出所求． 【详解】解：等式整理得， ∴ ∴A-B＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了分式的加减，解题的关键是通分，对等式进行整理，转化为分母相同的形式，从而求解． 【变式10-3】阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据阅读材料中的方法计算即可求出M与N的值； （2）根据阅读材料中的方法计算即可求出a与b的值； （3）由，，，利用裂项相消，即可求解． 【详解】（1）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； （2）解：等式右边通分，得 ， 根据题意，得，解之得； 故答案为：，； （3）解： 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】比较分式值的大小 【典例11】已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】先将的值进行化简，再进行比较． 【详解】解： ，， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查异分母的分式的加减．熟练掌握异分母分式加减的运算法则，利用整体思想代入求值，是解题的关键． 【变式11-1】已知分式，，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据分式的加减法法则化简，再根据判断的正负即可得． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为， 所以， 所以，即， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式加减法的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题关键． 【变式11-2】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（    ） A．甲所购买的饲料的平均单价低 B．乙所购买的饲料的平均单价低 C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D．不能比较 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价，然后作差求解即可判断． 【详解】解：甲两次购买饲料的平均单价为：（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为（元/千克）， 甲、乙两种饲料的平均单价的差是：， 由于m、n是正数，因为m≠n时，也是正数， 即， 因此甲的购货方式更合算． 故选：A． 【点睛】此题考查了分式在实际生活中的应用，分式的加减混合运算，解题的关键是根据题意列出分式分别表示出甲、乙所购买的饲料的平均单价． 【变式11-3】甲乙两人同时从地出发到地，如果甲的速度保持不变，而乙先用的速度到达中点，再以的速度到达地，则下列结论正确的是（    ） A．甲乙同时到达地 B．甲先到达地 C．乙先到达地 D．谁先到达地与的距离有关 【答案】B 【分析】设从地到地的距离为，根据时间路程速度可以求出甲、乙两人同时从地到地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设从地到地的距离为， 而甲的速度保持不变， 甲所用时间为， 又乙先用的速度到达中点，再用的速度到达地， 乙所用时间为， 甲先到达地． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列代数式（分式），解题的关键是正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题． 【压轴二】 分式运算背景下的规律探索 【典例12】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式，并证明你的结论． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干给出的4个等式，抓住不变的量，寻找变化的量前后之间的联系，即可得出第6个等式； （2）用表示（1）中找到的规律，利用分式的混合运算法则证明即可． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… ∴第6个等式为：， 故答案为：； （2）解：第个等式为：， 证明： ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键． 【变式12-1】当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于　　 A．1 B． C．1009 D．0 【答案】D 【分析】先把和代入代数式，并对代数式化简求值，得到它们的和为0，然后把代入代数式求出代数式的值，再把所得的结果相加求出所有结果的和． 【详解】解：设，将和代入代数式， ， ∴， 则原式=， 故选：D． 【点睛】本题考查的是代数式的求值，本题的x的取值较多，并且除外，其它的数都是成对的且互为倒数，把互为倒数的两个数代入代数式得到它们的和为0，原式即为代入代数式后的值． 【变式12-2】观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出： ． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； (3)探究并计算． 【答案】(1) (2)①，② (3) 【分析】（1）仿照例题，裂项相消可得； （2）①仿照例题，用裂项相消的方法，将式子①化简为，再进行计算即可；②将式子②化简为，再进行计算即可； （3）根据（2）的方法将所求式子用裂项相消的方法化简求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， 故答案为：． （2）① = = =， 故答案为：． ② = = =， 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题主要考查数字的变化规律以及异分母分式的减法，解答的关键是分析出所存在的规律并灵活运用． 【变式12-3】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：_______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据题目所给的式子，即可写出； （2）根据题目所给的式子，可知：等式的左侧为，右侧为，据此即可求解． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 按照以上规律，第5个等式为：， 故答案为：； （2）解： 证明：等式左边 等式右边， ∴等式左边等式右边， 故第个等式为：． 【点睛】本题考查了数字类规律探究，分式的加法运算，理解题意，准确找到规律是解决本题的的关键． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.分式和的最简公分母是（　　） A．2xy B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可． 【详解】解：分式和的最简公分母是． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 2.分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 【答案】C 【分析】分式 的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解． 【详解】解：． 故选C． 3.若的值为整数，则整数的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的加法运算法则得到，再根据分式的值为整数列方程即可解答． 【详解】解：∵的值为整数， ∴， 即是整数， ∴， ∴， ∵在， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的加法运算法则，分式有意义的条件，掌握分式加法运算法则是解题的关键． 4.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原式两项变形后约分，再利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故选：A． 【点睛】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（   ）千米/时． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度＝总路程÷总时间，设单程的路程为s，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可． 【详解】解：设上山的路程为x千米， 则上山的时间小时，下山的时间为小时， 则上、下山的平均速度千米/时． 故选D． 【点睛】本题考查了列代数式以及分式的化简，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 二 填空题 6.计算的结果是______． 【答案】1 【分析】直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了分式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键． 7．计算： （1）_____________； （2）___________． 【答案】 【分析】（1）（2）根据异分母分式减法计算法则求解即可． 【详解】解：（1） ， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了异分母分式减法，正确计算是解题的关键． 8.计算：_____． 【答案】 【分析】根据分式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式混合运算，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则， 9.已知非零实数x、y满足，则的值等于_____． 【答案】7 【分析】由已知条件可得，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴ ． 故答案为：7 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解答的关键是由所给的条件得到 10已知，则的值是__________． 【答案】4 【分析】先把等式的右边通分作分式加法计算，再根据对应系数相等即可得出关于、、的方程组，求出方程组的解，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 解得，， ． 故答案为：4． 【点睛】此题考查了分式的加减，根据恒等式的意义得出关于、、的方程组是解题的关键． 三 解答题 11．通分： (1)与； (2)，，； (3)，，； (4)，． 【答案】(1)， (2)，， (3)，， (4)， 【分析】（1）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； （2）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； （3）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； （4）根据分式的基本性质，进行通分，即可求解； 【详解】（1）解：，． （2）解：， ， ． （3）解：， ， ． （4）解：， 【点睛】本题主要考查了分式的通分，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 12.化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据异分母分式的减法运算法则求解即可； （2）根据同分母分式的加法运算法则求解即可； （3）根据分式的混合运算法则求解即可； （4）根据分式的混合运算法则求解即可； 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】此题考查了分式的加减乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握以上运算法则 13.某中学选拔了一批优秀学生到北京旅游已知该中学到北京的距离是，旅游车从学校按每时的速度行驶，可按规定时间到达北京，为了让同学们到天安门广场看升旗仪式，旅游车每时需多行驶，那么同学们可提前多长时间到达 【答案】小时 【分析】由“时间路程速度”可先求出原计划时间和实际时间，再由“提前时间原计划时间实际时间”即可得出结果． 【详解】解：该校到北京的距离为，原计划以的速度行驶， 原计划时间为， 实际速度为， 实际时间为：， 提前时间原计划时间实际时间， 故同学们可提前到达． 【点睛】本题考查了分式的列代数式，需要注意出现除号的时候，用分数线代替，解题的关键是正确利用路程，速度，时间三者的关系，用原定时间减去实际时间就是提前到达的时间． 14.先化简再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据分式加减运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可． 【详解】解： ， 把，代入得：原式． 【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式加减运算法则，准确计算． 15.观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到分母之间的关系，最后通过化简即可证明． 【详解】（1）解：第5个等式为：， 故答案为：． （2）解：第个等式为：， 证明： ， ∴． 【点睛】本题考查了运算规律的探究，分式的加减运算，掌握规律的探究方法与分式的加减运算是解题的关键． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $挖井人数学 小模块·微专题·大压轴 https://shop.xkw.com/165948 行而不舍 ·若骥千里 納无所穷·如海百川 ----【小模块·微专题·大压轴】《专题2.3 分式的加法与减法》专题突破 【专辑简介】【小模块·微专题·大压轴】实现了知识模块化，重点专题化，难点压轴素养化。从【模块通关·举一反三】的小桥流水，到【专题攻坚·多题归一】的黄河之水天上来，再到【压轴突破·素养提升】的大江东去浪淘尽，数（学的）风流人物，请看此卷！ 题型清单 · 图表导航 模块1 同分母分式的加减 微专题1分式的加减乘除混合运算 模块2 最简公分母 微专题2分式混合运算中的化简求值 模块3 通分 微专题3已知分式恒等式确定分子或分母 模块4异分母分式的加减 压轴1 比较分式值的大小 模块5 整式与分式的加减 压轴2 分式运算背景下的规律探索 模块6分式的加减混合运算 通关检测·实战演练 模块7分式加减的实际应用 知识梳理 · 基础溯源 知识点1 分式的通分 1通分 .根据分式基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 2.最简公分母 几个分式通分时，通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，它叫做最简公分母 3.通分的步骤 (1)求各分式的最简公分母; (2)用这个最简公分母除以分式的分母; (3)用所得的商去乘原各分式的分子、分母. 知识点2分式的加减 1.同分母分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，用式子表示为。 2.异分母分式的加减 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用式子表示为 模块通关·举一反 三 【模块一】同分母分式的加减 【典例1】计算的结果是（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．2 【变式1-2】若，则（  ）中的数是（     ） A．－1 B． C． D．任意实数 【变式1-3】计算： 【模块二】最简公分母 【典例2】，，的最简公分母是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】分式，，的最简公分母为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】分式，，的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】分式，，的最简公分母是 (   ) A． B． C． D． 【模块三】通分 【典例3】把，，通分的过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【变式3-1】把与通分后，的分母为，则的分子变为（） A． B． C． D． 【变式3-2】求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【变式3-3】把下列各式通分： (1)x−y与； (2) , 与. 【模块四】异分母分式的加减 【典例4】化简分式过程中开始出现错误的步骤是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-1】化简的结果是（ ） A． B． C． D． 【变式4-2】化简的结果是（    ） A．0 B． C． D． 【变式4-3】下列等式中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【模块五】整式与分式的加减 【典例5】先化简再求值：，其中，． 【变式5-1】计算，结果是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】计算(1)．(2) 【变式5-3】若，则式子的值是（  ） A．-2 B．0 C．1 D．2 【模块六】分式的加减混合运算 【典例6】在复习分式的化简运算时，老师把两位同学的解答过程分别展示如图，你对两位同学解答过程的评价为（    ） 甲同学： 乙同学： A．甲对乙错 B．乙对甲错 C．两人都对 D．两人都错 【变式6-1】为了提升学习兴趣，数学老师采用小组竞赛的方法学习分式，要求每小组的四个同学合作完成一道分式计算题，每人只能在前一人的基础上进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，每做对一步得10分，从哪一步出错，后面的步骤无论对错，全部不计分．某小组计算过程如下所示，该组最终得分为（    ） ………………甲 ………乙 ………………………丙 =—2……………………………………丁 A．10分 B．20分 C．30分 D．40分 【变式6-2】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式6-3】下面是嘉淇在学习分式运算时，解答的四道题，其中正确的是（    ） ① ② ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【模块七】分式加减的实际应用 【典例7】小强上山和下山的路程都是千米，上山的速度为千米时，下山的速度为千米时，则小强上山和下山的平均速度为（    ） A．千米/时 B．千垙时 C．千时 D．千米/时 【变式7-1】从甲地到乙地的距离是s千米，一辆汽车以a千米/时的速度从甲地开往乙地，然后立即以b千米/时的速度从乙地返回甲地，则汽车往返所需的时间是（调头时间忽略不计）（    ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【变式7-2】某工程队要修路20千米，原计划平均每天修x千米，实际平均每天多修了0.1千米，则完成任务提前了（　　） A．（）天 B．（）天 C．（）天 D．（）天 【变式7-3】甲、乙两个工程队分别承担一条公路的维修任务，甲队有一半时间每天维修公路，另一半时间每天维修；乙队维修前公路时，每天维修，维修后公路时，每天维修，那么（　　） A．甲队先完成任务 B．乙队先完成任务 C．甲、乙两队同时完成任务 D．不能确定哪个队先完成任务 专题攻坚·多题归一 【微专题一】分式的加减乘除混合运算 【典例8】以下是代数式排乱的化简步骤： ①； ②； ③； ④． 则正确化简步骤的顺序是（    ） A．①→③→④→② B．③→①→④→② C．③→④→①→② D．①→④→③→② 【变式8-1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】老师在黑板上写了一个式子的正确计算结果，随后用手遮住了原式子的一部分（如图），则被遮住的部分是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． (7)； (8)； (9)； (10)． 【微专题二】 分式混合运算中的化简求值 【典例9】若，则的值为（　　） A．11 B． C．13 D． 【变式9-1】（1）；        （2）先化简，再求值： ，其中． 【变式9-2】先化简，再求值：，其中a满足． 【变式9-3】先化简在求值 其中x、y满足方程组 【微专题三】已知分式恒等式确定分子或分母 【典例10】若分式（A、B为常数），则A、B的值为（     ） A． B． C． D． 【变式10-1】若   ，则 和 的值分别是（    ） A．1 和 B． 和 1 C．3 和 D．和 3 【变式10-2】若恒成立，则A-B=__________． 【变式10-3】阅读下列材料： 若，试求A、B的值 解：等式右边通分，得 根据题意，得，解之得． 仿照以上解法，解答下题． (1)已知（其中M、N为常数）求M、N的值； (2)若对任意自然数n都成立，则_________，_________． (3)计算：_________． 压轴拓展·素养提升 【压轴一】比较分式值的大小 【典例11】已知a，b为实数，且，设，则M，N的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式11-1】已知分式，，当时，与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【变式11-2】甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料．两次饲料的价格略有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次用去800元，乙每次购买1000千克，而不管购买多少饲料．设两次购买饲料的单价分别为m元/千克和n元千克（m，n是正数，且），那么甲、乙所购买的饲料的平均单价（    ） A．甲所购买的饲料的平均单价低 B．乙所购买的饲料的平均单价低 C．甲、乙所购买的饲料的平均单价相同 D．不能比较 【变式11-3】甲乙两人同时从地出发到地，如果甲的速度保持不变，而乙先用的速度到达中点，再以的速度到达地，则下列结论正确的是（    ） A．甲乙同时到达地 B．甲先到达地 C．乙先到达地 D．谁先到达地与的距离有关 【压轴二】 分式运算背景下的规律探索 【典例12】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：______； (2)写出你猜想的第个等式，并证明你的结论． 【变式12-1】当分别取值，，，，，1，2，，2017，2018，2019时，计算代数式的值，将所得结果相加，其和等于　　 A．1 B． C．1009 D．0 【变式12-2】观察下列等式： 将以上三个等式两边分别相加得： ． (1)猜想并写出： ． (2)直接写出下列各式的计算结果： ① ； ② ； (3)探究并计算． 【变式12-3】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：_______； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 通关检测·实战演练 一 选择题 1.分式和的最简公分母是（　　） A．2xy B． C． D． 2.分式的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（　　） A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b） C．6a（a﹣b） D．6a（a+b） 3.若的值为整数，则整数的值为（    ） A．或 B． C． D． 4.化简的结果是（ ） A． B． C． D． 5．一辆货车送上山，并按原路下山．上山速度为千米/时，下山速度为千米/时．则货车上、下山的平均速度为（   ）千米/时． A． B． C． D． 二 填空题 6.计算的结果是______． 7．计算： （1）_____________； （2）___________． 8.计算：_____． 9.已知非零实数x、y满足，则的值等于_____． 10已知，则的值是__________． 三 解答题 11．通分： (1)与； (2)，，； (3)，，； (4)，． 12.化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 13.某中学选拔了一批优秀学生到北京旅游已知该中学到北京的距离是，旅游车从学校按每时的速度行驶，可按规定时间到达北京，为了让同学们到天安门广场看升旗仪式，旅游车每时需多行驶，那么同学们可提前多长时间到达 14.先化简再求值：，其中，． 15.观察以下等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：______． (2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明． 2 / 55 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $