立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义-2027届高三数学人教A版一轮复习讲义

该高中数学高考复习讲义聚焦立体几何中线面垂直、面面垂直的判定与性质核心考点，按判定到性质的逻辑层次构建知识体系，通过知识点解析梳理判定定理与性质定理，结合解题原理指导方法，设置例题分析、变式训练及高考真题演练环节，帮助学生系统突破立体几何证明难点。 资料采用分层递进训练设计，从基础例题到变式拓展再到高考真题，配合“线面垂直判定需找平面内两条相交直线证垂直”等具象化策略，培养学生逻辑推理与空间观念，助力在有限时间内提升证明规范性与解题效率，为教师精准把控复习节奏提供清晰教学路径。

2027届高三数学一轮复习讲义 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义 考点目录 线面垂直的判定 面面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 考点一 线面垂直的判定 【知识点解析】 一、线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (5)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为，则角顶点与对边中点的连线与对边垂直 二、线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直. 三、解题原理 1. 在平面内找两条相交直线，分别证目标直线与它们垂直； 2. 垂直来源：勾股逆定理、等腰三角形三线合一、面面垂直性质； 3. 易错：只垂直平面内一条直线，无法证线面垂直。 【例题分析】 例1．（2026·广西河池·模拟预测·节选）如图，在中，，，，，分别在，上，满足，，将沿折起到的位置，使，点在线段上．    (1)求证：平面； 【答案】(1)因为，，所以， 又因为，则，所以，翻折后， 又因为，平面， 所以平面， 又平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. 【分析】(1)折叠保垂直，依靠两组垂直交线证明出线面垂直； 【详解】（1）略 例2．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测·节选）如图，梯形中，，，，，将沿翻折至，使得平面平面. (1)证明：直线平面； 【答案】(1)由已知，在梯形中，，，所以， 又，所以， 取的中点，连接，易知四边形为正方形， 因为，可知， 所以，所以， 又因为翻折前，所以翻折后， 又因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面， 又因为平面，所以， 又，，且平面，所以直线平面. 【分析】（1）根据面面垂直的性质，可证得，再根据线面垂直的判定定理，即可证明； 【详解】（1）略 例3．（2026·山东青岛·三模·节选）如图，在矩形中、，．为线段中点，将沿翻折至，使得． (1)证明：平面； 【答案】(1)由，得，则， 又，平面，则平面，平面，故， 由，为中点，得，而平面， 所以平面. 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定性质推理得证. 【详解】（1）略 【变式训练】 变式1．（2026·江苏南通·模拟预测·节选）如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． (1)证明：平面； 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，由平面，得， 由为的中点，，得，又，平面， 所以平面 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. 【详解】（1）略 变式2．（2026·安徽合肥·模拟预测·节选）如图①所示，四边形是直角梯形，，，且， 为线段的中点．现沿着 将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点． (1)求证：平面； 【答案】(1)由题意可知，，， 所以，， ， 又因为， 为线段的中点， 所以，所以四边形 为正方形， 由翻折可知，，， 又因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形 为正方形，所以，所以， 因为， 为线段的中点，所以， 又因为平面，所以平面． 【分析】（1）根据已知条件，利用翻折的性质，运用线面垂直判定定理证明结论； 【详解】（1）略 变式3．（2026·山东烟台·模拟预测·节选）如图，在正三棱柱中，，分别为和的中点．    (1)证明：平面； 【答案】(1)取中点，连接， 因为正三棱柱，所以底面， 为的中点，平面，所以， 又因为为正三角形，所以， 又因为为的中点，所以， 所以平面，又平面，， 所以平面.    【详解】（1）略 考点二 面面垂直的判定 【知识点解析】 一、面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的判定 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 二、解题原理 1. 核心路径：先证线面垂直，再推面面垂直； 2. 先在一个平面内找一条直线，证明它垂直另一个平面，直接得出面面垂直。 【例题分析】 例1．（2026·河北秦皇岛·一模·节选）如图，在三棱锥中，其外接球球心为的中点，平面平面.已知.    (1)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）由长度及线面垂直的判定、性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明； 【详解】（1）因为是三棱锥外接球的球心，且为中点，， 因此球半径，则， 已知，由勾股定理逆定理： ，得， 又，所以，作于H， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 例2．（25-26高一下·广东广州·期中·节选）如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面； 【答案】(1)因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面面． 【分析】（1）根据面面垂直的性质得出平面，在根据面面垂直的判定即可证明； 【详解】（1）略． 例3．（2026·江苏连云港·模拟预测·节选）如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点．    (1)证明：平面平面； 【答案】(1)因为 底面 ， 底面，所以； 又底面 是菱形，菱形对角线互相垂直，故， 平面，因此 平面， 又 平面，所以平面平面； 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明结论； 【详解】（1）略 【变式训练】 变式1．（2026·山东潍坊·三模·节选）如图，在三棱锥中，为上一点，，，． (1)证明：线段上存在一点，使得平面平面； 【答案】(1)取中点， 由，得，由，得， 由，且都在平面内，故平面， 又平面，所以平面平面， 综上，存在点，使得平面平面； 【分析】（1）取中点，易得、，再由线面、面面垂直的判定定理证明平面平面，即可证； 【详解】（1）略 变式2．（2026·山东济南·模拟预测·节选）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，和分别为线段和上的动点． (1)当为线段的中点时，证明：平面平面； 【答案】(1)证明：如图所示， 因为底面，平面，所以 又因为底面为正方形，所以， 且，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面. 【分析】（1）根据题意，证得和，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再由，证得平面，结合面面垂直的判定定理，即可证得平面平面. 【详解】（1）略 变式3．（2025·宁夏内蒙古·模拟预测·节选）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； 【答案】(1)（i）证明：在中，由，得， 所以， 且，即， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）. 【分析】（1）（i）通过证明平面，证得平面平面； （ii）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此求得球的半径； 【详解】（1）（i）略. （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； 考点三 线面垂直的性质 【知识点解析】 一、线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 线面垂直的性质 一条直线与一个平面垂直，该直线与该平面内任意一条直线垂直. 二、解题原理 1. 证线线垂直：已知线面垂直，直接得直线与面内任意直线垂直； 2. 证线线平行：两条直线同垂直一个平面，直接判定平行。 【例题分析】 例1．（2026高二下·浙江温州·学业考试·节选）如图，在直四棱柱中，，，． (1)证明：； 【答案】(1)证明：在直四棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以． 【分析】（1）先证明面，然后由线面垂直的性质定理得证； 【详解】（1）略 例2．（2026·四川广安·模拟预测·节选）如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取线段的中点，求证平面即可； 【详解】（1）取线段的中点，连接， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； 例3．（2026·辽宁·三模·节选）在长方体中，，，为棱上的动点（不包含端点，）． (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）利用线面垂直的判定性质推理得证. 【详解】（1）在长方体中，连接，由，得底面是正方形， 则，由平面，平面，得， 又，平面，因此平面， 无论点在线段上如何移动，平面， 所以. 【变式训练】 变式1．（2026·四川绵阳·模拟预测·节选）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，为的中点. (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取的中点为，连接，由条件可得平面及，进而可得平面，再线面垂直的性质可得线线垂直； 【详解】（1）设的中点为，连接.如图： 由，，得是等边三角形，故. 因为平面 ​平面，平面 ​平面，且平面， 根据面面垂直的性质定理，得平面. 又平面，故. 又因为分别是中点，故是的中位线，所以. 由得，故. 因为，平面，所以平面， 又平面，故. 变式2．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在三棱锥中，，，，记二面角的大小为，，分别为，的中点．    (1)求证：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）取中点，连接，，根据线面垂直的判定定理得到平面，进而可证. 【详解】（1）取中点，连接，.    因为，分别为，的中点，则，. 因为，所以，. 又，，平面，所以平面. 又平面，所以． 考点四 面面垂直的性质 【知识点解析】 一、面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 面面垂直的性质 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直． 二、解题原理 1. 立体几何作垂线核心依据：题目给面面垂直，先找交线； 2. 在面内作交线垂线，直接得到线面垂直； 3. 得到线面垂直后，可继续推导线线垂直、线面平行、构造线面角/二面角。 【例题分析】 例1．（2026·北京丰台·三模·节选）在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点，二面角为直二面角. (1)求证：； 【答案】(1)因为二面角为直二面角，所以平面平面. 正方形中，. 又平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，所以平面. 因为平面，所以. 【分析】（1）根据面面垂直的性质、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）略 例2．（2026·河南·三模·节选）如图，平面平面，四边形为矩形，且，，，，G为线段上的动点（不含端点）．    (1)证明：平面． 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）先用面面垂直的性质定理推导出，再利用勾股定理逆定理证得底面内，得证； 【详解】（1）平面平面ABCD，且平面平面于， 因为四边形ABEF为矩形，所以， 平面，所以平面， 平面，所以， 因为，，易得， 过向作垂线，交于点，易得且， 则四边形为矩形，，则，， 因为，所以， 因为，平面，所以平面ABEF．    例3．（25-26高三下·云南昭通·期中·节选）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. (1)证明：； 【答案】(1)证明见解析 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理，判断线面垂直，得到线线垂直； 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 因为，且点是的中点，所以， 所以平面，平面， 所以； 【变式训练】 变式1．（2026·陕西榆林·模拟预测·节选）把一副三角板按如图所示的方式拼接，，，.将沿翻折至，使得二面角为直二面角. (1)证明：平面； 【答案】(1)证明：二面角为直二面角，即平面平面， 又因为平面，平面平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 由题意平面， 所以平面． 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而根据线线垂直证明平面． 【详解】（1）略 变式2．（2026·黑龙江哈尔滨·三模·节选）如图1，在直角梯形ABCD中，已知，，将沿BD翻折，使平面平面BCD.如图2，的中点为O. (1)求证：平面BCD； 【答案】(1) 因为，的中点为，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质可得平面 【分析】（1）利用面面垂直性质定理即可证明； 【详解】（1）略 变式3．（2026·辽宁朝阳·一模·节选）如图，在四棱锥中，四边形是菱形，平面平面，，，为中点. (1)证明：； 【答案】(1)取中点为，连接， 因为为中点，所以， 因为四边形是菱形，所以 ， 所以 ， 由得， 因为平面平面，平面 平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为平面 ，平面 ， 所以平面 ， 又平面 ，所以 ； 【分析】（1）取中点为，连接，根据面面垂直的性质证明平面，再根据线面垂直的性质证明，再证明平面 ，再根据线面垂直的性质即可得证； 【详解】（1）略 高考真题演练 1．（2026·全国二卷·高考真题）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面， 平面，平面， 所以平面， 故. (2) 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以 ， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得： ，即， 解得：. 所以. 2．（2026·天津·高考真题）在长方体中，，，，，． (1)求证：面； (2)求面与面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)方法一：如图，过点作//,交于点，则有,. 连接,则四点共面,平面即平面. 由，，可得与相似, 所以，则可得,所以. 长方体中，平面， 因为平面，所以. 又,平面，所以平面. 方法二： 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以. 所以， 所以，即. 又,平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）方法一：建立空间直角坐标系，根据平面与平面的夹角的定义转化为异面直线所成的角，利用向量法求该角的余弦值可得；方法二：由面面角的向量求法可得；方法三：作辅助线，可证平面，进而可知平面与平面的夹角为，即可得面面夹角余弦值； （3）方法一：由向量法证明，从而求得的面积，由向量法求得点C到平面的距离，再根据棱锥的体积公式求得三棱锥的体积； 方法二：由向量法求得点A到平面的距离，根据棱锥的体积公式可得三棱锥的体积； 方法三：由（2）可知点到平面的距离为，进而可求三棱锥体积. 【详解】（1）略 （2）方法一：过点作//,交于点，则有，， 连接，则四点共面，平面即平面. 如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ，，所以， 所以. 取的中点P，则，所以， ，所以. 所以异面直线与所成的角等于平面与平面的夹角. 又， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法二：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系. 则. 所以， 设平面的法向量为， 则，故可取. 由（1）知平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为. 方法三：由题意可知：，，， 则，则， 过点作，设，，连接， 由（1）可知：平面，则平面，可得，， 且，平面，可得平面，则， 可知平面与平面的夹角为， 因为，，， 则，可得，， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为； （3）方法一：由，，得， 所以. 所以的面积为. 由（2）知，平面的一个法向量为， 点C到平面的距离为. 所以三棱锥的体积， 所以三棱锥的体积为. 方法二：点A到平面的距离为. 因为//，所以到的距离相等， 所以的面积等于的面积，即. 所以三棱锥的体积为. 方法三：由题意可知：，，，， 则的面积， 由（2）可知点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积. 3．（2025·天津·高考真题）正方体的棱长为4，分别为中点，． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1) 法一、在正方形中， 由条件易知 ，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； (2) (3) 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； （3）由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 4．（2025·全国一卷·高考真题）如图,在四棱锥中，底面，． (1)证明：平面平面； (2)设，且点，，，均在球的球面上． （i）证明：点在平面内； （ⅱ）求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：由题意证明如下， 在四棱锥中，⊥平面，， 平面，平面， ∴，， ∵平面，平面，， ∴平面， ∵平面， ∴平面平面. (2)（i）证明：由题意及（1）证明如下， 在四棱锥中，，，，∥， ，， 建立空间直角坐标系如下图所示， ∴， 若，，，在同一个球面上， 则， 在平面中， ∴， ∴线段中点坐标， 直线的斜率：， 直线的垂直平分线斜率：， ∴直线的方程：， 即， 当时，，解得：， ∴ 在立体几何中，， ∵ 解得：， ∴点在平面上. （ii）. 【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直； （2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论； （ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值. 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得， ， 设直线与直线所成角为， ∴. 法2： 由几何知识得，， ，∥， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 过点作的平行线，交的延长线为，连接，， 则，直线与直线所成角即为中或其补角. ∵平面，平面，， ∴， 在Rt中，，，由勾股定理得， ， 在Rt中，，由勾股定理得， ， 在中，由余弦定理得， ， 即： 解得： ∴直线与直线所成角的余弦值为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高三数学一轮复习讲义 立体几何：线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定与性质复习讲义 考点一 线面垂直的判定 考点目录 线面垂直的判定 面面垂直的判定 线面垂直的性质 面面垂直的性质 【知识点解析】 一、线线垂直的常见证明方法 (1)勾股逆定理 (2)等腰三角形三线合一 (3)菱形的对角线 (4)矩形的邻边 (⑤)正方形对角线与邻边 (6)圆直径所对圆周角 (7)线面垂直的性质 (8)向量数量积 ※若提及空间中两个角相等，应证明全等，进而得到边相等，利用等腰三角形的性质 ※若菱形有一内角为60°，则120°角顶点与对边中点的连线与对边垂直 二、线面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一条直线与一个 1⊥m l⊥n 线面垂直的判定 平面内的两条相交直线垂 =→l⊥a m∩n=O m、nca 直，那么该直线与此平面 垂直 三、解题原理 2027届高三数学一轮复习讲义 1.在平面内找两条相交直线，分别证目标直线与它们垂直： 2.垂直来源：勾股逆定理、等腰三角形三线合一、面面垂直性质： 3.易错：只垂直平面内一条直线，无法证线面垂直。 1 2027届高三数学一轮复习讲义 【例题分析】 例1.(2026广西河池模拟预测节选)如图，在RtAABC中，∠C=90°，BC=3,AC=6,D,E分别在AC, B上，满起而-号C,G-号，将。A0E5DE折起到△ADE的位，使4C⊥cD,点M在线段4D上. 3 3 B M D E AC⊥ (1)求证： 平面 BCDE 例2.(25-26高一下福建厦门阶段检测节选)如图，梯形ABCD中，AB/CD,BC⊥AB,BC=CD=2, AB=4,将△BCD沿BD翻折至△BPD,使得平面APD⊥平面BPD. D D D BA B (1)证明：直线AD⊥平面BPD; 2027届高三数学一轮复习讲义 创3.(2026山东青岛三膜节选)如图，在矩形4BCD中、8=2，D=25.E为线段4D中点，将△8CD 沿BD翻折至△BPD,使得AP=2. B B F D E (I)证明：PE⊥平面ABD: 【变式训练】 变式1.(2026江苏南通模拟预测节选)如图，在直三棱柱 BC-ABC中，D为BC的中点，MB=AC.且 AB LAC By CCB (1)证明： AD上平面 2027届高三数学一轮复习讲义 变式2.(2026·安徽合肥棋拟预测节选)如图①所示，四边形ABC巴是直角梯形，BC1/A犯，AB上A№，且 BC=B=240,D为线段40的中点.现沿着CD将△0CD折起，使Q点到达p点，如图②所示：连接PA PB,其中M为线段PA的中点. D A B B ① ② (I)求证：DM⊥平面PAB; 变式3.(2026山东烟台模拟预测节选)如图，在正三棱柱 ,AA和BC的中点 BC-ABC中，M,N分别为1和 A B M B (I)证明：BC⊥平面AMN: 2027届高三数学一轮复习讲义 考点二 面面垂直的判定 【知识点解析】 一、面面垂直的判定 图示 文字表示 数学语言表示 如果一个平面过另一 fl⊥a →a⊥阝 1CB 面面垂直的判定 个平面的垂线，那么这两 个平面垂直. 二、解题原理 1.核心路径：先证线面垂直，再推面面垂直： 2.先在一个平面内找一条直线，证明它垂直另一个平面，直接得出面面垂直。 【例题分析】 例1.(2026河北秦皇岛·一模节选)如图，在三棱锥A-BCD中，其外接球球心为BD的中点O,平面ABD⊥平 已知MC=V2BC=V3,BD=2 面BCD (I)求证：平面AOC⊥平面BCD 6 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(25-26高一下广东广州期中·节选)如图1，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O 为BD的中点，△OCD是边长为2的等边三角形. A 以D 图1 图2 (1)证明：平面AOC⊥面BCD: 例3.(2026~江苏连云港模拟预测节选)如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AC与 BD相交于点O, P D C (I)证明：平面PAC⊥平面PBD: 个 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026山东潍坊三模节选)如图，在三棱锥P-ABC中，D为BC上一点，DC=2,PC=CA=2√2， BP=BA. (I)证明：线段PA上存在一点E,使得平面PAD⊥平面BCE; 变式2.(2026山东济南模拟预测节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD PA=AB=2,E和F分别为线段PB和BC上的动点. B (I)当E为线段PB的中点时，证明：平面AEF⊥平面PBC: 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.(2025宁夏内蒙古模拟预测节选)在平面四边形ABCD中，AB=AC=CD=1, ∠ADC=30°，∠DAB=120°△ACD ACP ,将 沿AC翻折至 (I)设PC⊥AB,三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的球面上 (i)证明：平面PAC⊥平面ABC; (ii)求球O的半径； 9 2027届高三数学一轮复习讲义 考点三 线面垂直的性质 【知识点解析】 一、线面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 一条直线与一个平面 1⊥ →l⊥m mca 线面垂直的性质 垂直，该直线与该平面内 任意一条直线垂直 二、解题原理 1.证线线垂直：已知线面垂直，直接得直线与面内任意直线垂直； 2.证线线平行：两条直线同垂直一个平面，直接判定平行。 【例题分析】 BA=BC=BB=2 例1.(2026高二下浙江温州学业考试·节选)如图，在直四棱柱 CD-4BCD中. AC=CD,AC⊥BD A D B C B AC⊥BD (1)证明： 10 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(2026四川广安模拟预测节选)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,BC=CD,∠BAD=90°， ∠BCD=6O°.将△ABD沿BD翻折至△PBD(P为点A的对应点)，使得平面PBD与平面BCD垂直. A. B (I)证明：BD⊥PC: 例3.(2026辽宁三模节选)在长方体 8CD-ABC0中，AB=AD=2,4=4,E为技CG上的动点（不 C C 包含端点 D B D (I)证明：BD⊥AE; 11 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 ABC-ABC中，平面 平面BC AACC⊥ 变式1.(2026四川绵阳模拟预测节选)如图，在三棱 AA=AC=2∠AAC=60°，∠ABC=90°，D为MB的中点 B 9 A,D⊥AB (1)求证： 变式2.（2526高一下浙江宁波期中)如图，在三棱锥A-BCD中，∠ACD=∠BDC= 2,AC=BD=1' CD=x,记二面角A-CD-B的大小为日，M,N分别为AD,BC的中点. M D (I)求证：CD⊥MN: 12 2027届高三数学一轮复习讲义 考点四 面面垂直的性质 【知识点解析】 一、面面垂直的性质 图示 文字表示 数学语言表示 两个平面垂直，如果 a⊥B a∩B=m 面面垂直的性质 一个平面内有一直线垂直 →l⊥ l⊥m ICB 于这两个平面的交线，那 么这条直线与另一个平面 垂直. 二、解题原理 1.立体几何作垂线核心依据：题目给面面垂直，先找交线： 2.在面内作交线垂线，直接得到线面垂直： 3.得到线面垂直后，可继续推导线线垂直、线面平行、构造线面角/二面角。 【例题分析】 例1.(2026~北京丰台三模节选)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PC⊥PD, PC=PD,O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角 D D (I)求证：PB⊥PD; 13 2027届高三数学一轮复习讲义 例2.(2026河南三模节选)如图，平面4BEFL平面MBCD,四边形ABEF为矩形，且E=V5,MD/BC, BC⊥CD,，AD=2BC=2CD=2,G为线段CE上的动点（不含端点）· B D (I)证明：BD⊥平面ABEF. 例3.(25-26高三下·云南昭通期中·节选)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O 为BD的中点： (1)证明：OA⊥CD, 14 2027届高三数学一轮复习讲义 【变式训练】 变式1.(2026~陕西榆林·模拟预测节选)把一副三角板按如图所示的方式拼接，AB=AC=6, ∠BAC=∠BCD=90°，∠CBD=30°.将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P-BC-D为直二面角. (I)证明：PB⊥平面PCD: 变式2.（2026黑龙江哈尔滨三模节选)如图L,在直角梯形4BcD中，已知1B/CD,MB=4D-DC=V5, 将△ABD沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.如图2，BD的中点为O. A B H G D D 图1 图2 (1)求证：AO⊥平面BCD: 15 2027届高三数学一轮复习讲义 变式3.(2026辽宁朝阳·一模节选)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是菱形，平面PAB⊥平面 PA=PB=3 ABCD 2 ,∠ABC=60°，M为AD中点， A- 、M D (I)证明：PM⊥AC」 16 2027届高三数学一轮复习讲义 高考真题演练 1. (2026全国二卷高考真题)如图，三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD D B (I)证明：CD⊥AB; 2)DE=2.BE=1 AE=CD=23 。求直线4D与平面1C所成角的正弦值 2.(2026天津高考真题)在长方体 CD-ABCD中，B=2,M-3,4D=4,4E=3ED.2CF=FC D E C B (I)求证：BD⊥面CEF; (2)求面AEF与面CEF的夹角的余弦值： (3)求三棱锥A-CEF的体积. 17 2027届高三数学一轮复习讲义 ABCD-ABCD 3.(2025天津·高考真题)正方体 的枝长为4BF分别为10，C8中点，CG=3GC D B (I)求证：GF⊥平面FBE: (2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值： (3)求三棱锥D-FBE的体积. 4.(2025·全国一卷·高考真题)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BCIIAD A D B (I)证明：平面PAB⊥平面PAD; (2)设 PA=AB=2,BC=2,AD=1+3 3,且点P,8,C,D均在球O的球面上. (i)证明：点O在平面ABCD内： (ⅱ)求直线AC与PO所成角的余弦值. 18