第46练 指数函数与对数函数的应用《数学》基础模块下册（高教版第三版）《一课一练》(原卷版+解析版)

**基本信息** 中职数学《一课一练》第46练以指数函数与对数函数应用为核心，通过基础认知、应用理解、综合拓展三层设计，实现从单一公式应用到复杂情境建模的知识巩固路径，培养数学应用意识与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|指数对数函数公式直接应用|单选（人口增长、污水降低率）、填空（细菌分裂、包装垃圾增长），聚焦概念理解与基本运算| |应用理解|函数性质辨析与多情境应用|多选（地震能量与震级关系、燕子飞行速度与耗氧量），强化知识迁移与批判性思维| |综合拓展|复杂问题建模与分段函数应用|解答题（产量增长、注意力指数分段函数），融合实际情境，发展数学建模与逻辑推理能力|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第五章 指数函数与对数函数 第 46 练 指数函数与对数函数的应用 一、单项选择题 1．某城市人口以每年的增长率增长，现在人口数为，则年后该城市人口数与的函数关系为（    ）. A． B． C． D． 2．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（   ） A． B． C． D． 3．某种机械润滑油的保质期（单位：月）与储存温度（单位：）满足.当储存温度为时，保质期为（    ）.（ ） A．月 B．月 C．月 D．月 4．某机械的功率（单位：瓦特）与运转速度（单位：转 / 分钟）的关系为.当功率瓦特时，机械的运转速度约为（   ）. A．转 / 分钟 B．转 / 分钟 C．转 / 分钟 D．转 / 分钟 5．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升属于酒驾.假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（    ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾.（参考数据：）. A．7 B．8 C．9 D．10 二、多项选择题 6．研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（    ） A．震级为2级的地震释放能量为焦耳 B．释放能量为焦耳的地震震级为3级 C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍 D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级 7．燕子每年都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度可以表示为，其中表示燕子的耗氧量，则下列说法正确的是（    ） A．燕子静止时的耗氧量为0 B．燕子的飞行速度是时，其耗氧量是40个单位 C．燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是 D．燕子的耗氧量为40个单位时，其速度是 8．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积超过 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 三、填空题 9．某机械零件的磨损程度与使用时间（单位：小时）满足对数函数关系，当时，，则当时，________. 10．某种细菌在培养的过程中，每分裂一次（一个分裂为两个），经过，这样的细菌由一个分裂为________个． 11．有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 12．某机械臂的摆动角度（单位：度）与运转次数满足对数函数.当运转次时，摆动角度，则当运转次时，摆动角度________. 四、解答题 13．某工厂2020年生产某种产品2万件，计划从2021年开始，每年的产量比上一年增长，经过多少年，该工厂生产的这种产品的年产量达到12万件？ 14．专家研究我校一年级学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． (1)试求的函数关系式． (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第五章 指数函数与对数函数 第 46 练 指数函数与对数函数的应用 一、单项选择题 1．某城市人口以每年的增长率增长，现在人口数为，则年后该城市人口数与的函数关系为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意列出函数关系即可得解. 【详解】现在人口数为，人口增长率为，所以年后人口数， 故选：. 2．为改善环境，某城市对污水处理系统进行改造．三年后，城市污水排放量由原来每年排放125万吨降到27万吨，那么污水排放量平均每年降低的百分率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数模型求解即可. 【详解】设污水排放量平均每年降低的百分率为p， 则有，即， 故， 所以污水排放量平均每年降低的百分率是. 故选：B． 3．某种机械润滑油的保质期（单位：月）与储存温度（单位：）满足.当储存温度为时，保质期为（    ）.（ ） A．月 B．月 C．月 D．月 【答案】D 【分析】由题目所给函数的解析式，代入即可得解. 【详解】由题意，当时，， 因为， 所以，最接近月. 故选：D. 4．某机械的功率（单位：瓦特）与运转速度（单位：转 / 分钟）的关系为.当功率瓦特时，机械的运转速度约为（   ）. A．转 / 分钟 B．转 / 分钟 C．转 / 分钟 D．转 / 分钟 【答案】B 【分析】根据题意列出方程即可得解. 【详解】已知，当时，，即 ， 解得转 / 分钟， 故选：. 5．根据国家有关规定：驾驶人血液中的酒精含量大于（或等于）0.2毫克/毫升属于酒驾.假设某驾驶员一天晚上6点钟喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到1毫克/毫升，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小时的速度减少，则他次日上午最早（    ）点（结果取整数）开车才不构成酒驾.（参考数据：）. A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾，则，由对数的运算性质解不等式即可得出答案. 【详解】假设经过小时后，驾驶员开车才不构成酒驾， 则，即，， 则， ，次日上午最早点，该驾驶员开车才不构成酒驾. 故选：D. 二、多项选择题 6．研究表明，地震时释放的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则（    ） A．震级为2级的地震释放能量为焦耳 B．释放能量为焦耳的地震震级为3级 C．9级地震释放能量是8级地震释放能量的10倍 D．释放能量之比为的两场地震的震级相差2级 【答案】BD 【分析】利用给定的关系式，逐项计算判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，解得，A错误； 对于B，当时，，解得，B正确； 对于C，令9级地震释放能量为，8级地震释放能量为， 则，于是，C错误； 对于D，释放的能量为，对应的震级为，释放的能量为，对应的震级为， 则，且，两式相减得，解得，D正确. 故选：BD 7．燕子每年都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度可以表示为，其中表示燕子的耗氧量，则下列说法正确的是（    ） A．燕子静止时的耗氧量为0 B．燕子的飞行速度是时，其耗氧量是40个单位 C．燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是 D．燕子的耗氧量为40个单位时，其速度是 【答案】BC 【分析】根据对数函数运算法则及应用，结合题意，即可代入求解． 【详解】因为燕子的飞行速度可以表示为，其中表示燕子的耗氧量， 当燕子静止时，速度为，即， 所以， 即燕子静止时的耗氧量为10，故选项A错误； 当燕子的飞行速度是时，即， 所以，即，所以， 即燕子的飞行速度是时，其耗氧量是40个单位，故选项B正确； 当燕子的耗氧量为80个单位时，其速度，故选项C正确； 燕子的耗氧量为40个单位时，其速度，故选项D错误； 故选：BC． 8．如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为，关于下列说法正确的是（    ） A．浮萍每月的增长率为2 B．浮萍每月增加的面积都相等 C．第4个月时，浮萍面积超过 D．若浮萍蔓延到所经过的时间分别是，则 【答案】ACD 【分析】先根据图象求出函数解析式，然后逐个分析判断 【详解】由图可知，过，所以，， 对A，由为指数函数，为爆炸式增长， 每月增长率为， 故每月增长率为2，故A正确； 对B，第一个月为3，第二个月为9，第三个月为27， 浮萍每月增加的面积不相等，所以B错误， 对C，， ，故C正确； 对D，， 所以，， 所以，故D正确， 故选：ACD 三、填空题 9．某机械零件的磨损程度与使用时间（单位：小时）满足对数函数关系，当时，，则当时，____. 【答案】 【分析】首先根据当时，求出函数表达式，再将代入求解. 【详解】把，代入，可得，即. 即，解得. 所以函数为，当时，. 故答案为：1. 10．某种细菌在培养的过程中，每分裂一次（一个分裂为两个），经过，这样的细菌由一个分裂为_______个． 【答案】512 【分析】先计算内细菌分裂的次数，再根据每次分裂后细菌数量的变化规律求出最终的细菌数量. 【详解】已知细菌每分裂一次，则，即内分裂的次数为次. 由于细菌一个分裂为两个，即每次分裂后细菌的数量都是前一次的2倍. 那么经过1次分裂后细菌有个；经过2次分裂后细菌有个； 以此类推，经过9次分裂后细菌有个. 故答案为：512. 11．有关数据显示中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%.有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从________年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)． 【答案】2021 【详解】 设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×，令y＞4 000，则>10，两边取对数可得n(lg 3－lg 2)>1，∴n>，∵≈5.7. ∴从2015＋6＝2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4 000万吨 12．某机械臂的摆动角度（单位：度）与运转次数满足对数函数.当运转次时，摆动角度，则当运转次时，摆动角度____. 【答案】/ 【分析】由题意求出对数函数的解析式，再代入即可求解. 【详解】由题意，把，代入，可得，即， 根据对数定义，所以函数为； 当时，，所以. 故答案为：. 四、解答题 13．某工厂2020年生产某种产品2万件，计划从2021年开始，每年的产量比上一年增长，经过多少年，该工厂生产的这种产品的年产量达到12万件？ 【答案】 【分析】设经过年，由题意可列指数方程，解出即可. 【详解】设经过年，该工厂生产的这种产品的年产量达到12万件， 由题意，某工厂2020年生产某种产品2万件， 计划从2021年开始，每年的产量比上一年增长， 可得，即， 两边取对数可得，， 所以， 由于取正整数， 所以经过年，该工厂生产的这种产品的年产量达到12万件. 14．专家研究我校一年级学生上课注意力集中的情况，发现注意力指数与听课时间（单位：）之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象（其对称轴为）的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分．专家认为，当注意力指数大于或等于80时定义为听课效果最佳． (1)试求的函数关系式． (2)若不是听课效果最佳，建议老师多提问，增加学生活动环节．请问应在哪一个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节？并说明理由． 【答案】(1) (2)和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节，理由见解析 【分析】（1）根据题目信息和图象，分和两种情况，代入点，求出解析式； （2）分和两种情况，得到不等式，解不等式求出解集，得到结论. 【详解】（1）当时，设，将代入得， ，解得， 故， 将代入得， 解得， 故， 综上， （2）时，令， 解得， 时，，解得， 故和这两个时间段建议老师多提问，增加学生活动环节. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $