山东东营市2025-2026学年高一下学期期末学业质量评价数学试题

秘密★启用前 2025一2026学年第二学期期末学业质量评价 高一数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。 2.回答选择趣时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应趣目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡 上.写在本试卷上无效。 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选 项是正确的， 1.已知向量a,元满足回=3，同=2，<d,c>=背，则a·t= A.35 B.3 C.6 D.9 2.下列四个函数中，以1为最小正周期，且在区间（作，1）上单调递减的是 A.y=cos号 B.y=tan x C.y=sin|πx D.y=lsinπxl 3.已知复数1=cos号+ism,2=cos号+isn号则21z2的虚部等于 A.月 B.- 2 C. D.-2 4.在4ABC中，已知a2tanB=b2tanA,则4ABC的形状为 A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形或直角三角形 5.已知v3sina-cosa=2,那么cos(侣-a)= A.9 B.-2 c.9 D.-2 6.在4ABC中，2AD=DC,E是线段BD上的一点，若A正=mA正+DC,则m= A.君 B.} c.月 D.8 高一数学试题第1页共4页 1设a=cos7”-9sn7,b= 1-c0s48 2an13° ,C= 1-tan213' 则有 2 A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b 8.如图，四边形ABCD为矩形，其中AB=4,AD=2,其上方是一个以 CD为直径的半圆，P为半圆弧上的一个动点，则PA.PB的取值范围为 A.[4,12] B.[8,16] C.[4,16] D.[8,12] 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.己知向量a=(-3,2),万=(1,2)，=（亿，-1），1eR,则下列说法正确的有 A.若心，则入= B.若6与的夹角为纯角，则A的取值范围是(-∞，2) C.若a+b)1,则入=2 D.向量a在向量石上的投影向量为（传） 10.下列说法正确的有 A.已知a=2,b=23,A=30°，则C=90 B.已知复数z=1一2i,复数0满足|w-z引=1，则川川的最小值为v5-1 C.a6内=d.b而t D.4ABC中，若而=A(隔+需)，AE0,+),则动点P的轨迹一定通过4ABC的内心 11.某小型风力发电机中心为坐标原点0，初始时刻叶片端点质点M位于位置M(4,0).定义一 次叶片旋缩运动：电机带动质点M绕原点顺时针旋转12°，同时叶片弹性伸长，质点M到转轴 原点O的距离变为原米的2倍.从初始位置M,出发，连续完成次旋缩运动后质点M的位置记 为M1,M2,…Mn·下列说法正确的是 A.完成1次旋缩运动后，M1的坐标为(8cos12°，8sin12) B.记Mn坐标为(xn,yn)则xn-yn=2n+2V2sin(I2n+45y° C.第35次、第70次运动后质点与原点构成△0M35M0,该三角形面积为2107V3 D.若质点M到转轴原点的距离大于1250时叶片会触发过载警报，则触发警报的最小运 动次数正整数n=9 高一数学试愿第2页共4页 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分 12.己知角a的终边经过点P(4,-3),则sin2a= 13.已知点0是4ABC内部一点，并且满足OA+OB+2OC=0,4B0C的面积为S1,4A0B的面 积为5，则暖 14.目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见 到5G基站的身影.某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，己知基站高 AB=48m,该同学眼高1.65m(眼睛到地面的距离)，该同学在初始位置C处（眼晴所在位 置)测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°，求得山高为 m (用参考数据进行计算，山高为B到地面的距离)：当该同学面向基站 AB前行时，记该同学所在位置C处到基站AB所在直线的距离为xm, 且记在C处观测基站底部B的仰角为a,观测基站顶端A的仰角为B.试 问当x= m(保留精确值)时，观测基站的视角∠ACB最大？ (数据：V2≈1.4，sin8°≈0.14，sin37≈0.6，sin127°≈0.8) 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤 15.(I3分)在AABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=号csin B+bcosC (I)求角B: (2)若D是边AC的中点，a=2,4ABC的面积为35，求BD. 2 16.(15分)已知0<a<-<B<0,cos(低+a)=3sin(任-月= ()求cos(a+)的值： (2)求tanB的值. 高一数学试题第3页共4页 17.(I5分)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，E是AB的中点，AF=AD, D BG=BC(0<1<1),H为BD与FG的交点. ()当入=时，用AB,AD表示E乎，E元. (2)是否存在实数入，使得E示⊥E元？若存在，求出入的值：若不存在，说明理由. (3)求E丽·EB的取值范围. 18.(17分)记4ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,若n(A+望 sin2B 1+sinA 1-c0s(2B-T) )若C=号求B: (2)求A+2B: 6)当2+取最小值时，求c0528的值. 19.(17分)已知复数z=a+bi(a,b∈R)的三角形式是z=r(cos0+i·sin8),其中r是复数z 的模，0是复数z的辐角.当0∈[0,2π)时，8称为辐角的主值，记为agz.复数的三角形式在复 数的乘法运算中有非常直观的几何意义：若z1=r1(cos01+1·sin01),22=T2(cos02+i· sin02),则z1·22=r1r2cos(01+62)+isin(01+02)].即模相乘，辐角相加. (I)写出复数z=1+√3i的三角形式，并计算z2,z3的三角形式，由此归纳出z"(n∈N)的三角 形式： (2)设a是复数21的辐角主值，B是复数2的辐角主值，且a+B∈(0,2π)， 若zl=22l=1,(a1+z-2z1z2)eR,求anan号的值 (3)设复平面上单位圆内接正八边形的8个顶点对应的复数依次为21,2，，%（逆时针顺序）， 其中21=1.求复数z026,z2026,,2026在复平面所对应不同点的个数. 高一数学试题第4页共4页 2025一2026学年第二学期期末学业质量评价 高一数学答案 一、选择题 1.B2.D3.A4.D5.C6.C7.A8.A 二、选择题 9.AD 10.BD 11.BCD 三、填空题 12.-若 13. 14.145.65(2分) 96v3(3分) 四、解答题 15.(1)由题意知，在4ABC中，√3a=csin B+V3 bcos C, 由正弦定理得v3sinA=sin BsinC+√3 sin B cosC, "A+B+C=π，v3sin[r-(B+C)】=sinBsinC+3 sin BcosC, 即V3sin(B+C)=sinBsinC+V3 sin BcosC,…3分 .3sin B cos C+v3 cos B sin C sin B sin C+v3 sin B cos C, .(3 cos B-sin B)sin C=0, 又sinC≠0，√3cosB-sinB=0,解得tanB=V3,…5分 又：Be(0,)B= ……6分 （2)y5aMc=39 acsinB=39ac=3…7分 yD是边AC的中点B而=(B☑+B沉）… …8分 o-}d网++2丽.0=4e+a2+2acos8) =(c2+a2+2 accosB)=×(9+4+2×3×2×3)=2 …12分 BD=BD=厘 …13分 16.(1)y0<a<,4<号+a<要，因为cos(经+a)=>0,+ae(经)， sin(+网>0，sin(经+a)）=22 …2分 -<B<0-<<0 ππBπ 4<4-2<2 “cos(月-)>0,4cos(月-9)=h-(学2-9 …4分 “cosa+号)=cosk原+a)-(月-)=片x9+9x9=g …7分 (2)由二倍角公式得sin(经-B)=sin2(-】=2sin(-)cos(-) cosf=sin(经-)=2×9x普9=2g=2g5= …10分 3 由二倍角公式得cos(号-)=cos2(行-】=1-2sin2(号-) sin8=cos(爱-)=1-2×(52=1-2×号=1-号=-号=-…13分 an=瑞器==-号 …15分 17.(I)因为E是AB的中点，所以A正=A丽， 所以酥=F-正=而-A丽配=E丽+c=丽+B屁=A丽+而…4分 (2)因为AB.A而=A·D1cosA=4×4×3=8. 又因为乎=而-丽，武=丽+而， 所以承.武=(-丽+而)（丽+而=-那+（哈-丽：而+那 =-×16+(后-×8+×16=-3+0，故不存在满足示1元.…9分 (3)连接AH,因为FGn BD=H,所以B、H、D三点共线及F、H、G三点共线 设A丽=xA店+(1-x)AD,@ 设F丽=mF元，则A丽-AF=m(AC-AF,即A丽-上A丽=m(A丽+AD-AB) 得丽=mA店+(+mAd.@…l1分 庙回@得，工三+m,解得x三………分 x=m 所以E丽=A丽-AE=xAB+(1-x)A而-AB=(x-)AB+(1-x)AD 所以E丽.E丽=[x-)A店+(1-x)A而·A店=（货-A+之A丽.A而 =(原-)×16+受×8=4x=品 …14分 由0<<1，得3<3+4以<7，所以吲<<分号<品<4 所以丽·历的取值范围为（号，4）. ……小5分 18.(1)由题意知，o4 sin2B 1+sing 1+cos2B 从而cosA+cosAcos2B=sin2B+sin2 BsinA 所以cosA+cosAcos2B-sin2 BsinA=sin2B 因为C=否，所以A、B为能角，A+B=号 2π 所以cos(G-B+cos(A+2B)=sin2B, …3分 所以cos(G-B)+cos(（G-B+2B）=sin2B 所u吃o+9n+号8- 1 sinB =sin2B 所以cosB=sin2B,所以cosB=2 sinBcosB, 因为B为锐角，所以cosB=2 sinBcosB,所以sinB=方，从而B=: …5分 (2)由(1)可知： COSA sin2B 所以 msn生 2sinBcosB sinB 1+sinA 1+0os2B’ (co+sn 1+2c0s28-, 所以 …7分 cos2 +sin cosB 所以-an sinB 1+tan 故tan(任-)=tanB,因为A,B∈(O,,且B≠ 所以-2e(》所以由an(低-)=tanB,所以g-=B,即A+2B=…1分 (3)由(2)可知A+2B=爱所以有A=-2B,C=m-A-B=+B, 显然A,B为锐角，C为钝角，由正弦定理得 g2+2=n+m21-n2侵28ne=os228+m20-2co2B-l1-cos2=4eoB-5o20+2…14分 2 sin2C sin2(B) cos-B Cos2B cos2B =4eos2B+0-5之24cos2B。-5,当且仅当4cos2B=时取等号，…15分 当cos2B=2时， 有最小值4W2-5, 此时c0s2B=2cos2B-1=2×号-1=V2-1.… …17分 19.解：(1)z=1+V3i,故l以=2，argz=故z=2(cos+isin) 子=4(o+ih9.2=8cosr+i动 2=2(c0s号+isin）(n∈N).4分 (2)由题意z1=cosa+·sin,z2=cosB+i·sinB, 则a1·22=cos(a+)+isin(a+)"(a1+z2-2z122)∈R, 2sin (a+B)=sin a+sin B=sin (sin =2sincos 即sin(a+)=sin9cos号…6分 2 又因为sin(a+)=2sim学号cos学所以sin生(2cos学-cos月）=0.…8分 因为a+B∈(0,2n),则sin些≠0，所以2cos-cos=0. 2 2 即cos受cos号=3sin2sin号所以an"tan号= …10分 (3)正八边形每边对应的圆心角为，故任意一个顶点逆时针旋转可得到下一个项点， 即2k=4-(cos+i-sin月-=cos-+1sin-,k=1.2,3.8.…12分 故z026=cos2026k-1+t·sin2026k-1=cosk-+t·sin-1严， 2 …14分 4 2 当k=1时，得a=cos0+isin0=1,k=2时，得2=cos号+isin2=i, k=3时，得z=cos受+isin受=-1，k=4时，得z4=cos受+isin受=-i, k=5时，得z5=cos誓+sin誓=1，… 发现后续k=5,6,7,8依次重复k=1,2,3,4的结果.对应的不同复数为：1，，-1，-， 所以在复平面所对应不同点的个数为4。…17分