动量守恒定律的应用：弹性碰撞中的动碰静问题、弹性碰撞中的动碰动问题 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 聚焦弹性碰撞两类核心模型，通过“条件-公式-结论”三级方法体系构建解题框架，强化运动与相互作用观念，培养模型建构与科学推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |弹性碰撞中的动碰静问题|3例+3变式|模型条件→简化速度公式→三种特殊质量关系结论（速度交换等）|从静止靶体碰撞模型出发，结合机械能守恒推导公式，通过质量关系分类归纳结论，延伸至传送带、圆弧轨道等综合场景| |弹性碰撞中的动碰动问题|3例+3变式|模型条件→通用速度公式→同向追击/相向对撞分类|基于双运动体碰撞模型，推导普适公式，按速度方向分类应用，结合摩擦生热、弹簧作用等复杂过程训练综合分析能力|

动量守恒定律的应用：弹性碰撞中的动碰静问题、弹性碰撞中的动碰动问题专项训练 动量守恒定律的应用：弹性碰撞中的动碰静问题、弹性碰撞中的动碰动问题专项训练 考点目录 弹性碰撞中的动碰静问题 弹性碰撞中的动碰动问题 考点一 弹性碰撞中的动碰静问题 核心知识点 1. 模型条件：初始静止，；以初速度撞击静止物体。 1. 简化后速度公式 1. 三种特殊结论 ① ：，速度完全交换； ② ：，大物体速度几乎不变，小物体以2倍初速弹出； ③ ：，小物体原速反弹，大物体几乎不动。 例1．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图1所示，物块乙放置在水平面上的A点，A的右侧光滑，左侧粗糙。质量为m的物块甲（装有竖直轻质硬细杆）放置在A点右侧，长度为L的轻质细线一端固定在细杆的上端，另一端连接质量为m的小球，甲、乙及小球均视为质点。现将小球由静止释放，释放时细线水平伸直，当小球运动到最低点时，甲正好运动到A点与乙发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后甲、乙的速度等大，之后乙向左运动到B点时速度减为0。乙与AB间的动摩擦因数随到B点的距离变化的图像如图2所示，其中x0（未知）为A、B两点间的距离，重力加速度为g，运动过程中小球与竖直杆始终不接触。求： (1)甲、乙碰前瞬间甲的速度大小； (2)乙的质量以及A、B两点间的距离x0； (3)甲、乙碰后瞬间细线对小球拉力的大小，以及甲、乙碰后小球运动到最高点时小球到杆顶端的竖直距离。 【答案】(1) (2)3m， (3)， 【详解】（1）选取水平向左的方向为正方向，小球与甲组成的系统水平方向动量守恒，则有 整个系统机械能守恒，则有 联立解得， （2）甲、乙发生弹性碰撞，碰撞后二者的速度等大，则有碰撞后 设乙的质量为，根据动量守恒定律可得 根据能量守恒可得 解得，， 乙从A到B，由图像可知，摩擦力所做的功 由动能定理可得 解得 （3）甲、乙碰撞刚结束时，对小球由牛顿第二定律可得 解得 甲乙碰撞后，小球与甲组成的系统水平方向动量守恒，小球运动到最高点时，小球与甲具有共同的速度，则有 小球与甲组成的系统机械能守恒，则有 小球到杆顶端的距离 联立解得 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）如图所示，光滑水平面上固定质量为、倾角为的斜面，在斜面右侧有个质量均为的物块，质量为的滑块从光滑斜面顶端由静止释放。已知，取。 (1)求滑块到达斜面底端时的速度大小。 (2)斜面底端有一小圆弧，使斜面和地面平滑连接。 ①若所有的碰撞均为完全非弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 ②若所有的碰撞均为弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 【答案】(1) (2)① ② 【详解】（1）斜面固定且光滑，滑块下滑过程机械能守恒 解得 （2）①水平面光滑，所有碰撞完成后最终共速，系统动量守恒。总质量为滑块质量加个物块质量 由动量守恒 代入整理得 ②第一次碰撞：滑块质量，碰静止的第1个物块（质量） 由动量守恒可得 机械能守恒可得 解得弹性碰撞后速度为， 第1个物块会碰撞前方静止的第2个物块，两个物块质量相等，弹性碰撞会交换速度，碰撞后第1个物块速度变为0，速度传递给第2个物块，依次最终第个物块速度为 第二次碰撞：滑块质量，碰静止的第1个物块（质量） 由动量守恒可得 机械能守恒可得 解得弹性碰撞后速度为， 第1个物块会碰撞前方静止的第2个物块，两个物块质量相等，弹性碰撞会交换速度，碰撞后第1个物块速度变为0，速度传递给第2个物块，依次最终第个物块速度为 依此类推第1个物块的最终速度大小为 例3．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图所示，粗糙平台左、右两端分别放置小物块A、B，给A一水平向右的初速度，A运动到平台右端与B发生弹性碰撞，B离开平台后恰好能从点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道C，C不固定，其半径，圆心角，最低点与光滑水平面平滑连接。传送带以的速度顺时针匀速转动，左右两端均与光滑水平面平滑连接，B与固定竖直挡板碰撞后反弹，速率变为碰前速率的一半。已知A、B、C质量分别为、、，平台长度，传送带长度，A与平台之间及B与传送带之间的动摩擦因数均为，重力加速度大小，，求： (1)B离开平台时的速度大小； (2)B运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小； (3)B与传送带因摩擦产生的总热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设A碰撞前、后的速度分别为、， 碰撞前，以A为研究对象，根据动能定理得 解得 A与B发生弹性碰撞，根据动量守恒 根据机械能守恒得 联立解得 （2）碰撞后，物块B平抛运动到点时的速度 物块B从点运动到最低点的过程中，B和C组成的系统水平方向动量守恒。 设物块B运动到最低点时的速度为，圆弧轨道的速度为，根据水平动量守恒得 根据机械能守恒得 联立解得， 物块B经过圆弧轨道最低点时受到轨道的支持力为，根据牛顿第二定律 根据牛顿第三定律，B运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小 解得 （3）因为，则物块B在传送带上先减速，设经过时间和传送带共速，根据 解得 此时物块B向右运动的距离 ，故物块B在传送带上先减速后匀速，此过程产生的热量 物块B第1次与挡板碰撞后，反弹的速度大小 物块B向左滑上传送带，减速至0然后再向右加速，从传送带右端滑出时速度大小保持不变。 物块B在传送带上第一次向左减速的时间为 设物块B在传送带上第一次向左的位移为，B第一次在传送带上往返过程与传送带的相对位移大小为。 可得 依次类推，物块B第2次与挡板碰撞后，反弹的速度大小 物块B在传送带上第二次向左减速的时间为 物块B第2次在传送带上往返相对传送带的位移大小 物块B第n次在传送带上往返相对传送带的位移大小（为正整数） 全过程产生的总热量 解得 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图所示，在竖直面内，一质量为的物块静置于悬点正下方的点，以速度逆时针转动的传送带与直轨道、、处于同一水平面上，、、的长度均为。圆弧形细管道半径为，在竖直直径上，点高度为。开始时，与物块相同的物块悬挂于点，并向左拉开一定的高度由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与发生弹性正碰。已知，，，，，物块与、之间的动摩擦因数，轨道和管道均光滑，物块落到时不反弹且静止。忽略和之间的空隙，与平滑连接，物块可视为质点，取重力加速度。求： (1)若，、碰撞后瞬间物块的速度的大小； (2)求物块到达最高点时的速度大小（用表示），此时管道对物块的作用力； 【答案】(1) (2)   当时，，方向竖直向上；当时，弹力为0；当时，弹力，方向竖直向下。 【详解】（1）物块从高度由静止下摆，摆到最低点的速度为，该过程只有重力做功，所以机械能守恒，由机械能守恒定律有 解得 与发生弹性碰撞，规定向右为正方向，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得， 解得。 （2）设物块运动到点时的速度为，碰后对，根据动能定理，有 由（1）可知 解得 可知当时，物块到达点时的速度恰好为零，则有，方向竖直向上。 设在点管道对物块有弹力，取竖直向下为正方向，则在点由牛顿第二定律有 联立解得 可知当时，弹力为负，则弹力方向竖直向上； 当时，弹力为0； 当时，弹力为正，则弹力方向竖直向下。 综上可知，当时，，方向竖直向上 当时，弹力为0 当时，弹力，方向竖直向下。 变式2．（25-26高三下·福建福州·阶段检测）如图所示，在竖直平面内，有由斜面AB、水平轨道BC和半圆弧CD组合而成的固定轨道，斜面AB倾角，长度为，除AB外，轨道的其他部分光滑。在轨道上依次放置甲、乙、丙三个小物块，甲从A点由静止开始释放。已知甲的质量为，丙的质量为，甲与斜面间的动摩擦因数，三个物块在光滑轨道上的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度大小为。求： (1)甲滑至B点时的速度大小； (2)要使丙碰后速度最大，乙的质量应为多大？ (3)要使丙能够恰好通过圆轨道的最高点D，则圆弧轨道的半径应为多大？ 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）甲从斜面顶端A由静止下滑到B，重力做功 摩擦力做功 由动能定理 解得 （2）设乙的质量为，甲与乙发生弹性碰撞，碰撞前后动量守恒，动能守恒，满足， 解得碰后乙的速度 同理，乙与丙弹性碰撞，碰后丙的速度 令，则 有不等式可得，当且仅当时去等号，此时 故时，丙的速度最大。 （3）丙恰好通过圆轨道最高点D，在D点，重力提供向心力 解得 从最低点C到D机械能守恒 解得 丙碰撞后速度即为，又 联立得 解得 变式3．（2026·湖北·高考真题）在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求甲第一次到达点时的速度大小。 (2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。 (3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。 【答案】(1) (2) (3)当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 【详解】（1）甲下滑过程轨道光滑，由动能定理 解得 （2）第一次碰撞为弹性正碰，设碰后甲速度为，乙速度为，取向右为正方向，由动量守恒和机械能守恒， 解得乙弹性碰撞后速度 ​​对乙由动量定理，合外力冲量等于乙动量变化 代入，​得​​​ （3）​碰后甲的速度，乙的速度；要使第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，需对k的取值进行分情况讨论： ①当0＜k≤1时，碰后甲、乙均向右运动且v2＞v1≥0，乙先滑上右侧斜面，往返后在水平轨道与甲相遇，设从碰后到相遇经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在甲到达B点前相遇，即，代入速度化简得k3+3k2+35k﹣31＞0 ②当k＞1时，碰后甲向左、乙向右运动；若1＜k＜3，则v2＞|v1|，乙先滑上右侧斜面往返后向左追上甲，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在甲到达A点前追及，即，化简得3k3+k2+25k﹣37＜0 若k＞3，则|v1|＞v2，甲先滑上左侧斜面往返后向右追上乙，设从碰后到追及经过的总时间为t，根据位移关系有 解得 需满足在乙到达B点前追及，即，化简得k3﹣21k2+19k﹣23＞0 综上所述，k满足的关系式为 当0＜k≤1时，k3+3k2+35k﹣31＞0 当1＜k＜3时，3k3+k2+25k﹣37＜0 当k＞3时，k3﹣21k2+19k﹣23＞0 考点二 弹性碰撞中的动碰动问题 核心知识点 1. 模型条件：两物体碰撞前均有速度 ，同向/相向运动都适用； 2. 通用标准速度公式（无需重新联立方程） 3. 分类场景 · 同向追击：，后方物体追上前方物体； · 相向对撞：符号相反，两物体互相靠近。 例1．（2026·福建漳州·三模）一次联合教研活动中，物理老师们在科技馆参观时完成了如下实验：如图所示，是一长为的水平传送带，以顺时针匀速转动，传送带左端与半径的光滑圆轨道相切，右端与放在光滑水平桌面上的长木板上表面平齐。木板长为，的右端带有挡板，在上放有小物块，开始时和静止，到挡板的距离为。现将小物块从圆弧轨道最高点由静止释放，小物块与传送带间的动摩擦因数，、之间及、之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、、的质量均为，重力加速度为，所有的碰撞均为弹性正碰。求： (1)A到达点的速度大小； (2)A通过传送带过程产生的内能； (3)A与B发生弹性正碰之后各自的速度大小。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）小物块A由静止运动到圆轨道最低点，由动能定理 解得 （2）设经时间t1小物块A与传送带共速，由动量定理 解得 在时间t1内A、传送带发生的位移为， 小物块A通过传送带过程产生的内能 （3）对物块B和长木板C整体受力分析，由牛顿第二定律 物块B和长木板C整体加速度为 对A，由牛顿第二定律 可得，A的加速度为 设A滑上C后经时间t2物块A与B碰撞 解得 A、B碰撞前速度分别为v1、v2，碰后速度分别为v3、v4，则， A、B碰撞过程，由动量守恒和能量守恒，得， 解得， 例2．（25-26高一下·河南南阳·期末）如图所示，光滑竖直圆弧轨道最低点与光滑水平平台平滑连接，圆弧半径，圆心角，平台与足够长、逆时针匀速转动的水平传送带上表面平滑连接，传送带的速度大小为。物块A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与静止的物块B发生碰撞，物块B随后滑上传送带。已知，，物块A、B均可视为质点，物块A、B碰撞均发生在平台上，碰撞均为弹性碰撞，物块B与传送带间的动摩擦因数，，重力加速度取。求： (1)物块A、B第一次碰撞前瞬间，物块A的速度大小； (2)物块A、B第一次碰撞后，物块A沿圆弧上升的最大高度； (3)物块A、B第一次碰撞后至第七次碰撞前，物块B与传送带由于摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块A从圆弧顶点到最低点由动能定理可得 解得碰撞前瞬间，物块A的速度大小 （2）规定向右为正方向，A与B发生第一次弹性碰撞，由动量守恒得 碰撞前后系统动能相等，满足 解得第一次碰后， 对A根据机械能守恒有 解得第一次碰撞后，物块A沿圆弧上升的最大高度 （3）依题意，B先向右减速到0，后向左加速，由于，故B返回传送带左端的速度，B在传送带上，根据牛顿第二定律可知B的加速度大小满足 设B向右减速时间为，则有 代入数据解得， B向右运动的过程中，传送带速度方向向左，大小为，故物体与传送带的相对位移 根据对称，B向左加速的时间也为 则B向左与传送带的相对位移 B第一次在传送带上由于摩擦产生的热量 代入数据，解得 A、B发生第二次弹性碰撞，依题意可知第二次碰前A的速度，B的速度 根据动量守恒有 碰撞前后系统动能相等，满足 解得， 之后，物块A沿圆弧上升、下降，可知第三次碰前A的速度，B的速度为零，故接下来A、B碰撞情况与第一、二次相同，物块A、B第一次碰撞后至第七次碰撞前，摩擦生热发生于第一、三、五次碰撞之后，故物块B与传送带由于摩擦产生的热量 解得 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图所示，足够长的木板C静止放在光滑水平面上，其质量为。质量的小物块A、B开始静止在木板C上，二者间距为d=1m。现分别对A、B施加瞬时冲量，使A、B同时以的速度水平向右运动。物块A与木板C间的动摩擦因数为，物块B与木板C间的动摩擦因数为，A、B两物块均可视为质点且其碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短，重力加速度g取。求： (1)A、B开始运动瞬间，A、B、C各自的加速度大小； (2)运动过程中A物体的最小速度大小； (3)运动过程中A、C间因摩擦产生的热量与B、C间因摩擦产生的热量之比。 【答案】(1)2m/s2 (2)2m/s (3) 【详解】（1）对物块A，根据牛顿第二定律，有 解得 对物块B，根据牛顿第二定律，有 解得 对木板C，根据牛顿第二定律，有 解得 （2）设B与C先共速 解得 又有 此过程中A与B的位移分别为， 解得， 恰好有 即B与C共速的同时A追上B并与B发生弹性碰撞，此时A的速度为 根据动量守恒，有 根据能量守恒，有 解得， 即碰撞后A与C共速，B速度更快。设A与C可以相对静止，对A、C整体，根据牛顿第二定律，有 对A，有 解得 即碰撞后A与C可以相对静止一起加速，最终A、B、C共速。 根据动量守恒，有 解得 故得运动过程中A物体的最小速度为 （3）从开始到时刻，A、C间的相对位移大小为 A、C间由于摩擦产生的热量 解得 最终A、B、C共速，全过程系统由于摩擦产生的热量等于系统动能减少量 则B、C间由于摩擦产生的热量为 可得 则运动过程中A、C间因摩擦产生的热量与B、C间因摩擦产生的热量之比。 变式1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）如图所示，在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量均为m。A、B两球相向运动，速度大小均为v，两球发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，求： (1)两球未碰前，A球的动量大小p； (2)两球压缩最紧时，两球系统的弹性势能Ep。 【答案】(1)mv (2)mv2 【详解】（1）两球未碰前，A球的动量大小为 （2）两球压缩最紧时，两球速度相等，即 所以 则两球系统的弹性势能为 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，一段水平放置的传送带用于物料输送。传送带最右端为来料位置，最左端与一个光滑等高的操作平台平滑连接。平台左侧设有一个大型挡块（视为大物块），用于接收或协助物料转向。初始时，传送带以恒定速率逆时针方向转动。一个小工件（视为小物块）由静止释放于传送带最右端。已知挡块质量远大于小工件质量，小工件与传送带之间的动摩擦因数为。小工件到达传送带最左端时，其速度恰好与传送带速度相等，小工件与挡块的碰撞视为弹性碰撞，重力加速度为。求： (1)传送带的长度以及小工件在传送带上向左加速运动的时间； (2)若挡块保持静止，从小工件由静止释放到它再次回到传送带最右端的过程中，因摩擦产生的总热量； (3)若挡块初始时以速度向左匀速运动，小工件再次返回传送带运动过程中，恰好能到达距离传送带左端的位置，则为多大。 【答案】(1)， (2) (3)或 【详解】（1）设向左作为正方向，小工件在传送带上由静止释放，受到向左的滑动摩擦力，加速度 传送带逆时针转动，上表面向左运动的速度为。小工件向左匀加速到左端时，速度恰好等于，由运动学公式得， 解得， （2）小工件从最右端加速到最左端，传送带对地位移 小工件相对传送带向右滑动的路程为，产生热量 碰撞过程中，由于挡块仍保持静止，由动量规律，碰后小工件速度仍为，方向向右 小工件以向右初速度向右滑上传送带，传送带向左速度仍为，小工件向右做匀减速运动，加速度大小仍为 则小工件到最右端时对地仍为， 此阶段传送带对地位移 由于小工件与传送带相对运动，此时相对位移，产生热量 总热量 （3）挡块以速度向左匀速运动，小工件达左端时速度仍为，设弹性碰撞后小工件速度，挡块速度，由动量守恒，动能定理有， 解得 由于，可近似，碰后小工件速度向右，大小为，且 碰后小工件速度向右滑上传送带，受到向左的摩擦力，加速大小为，恰好能到达距离传送带左端的位置，此时速度为零，则 代入有 解得（取正值，否则不满足） 若完整解则 变式3．（2026·山东烟台·二模）如图所示，长的水平传送带始终沿逆时针方向以大小的速度匀速转动，传送带左、右两端均刚好与光滑水平地面接触，且其上表面与地面在同一水平面上。传送带左侧地面上固定一光滑斜面，右侧地面上固定一竖直挡板C，一劲度系数的轻弹簧放在右侧地面上与挡板C连接。一质量的物块B放在传送带左侧地面的最右端，将另一质量的物块A放在光滑斜面上的某一高度处由静止释放，一段时间后A与B发生碰撞，B经过传送带进入右侧地面并压缩轻弹簧后被弹回，弹簧的最大压缩量，在物块B刚好要第二次滑上传送带时与物块A发生第二次碰撞，碰后立即撤走物块B。已知物块A与B发生的碰撞均为弹性碰撞，物块A与传送带间的动摩擦因数，物块B与传送带间的动摩擦因数，不计物块的大小及在斜面底端能量损失，轻弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），重力加速度，求： (1)A与B第一次碰撞前一瞬间，物块A的速度大小； (2)A第二次返回斜面时能上升的最大高度； (3)物块A由静止释放到第二次返回斜面的过程中，物块A与传送带间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）B从传送带进入右侧水平面上速度为，弹簧的最大压缩量， 对B有 得 第一次碰后，B的速度为，B进入传送带后做匀减速直线运动，由牛顿第二定律得 由运动学公式   由以上几式可得 A与B第一次碰撞，碰前物块A的速度为，碰后物块A的速度为，则由动量守恒定律得   由能量守恒得 解得 ， （2）第一次碰撞后A以6 m/s的速度返回斜面，又以等大速率返回第一次冲上传送带，A开始做匀减速直线运动，与B发生第二次碰撞前，A的速度为，则 由运动学公式得 解得 物块B刚好要第二次滑上传送带时与物块A发生第二次碰撞，取水平向右方向为正，则由动量守恒定律得 由能量守恒得   解得 即碰后A与传送带共速，第二次返回斜面能上升的最大高度h，由机械能定律得 解得 （3）摩擦力 。 A第一次向右运动时间 这段时间传送带向左位移 相对位移 。 A第二次向左运动：速度与传送带相同，相对位移 。 因此总热量 2 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律的应用：弹性碰撞中的动碰静问题、弹性碰撞中的动碰动问题专项训练 动量守恒定律的应用：弹性碰撞中的动碰静问题、弹性碰撞中的动碰动问题专项训练 考点目录 弹性碰撞中的动碰静问题 弹性碰撞中的动碰动问题 考点一 弹性碰撞中的动碰静问题 核心知识点 1. 模型条件：初始静止，；以初速度撞击静止物体。 1. 简化后速度公式 1. 三种特殊结论 ① ：，速度完全交换； ② ：，大物体速度几乎不变，小物体以2倍初速弹出； ③ ：，小物体原速反弹，大物体几乎不动。 例1．（25-26高二下·陕西西安·期末）如图1所示，物块乙放置在水平面上的A点，A的右侧光滑，左侧粗糙。质量为m的物块甲（装有竖直轻质硬细杆）放置在A点右侧，长度为L的轻质细线一端固定在细杆的上端，另一端连接质量为m的小球，甲、乙及小球均视为质点。现将小球由静止释放，释放时细线水平伸直，当小球运动到最低点时，甲正好运动到A点与乙发生弹性碰撞，碰撞时间极短，碰后甲、乙的速度等大，之后乙向左运动到B点时速度减为0。乙与AB间的动摩擦因数随到B点的距离变化的图像如图2所示，其中x0（未知）为A、B两点间的距离，重力加速度为g，运动过程中小球与竖直杆始终不接触。求： (1)甲、乙碰前瞬间甲的速度大小； (2)乙的质量以及A、B两点间的距离x0； (3)甲、乙碰后瞬间细线对小球拉力的大小，以及甲、乙碰后小球运动到最高点时小球到杆顶端的竖直距离。 例2．（2026·山西忻州·模拟预测）如图所示，光滑水平面上固定质量为、倾角为的斜面，在斜面右侧有个质量均为的物块，质量为的滑块从光滑斜面顶端由静止释放。已知，取。 (1)求滑块到达斜面底端时的速度大小。 (2)斜面底端有一小圆弧，使斜面和地面平滑连接。 ①若所有的碰撞均为完全非弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 ②若所有的碰撞均为弹性碰撞，求第1个物块的最终速度大小。 例3．（25-26高二下·山东青岛·阶段检测）如图所示，粗糙平台左、右两端分别放置小物块A、B，给A一水平向右的初速度，A运动到平台右端与B发生弹性碰撞，B离开平台后恰好能从点沿切线落入竖直光滑圆弧轨道C，C不固定，其半径，圆心角，最低点与光滑水平面平滑连接。传送带以的速度顺时针匀速转动，左右两端均与光滑水平面平滑连接，B与固定竖直挡板碰撞后反弹，速率变为碰前速率的一半。已知A、B、C质量分别为、、，平台长度，传送带长度，A与平台之间及B与传送带之间的动摩擦因数均为，重力加速度大小，，求： (1)B离开平台时的速度大小； (2)B运动到圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小； (3)B与传送带因摩擦产生的总热量。 变式1．（2026·河北衡水·模拟预测）如图所示，在竖直面内，一质量为的物块静置于悬点正下方的点，以速度逆时针转动的传送带与直轨道、、处于同一水平面上，、、的长度均为。圆弧形细管道半径为，在竖直直径上，点高度为。开始时，与物块相同的物块悬挂于点，并向左拉开一定的高度由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与发生弹性正碰。已知，，，，，物块与、之间的动摩擦因数，轨道和管道均光滑，物块落到时不反弹且静止。忽略和之间的空隙，与平滑连接，物块可视为质点，取重力加速度。求： (1)若，、碰撞后瞬间物块的速度的大小； (2)求物块到达最高点时的速度大小（用表示），此时管道对物块的作用力； 变式2．（25-26高三下·福建福州·阶段检测）如图所示，在竖直平面内，有由斜面AB、水平轨道BC和半圆弧CD组合而成的固定轨道，斜面AB倾角，长度为，除AB外，轨道的其他部分光滑。在轨道上依次放置甲、乙、丙三个小物块，甲从A点由静止开始释放。已知甲的质量为，丙的质量为，甲与斜面间的动摩擦因数，三个物块在光滑轨道上的碰撞均为弹性碰撞，重力加速度大小为。求： (1)甲滑至B点时的速度大小； (2)要使丙碰后速度最大，乙的质量应为多大？ (3)要使丙能够恰好通过圆轨道的最高点D，则圆弧轨道的半径应为多大？ 变式3．（2026·湖北·高考真题）在如图所示的竖直平面内，固定在水平地面上的光滑轨道由两倾角均为的足够长轨道与一水平轨道平滑连接而成，连接点分别为、。质量为的小物块甲放置在左侧倾斜轨道上高处、质量为的小物块乙静止在水平轨道上，乙到、两点的距离均为。现静止释放甲，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度大小为，不计空气阻力。 (1)求甲第一次到达点时的速度大小。 (2)求两物块第一次碰撞过程中，乙所受合外力的冲量大小。 (3)若两物块在水平轨道上发生第二次碰撞，且第二次碰撞前只有一个物块滑上倾斜轨道，求满足的关系式（不求具体数值）。 考点二 弹性碰撞中的动碰动问题 核心知识点 1. 模型条件：两物体碰撞前均有速度 ，同向/相向运动都适用； 2. 通用标准速度公式（无需重新联立方程） 3. 分类场景 · 同向追击：，后方物体追上前方物体； · 相向对撞：符号相反，两物体互相靠近。 例1．（2026·福建漳州·三模）一次联合教研活动中，物理老师们在科技馆参观时完成了如下实验：如图所示，是一长为的水平传送带，以顺时针匀速转动，传送带左端与半径的光滑圆轨道相切，右端与放在光滑水平桌面上的长木板上表面平齐。木板长为，的右端带有挡板，在上放有小物块，开始时和静止，到挡板的距离为。现将小物块从圆弧轨道最高点由静止释放，小物块与传送带间的动摩擦因数，、之间及、之间的动摩擦因数均为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。、、的质量均为，重力加速度为，所有的碰撞均为弹性正碰。求： (1)A到达点的速度大小； (2)A通过传送带过程产生的内能； (3)A与B发生弹性正碰之后各自的速度大小。 例2．（25-26高一下·河南南阳·期末）如图所示，光滑竖直圆弧轨道最低点与光滑水平平台平滑连接，圆弧半径，圆心角，平台与足够长、逆时针匀速转动的水平传送带上表面平滑连接，传送带的速度大小为。物块A从圆弧顶点无初速度下滑，在平台与静止的物块B发生碰撞，物块B随后滑上传送带。已知，，物块A、B均可视为质点，物块A、B碰撞均发生在平台上，碰撞均为弹性碰撞，物块B与传送带间的动摩擦因数，，重力加速度取。求： (1)物块A、B第一次碰撞前瞬间，物块A的速度大小； (2)物块A、B第一次碰撞后，物块A沿圆弧上升的最大高度； (3)物块A、B第一次碰撞后至第七次碰撞前，物块B与传送带由于摩擦产生的热量。 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）如图所示，足够长的木板C静止放在光滑水平面上，其质量为。质量的小物块A、B开始静止在木板C上，二者间距为d=1m。现分别对A、B施加瞬时冲量，使A、B同时以的速度水平向右运动。物块A与木板C间的动摩擦因数为，物块B与木板C间的动摩擦因数为，A、B两物块均可视为质点且其碰撞为弹性碰撞，碰撞时间极短，重力加速度g取。求： (1)A、B开始运动瞬间，A、B、C各自的加速度大小； (2)运动过程中A物体的最小速度大小； (3)运动过程中A、C间因摩擦产生的热量与B、C间因摩擦产生的热量之比。 变式1．（25-26高二下·江苏盐城·期末）如图所示，在光滑水平地面上有两个相同的弹性小球A、B，质量均为m。A、B两球相向运动，速度大小均为v，两球发生正碰。已知碰撞过程中总机械能守恒，求： (1)两球未碰前，A球的动量大小p； (2)两球压缩最紧时，两球系统的弹性势能Ep。 变式2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）如图所示，一段水平放置的传送带用于物料输送。传送带最右端为来料位置，最左端与一个光滑等高的操作平台平滑连接。平台左侧设有一个大型挡块（视为大物块），用于接收或协助物料转向。初始时，传送带以恒定速率逆时针方向转动。一个小工件（视为小物块）由静止释放于传送带最右端。已知挡块质量远大于小工件质量，小工件与传送带之间的动摩擦因数为。小工件到达传送带最左端时，其速度恰好与传送带速度相等，小工件与挡块的碰撞视为弹性碰撞，重力加速度为。求： (1)传送带的长度以及小工件在传送带上向左加速运动的时间； (2)若挡块保持静止，从小工件由静止释放到它再次回到传送带最右端的过程中，因摩擦产生的总热量； (3)若挡块初始时以速度向左匀速运动，小工件再次返回传送带运动过程中，恰好能到达距离传送带左端的位置，则为多大。 变式3．（2026·山东烟台·二模）如图所示，长的水平传送带始终沿逆时针方向以大小的速度匀速转动，传送带左、右两端均刚好与光滑水平地面接触，且其上表面与地面在同一水平面上。传送带左侧地面上固定一光滑斜面，右侧地面上固定一竖直挡板C，一劲度系数的轻弹簧放在右侧地面上与挡板C连接。一质量的物块B放在传送带左侧地面的最右端，将另一质量的物块A放在光滑斜面上的某一高度处由静止释放，一段时间后A与B发生碰撞，B经过传送带进入右侧地面并压缩轻弹簧后被弹回，弹簧的最大压缩量，在物块B刚好要第二次滑上传送带时与物块A发生第二次碰撞，碰后立即撤走物块B。已知物块A与B发生的碰撞均为弹性碰撞，物块A与传送带间的动摩擦因数，物块B与传送带间的动摩擦因数，不计物块的大小及在斜面底端能量损失，轻弹簧始终在弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量），重力加速度，求： (1)A与B第一次碰撞前一瞬间，物块A的速度大小； (2)A第二次返回斜面时能上升的最大高度； (3)物块A由静止释放到第二次返回斜面的过程中，物块A与传送带间因摩擦产生的热量。 2 学科网（北京）股份有限公司 $