2.3.3 点到直线的距离公式-（配套练习）【精讲精练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

**基本信息** 高中数学同步练以“基础巩固-综合提升-探索创新”分层，题量配比8:5:2，梯度从单一公式应用到跨学科情境问题，适配新授课知识内化与核心素养培育。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |必备知识·基础巩固|点到直线距离公式直接应用|直接套用公式（如第1题点到水平线距离），夯实运算能力| |关键能力·综合提升|两点距离与几何意义综合|结合新定义（如第10题“切割型直线”），发展推理意识| |核心价值·探索创新|跨学科情境与核心价值体现|联系美术“三庭五眼”（第15题），培养数学眼光与应用意识|

[必备知识·基础巩固] 1．点P(1，－1)到直线l：3y＝2的距离是(　　) A．3　　　 B．　　　 C．1　　　 D． 解析　点P(1，－1)到直线l的距离d＝＝，故选B. 答案　B 2．(2025·深圳期末)已知两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0距离相等，则m值为(　　) A．0或－ B．或－6 C．－或 D．0或 解析　∵两点A(3，2)和B(－1，4)到直线mx＋y＋3＝0距离相等， ∴＝，解得m＝或m＝－6.故选B. 答案　B 3．原点到直线y＝－x＋的距离为(　　) A．1 B． C．2 D．3 解析　直线y＝－x＋，即x＋2y－5＝0，故原点到直线y＝－x＋的距离为＝. 答案　B 4.(多选)已知直线l1：ax－y＋a＝0, l2：x－ay－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．l1恒过定点 B．不存在实数a使得l1⊥l2 C．当l1∥l2时，a＝±1 D．当a＝0时，点到直线l2的距离为1 解析　因为直线l1：ax－y＋a＝0, l2：x－ay－3＝0， 对于选项A：直线l1的方程可化为y＝a，所以l1恒过定点，故A正确； 对于选项B：若l1⊥l2，则a×1＋×＝2a＝0，解得a＝0， 即a＝0时，l1⊥l2，故B错误； 对于选项C：若l1∥l2，则a×＝－1×1，解得a＝±1， 当a＝1时，直线l1：x－y＋1＝0, l2：x－y－3＝0，满足l1∥l2； 当a＝－1时，直线l1：x＋y＋1＝0, l2：x＋y－3＝0，满足l1∥l2； 综上所述，a＝±1，故C正确； 对于选项D：当a＝0时，点到直线l2：x－3＝0的距离为4－3＝1，故D正确； 故选ACD. 答案　ACD 5．点P(m，6)到直线3x－4y－2＝0的距离不大于4，则m的取值范围是________． 解析　依题意可知，≤4， 解得2≤m≤. 答案　 6．若点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析　由点到直线的距离公式得＝， 解得a＝－或a＝－. 答案　－或－ 7．已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，则直线l的方程为_______________________________． 解析　当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2； 当直线l的斜率存在时，设所求直线l的方程为 y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0， 由d＝＝2， 得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0. 综上，直线l的方程为 x＋2＝0或5x＋12y－26＝0. 答案　x＋2＝0或5x＋12y－26＝0 8.已知直线l的斜率为－，且这条直线经过点A. (1)求直线l的一般式方程； (2)若直线kx－y＋1－k＝0恒过定点B，求点B到直线l的距离． 解析　(1)因为直线l的斜率为－，且过点A， 所以直线l的方程为y－2＝－，化为一般式方程为x＋y－3＝0. (2)直线kx－y＋1－k＝0的方程可化为k(x－)＋1－y＝0， 令x－＝0，则1－y＝0，解得即点B， 所以点B到直线l的距离为d＝＝. [关键能力·综合提升] 9．已知点A(－1，2)，B(1，4)，若直线l过原点，且A，B两点到直线l的距离相等，则直线l的方程为(　　) A．y＝x或x＝0 B．y＝x或y＝0 C．y＝x或y＝－4x D．y＝x或y＝x 解析　当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝0，经验证满足条件．当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx，即kx－y＝0，则＝，解得k＝1，则直线l的方程为y＝x.故选A. 答案　A 10．(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P 使得|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是(　　) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．y＝x D．y＝2x＋1 解析　点M(5，0)到直线y＝x＋1 的距离d1＝＝3>4，故A不符合题意；点M(5，0)到直线y＝2 的距离d2＝2<4，故B符合题意；点M(5，0)到直线y＝x 的距离d3＝＝4，故C符合题意；点M(5，0)到直线y＝2x＋1 的距离d4＝＝>4，故D 不符合题意．故选BC. 答案　BC 11．已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，3)，B(－3，0)，C(1，2)，则△ABC的面积为________． 解析　BC所在直线的方程为＝，即x－2y＋3＝0. 由两点间的距离公式得|BC|＝＝2，点A到直线BC的距离d＝＝， 所以S＝|BC|·d＝×2×＝4， 即△ABC的面积为4. 答案　4 12．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________. 解析　设P(x，y)，A(2，－1)，且点P在直线x＋y－3＝0上，＝|PA|，|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离，为d＝＝. 答案　 13．已知点P(2，－1)， (1)求过点P且与原点的距离为2的直线的方程； (2)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由． 解析　(1)①当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝2，符合题意； ②当直线的斜率存在时，设斜率为k， 则直线方程为y＋1＝k(x－2)， 即kx－y－2k－1＝0. 根据题意，得＝2，解得k＝， 所以直线方程为3x－4y－10＝0. 故符合题意的直线方程为x－2＝0或3x－4y－10＝0. (2)不存在． 过点P且与原点的距离最大的直线为过点P且与OP垂直的直线，此时最大距离为|OP|＝＝，而6＞，故不存在这样的直线． [核心价值·探索创新] 14．已知直线l1：mx＋y＝4－3m，l2：2x＋(m－1)y＝－m，则原点O到l1距离的最大值是__________；若l1∥l2，则m＝________． 解析　直线l1：mx＋y＝4－3m过定点A(－3，4)，原点到l1距离的最大值即为点A到原点的距离， 则|AO|＝＝5. 当m＝1时，l1：y＝－x＋1，l2：x＝－，l1与l2不平行； 当m≠1时，l1：y＝－mx＋4－3m， l2：y＝x－， ∵l1∥l2，∴解得m＝－1. 答案　5　－1 15．美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法．三庭：将整个脸部按照前额发际线至眉骨，眉骨至鼻底，鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭，各占脸长的，五眼：指脸的宽度比例，以眼形长度为单位，把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份．如图，假设三庭中一庭的高度为2 cm，五眼中一眼的宽度为1 cm，若图中提供的直线AB 近似记为该人像的刘海边缘，且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点，则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为________ cm. 解析　如图，以鼻尖所在位置为原点O，中庭下边界所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则A，B，所以直线AB：＝，即x－y＋＝0，故原点O(0，0) 到直线AB的距离为＝(cm). 答案　 学科网（北京）股份有限公司 $