综合测试卷（四）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷

**基本信息** 紧扣教材核心考点，通过AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，系统整合代数、立体几何、解析几何知识，培养数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|单选1-3、8、10、21-22|概念辨析（充分必要条件）、复数运算、向量坐标|从集合逻辑到复数向量，体现概念生成与运算应用的递进| |立体几何|单选4、5、9、16-18、23-24|空间关系判断（线面垂直）、距离计算、命题证明|以平面确定为基础，推导线面/面面关系，培养空间观念| |解析几何|单选6-7、11-15、19-20、25、28-30|圆锥曲线性质（离心率、准线）、方程求解、综合证明|从方程到几何性质，构建“数”与“形”的关联，发展几何直观|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．设，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．是两个方向相反的单位向量，则结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 5．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 6．已知平面内三点，，，，满足，则的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 7．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 8．向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 9．已知直线，，平面，，，则下列条件中，可推出的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 10．已知，，且，则值为（   ） A．-5 B．0 C．32 D．5 11．下列方程中，以为渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 12．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 13．设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．7 D．13 14．若椭圆的焦距为2，则（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．-3 15．已知抛物线的准线经过点，则抛物线的焦点为 （    ） A． B． C． D． 16．下列说法不正确的是（    ） A．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面垂直 B．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面平行 C．经过平面外一条斜线，只可作一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一条垂线，可作无数个平面与已知平面垂直 17．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（    ） A．和平面相互平行 B．和平面相互垂直 C．在平面内 D．不能确定 18．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面 19．顶点在轴上，两个顶点间的距离为，离心率为的双曲线的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 20．如图所示，在正方体中，下列命题： ①异面直线与所成的角为 ②直线与平面所成的角为 ③二面角所成的角为 ④异面直线与所成的角为 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．实系数一元二次方程的一个根是，则__________. 22．已知向量，则与向量同方向的单位向量的坐标是__________. 23．在棱长为的正方体中，直线到平面的距离是_________. 24．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 25．已知椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为___________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知平面上，，三点的坐标分别为，，． (1)写出向量，的坐标. (2)如果四边形是平行四边形，求点的坐标． 27．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 28．已知双曲线的标准方程为． (1)求双曲线的离心率及焦点，的坐标； (2)若点在双曲线上，求证：． 29．如图所示，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为AB，PD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 30．已知椭圆的离心率，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念分析即可. 【详解】若，则，充分性成立， 若，则或，必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A. 2．设，，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】利用复数的加减运算法则求得，再利用复数的几何意义即可得解. 【详解】因为，， 则， 所以所对应的点为，位于第四象限. 故选：D. 3．是两个方向相反的单位向量，则结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量与单位向量的定义即可得解. 【详解】对于A，因为是两个方向相反的单位向量，所以，故A错误； 对于BC，因为向量不能比较大小，故BC错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 4．下列说法正确的是（    ） A．三点可以确定一个平面 B．一条直线和一个点可以确定一个平面 C．四边形是平面图形 D．两条相交直线可以确定一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本事实（公理）及其推论进行辨析即可. 【详解】对于A，不共线的三点确定一个平面，故选项A错误； 对于B，经过一条直线和这条直线外一点可以确定一个平面，故选项B错误； 对于C，空间四边形不是平面图形，故选项C错误； 对于D，由基本事实（公理）推论，经过两条相交直线，有且只有一个平面，故选项D正确. 故选：D. 5．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，， 所以. 故选：C. 6．已知平面内三点，，，，满足，则的值为（   ） A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】先写出向量，的坐标，再根据向量垂直的条件求出的值. 【详解】，， 因为， 所以， 解得． 故选：C. 7．抛物线的准线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线方程，确定准线方程. 【详解】由得，故准线方程为 故选：C. 8．向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出向量的坐标，再由向量的加法的坐标运算求解，即可求解对应的复数. 【详解】向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 所以， 所以向量对应的复数为． 故选:B. 9．已知直线，，平面，，，则下列条件中，可推出的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】A 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确； 垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故B不正确； 平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C不正确； 一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，两个平面才平行，故D不正确. 故选：A. 10．已知，，且，则值为（   ） A．-5 B．0 C．32 D．5 【答案】B 【分析】根据向量坐标的线性运算求出，再利用向量垂直的条件列式即可求解. 【详解】因为向量，， 所以，又， 所以，解得． 故选：B. 11．下列方程中，以为渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】逐一分析各选项，利用双曲线的标准方程求渐近线即可得解. 【详解】对于A，的渐近线为，即，故A正确； 对于B，的渐近线为，即，故B错误； 对于C，的渐近线为，即，故C错误； 对于D，的渐近线为，即，故D错误. 故选：A. 12．双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将双曲线方程转化为标准方程，从而得到，再利用离心率公式即可得解. 【详解】因为双曲线可化为， 由题意得，，则，， 所以该双曲线的离心率为. 故选：D. 13．设抛物线上一点到轴的距离是1，则点到该抛物线焦点的距离为（    ） A．3 B．4 C．7 D．13 【答案】B 【分析】先将抛物线方程化为标准方程，再由抛物线的概念即可求解距离. 【详解】将抛物线方程化为标准方程为，焦点在轴正半轴上，且， ∴，， 由抛物线的概念可知，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离， 即点到该抛物线焦点的距离为． 故选:B. 14．若椭圆的焦距为2，则（    ） A．3 B．5 C．3或5 D．-3 【答案】C 【分析】分类讨论椭圆焦点的位置，利用椭圆标准方程中的关系即可得解. 【详解】当椭圆焦点在轴上时，由题意得，，，即， 所以； 当椭圆焦点在轴上时，由题意得，，，即， 所以； 综上：3或5. 故选：C. 15．已知抛物线的准线经过点，则抛物线的焦点为 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线准线经过的点坐标，得到准线方程，求得参数，即可得到抛物线的焦点坐标. 【详解】∵抛物线的准线经过点， ∴抛物线的准线方程，，得到. 故抛物线方程为，焦点坐标为，即. 故选：B. 16．下列说法不正确的是（    ） A．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面垂直 B．经过平面外一点，只可作一个平面与已知平面平行 C．经过平面外一条斜线，只可作一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一条垂线，可作无数个平面与已知平面垂直 【答案】A 【分析】利用平面的基本性质及以及线面之间的关系判断选项即可. 【详解】A:经过平面外一点，有无数个平面与已知平面垂直，故A选项不正确， B:经过平面外一点，有一个平面与已知平面平行,故B选项正确， C:经过平面外一条斜线，只可作一个平面与已知平面垂直，故C选项正确， D: 经过平面外一条垂线，可作无数个平面与已知平面垂直，故D选项正确. 故选:A. 17．直线与平面内的无数条直线垂直，则直线与平面的关系是（    ） A．和平面相互平行 B．和平面相互垂直 C．在平面内 D．不能确定 【答案】D 【分析】根据直线与平面的位置关系作图判断. 【详解】若直线与平面内的无数条直线垂直，如图所示， 则直线和平面相互平行，或直线和平面相互垂直，或直线在平面内都有可能． 故选：D. 18．如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点，则下列判断不正确的是（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面 【答案】D 【分析】根据线面垂直的判定定理和性质即可求解. 【详解】对A：因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面，故A正确； 对C：由平面，由平面，则， 又因为，为的中点，所以， 因为，平面，从而平面，故C正确； 对B：因为平面，平面，所以，故B正确； 对D：在平面中，，所以与不垂直， 所以不垂直于平面，故D不正确. 故选：D. 19．顶点在轴上，两个顶点间的距离为，离心率为的双曲线的标准方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的性质即可得解. 【详解】因为双曲线顶点在轴上. 所以设双曲线的方程为. 因为两顶点间的距离为. 离心率解得. . 所以双曲线的标准方程为. 故选：. 20．如图所示，在正方体中，下列命题： ①异面直线与所成的角为 ②直线与平面所成的角为 ③二面角所成的角为 ④异面直线与所成的角为 其中正确命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】将异面直线转化为相交直线可判断①④，再由直线与平面和平面与平面所成的角判断②③即可. 【详解】①：因为， 所以为异面直线与所成的角，即，故①正确， ②：因为平面， 所以为直线与平面所成的角，即，故②正确， ③：连接BD交AC于点O，连接， 在正方体中，AC，BD为平面ABCD的对角线，即， 因为为对应面的面对角线，即，为正三角形， O为AC的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 因为在直角三角形中，，所以，故③错误， ④：因为， 所以为异面直线与所成的角， 因为在正方体中，平面，平面， 所以，即，故④错误. 所以①②正确，正确命题有2个. 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．实系数一元二次方程的一个根是，则__________. 【答案】-2 【分析】根据实系数方程的复数根即可求解. 【详解】∵实系数一元二次方程的一个根是虚数， ∴， ∴方程有两个互为共轭复数的根， ∴该方程的另一个根是. 由根与系数的关系可得，即. 故答案为：. 22．已知向量，则与向量同方向的单位向量的坐标是__________. 【答案】 【分析】先求向量的模长，再将除以其模长，得到同方向的单位向量. 【详解】已知，先计算其模长： 与同方向的单位向量为： 故答案为： 23．在棱长为的正方体中，直线到平面的距离是_________. 【答案】 【分析】作出辅助线，首先证明BO为直线到平面的距离，进而确定长度. 【详解】连接BD，交AC于. 在正方体中，平面，所以平面. 又因为平面平面， 所以，又，且平面， 所以平面，所以BO为直线到平面的距离. 因为，所以， 故答案为：. 24．已知，表示两个不同的平面，为平面内的一条直线，则“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 【答案】必要不充分 【分析】根据面面垂直判定定理即可求解. 【详解】若，与平面不一定垂直； 若，根据面面垂直的判定定理可得， ∴“”是“”的必要不充分条件． 故答案为：必要不充分. 25．已知椭圆的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是，若成等比数列，则此椭圆的离心率为___________． 【答案】/ 【分析】表示出椭圆中焦点三角形的各边，再由等比中项列出等式，结合离心率公式即可解得. 【详解】由题意得， 因为三者成等比数列，所以，即， 整理得，所以，所以． 故答案为： 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知平面上，，三点的坐标分别为，，． (1)写出向量，的坐标. (2)如果四边形是平行四边形，求点的坐标． 【答案】(1)，. (2). 【分析】（）由向量的坐标表示即可得解. （）由向量的坐标表示即可得解. 【详解】（1），，. ，． （2）设点的坐标为. ∴． ∵四边形是平行四边形. ∴. ∴ 解得 点的坐标为． 27．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分条件，求的取值范围； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合绝对值不等式的解法，先求出集合A，结合充分条件的概念，即可求解. （2）根据题意，结合二次不等式的解法，先求出集合B，结合必要条件的概念，即可求解. 【详解】（1）因为，即， 解得， 所以集合， 因为“”是“”的充分条件， 所以， 即的取值范围是； （2）因为，即， 解得或， 即集合或， 因为“”是“”的必要条件， 所以或， 即的取值范围是. 28．已知双曲线的标准方程为． (1)求双曲线的离心率及焦点，的坐标； (2)若点在双曲线上，求证：． 【答案】(1)离心率，焦点， (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程确定离心率和焦点坐标； （2）由点在双曲线上得到，利用得到. 【详解】（1）已知双曲线，则,， 则双曲线的离心率为，焦点，. （2）证明：若点在双曲线上，则满足，即， 并且，， 由于， 因此，因此. 29．如图所示，四棱锥的底面为菱形，，E，F分别为AB，PD的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）取PC的中点G，连接FG，BG，可证四边形是平行四边形，可得，根据线面平行的判定定理可证明结论； （2）设，连接PO，可证明平面，根据面面垂直的判定定理可证明结论. 【详解】（1）    取PC的中点G，连接FG，BG， 因为F是PD的中点，所以，且， 因为底面是菱形，E是AB中点， 则，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）设，则O是BD中点，连接PO， 因为底面是菱形，则． 因为，O是BD中点，所以， 因为，，都在平面内 所以平面， 因为平面，所以平面平面． 30．已知椭圆的离心率，焦距为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆经过原点，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的焦距，离心率公式即可求解. （2）根据联立直线与椭圆方程，以及韦达定理，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为离心率，焦距为2，所以，解得. 所以，则椭圆的标准方程为. （2）由题意可知，直线斜率不为， 可设直线方程为，点， 联立，则， 所以， 因为以线段AB为直径的圆经过原点，所以，则， 即，又， 所以， 则， 即，整理得，解得， 所以，即直线l的方程.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $