综合测试卷（二）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷

**基本信息** 紧扣中职数学拓展模块上册核心考点，设AB卷分层训练与综合测试卷，适配单元复习，通过基础巩固与能力提升梯度设计，培养数学抽象、推理及应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|20/60|充分必要条件、向量、复数、椭圆、立体几何|基础考点全覆盖，如向量共线判定（第8题）考查抽象能力| |填空题|5/20|向量运算、复数模、双曲线方程|聚焦知识细节，如双曲线方程参数范围（第24题）强化推理意识| |解答题|5/40|集合逻辑、向量计算、圆锥曲线、立体几何体积、抛物线综合|综合应用突出，如正三棱柱线面角与体积（第29题）体现空间观念，抛物线综合题（第30题）培养模型意识与运算能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 3．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 4．已知复数满足，则（     ）． A． B． C． D． 5．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 6．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 7．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 8．已知向量，，若与共线，则等于（   ） A． B． C．-2 D．2 9．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 10．等边三角形的边长为1则（    ） A． B． C． D． 11．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 12．若是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 13．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 14．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于M，N两点，则的周长为（    ） A．16 B．12 C． D． 15．抛物线的焦点是（） A． B． C． D． 16．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 17．如图所示，在正方体中，为顶面的中心，为底面的中心，异面直线与所成的角是（    ）．    A． B． C． D． 18．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 19．若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 20．在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 22．若向量，，，且，则________． 23．已知复数，则___________. 24．若方程表示双曲线，则的取值范围是____ . 25．如图，已知，为在平面内的射影，在平面内，且，为直角三角形，，，则与平面所成的角的大小为________. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知，. (1)若，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 27．已知，，. (1)求及； (2)若，求的值. 28．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、长轴长或实轴长、短轴长或虚轴长、焦距、离心率、渐近线． (1) (2) 29．如图所示，已知正三棱柱所有的棱长均为2，点M是棱AC的中点．求： (1)直线与平面所成角的正切值； (2)三棱锥的体积． 30．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标； (3)若点O为坐标原点，求的面积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（二） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知是实数，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】B 【分析】根据充要条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】当时，比如，不能推出． 当成立，那么一定有成立，即由“”能推出“”； 所以“”是“”的必要而不充分条件， 故选：B． 2．下列说法中正确的是（   ） A．零向量没有方向 B．单位向量都相等 C．相等向量的起点必须相同 D．共线向量不一定是相反向量 【答案】D 【分析】根据零向量，相等向量，单位向量，共线向量的概念逐个分析即可. 【详解】零向量的方向是任意的，故A错误， 单位向量长度均为1，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，故B错误， 相等向量的起点不一定相同，故C错误， 共线向量的方向相同或相反，故D正确， 故选：D. 3．如图所示，在平行四边形中，与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的减法法则即可解答. 【详解】由图可知，， 所以. 故选：C. 4．已知复数满足，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的运算以及复数的模公式求解即可. 【详解】因为，所以. 因此. 故选：B. 5．椭圆上有一点P到一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义求解即可； 【详解】因为椭圆可知，， 所以由椭圆的定义可知，椭圆上一点到两焦点的距离的和为， 因为点P到一个焦点的距离为3， 则点P到另一个焦点的距离为． 故选：B 6．下列说法正确的是（    ） A．过空间两条直线有且只有一个平面 B．过空间三点有且只有一个平面 C．空间两平面和有且只有一条公共线 D．过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面 【答案】D 【分析】由平面的基本性质判断即可. 【详解】过空间中两条平行（或相交）的直线有且只有一个平面，A错； 过空间不在同一直线上的三点有且只有一个平面，B错； 若两平面平行时，这两个平面没有公共直线，C错， 过一条直线和这个直线外一点有且只有一个平面，D正确. 故选:D. 7．如图所示，，，是的三等分点，则用向量和线性表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的加法和减法法则化简即可. 【详解】如图所示，，，是的三等分点， 则， 又， 所以， 故选：B. 8．已知向量，，若与共线，则等于（   ） A． B． C．-2 D．2 【答案】A 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示得出向量的坐标，再由向量平行的坐标表示列方程求解即可. 【详解】由向量，， 得， ， 由与共线，得， 即，整理得， 所以. 故选：A. 9．已知平面向量，的夹角为，且，，则（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】将等式两边分别平方，结合平面向量的内积公式即可得解. 【详解】因为平面向量，的夹角为，则， 所以， 化简得，解得（舍）或， 故选：. 10．等边三角形的边长为1则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得到的模与夹角，从而利用向量内积的定义即可得解. 【详解】因为是边长为1的等边三角形，所以， 因为中，，又与的夹角是的补角 所以向量与的夹角， 则. 故选：A. 11．已知椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的离心率公式，结合椭圆的性质即可求解. 【详解】由题意得，椭圆的方程为，其焦点在x轴上且离心率为， 所以，则，，解得. 因为，所以，解得. 故选：C. 12．若是实系数一元二次方程的一个根，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先求解出该方程的另一个根，由此求解即可. 【详解】∵是实系数一元二次方程的一个根， ∴是该方程的另一个根， ∴，解得. 故选：C. 13．双曲线的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线方程求渐近线方程. 【详解】由双曲线的方程可知，，， 则双曲线的渐近线方程为． 故选：B. 14．已知，为椭圆的两个焦点，过的直线与椭圆相交于M，N两点，则的周长为（    ） A．16 B．12 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，先求得椭圆方程中的参数，再利用椭圆的定义即可得解. 【详解】因为椭圆方程，可化为， 则，则， 所以的周长为 . 故选：A. 15．抛物线的焦点是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的标准方程求焦点. 【详解】抛物线方程可化为， 则其焦点坐标在轴上，且，即， 所以抛物线的焦点坐标为. 故选：C 16．已知抛物线上一点P到x轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义求值即可. 【详解】已知抛物线中，，， 所以准线为，因为点P到x轴的距离是4， 所以点P到准线的距离为， 故选：B. 17．如图所示，在正方体中，为顶面的中心，为底面的中心，异面直线与所成的角是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定异面直线所成角的定义，再通过正方体的性质找到与异面直线平行的直线，从而确定所成角的大小。 【详解】因为是正方体上下底面中心的连线， 所以和正方体的侧棱是平行且相等的， 因此异面直线与所成的角等价于与所成的角. 在正方体中，与在同一个平面内，两者互相垂直. 因此，异面直线与所成的角是. 故选：D. 18．在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】结合空间中直线垂直与相交的位置关系，分别判断充分性与必要性是否成立即可求解. 【详解】空间中两直线垂直包含相交垂直和异面垂直两种情况， 当两直线为异面垂直时，两直线不相交，故充分性不成立； 若两直线相交，其夹角的取值范围为，仅当夹角为时两直线才垂直，故必要性不成立， 所以在空间中，“两直线互相垂直”是“两直线相交”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 19．若正四棱锥的侧棱是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过构建正四棱锥的几何模型，利用线面角的定义，在直角三角形中即可求出侧棱与底面所成角的余弦值. 【详解】    设正四棱锥的底面边长为a，因此侧棱长为2a， 设底面正方形的中心为O，则垂直于底面， 连结，则是侧棱在底面的投影， 因此，侧棱与底面所成的角即为， 面，所以， 在正方形中，， ， 故选：C 20．在正方体中，点为棱中点，则下列结论正确的是（   ） A．平面平面 B．平面 C．异面直线与所成角 D． 【答案】D 【分析】根据正方体的几何性质，借助面面垂直与线面平行、异面直线所成角判断即可； 【详解】   在正方体中，体对角线垂直于平面；如果平面垂直于平面， 那么平面必须包含或者平行于；显然平面与相交且不垂直； 所以平面不垂直平面；故选项A错误； 直线和平面有一个公共点，所以直线与平面相交，不可能平行，故选项B错误； 因为，所以异面直线与所成角，就是直线与所成角，即. 连接，在中，平面，而在该平面内，所以； 设正方体的棱长为2，则，因为是的中点， 所以在中，，则， 在，因为，而， 所以异面直线与所成角不是.故选项C错误； 连接，在正方体中，底面为正方形，对角线互相垂直，即， 因为，所以， 又因为侧棱底面，而，所以； 因为，、都在平面中， 所以平面，因为平面， 所以，故选项D正确； 故选：D 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知，设，且是的必要非充分条件，则的取值范围是________ 【答案】 【分析】将条件转化为对应集合，，利用必要非充分条件与集合包含关系的转化，得是的真子集，所进而列出不等式求解即可. 令集合，集合，由是的必要非充分条件，可得是 的真子集，所以，解得. 故答案为：. 22．若向量，，，且，则________． 【答案】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，，则, 所以，解得. 故答案为：. 23．已知复数，则___________. 【答案】2 【分析】根据复数的运算法则即可得解. 【详解】， 所以， 故答案为：. 24．若方程表示双曲线，则的取值范围是____ . 【答案】 【分析】根据双曲线标准方程的形式，求解即可. 【详解】因为方程表示双曲线， 所以，可化为， 解得； 所以的取值范围是. 故答案为： 25．如图，已知，为在平面内的射影，在平面内，且，为直角三角形，，，则与平面所成的角的大小为________. 【答案】/ 【分析】首先找出线面角，再分析该角所在的三角形进行计算求解. 【详解】因为，为在平面内的射影，所以与平面所成的角为. 设，在中，，所以，. 又因为，平面，所以. 又，，且两直线在平面内，所以平面，又平面，所以. 在中，，，所以. 在中，，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知，. (1)若，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A，利用集合之间的关系即可求解. （2）由是的充分不必要条件得是的真子集，分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】（1）因为集合，， 因为，所以，则，解得， 则的取值范围为. （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 当时，则，解得； 当时，（等号不同时成立），此时无解， 综上，实数的取值范围是. 27．已知，，. (1)求及； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的模的公式求模，根据向量内积公式求内积. （2）根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】（1），，. 由模的公式得， . （2）由得， 即， 代入得， 解得. 28．依次求出下列圆锥曲线的标准方程、长轴长或实轴长、短轴长或虚轴长、焦距、离心率、渐近线． (1) (2) 【答案】(1)标准方程:长轴长;短轴长;焦距;离心率; (2)标准方程:;实轴长虚轴焦距离心率渐近线 【分析】由椭圆的几何性质以及双曲线的几何性质即可求解. 【详解】（1）解：将化为标准方程为该曲线是焦点在y轴上的椭圆,且 即 所以长轴长:;短轴长:;焦距:;离心率:. （2）解:将化成标准方程为;该曲线是焦点在轴上的双曲,且 即 所以实轴长:虚轴长:焦距:离心率:渐近线: 29．如图所示，已知正三棱柱所有的棱长均为2，点M是棱AC的中点．求： (1)直线与平面所成角的正切值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取的中点为D，连接，根据线面垂直的判定方法证明出平面，得出为直线与平面所成的角，再由锐角三角函数的定义求值即可. （2）分别取和的中点为，再连接，得出三棱锥体积等于三棱锥的体积，并由棱锥的体积公式求值即可. 【详解】（1）取的中点为D，连接， 为等边三角形， ，为正三棱柱， 平面，点M是棱AC的中点， ，平面， 平面，， ，且平面， 平面， 则为直线与平面所成的角， ，， ， ， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）分别取和的中点为，再连接， 在中，，， 为正三棱柱，点M是棱AC的中点， ，， ，则四边形为平行四边形， ，且，平面， 平面， ，即， 连接，则，， ， 三棱锥的高， 所以. 30．已知抛物线C：的焦点，直线：与抛物线C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若线段的中点为P，求点P的坐标； (3)若点O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1). (2). (3). 【分析】（）根据抛物线的焦点坐标求出值即可得解. （）联立方程组，结合韦达定理及中点坐标公式即可得解. （）根据弦长公式求出的长度，结合点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，代入三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）抛物线C：的焦点， 则抛物线的焦点在轴正半轴，且， 抛物线方程为：. （2）令，， 联立方程组得， 则，， 直线方程，所以， 所以线段的中点为P的坐标为， 所以线段的中点为P的坐标为. （3）令，， 由（）可知，，， 则， 原点到直线：的距离为， 所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $