综合测试卷（三）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷

**基本信息** 紧扣中职数学《拓展模块上册》，设AB卷与综合测试卷，综合测试卷（三）覆盖复数、向量、立体几何、圆锥曲线等核心考点，适配单元复习，强化基础巩固与能力提升，培养抽象能力、推理能力及模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20/60|复数纯虚数条件（1）、向量共线（5）、立体几何线面关系（12）、椭圆离心率（14）|基础考点分层设题，如第2题复数参数求解（基础）、第10题向量夹角与数量积关系（能力）| |填空|5/20|充要条件判断（21）、向量线性运算（22）、异面直线夹角（24）|聚焦知识应用，如第25题椭圆定义与中点性质结合| |解答|5/40|向量共线证明（26）、立体几何面面垂直证明（29）、椭圆与双曲线综合（30）|综合题注重逻辑推理，如第29题结合面面垂直性质与线面角计算，体现数学思维与表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．“”是“复数是纯虚数”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知复数为纯虚数，则实数的值是（   ） A．2 B．1 C．0 D． 3．如图，用符号语言可以表达为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） ①两个单位向量一定是相等向量     ②零向量与任一向量共线 ③若向量，，则     ④两个平行向量的模可以不同 A．①② B．②④ C．③④ D．①④ 5．若向量，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，，，则（　　） A． B． C． D． 7．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 8．在平行四边形ABCD中，，用和表示为（   ）    A． B． C． D． 9．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．“向量的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．已知是两个不重合的平面，是平面内的直线，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 12．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列错误的是（    ） A． B．平面 C．平面 D．棱锥的体积为 13．如图，已知正方体，则下列命题中错误的是（    ） A．平面 B．与平面ABCD所成的角是 C．与BD所成的角为 D．AC与所成的角是 14．已知椭圆的图像过点和，则椭圆 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 15．如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 16．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 17．下面四个命题 ①如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行． ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行． ③分别在两个平行平面内的两条直线平行． ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确命题的个数是（    ） A． B． C． D． 18．已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 19．直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．2 D．4 20．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的___________条件． 22．如图，在中，D是的中点，，则___________． 23．已知，则的值为______． 24．已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 25．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则______________ 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 27． 已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 28．已知复数，求满足下列条件的实数m的值或取值范围． (1)复数z与复数相等； (2)复数z与复数互为共轭复数； (3)复数z在复平面内对应的点在实轴上方． 29．如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 30．已知椭圆与双曲线有公共点，它们的离心率和为，如图所示．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P是该椭圆上一点，且，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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故正确的说法为②④. 故选：B. 5．若向量，，且，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意结合平面向量数量积的运算法则即可得解. 【详解】向量，，且， 则， 所以， 故选：. 6．已知，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据点的坐标得到向量坐标，再结合向量内积的坐标公式，即可解得. 【详解】因为，，， 所以，， 即. 故选：C. 7．已知向量，，，若，，则（   ） A． B． C．8 D．10 【答案】D 【分析】根据两个平面向量平行与垂直的关系求出的值，结合平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】向量，，， 因为，则，解得，所以； 因为，则，解得，所以， 则， 所以， 故选：. 8．在平行四边形ABCD中，，用和表示为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得E为上靠近C的三等分点，然后利用向量线性运算的几何应用求解. 【详解】由得E为上靠近C的三等分点，则. 故， 故选：D. 9．“”是“方程表示椭圆”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程以及充分、必要条件的定义求解即可. 【详解】当方程表示椭圆时，必有所以且； 但当3时，该方程不一定表示椭圆，例如当时，方程变为，它表示一个圆． 所以“”不能推出“方程表示椭圆”， “方程表示椭圆”可以“”， 所以”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：B. 10．“向量的夹角为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据向量的内积与夹角的关系及充分、必要条件的定义即可求解. 【详解】当向量的夹角为钝角时，显然成立， 所以“向量的夹角为钝角”是“”的充分条件； 但当时，不是钝角，所以必要性不成立， 故选：B. 11．已知是两个不重合的平面，是平面内的直线，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由面面平行定义可推线面平行，若平面内一条直线与另一平面平行，不一定推出面面平行. 由题知若，由面面平行定义可知，平面内任意一条直线均与平面无交点， 则有，充分性成立； 若是平面内的直线且，能够推出或、相交， 则必要性不成立. 故选：B 12．在底面为正方形的四棱锥中，平面，，则下列错误的是（    ） A． B．平面 C．平面 D．棱锥的体积为 【答案】D 【分析】利用线面垂直的判定与性质定理判断AB，利用线面平行的判定定理判断C，利用棱锥的体积公式判断D，从而得解. 【详解】对于A，在四棱锥中，底面是正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B，在四棱锥中，底面是正方形，则， 因为平面，平面，所以， 又平面，所以平面，故B正确； 对于C，在四棱锥中，， 又平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为在四棱锥中，平面，， 所以，，故D错误. 故选：D. 13．如图，已知正方体，则下列命题中错误的是（    ） A．平面 B．与平面ABCD所成的角是 C．与BD所成的角为 D．AC与所成的角是 【答案】C 【分析】由线面平行的判定定理判断A选项，由直线与平面所成的角判断B选项，由直线与直线所成的角判断CD选项即可. 【详解】对于A，平面平面，则平面，A正确， 对于B，因为平面ABCD，与平面ABCD所成角为，B正确， 对于C，与BD所成角即为AC与BD所成角， 而正方形对角线互相垂直，AC与BD所成角为，即与BD所成角为，C错误， 对于D，连接，AC与所成角即为与所成角， 连接，则，则AC与所成角为，D正确． 故选:C. 14．已知椭圆的图像过点和，则椭圆 C 的离心率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用椭圆所过点的坐标确定的值，进而求解离心率即可； 【详解】因为椭圆的图像过点和， 所以， 所以，则， 所以椭圆的离心率为， 故选：A 15．如图所示，点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点，则椭圆的标准方程是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图得到焦点与短轴顶点的坐标，进而求出，得到椭圆的标准方程. 【详解】由图可知，点和点的坐标分别为和， 点和点分别为椭圆的焦点和短轴顶点， 所以椭圆的焦点在轴上，且，即， 可得椭圆的标准方程为. 故选：C. 16．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定，可知C正确；根据线线、线面、面面的位置关系可判断A、B、D错误. 【详解】对A选项，与可能相交、异面，故错误； 对B选项，与可能相交，故错误； 对C选项，因为，所以.故正确； 对D选项，与可能平行，故错误； 故选：C 17．下面四个命题 ①如果一个平面内的两条直线平行于另一平面，那么这两个平面平行． ②如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行． ③分别在两个平行平面内的两条直线平行． ④已知两个平行平面中的一个平面内有一条直线，则在另一个平面内有且只有一条直线与已知直线平行． 其中正确命题的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由两平面平行的判定与性质即可得解. 【详解】对①，一个平面内的两条相交直线平行另一个平面，则两个平面平行，①错误. 对②，如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行，②正确. 对③，两个平行平面内的直线不相交，则平行或异面，③错误. 对④，过两个平行平面内的一条直线有无数个平面与另一个平面相交，则该直线与交线都平行，④错误. 综上只有一个正确命题. 故选：. 18．已知双曲线的一条渐近线方程为，其虚轴长为（    ） A．16 B．8 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题意，结合双曲线方程，表示出a和b的值，结合渐近线方程可得的值，继而列出等式求得m的值，即可求得虚轴长. 【详解】因为双曲线的标准方程为， 所以焦点在x轴上，且，即， 又双曲线的一条渐近线方程为，即， 所以，即，解得， 所以，虚轴长为. 故选：C. 19．直线过抛物线的焦点F，且与抛物线交于两点，则等于（    ） A．6 B．8 C．2 D．4 【答案】B 【分析】通过焦点在直线上的条件求出抛物线方程，联立直线和抛物线，通过韦达定理得到的值，再通过焦点弦性质求解即可. 【详解】易知抛物线焦点为， 代入直线方程可得：，解得，抛物线方程为： 由可得 设， 则有， =， 故选：. 20．抛物线上的点到直线距离的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将曲线上的点到直线的最短（长）距离转化为与已知直线平行且与曲线相切的直线，求两直线的距离 【详解】设与直线平行且与抛物线相切的直线方程， 联立消y得. 则， 得． 则直线方程为． ∵两平行线间的距离即为抛物线上的点到直线的最小值 ∴距离最小为. 故选:C. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，则s是q的___________条件． 【答案】充要 【分析】根据充要条件的传递性可得三个条件等价，进而可得答案． 【详解】已知都是r的必要条件， 则，由s是r的充分条件， 得，所以， 又q是s的充分条件，所以， 即， 所以s是q的充要条件. 故答案为：充要. 22．如图，在中，D是的中点，，则___________． 【答案】1 【分析】先用表示与，然后求内积即可. 【详解】因为D是的中点，所以， 又， 所以， 故答案为：1． 23．已知，则的值为______． 【答案】2 【分析】根据相等复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故答案为：2. 24．已知分别是正方体的边上的点，若，则异面直线与所成的角等于_____. 【答案】 【分析】利用平面几何证得，再利用平行线的传递性得到，从而得到为异面直线与所成的角（或其补角），再证得是等边三角形，从而得解. 【详解】连接， 因为在正方体中，，又， 所以，故， 因为在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则， 所以，则为异面直线与所成的角（或其补角）， 在正方体中，为其面对角线，易得， 所以是等边三角形，所以，即异面直线与所成的角为. 故答案为：. 25．椭圆长轴为10，点在椭圆上，F为焦点、且，M是PF的中点，则______________ 【答案】3 【分析】根据椭圆的定义及几何性质，分析求解即可. 【详解】设椭圆的另一个焦点为， 由椭圆的定义可知，， 因为，所以， 又因为分别为中点， 所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．已知向量，． (1)求； (2)若，，，求证：，，三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解； （2）根据向量共线的性质，即可求解． 【详解】（1）由题意得，，，则， 故. （2）因为，，则， 所以，所以，所以，，三点共线． 27．已知集合，，若“” 是“” 成立的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据必要条件转化为即可求解. 【详解】由“” 是“” 成立的必要条件可得， 故，又，所以 28．已知复数，求满足下列条件的实数m的值或取值范围． (1)复数z与复数相等； (2)复数z与复数互为共轭复数； (3)复数z在复平面内对应的点在实轴上方． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据相等复数的概念列方程求解即可. （2）根据共轭复数的概念列方程求解即可. （3）根据复数的几何意义列不等式求解即可. 【详解】（1）已知复数， 由复数z与复数相等， 得， 即，解得. （2）若复数z与复数互为共轭复数， 得， 即，解得. （3）若复数z在复平面内对应的点在实轴上方， 则， 解得或， 故实数m的取值范围为． 29．如图所示，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，，且．    (1)若，求与平面所成角的正切值； (2)求证，平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面角的定义结合面面垂直的性质定理可知为与平面所成的角，设，根据已知条件结合直角三角形中正切的定义即可求解. （2）利用面面垂直的性质定理即可证明. 【详解】（1）取中点，连接，因为为等边三角形，所以． 又平面平面，交线为，所以平面， 又平面，所以， 则为与平面所成的角， 设，则 ． 在平面中，过作于， 因为 ，所以，又， 所以 ， 所以．    （2）因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． 30．已知椭圆与双曲线有公共点，它们的离心率和为，如图所示．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设点P是该椭圆上一点，且，求的面积． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先根据双曲线的标准方程解得，再由离心率之和解得椭圆的离心率即可求解. （2）根据椭圆的定义解得，结合余弦定理即可解得. 【详解】（1）解：由双曲线可得， 所以. 因为焦点在x轴上，则双曲线离心率. 因为椭圆与双曲线的离心率之和为, 所以椭圆离心率. 设椭圆的半长轴为，半短轴为. 则在椭圆中，解得 则 所以椭圆的标准方程为. （2）因为点P是该椭圆上一点，且， 所以，． 由得， . 解得. 所以的面积为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $