综合测试卷（一）-《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）单元过关卷

**基本信息** 紧扣《数学 拓展模块上册》核心考点，设AB卷与综合测试卷，A卷巩固基础、B卷提升能力，综合卷模拟实战，适配中职数学单元复习，助力学生构建知识网络与提升解题能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|20/60|复数虚部、向量垂直、立体几何线线角、椭圆离心率等|梯度分布基础考点，如复数虚部考查抽象能力，立体几何线线角培养空间观念| |填空|5/20|向量模、椭圆长轴短轴比、抛物线焦点等|聚焦核心公式应用，如椭圆长轴短轴比强化数学思维| |解答题|5/40|复数分类、向量夹角、立体几何证明与体积、椭圆方程与距离|综合考查知识整合，如立体几何证明与体积计算提升推理能力，椭圆问题培养数学语言表达|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数概念求解即可. 【详解】由复数定义可知，复数的实部为，虚部为， 所以的虚部为. 故选：A. 2．已知向量，若，则（ ） A． B．2 C．2或 D．2或 【答案】C 【分析】由向量的内积坐标表示即可得解. 【详解】∵向量，且， ∴，即，解得或. 故选：C. 3．如图，在长方体中，，，与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据异面直线夹角的定义及线面垂直的性质即可得解. 【详解】    如图所示，连接， 因为在长方体中，， 所以与所成角即为与所成角， 因为平面，平面，所以， 因为为长方体的体对角线，且，， 所以， ， 故选：. 4．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由,求出的取值范围,再根据充分条件与必要条件定义即可判断. 【详解】解：由得或, 故是的充分不必要条件. 故选：B 5．若椭圆的离心率为，则（ ） A． B．4 C． D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用离心率的意义求出值. 依题意，，所以. 故选：D 6．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用对数函数定义域的求法与二次不等式化简集合，再利用充分必要条件的定义即可得解. 【详解】因为，   当时，取，则由，得，解得， 此时，此时不成立，故充分性不成立； 当时，取，由，得，解得， 此时，满足，但不成立，故必要性不成立； 综上，“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 7．对称轴是轴，顶点在原点，且过点的抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的对称轴和所过的点设抛物线方程为，再将点代入求出即可. 【详解】已知抛物线对称轴是轴，顶点在原点， 且点位于第一象限，则设抛物线方程为， 将点代入得，解得， 所以抛物线方程是， 故选：B. 8．渐近线方程为，且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线渐近线方程设出双曲线方程，将点代入即可得解. 【详解】由渐近线方程为，则可设双曲线方程为， 代入点，得， 所以双曲线方程为. 故选：B. 9．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将抛物线的方程转化成标准方程，判断焦点在轴正半轴上易得答案. 【详解】抛物线的标准方程，则抛物线的焦点在轴正半轴上， 且，所以， 所以抛物线的焦点坐标为， 故选：C． 10．两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间中异面直线的定义得出答案. 【详解】因为两条直线所成角的为时，两条直线平行， 所以空间中两条异面直线所成角的范围是. 故选：C. 11．，则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据复数模的运算法则求出，再将化简为，即可得出复平面内对应的点 【详解】因为，所以， 则， 所以复数在复平面内对应的点为，在第三象限. 故选：C. 12．“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用椭圆的标准方程结合充分、必要条件的定义计算即可. 【详解】易知时，，但时有， 此时方程表示圆，所以不满足充分性， 若方程 表示的曲线为椭圆，则， 显然成立，满足必要性， 故“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件. 故选：B 13．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直关系的向量表示和向量的模的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 因为，, 所以， 所以. 故选：C. 14．已知双曲线与抛物线有公共的焦点，且双曲线的离心率为3，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线和抛物线的标准方程及性质，分析求解即可. 【详解】因为抛物线的方程为，所以， 其焦点坐标为， 因为双曲线和抛物线有公共的焦点， 所以双曲线的一个焦点坐标为，即， 又因为双曲线的离心率为3，即， 所以，所以， 因此双曲线的方程为， 故选：A. 15．若向量与的夹角为，，且，则的模为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据向量数量积的概念及运算律可求解. 【详解】由，可得 ， 又向量与的夹角为，，上式可化为 ， 即，解得（负根舍去） 故选：C 16．如图所示，平行四边形中，点，分别是边，的中点，若，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为基底，结合平行四边形中向量的关系，将向量用表示. 【详解】在平行四边形中，已知，， 因此， 故选：B. 17．下面有四个说法： ①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； ②如果平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，那么； ③垂直同一平面的两个平面互相平行； ④垂直同一平面的两个平面互相垂直. 其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】分析：利用线面垂直和面面垂直的性质，进行逐一判断即可得出结果. 解：①由面面垂直的判定定理可知，经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直，故①正确； ②由线面垂直和面面垂直的性质可知，若，则或， 又，所以，即②正确； ③垂直同一平面的两个平面互相平行或相交，故③错误； ④垂直同一平面的两个平面互相平行或相交，故④错误； 综上可得，正确的说法个数是2个. 故选：B 18．下列命题正确的是（    ） A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 B．过平面外一条直线有且只有一个平面与这个平面平行 C．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 D．过平面外一点，可以作无数个平面与这个平面平行 【答案】A 【分析】根据空间点线面位置关系判断即可. 【详解】过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行，A正确； 过平面外一直线，当直线与平面相交时，不存在任何一个平面与已知平面平行，B错； 过平面外一点有无数条直线与已知平面平行，C错误； 过平面外一点有且只有一个平面与这个平面平行，D错误． 故选：A. 19．如图所示，已知正方体，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易知，即是直线与平面所成角，通过解直角三角形，即可求出该角的正弦值. 【详解】 如图，连接，在正方体中， 因为， 平面，平面， 所以平面， 所以即是直线与平面所成角， 在中，. 故选：C. 20．已知椭圆C：，圆，P，Q分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标与半径，画出图形，利用圆过椭圆右焦点结合椭圆定义与数形结合求解的最小值即可． 【详解】由圆，得． 则圆心为，半径， 作出椭圆与圆的图象如图， ，，， ，则， 则为椭圆的左焦点，可设椭圆的右焦点为， 则， 圆过点，要使最小，则需要取最大值为圆的直径． 的最小值为． 故选：D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知，则__________． 【答案】0 【分析】根据复数的除法运算可得，结合共轭复数的概念运算求解. 【详解】由题意可得：， 则，所以. 故答案为：0. 22．已知，且，则___________． 【答案】4或 【分析】利用模长及坐标运算可求得，由此可计算得到向量数量积. 【详解】因为，， 所以，，得， 当时，，； 当时，，； 故答案为：或. 23．已知向量，若，则实数________. 【答案】 【分析】先分别求出坐标，再由向量平行的关系列式求解即可. 【详解】向量， 则， 因为，则， 解得. 故答案为：. 24．已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为___________. 【答案】 【分析】根据椭圆的性质结合离心率公式即可得解. 【详解】椭圆C的离心率为， 由题设，则，解得， 所以长轴长与短轴长的比值为， 故答案为：. 25．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】根据抛物线方程求出焦点与准线方程，根据题意可知当共线时，的值最小即可得解. 【详解】由抛物线可知，焦点在轴正半轴上， 所以抛物线的准线为，焦点坐标为， 如图所示，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当共线时，和最小，此时过点向准线作垂线，垂足为， 则，所以最小值为5. 故答案为：5． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义，结合对数的真数为正数进行求解即可； （2）根据复数表示实数的性质，结合对数的真数为正数进行求解即可. （1）因为复数是纯虚数， 所以，解得， 所以当时，z是纯虚数． （2）因为复数是实数， 所以，解得，所以当时，z是实数． 27．已知，，其中分别是轴、轴正方向同向的单位向量 （1）若，求实数的值; （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1）或；（2）. 【分析】（1）由模长运算可直接构造方程求得结果； （2）根据向量夹角为钝角可得且与不共线，由此构造不等式组求得结果. 【详解】（1），，解得：或； （2）与的夹角为钝角，且与不共线， ，解得：且，实数的取值范围为. 28．设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）根据集合的包含关系求解即可. （2）根据充分不必要条件的概念得到是的真子集，根据包含关系求解即可. 【详解】（1）因为对任意， 都有， 所以， 当时， ， 解得，符合题意； 当时， 需满足，无解， 综上所述，实数a的取值范围是. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以（且不能同时取等），解得， 所以实数a的取值范围是. 29．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)2 【分析】（1）连接交于点，连接，根据三角形中位线性质得到，再利用线面平行的判定证明即可. （2）利用三棱锥等体积转换求解即可. 【详解】（1）连接交于点，连接，    则为的中点，因为为的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）. 30．已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，过点且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求，两点间的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据离心率公式，焦距，结合的关系即可求解. （2）根据点斜式方程，两点间距离公式，斜率公式即可求解. 【详解】（1）因为椭圆的离心率为，焦距为. 所以，解得， 又因为，所以. 则椭圆的标准方程为：. （2）因为直线的倾斜角为，所以直线斜率为. 又直线过点，由点斜式方程可得，. 即直线方程为：. 因为直线与椭圆相交于，两点，联立方程. 解得，，不妨令两交点，分别为. 则，所以，两点间的距离为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块上册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级 姓名 学号 成绩 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设复数，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，若，则（ ） A． B．2 C．2或 D．2或 3．如图，在长方体中，，，与所成角的余弦值是（    ）    A． B． C． D． 4．“”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若椭圆的离心率为，则（ ） A． B．4 C． D．2 6．若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．对称轴是轴，顶点在原点，且过点的抛物线方程是（   ） A． B． C． D． 8．渐近线方程为，且过点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 9．抛物线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 10．两条异面直线所成角的范围是（    ） A． B． C． D． 11．，则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12．“”是“方程 表示的曲线为椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知，，且，则（ ） A． B． C． D． 14．已知双曲线与抛物线有公共的焦点，且双曲线的离心率为3，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 15．若向量与的夹角为，，且，则的模为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 16．如图所示，平行四边形中，点，分别是边，的中点，若，，则可以表示为（   ） A． B． C． D． 17．下面有四个说法： ①经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直； ②如果平面和不在这个平面内的直线a都垂直于平面，那么； ③垂直同一平面的两个平面互相平行； ④垂直同一平面的两个平面互相垂直. 其中正确的说法个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．下列命题正确的是（    ） A．过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面平行 B．过平面外一条直线有且只有一个平面与这个平面平行 C．过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行 D．过平面外一点，可以作无数个平面与这个平面平行 19．如图所示，已知正方体，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 20．已知椭圆C：，圆，P，Q分别为椭圆和圆上的点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分). 21．已知，则__________． 22．已知，且，则___________． 23．已知向量，若，则实数________. 24．已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为___________. 25．已知P为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 26．设复数， (1)当实数m为何值时，z是纯虚数？ (2)当实数m为何值时，z是实数？ 27．已知，，其中分别是轴、轴正方向同向的单位向量 （1）若，求实数的值; （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 28．设全集，集合，集合. (1)若对任意，都有，求实数a的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 29．如图，在直四棱柱中，侧棱的长为3，底面是边长为2的正方形，是棱的中点.    (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积. 30．已知椭圆的离心率为，焦距为. (1)求椭圆的标准方程； (2)为坐标原点，过点且倾斜角为45°的直线与椭圆相交于，两点，求，两点间的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $