专题10 函数的应用（练习）-2027年江苏省（职教高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

**基本信息** 聚焦函数应用，通过分层训练构建从实际问题抽象函数模型到求解最值的完整路径，融合真题导向与支架式教学，强化数学建模与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|15题（选择/填空）|阶梯收费、行程问题等分段函数模型|从实际情境提取数量关系，建立一次/分段函数，培养数据意识| |综合应用|9题（解答）|利润最大化、面积最值等二次函数问题|通过建模转化为函数最值求解，强化推理能力与应用意识|

编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》练习 专题10 函数的应用 一、单选题 1．下有一批材料可以建成的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（    ） A． B． C． D． 2．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 3．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 4．如图，液体从圆锥漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 5．国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 7．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（ ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 8．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（ ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润为（   ）. A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 10．如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水下降1米后，水面宽为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 11．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 12．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 13．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产（件）防护服的利润为（千元），且，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过______件． 14．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 15．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 三、解答题 16．某企业计划从A，B两种人工智能产品中选择一种生产并销售，每日产销x件.已知A产品成本价为m元/件（m为常数，且），售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费元，（元）与每日产销x（件）满足关系式. (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式； (2)分别求，的最大值. 17．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为，已知总收入（元）满足函数：. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)每月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润） 18．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 19．某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日124元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用.用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）. (1)求函数的解析式和定义域 (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 20．在放春假期间，某小区组织业主组团外出旅游，人起组团，每人单价元.小区对接的旅行社对超过人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价就降低5元.已知旅行社的固定成本为元，设旅行团人数为，每人收费为元，旅行社利润为元. (1)求与的函数关系式； (2)当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润. 21．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 22．某企业生产一种蔬菜，总产量为14吨．若在市场上直接销售，每吨可获利万元；若对蔬菜进行精加工后再销售，每吨可获利万元，但需额外支付加工费．已知总加工费（单位：万元）与精加工的蔬菜量（单位：吨）的关系为：．该企业计划将吨蔬菜进行精加工后销售，剩余蔬菜在市场上直接销售，设总利润为万元．（总利润精加工销售额直接销售额总加工费） (1)求关于的函数表达式； (2)当精加工的蔬菜量为多少吨时，企业获得的总利润最大？最大总利润是多少万元？ 23．某商场试销售一种成本为每件60元的服装，规定试销售期间单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经过试销售发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且当每件售价为65元时，可卖出55件；每件售价为75元时，可卖出45件； (1)写出销售量与销售单价的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，商场能获得最大利润，最大利润是多少? 24．某企业拟共用100万元投资甲、乙两种商品．已知各投入万元，甲、乙两种商品可分别获得万元的利润，利润曲线如图．    (1)求函数的解析式； (2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，最大利润为多少． 考点10 函数的应用 1.（2026江苏省职教高考数学真题）为提升居民幸福指数，某市计划建设一处复合型口袋公园，主体景观为“矩形休闲区+半圆形绿植区”的组合设计，矩形区域的一条边与半圆形绿植区的直径重合，整体边界设置连续的健身步道，步道内侧总周长为120米（不含矩形与半圆重合的内部边界）.设半圆形绿植区的半径为米，矩形休闲区垂直于半圆直径的边长为米.（本题计算中） （1）求函数与自变量之间的函数关系式； （2）若矩形休闲区的面积不小于半圆形绿植区面积的2倍，求当半径为多少米时，公园主体景观的总占地面积最大？求出最大面积. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： （1）当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ （2）当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目。甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比。已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元 (1)分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式 (2)大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益 5.（2022江苏省职教高考数学真题）某电脑公司在甲乙两地销售同一种型号的电脑，已知在甲地的销售利润为（单位：元），在乙地的销售利润为（单位：元），其中 x为销售量（单位：台），且该公司在甲地的最大销售量为480台．若该公司在甲乙两地共销售500台该种型号的电脑，问该公司分别在甲乙两地各销售多少台电脑时，获得的利润醉大，最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江苏省职教高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江苏省职教高考 《数学一轮讲练测》练习 专题10 函数的应用 一、单选题 1．下有一批材料可以建成的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图所示），若围墙厚度不计，则围成的矩形最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可设出矩形场地的宽和长，结合矩形的面积，即可列出函数解析式，结合二次函数求最值，利用配方法，即可求解. 【详解】由题意，设围成的矩形场地宽为，则长为， 则，解得， 所以矩形场地的面积， 所以当时，面积取得最大值，即. 故选：A. 2．某人从A地出发，开汽车以80千米/小时的速度经2小时到达B地，在B地停留2小时，汽车离开A地的距离y（单位：千米）是时间t（单位：小时）的函数，则该函数的解析式为（　　） A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 【答案】B 【分析】利用分段函数模型运算即可得解. ∵从地出发，开汽车以千米/小时的速度 经小时到达地， ∴当时，； ∵在地停留小时， ∴当时，； 综上知，函数解析式是. 故选：B 3．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（ ） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 4．如图，液体从圆锥漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经3分钟漏完，已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则与下落时间（分）的函数关系表示的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合实际对比图像找到适合函数图像即可. 【详解】因为圆柱中液面上升的速度是一个常量， 所以在相同时间内液体下落的体积是一定的， 又因为所给的圆锥形漏斗上口大于下口， 所以漏斗中液面下落的距离会越来越大，且大得越来越快， 因此对比四个选项，只有B选项最符合. 故选：B. 5．国庆期间，某商场为吸引顾客，实行“买送，连环送活动”即顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，可以当作现金继续购物如果你有元现金，在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元，则元可得元购物券，再购物元可得元购物券，故可得结论． 【详解】解：由题意，顾客购物每满元，就可以获赠商场购物券元 所以，，， 所以， 所以在活动期间到该商场购物，最多可以获赠购物券累计元. 故选：D. 6．“空气质量指数”是定量描述空气质量状况的无量纲指数，当大于200时表示空气重度污染，不宜开展户外活动．某地某天0~24时的空气质量指数随时间变化的趋势由函数描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为（ ） A．6小时 B．7小时 C．8小时 D．9小时 【答案】C 【分析】根据题意，求得分段函数值小于等于200时的的范围，即可确定该天适宜开展户外活动的时长. 因为， 令，解得，此时； 令，解得，此时； 综上，. 所以该天适宜开展户外活动的时长至多为8小时. 故选：C. 7．嘉兴粽子以糯而不糊，肥而不腻，香糯可口，咸甜适中而著称，尤以鲜肉粽最为出名，被誉为“粽子之王”．小嘉销售一批嘉兴肉粽，每个肉粽的最低售价为10元．若按最低售价出售，每天能卖出40个；若每个肉粽的售价每提高1元，日销售量将减少2个．那么小嘉一天能获得的最大收入是（ ） A．440元 B．450元 C．460元 D．470元 【答案】B 【分析】通过设售价提高的金额，建立收入的二次函数模型，利用二次函数的性质求最大值. 设每个肉粽的售价提高元，则售价为元，日销售量为个. 收入. 因为二次函数开口向下，当时，取得最大值. 此时最大收入为元. 故选：B 8．某商场“国庆节”期间搞促销活动，规定：如果顾客购物的总金额不超过500元，不享受折扣优惠；如果顾客的购物总金额超过500元，那么超过500元的部分享受折扣优惠，折扣优惠按下表计算． 享受折扣的购物金额 折扣优惠 超过500元不超过1000元的部分 10％ 超过1000元的部分 20％ 王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，则王先生购物实际付款（ ）． A．1270元 B．1440元 C．1350元 D．1250元 【答案】A 【分析】设顾客购物总金额为元，求出购物优惠金额的函数关系，再由给定条件求得答案. 设顾客购物总金额为元，购物实际付款为元， 当时，； 当时，，优惠金额； 当时，， 优惠金额为， 而王先生在商场获得的折扣优惠金额为130元，，因此， 解得，所以王先生购物实际付款（元）. 故选：A 9．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为和，其中x为销售量（单位：辆），若该公司在这两地共销售15辆车，则可能获得的最大利润为（   ）. A．45.606万元 B．45.6万元 C．45.56万元 D．45.51万元 【答案】B 【分析】设出甲乙的销售量，代入利润公式求解即可. 【详解】设在甲地销售量为a，则在乙地销售量为， 设利润为y，则， 即， 对称轴为， ∵，即当时，最大利润为万元. 故选：B. 10．如图是抛物线形拱桥，当水面在图中位置时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水下降1米后，水面宽为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用已知条件建立直角坐标系求抛物线方程，然后即可求水面宽. 【详解】以水面为轴，拱形最高点向下作轴垂线为轴， 拱顶离水面2米，则，水面宽4米，则，， 因为对称轴为轴，可设抛物线方程为， 将与带入解析式， 则，解得，， 则解析式为， 水下降1米，则纵坐标为，即，代入解析式， 得，即，解得， 水面宽为米； 故选：.    二、填空题 11．某市“招手即停”城乡公共汽车的票价按下列规则制定： （1）5公里以内（含5公里），票价2元； （2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）. 小王乘坐公共汽车，去距离上车点公里处的公司办事，那么小王购买车票的票价为_____. 【答案】元 【分析】由，再由题意，即可求解. 因为，又，由题知5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按照5公里计算）， 所以小王购买车票的票价为元， 故答案为：元. 12．要建造一面靠墙、且面积相同的两间相邻的长方形居室，如图所示．如果已有材料可建成的围墙总长度为，那么当宽（单位：）为________时，才能使所建造的居室面积最大，居室的最大面积是________（单位：）． 【答案】 5 75 【分析】如图可得总面积与宽的关系，进而可得最值. 由题意，即， 设总面积为， 所以，所以， 所以当时，面积最大为， 故答案为：，. 13．2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击全球，造成了各种医用物资的短缺，为此某公司决定大量生产医用防护服．已知该公司每天生产（件）防护服的利润为（千元），且，若要使该公司每天不亏本，则每天生产的防护服数量最多不能超过______件． 【答案】 【分析】根据二次函数利润问题转化成一元二次不等式，解不等式易得答案. 【详解】因为已知该公司每天生产（件）防护服的利润为（千元）， 且，若要使该公司每天不亏本， 所以， 解得， 所以每天生产的防护服数量最多不能超过件． 故答案为：. 14．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表： 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 【答案】 【分析】根据题意列出分段函数，判断出所交电费对应用电量的范围，列方程求解即可. 设该月用电量为度，缴纳电费元， 则， 即. 当时，最大值为；当时，最大值为； 因为某户居民某月交纳电费元，所以用电量应满足. 令，解得度. 故该月用电量为度. 15．为积极响应国家“双碳”战略，推动重点领域节能降碳，某地区对年碳排放量超过一定规模的企业实行“基准配额与超额阶梯购买”相结合的管理机制．根据该地区2025年碳排放权交易实施细则，某中型数据中心的年度碳排放配额及超额购买价格标准如下表所示： 年度碳排放量区间 收费标准 不超过24000吨 0元／吨（使用免费基准配额） 超过24000吨但不超过36000吨的部分 65元／吨（按市场均价购买） 超过36000吨的部分 90元／吨（惩罚性溢价） 若该数据中心受业务增长驱动，近期月均碳排放量稳定在2600吨，不考虑绿电使用抵扣及其他政策性减免，则该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为______元． 【答案】 【分析】算出年度碳排放量，然后结合收费标准计算即可. 由题知，该数据中心年度碳排放量为， 因为， 所以该数据中心当年需支付的碳排放配额的购买费用为元. 故答案为： 三、解答题 16．某企业计划从A，B两种人工智能产品中选择一种生产并销售，每日产销x件.已知A产品成本价为m元/件（m为常数，且），售价为8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价为12元/件，售价为20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费元，（元）与每日产销x（件）满足关系式. (1)若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式； (2)分别求，的最大值. 【答案】(1)，，；. (2)当时，最大，为 ；当时，最大，最大为. 【分析】（）根据题意列出解析式即可得解. （）根据一次函数及二次函数的性质即可得解. 【详解】（1）由题意得，， ，. （2）因为，所以，为增函数，由题意得， 当时，最大，最大值为， 在中，，对称轴为， 函数在上为增函数，所以在区间上， 当时，最大，最大为； 17．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元，设月产量为，已知总收入（元）满足函数：. (1)将利润表示为月产量的函数； (2)每月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？（总收入=总成本+利润） 【答案】(1) (2)每月产量为300时，公司所获利润最大，最大为元. 【分析】（1）根据题意算出总成本，由总收入、总成本与总利润的关系得到总利润的解析式. （2）分别求两段解析式的最值，结合二次函数最值求法及一次函数单调性即可求解. 【详解】（1）由题可知，总成本为：， 则利润. （2）当时，， 则当时，有最大值为：， 当时，是减函数， 则， 综上，每月产量为300时，公司所获利润最大，最大为元. 18．为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系近似满足一次函数：． (1)李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？ (2)设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ (3)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于3000元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？ 【答案】(1)600元. (2)单价定为30元时，每月可获得最大利润为4000元 (3)500元. 【分析】（）由题意列出式子即可得解. （）由二次函数的最值问题即可得解. （）由题意列出方程，画出图像，设出总差价的函数，根据单调性即可得解. 【详解】（1）政府承担的总差价为. 当时，政府这个月为他承担的总差价为元. （2）由题意得：. ∴当时，w有最大值4000. 即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润，为4000元. （3）由题意得：，解得：或. 因为函数图像开口向下.    结合图像可知时，. 又因为，. 设政府每个月承担的总差价为元. 所以，为减函数. 所以当时，有最小值为. 政府为他承担的总差价最少为元. 19．某旅游景点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日124元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超出1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用.用y（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）. (1)求函数的解析式和定义域 (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 【答案】(1)；； (2)当每辆车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多 【分析】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，注意实际问题中的自变量取值范围； （2）利用一次函数，二次函数的单调性，注意自变量取值区间上的函数类型.应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值. 【详解】（1）当时，， 令得， 所以，， 当时，， 令得整数解为，， 故， 函数定义域为. （2）对于，当时，（元）， 对于，对称轴， 所以当时，（元）， 因为，所以当每辆车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多. 20．在放春假期间，某小区组织业主组团外出旅游，人起组团，每人单价元.小区对接的旅行社对超过人的团给予优惠，即旅行团每增加1人，每人的单价就降低5元.已知旅行社的固定成本为元，设旅行团人数为，每人收费为元，旅行社利润为元. (1)求与的函数关系式； (2)当旅行团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润. 【答案】(1) (2)当旅行团人数为人时，旅行社可获得最大利润，利润为元 【分析】（1）根据题意，建立分段函数模型即可. （2）分别讨论和两种情况，再由一次函数的单调性和二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】（1）依题意，得当时，； 当时，， 所以. （2）当时，， 因为为单调递增函数， 所以当时，取得最大值，. 当时， ， 当时，取得最大值，. ， 所以当旅行团人数为人时，旅行社可获得最大利润，利润为元. 21．某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. (1)当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ (2)当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 【答案】(1)人 (2)门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元 【分析】（1）根据题意列式求值即可. （2）首先根据题意建立二次函数的模型，再由二次函数的最值公式确定最值即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以当天的游客数为人. （2）设门票价格为元，当天的收益为元， 由题意得，， 则当时，， 所以当门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元. 22．某企业生产一种蔬菜，总产量为14吨．若在市场上直接销售，每吨可获利万元；若对蔬菜进行精加工后再销售，每吨可获利万元，但需额外支付加工费．已知总加工费（单位：万元）与精加工的蔬菜量（单位：吨）的关系为：．该企业计划将吨蔬菜进行精加工后销售，剩余蔬菜在市场上直接销售，设总利润为万元．（总利润精加工销售额直接销售额总加工费） (1)求关于的函数表达式； (2)当精加工的蔬菜量为多少吨时，企业获得的总利润最大？最大总利润是多少万元？ 【答案】(1). (2)当精加工的蔬菜量为4吨时，企业获得的总利润最大，最大总利润是万元. 【分析】（）根据题意列出分段函数解析式即可得解. （）分段求出二次函数及一次函数的最值即可得解. 【详解】（1）由题意可得，当时， 当时， 所以． （2）当时， ，当时，； 当时， 在上是增函数，所以当时； 因为，所以当精加工的蔬菜量为4吨时，企业获得的总利润最大，最大总利润是万元． 23．某商场试销售一种成本为每件60元的服装，规定试销售期间单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经过试销售发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数，且当每件售价为65元时，可卖出55件；每件售价为75元时，可卖出45件； (1)写出销售量与销售单价的函数关系式； (2)销售单价定为多少元时，商场能获得最大利润，最大利润是多少? 【答案】(1) (2)销售单价定为87元时，利润最大为891元. 【分析】（1）设，将点代入后即可求解； （2）写出利润元的函数表达式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设， 由题意得：，解得：， 又， ∴； （2）设商场销售利润为元， 由题意得：， ∵， ∴当时，. 答：当销售单价定为87元时，利润最大为891元. 24．某企业拟共用100万元投资甲、乙两种商品．已知各投入万元，甲、乙两种商品可分别获得万元的利润，利润曲线如图．    (1)求函数的解析式； (2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，最大利润为多少． 【答案】(1)，；， (2)用6.25万元投资甲商品，93.75万元投资乙商品，才能获得最大利润，为万元 【分析】（1）由函数的图像知过点，用这两点的横、纵坐标分别代入列方程组求出的值即可求函数的解析式； 函数的图像过点，用这两点的横、纵坐标分别代入列方程组求出的值即可求函数的解析式. （2）设用万元投资甲商品，那么投资乙商品为万元，总利润为万元，得总利润为函数解析式化为二次函数即可求得最大利润. 【详解】（1）过点 ∴，∴，∴， 过点 ∴，∴，，． （2）设用万元投资甲商品，那么投资乙商品为万元，总利润为万元. 当且仅当即时， 投资乙商品为万元 答：用6.25万元投资甲商品，93.75万元投资乙商品，才能获得最大利润，为万元． 考点10 函数的应用 1.（2026江苏省职教高考数学真题）为提升居民幸福指数，某市计划建设一处复合型口袋公园，主体景观为“矩形休闲区+半圆形绿植区”的组合设计，矩形区域的一条边与半圆形绿植区的直径重合，整体边界设置连续的健身步道，步道内侧总周长为120米（不含矩形与半圆重合的内部边界）.设半圆形绿植区的半径为米，矩形休闲区垂直于半圆直径的边长为米.（本题计算中） （1）求函数与自变量之间的函数关系式； （2）若矩形休闲区的面积不小于半圆形绿植区面积的2倍，求当半径为多少米时，公园主体景观的总占地面积最大？求出最大面积. 【答案】（1），. （2）当米时，总占地面积最大，最大面积为1012.5平方米. 【解析】 【分析】（）根据步道内侧总周长=半圆弧长+矩形的2个宽+矩形的1个长（不含与半圆重合的边）即可得解. （）根据题意结合矩形的面积公式及圆的面积公式列出不等式，得出，写出总占地面积的解析式，利用二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 半圆弧长为，矩形长为，宽为，因此总周长： ，整理得，即， 由得，因此定义域为. 【小问2详解】 矩形面积，半圆面积. 由得，解得，即. 总占地面积，为开口向下的二次函数，对称轴为. 因此在上单调递增，当时取得最大值： 平方米. 2.（2025江苏省职教高考数学真题）江苏无锡成为2025年央视春晚的分会场后，旅游业迎来了新的机遇．为了促进旅游业的发展，当地某景区推出了一个特色文化展览项目．该项目每天最多能接待的游客数为1500人，当票价为50元时，当天游客数达到上限．鉴于市场需求旺盛，景区欲提高票价，经市场调查发现，每天的票价每提高5元，游客数将减少100人．该项目每天的维护成本（元）是当天游客数的5倍，在不考虑其他因素的前提下，问： （1）当天的游客数为1000人时，当天的票价应为多少元？ （2）当天的票价为多少元时，当天的收益最大？并求最大收益． 【答案】（1）75元 （2）65元；72000元 【解析】 【分析】（1）我们可以根据票价和游客数的变化关系来计算当游客数为1000人时的票价． （2）需要先建立收益与票价的函数关系，再通过函数性质求出最大收益以及对应的票价. 【小问1详解】 当天的游客数为1000人时，当天的票价设为元． 所以，解得， 即当天的游客数为1000人时，当天的票价应为75元． 【小问2详解】 设票价为元，利润为元．票价相对于50元的提高量为元， 票价每提高5元，游客数减少100人， 因此游客数减少量为人， 游客数为人． 收益为票价乘以游客数：， 维护成本为游客数的5倍：成本， 利润收益减去成本： 一成本， 这是一个关于的二次函数，开口向下，其最大值出现在顶点处．顶点的横坐标为：元， 计算最大利润： 此时，游客数人． 即当天的票价应为65元时，最大收益为72000元． 3.（2024江苏省职教高考数学真题）近年来，电商行业的蓬勃发展拓宽了农产品的销售渠道.某农户将成本价20元/千克的有机大米按36元/千克的价格进行线上销售，每天可售出80千克.经统计发现，若将有机大米的售价每提高1元/千克，则日销售量减少4千克；若将有机大米的售价每降低1元/千克，则日销售量增加8千克.不考虑其他因素，问有机大米的售价定为多少元时，每日获得的利润最大？并求出最大利润. 【答案】当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 【解析】 【分析】分类讨论售价提高与降低时，每日获得的利润情况，结合二次函数的性质与配方法即可得解. 【详解】依题意，设售价为元，每日获得的利润为元. 当售价每提高1元/千克时，，此时每天售出千克大米， 所以 ， 所以当时，取得最大值为； 当售价每降低1元/千克时，，此时每天售出千克大米， ， 所以当时，取得最大值为； 综上，当售价定为元时，每日获得的利润最大，最大利润为元. 4.（2023江苏省职教高考数学真题）为响应国家乡村振兴战略，某地政府鼓励大学生返乡创业，启动甲、乙两个农业小微项目。甲项目的收益与投入金额成正比，乙项目的收益与投入金额的算术平方根成正比。已知甲、乙两个项目各1万元，获得的收益分别是0.2万元和0.4万元 (1)分别将甲、乙两个项目的收益表示为投入金额的函数关系式 (2)大学生小王筹集到资金3万元，全部投入到甲、乙两个项目，问如何分配投入金额，小王才能获得最大收益？并求最大收益 【答案】（1） （2）投入甲项目1万元，乙项目2万元，获得最大收益万元 【解析】 【分析】本题主要考查函数模型的建立与利用函数求最值，（1）根据已知条件建立甲、乙项目收益与投入金额的函数关系式；（2）通过建立总收益函数，利用函数性质求最大收益。 【小问1详解】 （1）设甲项目收益为，乙项目收益为， ，， ∴； 【小问2详解】 （2）设投入乙项目万元，则投入甲项目万元，总收益万元， ，， 设，则，， 对称轴，当时，最大为，此时，， 答：投入甲项目1万元，乙项目2万元，获得最大收益万元. 5.（2022江苏省职教高考数学真题）某电脑公司在甲乙两地销售同一种型号的电脑，已知在甲地的销售利润为（单位：元），在乙地的销售利润为（单位：元），其中 x为销售量（单位：台），且该公司在甲地的最大销售量为480台．若该公司在甲乙两地共销售500台该种型号的电脑，问该公司分别在甲乙两地各销售多少台电脑时，获得的利润醉大，最大利润是多少？ 【答案】该公司在甲地销售台，乙地销售台电脑时，获得的利润最大，最大利润是元。 【解析】 【分析】本题涉及二次函数的最值问题，需要先根据销售量的分配建立总利润函数，再结合二次函数的性质以及定义域来求解最大利润。 【详解】设该公司在甲地销售台电脑，则在乙地销售台电脑。已知甲地销售利润（），乙地销售利润。 总利润。 化简这个函数得： y= +40x+40000 对于二次函数（），当时，函数图象开口向下，对称轴为。 在函数中，<0，，所以对称轴为。 因为的取值范围是，而对称轴在这个区间内，所以当时，函数取得最大值。 此时在乙地销售的电脑数量为（台）。 将代入总利润函数： y= ×+40×160+40000=43200 综上，该公司在甲地销售台，乙地销售台电脑时，获得的利润最大，最大利润是元。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $