专题2.3 几种常见函数（讲义）-2027年湖南省（对口招生考试）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2.3 ·几种常见函数 【复习目标】 1.分段函数的应用； 2.二次函数性质的应用； 【考点 分段函数和二次函数】 一、分段函数 1. 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 . 二、二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 . 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 单调递减，在 上单调递增 在 单调递增，在 上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当 时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 【即时训练】 一、单选题 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．若，则等于    （    ） A． B．3 C． D．9 3．已知函数若，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 4．函数，则（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 6．已知函数，则关于此函数下列说法正确的是（   ） A． B．函数的定义域是 C．方程有解 D．在定义域内都成立. 7．函数是上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的值域是（   ）． A． B． C． D． 9．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 10．对任意，下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．已知函数，若，则实数__________. 12．若函数，则____________． 13．设函数，则不等式的解集为_________. 14．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为______________． 15．函数是偶函数，则实数______. 三、解答题 16．已知函数 (1)画出函数的图像； (2)若，求实数的值.   17．已知函数 (1)写出函数的定义域，作函数的图像； (2)若，求的取值范围． 18．已知函数 (1)求的定义域； (2)求 (3)作出函数的图像，并根据图像判断奇偶性. 19．已知二次函数． (1)当为偶函数时，求的值； (2)当时，写出函数的单调区间． 20．已知二次函数在上为减函数，在上为增函数． (1)求函数的解析式； (2)若求函数的值域． 21．若二次函数满足，且是偶函数． (1)求的解析式； (2)若在区间上，函数的图象恒在直线的上方，求m的取值范围． 1．（2024湖南对口升学考试第19题）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 2．（2023湖南对口升学考试第12题）已知函数若，则 ． 3．（2021湖南对口升学考试第18题）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年湖南省对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年湖南省对口招生考试 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题2.3 ·几种常见函数 【复习目标】 1.分段函数的应用； 2.二次函数性质的应用； 【考点 分段函数和二次函数】 一、分段函数 1. 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的 并集. 二、二次函数 1．二次函数解析式的三种形式 一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0). 顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 (m，n). 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在 上单调递减，在上单调递增 在 上单调递增，在上单调递减 顶点坐标 奇偶性 当 b＝0时为偶函数 对称轴 函数的图象关于直线x＝－成轴对称 【即时训练】 一、单选题 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性依次判定. 【详解】选项A中，，此时，当时，是单调减函数，故错误. 选项B中，的定义域为，故该函数在上不是单调递增，故错误. 选项C中，的底数大于1，且定义域为，故该函数在上是单调递增，故正确. 选项D中，在上是周期函数，有增有减，故不是单调递增的，故错误. 故选：C. 2．若，则等于    （    ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】首先将代入合适的解析式中求出的值，再将的值代入合适的解析式中求值即可. 【详解】已知， 则， 所以， 故选：D. 3．已知函数若，则实数（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】先求，再求，最后根据解析式，求解即可. 【详解】函数， 所以，因为，所以， 因为，故，所以，即. 故选：A. 4．函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数的解析式代入求解即可. 【详解】因为，所以，进而. 故选：D. 5．已知函数，则（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】先得到，将自变量代入对应的函数解析式，即可求解. 【详解】因为函数， 所以， 又，所以， 故选：B 6．已知函数，则关于此函数下列说法正确的是（   ） A． B．函数的定义域是 C．方程有解 D．在定义域内都成立. 【答案】D 【分析】对于A，求出，，比较即可；对于B，求得函数的定义域；对于C，分段讨论，解方程；对于D，分段讨论验证即可. 【详解】对于A，因为，，所以，A错； 对于B，依据题意，函数的定义域是，B错； 对于C，当时，，则方程，这与矛盾，故舍去； 当时，，则方程，显然不成立，舍去； 当时，，则方程，解得，与矛盾，舍去， 综上，方程无解，C错； 对于D，当时，，此时，； 当时，，此时，； 当时，，此时，， 综上，在定义域内都成立，故D正确， 故选：D. 7．函数是上的减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析每一段函数的单调性，再比较分段点处函数值的大小关系进行求解. 【详解】由题意， 当时，是减函数； 当时，为减函数，则； 在处，要满足； 即， 所以a的取值范围是. 故选：B 8．函数的值域是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】函数， 二次函数开口向上，最小值为，无最大值， 所以该函数的值域为， 故选：C. 9．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的解析式求出对称轴，结合二次函数的性质即可得解. 【详解】函数图象的开口向上，对称轴为直线， 所以时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值； 当时，函数有最大值， 所以的值域为， 故选：. 10．对任意，下列式子恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式，含绝对值不等式的解法，以及指数函数的值域，对数函数的单调性逐项分析即可. 【详解】由不等式， 得， 解得或，不是恒成立，故A错误， 由不等式，得， 解得，不是恒成立，故B错误， 因为指数函数， 则恒成立，故C正确， 由不等式，得， 因为在为增函数， 所以不是恒成立，故D错误， 故选：C. 二、填空题 11．已知函数，若，则实数__________. 【答案】或 【分析】根据分段函数的解析式进行讨论即可. 【详解】因为函数 所以当时，，此时； 当时，， 解得或（舍去）， 综上所述或. 故答案为：或. 12．若函数，则____________． 【答案】0 【分析】首先将代入合适的解析式中得出的值，再将的值代入合适的解析式求值即可. 【详解】已知函数， 因为，所以， 所以. 故答案为：0. 13．设函数，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据分段函数判断函数的定义域和性质，然后根据不等式分成不同的情况讨论. 【详解】因为在上单调递增，且当时，， 在上是常数， 又， 所以或且，解得或， 所以解集为. 故答案为：. 14．已知函数对于任意实数，均有，则实数的取值范围为______________． 【答案】 【分析】对a分类讨论，根据二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】由题意知函数，对于任意实数，均有， 当时，，符合题意； 当，且， 解得：； 当时，不符合题意， 综上所述. 故答案为：. 15．函数是偶函数，则实数______. 【答案】0 【分析】根据二次函数是偶函数的性质求解即可. 【详解】为偶函数，则对称轴为. 故答案为：. 三、解答题 16．已知函数 (1)画出函数的图像； (2)若，求实数的值. 【答案】(1)图象见详解 (2)2 【分析】（1）根据分段函数中对数函数及二次函数的性质，分别画出不同定义域内的函数的图像； （2）分，两种情况，代入相应的解析式，解方程可求解. 【详解】（1）    （2）①当时，， 解得，不符合题意； ②当时，， 解得，（舍去）. 因此，的值为2. 17．已知函数 (1)写出函数的定义域，作函数的图像； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】（1）根据函数的表达式求解即可. （2）根据函数的表达式分别讨论，结合一元二次不等式和指数函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）因为函数， 所以函数的定义域为，即． （2）当时，因为， 即，则， 当时，因为， ，得到， 因此，的取值范围为. 18．已知函数 (1)求的定义域； (2)求 (3)作出函数的图像，并根据图像判断奇偶性. 【答案】(1) (2) (3)图象见详解，奇函数 【分析】（1）取每段定义域的并集即可； （2）根据自变量的范围，代入相应的函数式中可求值； （3）利用分段函数的表达式作出图象，由函数图象关于原点对称可知，函数是奇函数. 【详解】（1）由题知， 因为， 所以函数的定义域为； （2）由题知， ； （3）函数的图像如下： 由图象知，函数图象关于原点对称,即函数是奇函数. 19．已知二次函数． (1)当为偶函数时，求的值； (2)当时，写出函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间：； 单调递减区间： 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求出，再代入解析式求解即可. （2）根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】（1）因为二次函数为偶函数， 所以，即， 解得，进而. 所以. （2）当时，，函数开口向下， 对称轴为. 所以单调递增区间：； 单调递减区间：. 20．已知二次函数在上为减函数，在上为增函数． (1)求函数的解析式； (2)若求函数的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性确定其对称轴，再由对称轴公式列方程求解即可. （2）根据二次函数的单调性确定最值即可. 【详解】（1）函数在上为减函数，在上为增函数， 对称轴为， 又函数的对称轴为， ，即． 函数的解析式为． （2）当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值， 当时，函数的值域为． 21．若二次函数满足，且是偶函数． (1)求的解析式； (2)若在区间上，函数的图象恒在直线的上方，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出由,是偶函数,列方程组,求出由此能求出的解析式; （2）转换的图象恒在直线的上方为令转化为二次函数在定区间内的最小值,能求出的取值范围. 【详解】（1）解：二次函数, 二次函数满足,且是偶函数, 解得 （2）当时,的图象恒在图象上方, 时,恒成立,即恒成立, 令对称轴为 函数在上单调递减, 时, 只要即可. 实数的取值范围是. 1．（2024湖南对口升学考试第19题）已知函数，其中． (1)当时，解不等式； (2)若的最大值为1，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）解一元一次不等式和一元二次不等式易得答案； （2）求二次函数和幂函数的最值易得答案. 【详解】（1）时，不等式化为： 或 解得或 所以不等式解为； （2）当时，，有， 当时，，有， 由已知有，即，所以的取值范围是． 2．（2023湖南对口升学考试第12题）已知函数若，则 ． 【答案】 【分析】根据分段函数性质计算. 【详解】若时，，，不符合题意. 故时，，解得为或4 而此时，故a为. 故答案为：. 3．（2021湖南对口升学考试第18题）已知函数 (1)画出函数的图象； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）根据指数函数的图象特点作出的图象，再根据一次函数的特点作出的图象即可； （2）当时，解不等式，当，解不等式即可求解. 【详解】（1）函数的图象如图所示：    （2）， 当时， ，可得：， 当，，可得：， 所以的解集为：， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $