精品解析：江苏省苏州市职业学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

江苏省苏州市职业学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 共线向量都相等 B. 单位向量都相等 C. 若，则 D. 若，则 2. 某班有60名学生，学号为1~60号，现从中抽出5位学生参与一项活动，用系统抽样的方法确定的样本号码可能为（ ） A. 5，10，15，20，25 B. 5，12，31，39，57 C. 5，15，25，35，45 D. 5，17，29，41，53 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 7. （高教版）为了解某班学生上课回答问题的情况，从班上抽取8名学生，对其一周内数学课上回答问题的次数进行统计（用内的整数表示），得到一组数据为3，4，5，6，6，7，8，9，则下列结论不正确的是（ ） A. 这组数据的极差是6 B. 这组数据的算术平均数是6 C. 这组数据的方差是3.5 D. 这组数据的众数是6 8. 已知直线过抛物线的焦点，且与双曲线的一条渐近线（倾斜角为锐角）平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 9. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若向量，，，且，则________． 12. 某职业学校共有360名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽10人，高三年级抽30人，则该校高二年级的学生共________人． 13. 已知抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离等于___． 14. 如图，是阿基米德墓碑上所刻的“圆柱容球”的图案，即圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，现有一个“圆柱容球”模型，若圆柱的体积为，则该模型中，球的体积是_____，圆柱的表面积是_____． 15. 若过点的直线与圆有两个公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知直线l经过直线：与：的交点M，分别求满足下列条件的直线l的方程． （1）经过原点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直． 17. 已知向量，，与的夹角为． （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，且，求的坐标． 18. 已知某组合体的三视图如图所示，说明该几何体由哪些简单几何体组成，并求该几何体的表面积和体积． 19. 已知圆C：与直线l：．当直线l被圆C截得的弦长为时，求： （1）实数a的值； （2）过点并与圆C相切的切线方程． 20. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，），现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）． （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件A所对应的子集，并求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 21. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程． 22. 2026年的美加墨世界杯是世界杯历史上首次由三个国家联合承办的盛会，某学校统计了该校500名学生一周内观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值以及一周观看时间在的人数； （2）估计该校每个学生一周内观看世界杯比赛直播的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 23. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若（O为原点），且，求直线PB的斜率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省苏州市职业学校2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑） 1. 下列命题中，正确的是（ ） A. 共线向量都相等 B. 单位向量都相等 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据相等向量、共线向量、单位向量、零向量及向量的模的概念可判断结果. 【详解】对A选项，共线向量可以方向相反，故不一定相等，错误； 对B选项，单位向量的长度相等，但方向可以不同，故不一定相等，错误； 对C选项，由可知：两向量的长度相等，但方向不一定相同或相反，故错误； 对D选项，由零向量的概念可知，若，则，正确. 故选：D 2. 某班有60名学生，学号为1~60号，现从中抽出5位学生参与一项活动，用系统抽样的方法确定的样本号码可能为（ ） A. 5，10，15，20，25 B. 5，12，31，39，57 C. 5，15，25，35，45 D. 5，17，29，41，53 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据题意确定分组情况和抽样间隔，分析即可得出结果. 【详解】对ABCD，由题意得，在60人中抽5人，需将60人分为5组， 每组人，故系统抽样抽取的第一个号码应在1~12之间， 依次加12得到后四个号码，即5，17，29，41，53，故ABC错误，D正确. 故选：D. 3. 已知向量，若，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示列方程求出，再由向量模的坐标表示求值即可. 【详解】已知向量， 且，则有，即， 所以. 故选：B. 4. 已知双曲线的一条渐近线方程为，且过点，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由双曲线渐近线方程得到与的关系，再将已知点代入双曲线方程求解即可确定双曲线方程. 【详解】已知双曲线的一条渐近线方程为， 则，即，所以双曲线方程为， 将点代入得，， 解得，所以双曲线的方程为， 故选：B. 5. 如图，一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的定义还原图形即可得解. 【详解】由题意可知，， 由直观图还原出原图，如图，则，， 所以． 故选：. 6. 圆关于直线对称的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知圆的圆心关于直线对称点的坐标，再利用两个对称圆的半径相同即可得解. 【详解】由圆可知其圆心为，半径， 设关于直线的对称点为，则 ，解得，即. 故所求圆的圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 故选：A 7. （高教版）为了解某班学生上课回答问题的情况，从班上抽取8名学生，对其一周内数学课上回答问题的次数进行统计（用内的整数表示），得到一组数据为3，4，5，6，6，7，8，9，则下列结论不正确的是（ ） A. 这组数据的极差是6 B. 这组数据的算术平均数是6 C. 这组数据的方差是3.5 D. 这组数据的众数是6 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差，平均数，方差，众数的概念即可求解. 【详解】对A，由题意得，极差为，故A正确. 对B，由题意得，算术平均数是，故B正确. 对C，由题意得，解法一（对应人教版）： 方差为； 解法二（对应高教版）： 方差为，故C错误. 对D，由题意得，出现次数最多，众数为，故D正确. 故选：C. 8. 已知直线过抛物线的焦点，且与双曲线的一条渐近线（倾斜角为锐角）平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的方程求出抛物线焦点坐标，根据双曲线方程求出渐近线方程，再由两直线平行斜率相等确定斜率，将点和斜率代入点斜式写出直线方程即可. 【详解】由抛物线可得， 其中，焦点坐标为， 由双曲线可得， 渐近线方程为， 因为直线与双曲线的一条渐近线平行， 且倾斜角为锐角，所以直线的斜率为， 所以直线方程为，即. 故选：D. 9. 一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的全面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出圆柱与球的表面积，即可求出表面积之比. 【详解】设球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则， 所以， 所以圆柱的全面积与球的表面积之比为. 故选：C. 10. 如图所示，已知双曲线（，）的左、右焦点分别是，，点P在双曲线的右支上，点A在y轴上，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，再由向量的线性坐标表示和向量垂直的坐标表示列方程得出 【详解】设， 则， 由，得， 则，即， 因为，且， 所以，整理得， 因为点P在双曲线的右支上，所以，即， 所以，所以， ，由， 得，即，所以离心率， 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 若向量，，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为向量，，，则, 所以，解得. 故答案为：. 12. 某职业学校共有360名学生，现用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为60的样本，其中高一年级抽10人，高三年级抽30人，则该校高二年级的学生共________人． 【答案】120 【解析】 【分析】先计算出抽样比，得出高二年级的样本数量，根据抽样比即可得出高二年级的学生人数. 【详解】从该校360名学生中抽取一个容量为60的样本，则抽样比为. 又高一年级抽10人，高三年级抽30人， 所以高二年级抽取的人数为：， 所以该校高二年级的学生人数是：. 故答案为：120 13. 已知抛物线经过点，则该抛物线的焦点到准线的距离等于___． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】先将点代入抛物线方程中，即可求解抛物线的焦点到准线的距离. 【详解】因为抛物线经过点， 所以， 所以抛物线，转化为标准方程为， 所以可得焦点坐标为，准线方程为， 所以焦点到准线的距离为. 故答案为：. 14. 如图，是阿基米德墓碑上所刻的“圆柱容球”的图案，即圆柱容器里放了一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，现有一个“圆柱容球”模型，若圆柱的体积为，则该模型中，球的体积是_____，圆柱的表面积是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，结合圆柱的体积公式，先求出圆柱的底面半径和高，继而求得球的半径，结合球的体积公式和圆柱的表面积公式，即可求解. 【详解】设圆柱的底面半径为r，高为h，球的半径为R， 因为该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，所以， 所以圆柱的体积， 解得，所以， 所以球的半径， 所以球的体积； 圆柱的表面积. 故答案为：；. 15. 若过点的直线与圆有两个公共点，则直线的斜率的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到直线与圆相交，由圆心到直线的距离求斜率即可. 【详解】因为直线与圆有两个公共点，所以直线与圆相交， 由圆可知：圆心，半径 若直线的斜率不存在，则过点的直线为， 圆心到直线距离为，此时直线与圆相离，不符合题意； 故直线斜率存在，不妨设直线为，即， 此时圆心到直线距离为， 直线与圆相交时，有，即，解得. 则直线的斜率的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知直线l经过直线：与：的交点M，分别求满足下列条件的直线l的方程． （1）经过原点； （2）与直线平行； （3）与直线垂直． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）先联立方程求解交点M，再由直线经过原点求解即可. （2）先由直线平行设出直线方程，再将点M代入即可求解. （3）先由直线垂直设出直线方程，再将点M代入即可求解. 【小问1详解】 联立方程，得， 得，又直线经过原点，设方程为， 即， 所以直线l的方程. 【小问2详解】 设与直线平行的直线方程为， 将代入得，， 故直线方程为. 【小问3详解】 设与直线垂直的直线方程为， 将代入方程得，解得， 故直线方程为:. 17. 已知向量，，与的夹角为． （1）求向量的坐标； （2）若向量与向量共线，且，求的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量内积的定义及向量内积、模的坐标表示，列方程可求解； （2）由向量共线可设，再根据向量线性运算及向量垂直的坐标表示，列方程可求解. 【小问1详解】 由题意得： ，，， 又与的夹角为， 则有，解得或， 经检验时方程不成立， 所以，； 【小问2详解】 因为向量与向量共线，所以可设， 因为，所以， 所以，解得，所以． 18. 已知某组合体的三视图如图所示，说明该几何体由哪些简单几何体组成，并求该几何体的表面积和体积． 【答案】该几何体由上部为一个正四棱锥与下部为一个正四棱柱组合而成，表面积为，体积为 【解析】 【分析】根据三视图，结合棱柱、棱锥的体积、表面积公式即可求解. 【详解】由几何体的三视图可得，该几何体由上部为一个正四棱锥与下部为一个正四棱柱组合而成， 正四棱锥的斜高为， 则其表面积为， 该几何体的体积为， 所以该几何体的表面积为，体积为． 19. 已知圆C：与直线l：．当直线l被圆C截得的弦长为时，求： （1）实数a的值； （2）过点并与圆C相切的切线方程． 【答案】（1）； （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用公式计算出圆心到直线l的距离，然后根据垂径定理和勾股定理得到弦心距，列出关于的方程，解得的值，最后由，得到满足题意的； （2）根据（1）得到的圆的方程，得到已知点在圆外，讨论斜率存在与否分别求得切线方程. 【小问1详解】 圆心，半径. 圆心到直线l：的距离为. 根据垂径定理和勾股定理得到弦心距为. 解得，（舍去）. 故. 【小问2详解】 . 在圆外. 若直线斜率不存在，即直线方程为. 圆心到该直线的距离为. 故直线为所求切线方程. 若直线斜率存在记为，设直线方程为. 圆心到该直线的距离为解得. 故直线为所求切线方程. 综上所求切线方程为或． 20. 在一次学校组织的“科技文化节”活动中，某数学学习小组有男同学3名（记为，，），女同学2名（记为，），现从中随机选出2名同学去参加“科技文化节”的数学竞赛（每人被选到的可能性相同，不考虑选择的先后顺序）． （1）写出这个随机试验的样本空间； （2）设事件A为“参赛的2名同学都是女同学”，写出事件A所对应的子集，并求出事件A发生的概率； （3）求事件“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”发生的概率． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用组合直接写出样本空间即可求解. （2）根据（1）中，找到符合的样本，利用概率公式即可求解. （3）根据（1）中，找到符合的样本，利用概率公式即可求解. 【小问1详解】 从5名同学中选取2名同学参赛，这个随机试验的样本空间为 【小问2详解】 由题意得，共1个样本点，由（1）知样本点个数为10，所以． 【小问3详解】 设“参赛的2名同学中恰好1名男同学和1名女同学”， 则，共6个样本点，所以． 21. 已知抛物线的焦点是双曲线的右焦点． （1）求抛物线的方程； （2）若过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将双曲线化为标准方程求出双曲线的焦点坐标，即为抛物线的焦点坐标即可求解. （2）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程结合向量垂直的条件列式即可求解. 【小问1详解】 将双曲线化为标准方程为， 在双曲线中，，所以， 所以双曲线的右焦点坐标为， 又抛物线的焦点是双曲线的右焦点， 则抛物线的焦点为，即解得，所以抛物线的方程为． 【小问2详解】 ①若直线的斜率不存在，则直线与轴重合，此时直线与抛物线只有一个交点，不符合题意， 所以直线的斜率不存在不满足条件． ②若直线的斜率存在，设斜率为，则直线的方程为， 当时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意； 当时，设，，联立方程组， 消去化简得， 所以，， ， 因为，所以，解得， 此时直线的方程为， 综上，直线的方程为． 22. 2026年的美加墨世界杯是世界杯历史上首次由三个国家联合承办的盛会，某学校统计了该校500名学生一周内观看世界杯比赛直播的时长情况（单位：分钟），将所得到的数据分成7组：，，，，，，（观看时长均在内），并根据样本数据绘制如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值以及一周观看时间在的人数； （2）估计该校每个学生一周内观看世界杯比赛直播的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （3）采用分层抽样的方法在观看时长在和的学生中抽取6人，现从这6人中随机抽取2人分享观看感想，求抽取的2人恰好观看时长在的概率． 【答案】（1），200人 （2）157.6分钟 （3） 【解析】 【分析】（1）由各组频率和为1，列方程可求的值，再根据频率、频数及样本容量的关系可得的人数； （2）根据平均数的概念可求解； （3）由分层抽样的定义结合频率分布直方图求出在和所抽取的人数，利用列举法得基本事件， 根据古典概型的计算公式可求得结果. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得：， 解得， 所以一周观看时间在的人数为：； 【小问2详解】 根据频率分布直方图，设平均数为， ， 据此可估计该校每个学生一周内观看世界杯比赛直播的平均时间为157.6分钟； 【小问3详解】 和的频率之比为， 故选取的6人中观看时长在的人数为4人，设为，，，， 观看时长在的人数为2人，设为，， 设事件A为“抽取的2人观看时长在”， 基本事件为：，，，，，， ，，，，，，，，，共15个， 事件A包含的基本事件有：，，，，，，共6个， 所以， 所以抽取的2人恰好观看时长在的概率为． 23. 设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，已知椭圆的短轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上．若（O为原点），且，求直线PB的斜率． 【答案】（1） （2）± 【解析】 【分析】（1）根据离心率与短轴长即可求解. （2）根据已知两点求斜率，两直线垂直，斜率乘积为，韦达定理，联立方程求坐标即可求解. 【小问1详解】 由题意得：，∴.又∵. 解得：.所以椭圆的方程为：. 【小问2详解】 如图 设，直线PB的斜率为. 因为，则设直线PB的方程为，与椭圆方程联立得， ，整理得：.所以. 解得.将代入得. 则.在中，令得，所以. 因为，所以.因为，所以. 解得.所以.经检验符合题意.则直线PB的斜率为±. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $