专题08圆心角与垂径定理暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题08圆心角与垂径定理暑假预习讲义 1.熟记弦、直径、弦心距、圆心角的定义，能在图形中快速识别对应线段与角，区分圆心角和其他角。 2.自主梳理垂径定理及其推论，明确定理条件（过圆心、垂直弦）和结论（平分弦、平分两段弧），牢记推论中 “被平分的弦不能是直径” 这一限制条件。 3.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等量转化关系，理解该结论仅在同圆、等圆内成立，半径不同的圆不能直接套用。 4.学会两类基础辅助线作法：遇到弦作弦心距、连接半径；出现圆心角连接两条对应半径。 5.会结合勾股定理，利用半径、弦长一半、弦心距的关系列式计算线段长度；能根据相等圆心角推导等弧、等弦，完成基础角度、线段计算。 6.能看懂拱桥、管道截面等实际几何模型，找准半径、弦、弦心距，初步建立方程求解实际长度。 7.可简单区分两类定理适用场景：涉及弦长、弦到圆心距离优先用垂径定理；涉及弧相等、角相等优先用圆心角相关性质。 8.能规范书写简单几何推理，标注垂径定理、圆心角弧弦关系作为依据。 9梳理易混淆知识点与疑问点：垂径定理特殊情况、圆心角等量转化前提、多解题型，课堂针对性听讲突破。 预习必备 知识梳理 1.基础相关概念 2.垂径定理及推论 3.弦.弧.圆心角 4.综合计算题型思路 5.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.圆心角概念辨析及简单运算 2.求圆弧的度数 3.由弧.弦.圆心角关系求解 4.由弧.弦.圆心角关系求证 5.利用垂径定理求值 6.由垂径定理求平行弦问题 7.由垂径定理求同心圆问题 8.由垂径定理求解其他问题 9.垂径定理的推论 10.垂径定理的实际应用 强化题型 解答题7题 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 2. 圆心角与圆周角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点 04 综合计算题型思路 1. 线段长度计算（垂径定理） 连半径、作弦心距，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解半径、弦长、弦心距。 2. 角度、弧度数计算（圆心角性质） 利用圆心角 = 对应弧的度数；结合等量转换找等弧、等角。 3. 几何证明 证弦相等 / 弧相等：先证对应圆心角相等； 证垂直、平分线段：使用垂径定理及推论。 4. 实际应用模型 圆柱形水管截面、石拱桥、圆形工件，统一用垂径直角模型求解。 知识点 05 高频易错点汇总 1.使用垂径推论时，忽略 “弦不能是直径” 的限制； 2.运用圆心角弧弦等量转换，忘记 “同圆或等圆” 前提； 3.计算弦长时，忘记使用弦长的一半代入勾股定理； 4.混淆弦心距（垂线段长度）与半径、直径； 5.认为弧长相等就是等弧，只有同圆 / 等圆中长度相等的弧才是等弧。 题型1.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【跟踪专练2】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【跟踪专练3】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 题型2.求圆弧的度数 【典例】如图，在中，已知，则弧的度数是___________． 【跟踪专练1】如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【跟踪专练3】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型3.由弧.弦.圆心角关系求解 【典例】如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 【跟踪专练2】如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【跟踪专练3】如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型4.由弧.弦.圆心角关系求证 【典例】如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【跟踪专练1】如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 【跟踪专练3】观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 题型5.利用垂径定理求值 【典例】如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 【跟踪专练1】如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【跟踪专练2】如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【跟踪专练3】在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 题型6.由垂径定理求平行弦问题 【典例】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【跟踪专练1】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【跟踪专练2】已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【跟踪专练3】如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 题型7.由垂径定理求同心圆问题 【典例】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【跟踪专练1】如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【跟踪专练2】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【跟踪专练3】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 题型8.由垂径定理求解其他问题 【典例】如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 【跟踪专练1】如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    【跟踪专练3】如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 题型9.垂径定理的推论 【典例】如图，在中，点是弦的中点，，的度数为__________． 【跟踪专练1】如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练2】如图，在中，是的外接圆，，对角线相交于点E，则点E在______．（填“圆内”、“圆上”、“圆外”） 【跟踪专练3】如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型10.垂径定理的实际应用 【典例】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____． 【跟踪专练1】如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【跟踪专练2】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【跟踪专练3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 解答题 1．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    2．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 3．某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带，（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段，且交于点E，交于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 4．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 5．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 6．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 7．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． (2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08圆心角与垂径定理暑假预习讲义 1.熟记弦、直径、弦心距、圆心角的定义，能在图形中快速识别对应线段与角，区分圆心角和其他角。 2.自主梳理垂径定理及其推论，明确定理条件（过圆心、垂直弦）和结论（平分弦、平分两段弧），牢记推论中 “被平分的弦不能是直径” 这一限制条件。 3.掌握同圆或等圆中圆心角、弧、弦三者的等量转化关系，理解该结论仅在同圆、等圆内成立，半径不同的圆不能直接套用。 4.学会两类基础辅助线作法：遇到弦作弦心距、连接半径；出现圆心角连接两条对应半径。 5.会结合勾股定理，利用半径、弦长一半、弦心距的关系列式计算线段长度；能根据相等圆心角推导等弧、等弦，完成基础角度、线段计算。 6.能看懂拱桥、管道截面等实际几何模型，找准半径、弦、弦心距，初步建立方程求解实际长度。 7.可简单区分两类定理适用场景：涉及弦长、弦到圆心距离优先用垂径定理；涉及弧相等、角相等优先用圆心角相关性质。 8.能规范书写简单几何推理，标注垂径定理、圆心角弧弦关系作为依据。 9梳理易混淆知识点与疑问点：垂径定理特殊情况、圆心角等量转化前提、多解题型，课堂针对性听讲突破。 预习必备 知识梳理 1.基础相关概念 2.垂径定理及推论 3.弦.弧.圆心角 4.综合计算题型思路 5.高频易错汇总 常考题型 精讲精练 1.圆心角概念辨析及简单运算 2.求圆弧的度数 3.由弧.弦.圆心角关系求解 4.由弧.弦.圆心角关系求证 5.利用垂径定理求值 6.由垂径定理求平行弦问题 7.由垂径定理求同心圆问题 8.由垂径定理求解其他问题 9.垂径定理的推论 10.垂径定理的实际应用 强化题型 解答题7题 知识点 01 基础相关概念 1.弦、直径、弦心距 弦：连接圆上任意两点的线段； 直径：经过圆心的弦，是圆内最长的弦； 弦心距：圆心到一条弦的垂线段的长度。 2.圆心角 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做圆心角。 3.弧的度数 圆心角的度数 = 它所对弧的度数；1° 圆心角对应 1° 的弧。 2. 圆心角与圆周角对比表 角的名称 顶点位置 核心特征 圆心角 圆心 两边过圆上两点，度数等于所对弧的度数 圆周角 圆周上 两边与圆相交，度数等于所对弧度数的一半 知识点02:垂径定理及推论（核心，勾股模型必记） 1.垂径定理：垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，∵CD⊥AB于P， 2.推论：平分非直径弦的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧 几何语言：⊙O中，直径CD平分非直径弦AB于P⇒CD⊥AB， 3.拓展结论：弦的垂直平分线必过圆心，且平分弦所对的两条弧 4.核心勾股模型（解题必考）：弦心距d、弦半长、半径r构成直角三角形 公式：d2+(l)2=r2 5.弦心距与弦长关系：同圆 / 等圆中，弦心距越大，弦越短；弦心距越小，弦越长（直径弦心距 = 0，为最长弦） 知识点 03： 弧、弦、圆心角 1. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：(1) 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 (2) 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称 **“知一推二” 2.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。 补充说明（便于课堂理解） （1）前提强调：所有 “知一推二” 的结论，必须在同圆或等圆中才成立，不同半径的圆不适用。 （2）弧的对应：比较弧时，必须是同类型弧（同为优弧或同为劣弧），不能将优弧与劣弧直接比较。 （3）记忆口诀：同圆等圆中，角等 ⇔ 弧等 ⇔ 弦等，知其一，得其二。 知识点 04 综合计算题型思路 1. 线段长度计算（垂径定理） 连半径、作弦心距，构造直角三角形，用勾股定理列方程求解半径、弦长、弦心距。 2. 角度、弧度数计算（圆心角性质） 利用圆心角 = 对应弧的度数；结合等量转换找等弧、等角。 3. 几何证明 证弦相等 / 弧相等：先证对应圆心角相等； 证垂直、平分线段：使用垂径定理及推论。 4. 实际应用模型 圆柱形水管截面、石拱桥、圆形工件，统一用垂径直角模型求解。 知识点 05 高频易错点汇总 1.使用垂径推论时，忽略 “弦不能是直径” 的限制； 2.运用圆心角弧弦等量转换，忘记 “同圆或等圆” 前提； 3.计算弦长时，忘记使用弦长的一半代入勾股定理； 4.混淆弦心距（垂线段长度）与半径、直径； 5.认为弧长相等就是等弧，只有同圆 / 等圆中长度相等的弧才是等弧。 题型1.圆心角概念辨析及简单运算 【典例】图中是圆心角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆心角的概念，解决本题的关键是掌握顶点在圆心的角叫作圆心角，根据圆心角的定义进行判断． 【详解】解：A、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； B、顶点O不在圆心，不符合圆心角的概念，不符合题意； C、顶点O在圆内，不符合圆心角的概念，不符合题意； D、顶点O在圆心，符合圆心角的概念，符合题意． 故选：D． 【跟踪专练1】把一个圆分割成个扇形，各个扇形面积的比为，则最大的圆心角的度数是______． 【答案】/144度 【分析】该题考查了圆心角，解一元一次方程，扇形面积比等于圆心角比，设比例系数为，根据圆心角和为列方程求解． 【详解】解：∵各个扇形面积的比为， 设四个扇形的圆心角分别为，，，， 则， 解得：， 最大圆心角为． 故答案为：． 【跟踪专练2】一张圆形纸片，圆周被等分，等分点分别为，圆形纸片的部分示意图如图所示，若的半径是2，弦，则（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了圆心角、勾股定理的逆定理等知识，熟练掌握圆心角的概念是解题关键．连接，先根据勾股定理的逆定理可得，再根据圆的性质求出圆心角，则，由此即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵的半径是2， ∴， ∵弦， ∴， ∴是直角三角形，， ∵圆形纸片被等分， ∴， ∴， 解得，经检验，是所列分式方程的解． 故选：C． 【跟踪专练3】如图，将大小不同的两块量角器的零度线对齐，大、小量角器的中心分别为、，且恰好在大量角器的圆周上，设图中两圆周的交点为，点在小量角器对应的刻度为，则点在大量角器上对应的刻度为_______．（只考虑小于的角） 【答案】 【分析】此题考查了圆心角、等腰三角形的性质和三角形内角和定理．熟练掌握用量角器上测量圆心角，并能根据相关性质求出各个角的度数是解此题的关键． 连接，由点P在小量角器对应的刻度，可知大小，再由，可求得即为点P在大量角器上对应的刻度． 【详解】解：连接，如图所示： 点P在小量角器对应的刻度为， ， ， ， ， 点P在大量角器上对应的刻度为． 故答案为：． 题型2.求圆弧的度数 【典例】如图，在中，已知，则弧的度数是___________． 【答案】 【分析】本题考查了求弧的度数． 根据等边对等角求出的度数即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴弧的度数是． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，则丁扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题需要根据扇形面积与圆心角的关系来求解丁扇形的圆心角． 【详解】已知甲、乙、丙、丁四个扇形的面积之比为，那么整个圆的面积可看作份 丁扇形的面积占6份，所以丁扇形面积占整个圆面积的比例为 ∵整个圆的圆心角是 ∴丁扇形的圆心角为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了扇形的面积与圆心角的关系，掌握在同一个圆中，扇形的面积比等于圆心角的比，利用这一关系结合圆的圆心角为，计算扇形的圆心角是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果的半径为，那么弦______________． 【答案】8 【分析】本题考查圆心角定理，等边三角形的判定． 连接，，则，由点A，B分别为半圆O上的三等分点，，从而是等边三角形，根据等边三角形的三边相等即可解答． 【详解】解：连接，， 则， ∵点A，B分别为半圆O上的三等分点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 故答案为：8 【跟踪专练3】如图，在中，，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质，求圆弧度数，等腰三角形性质，解题的关键在于恰当的作出辅助线解决问题．连接，利用直角三角形性质得到，结合圆的特点和等腰三角形性质得到，进而即可求得的度数． 【详解】解：连接， 在中，， ， ， ， ， 即的度数为， 故选：A． 题型3.由弧.弦.圆心角关系求解 【典例】如图，点A，B，C，D都在上，，下列说法一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆心角，弧，弦的关系判断即可． 【详解】解：∵， ，，，． 【跟踪专练1】如图，为的直径，点、是的三等分点，，则的度数为________． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，由平角的定义可得，再根据弧与圆心角之间的关系可得，据此可得答案． 【详解】解：∵为的直径，， ∴， ∵点、是的三等分点， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【跟踪专练3】如图，是的半径，是的中点，连接，点在的延长线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用邻补角定义求出，根据等腰三角形性质求出 ，再利用弧中点性质得出，最后求和即可． 【详解】解：连接， 点在的延长线上， 是的中点 ． 题型4.由弧.弦.圆心角关系求证 【典例】如图，都是的直径，且，则的弦，，的大小关系是_________． 【答案】 【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．根据对顶角相等得到，，，得到，根据圆心角、弧、弦的关系定理判断即可． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，分别为的两条弦，于M，于N，且，则下列结论中，正确的个数为（　　） ①；②；③． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦及弦心距的关系，熟练掌握圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系是解题的关键．结合已知条件，根据“在同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等”得到与之间的关系；根据圆心角、弧、弦及弦心距四者之间的关系即可得到弦与，弦心距与的数量关系，进而得出正确选项． 【详解】解：∵分别为的两条弦，， ∴，故③正确； ∵，于M，于N， ∴，故①②正确． 综上可知，正确的有3个． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在中，弦的长度是弦长度的两倍，连接，，，，则_______．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，弧、弦、圆心角的关系等，过点作交于点，先根据垂径定理证明，，根据等弧所对的圆心角相等可得，再证，可得，进而推出． 【详解】解：过点作交于点，连接． ，， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】观察下列选项中的图及相应推理，其中正确的是（   ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵的度数为，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的圆心角、弧、弦的相关知识，熟练掌握圆的相关知识是解题的关键．根据圆的圆心角、弧、弦的相关知识逐一分析即可解答． 【详解】解：A、由于两条弧不在同圆或等圆中，则，故A选项错误，不符合题意； B、在同圆或等圆中，两条弧相等，所对弦相等，故B选项正确，符合题意； C、弧的度数等于它所对圆心角的度数，则，故C选项错误，不符合题意； D、因为不是圆心角，则，故D选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型5.利用垂径定理求值 【典例】如图，是的直径，弦，那么________，________，的周长为________． 【答案】 【分析】根据垂径定理得到，，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的直径，弦， ∴，， ∴的周长为． 【跟踪专练1】如图，在中，的半径长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键． 利用垂径定理得到，根据勾股定理求出长，进而求出长． 【详解】解：是的半径，， 、， 在中，由勾股定理得：， ． 【跟踪专练2】如图，是的直径，且，为上一点，过作，交于点，交于点．若为中点，则的长为____________． 【答案】 【分析】连接，由垂径定理可得，最后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 是的直径，且，， ，， 为中点， ， 根据勾股定理，得， ． 【跟踪专练3】在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 题型6.由垂径定理求平行弦问题 【典例】⊙O的半径是10，弦，，则弦与的距离是（    ） A．2 B．14 C．2或14 D．7或1 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理的应用．作于E，于F，由垂径定理得，由于，易得E、O、F三点共线，在和中，利用勾股定理分别计算出与，然后讨论：当圆心O在弦与之间时，与的距离；当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 【详解】解：如图，作于E，于F，连， 则， ∵， ∴E、O、F三点共线， 在中，， 在中，， 当圆心O在弦与之间时，与的距离； 当圆心O在弦与的外部时，与的距离． 所以与的距离是14或2． 故选：C． 【跟踪专练1】已知的半径为，弦，弦，，则这两条平行弦，之间的距离为________． 【答案】或 【分析】本题考查圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键， 分弦和弦在圆心的同侧和异侧两种情况讨论，利用垂径定理和勾股定理分别求出弦和弦到圆心的距离，再计算两条弦之间的距离即可， 【详解】解：过点O作于点M，于点N， ， 点O、M、N三点共线， 由垂径定理得，M为中点，N为中点 在中，、， 由勾股定理得 在中，、， 由勾股定理得 当、在圆心同侧时，如图： 距离为 当、在圆心异侧时，如图： 距离为． 故答案为：7或17． 【跟踪专练2】已知在中有两条平行弦，，，的半径是，则与间的距离是______． 【答案】或 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，由勾股定理，垂径定理，分两种情况讨论：①当和位于圆心同侧时和②当和位于圆心异侧时，即可求解． 【详解】解：分类讨论：①当和位于圆心同侧时，如图，连接，过点作于点，交于点．    ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是； ②当和位于圆心异侧时，如图，连接，过点作于点，延长交于点．   ， ， ，． ， ，， ，即此时与间的距离是． 综上可知与间的距离是或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，的半径为3，弦的直角顶点B在弦上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在上，且．关于嘉嘉和淇淇的说法判断正确的是（   ） 嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，的度数是．” 淇淇说：“连接，当与弦平行时，点B到的距离为2．” A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确 C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B与点M重合时，连接，可证明是等边三角形，据此求出的度数，进一步可求出的度数；过点O作于D，连接，利用垂径定理和勾股定理求出的长即可求出当与弦平行时，点B到的距离，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； 同理可得当点B与点N重合时，，故嘉嘉的说法正确； 如图所示，过点O作于D，连接， ∴， ∴， ∵， ∴点B到的距离为，故淇淇说法错误， 故选：A． 题型7.由垂径定理求同心圆问题 【典例】如图，在以点O为圆心的两个圆中，大圆的半径是小圆半径的2倍，大圆的弦和小圆交于C，D两点，若，则小圆半径是________． 【答案】 【分析】过O点作于H点，连接、，如图，根据垂径定理得到，，设，则，再利用双勾股得到，然后解方程求出r即可． 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理． 【详解】解：过O点作于H点，连接，如图，则 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或r（舍去）， 即小圆半径是， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，半径为和5的两个圆都以为圆心，大圆的弦交小圆于两点，若，则____． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，过点作于点，连接，由垂径定理可得，由勾股定理求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作于点，连接， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，小高和小雪分别沿着环形跑道的内侧跑道和外侧跑道进行慢跑训练，两个人的速度相同，已知内圈跑道的半径为20米、外圈跑道的半径为25米，则慢跑过程中两人的距离不可能是（   ） A．5米 B．15米 C．40米 D．50米 【答案】D 【分析】根据同心圆上两点之间的最值问题进行解决． 【详解】解：根据同心圆的半径可知， 两圆上两点最远的距离为（米）， 两圆上两点最近的距离为（米）， ∴两人的距离不可能是50米． 【跟踪专练3】已知的直径为，，是的两条弦，，，，则和之间的距离是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】解题需分情况讨论弦、与圆心的位置关系，避免漏解，先求出圆心到两条弦的距离，再分情况计算两弦间的距离。 【详解】解：①当弦和在圆心同侧时， 连接，，过点作于点并延长交于点．则，如图， ，， ，， ， ，， ； ②当弦和在圆心异侧时，如图， ，， ，， ， ，， ． 与之间的距离为或． 题型8.由垂径定理求解其他问题 【典例】如图，在中，弦，点C在上移动，连接，过点C作交于点D、E，则的最大值为______． 【答案】 【分析】连接，由可知当最小时，最大；又，故当最小时，最大；所以当时满足题意，据此即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， 为的半径，其值一定， ∴当最小时，最大， ∵ ∴当最小时，最大， ∵点C在上移动， ∴当时，最小 此时，点与点（或点）重合，点与点（或点）重合， ∴的最大值为 故答案为： 【点睛】本题考查了垂径定理的相关知识点，得出当时，最小，最大，也最大是解题关键． 【跟踪专练1】如图，是的弦，于H，连接、，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据垂径定理及等腰三角形三线合一逐项判断即可． 【详解】解：A：，， ∴，正确，故该选项不合题意； B：根据题目条件无法推出，错误，故该选项符合题意； C：由及可知，垂直平分， ∴， D：，， ∴平分， ∴，正确，故该选项不合题意． 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，，于点E，若的半径为3，则的长为____________    【答案】 【分析】根据垂径定理可以得到，再根据全等三角形的判定与性质，可以得到，从而可以得到，最后根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，，作于点N，作于点M， ∴，， 又， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂径定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【跟踪专练3】如图，是的直径，是弦，，则下列结论不一定正确的是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题重点考查垂径定理、线段的垂直平分线的性质等知识，正确理解和应用垂径定理是解题的关键． 由是的直径，是弦，，根据垂径定理得，可判断不符合题意；连接、，因为垂直平分，而但不一定平分，所以，而与不一定相等，可判断B符合题意，不符合题意；由、都是的半径，得，可判断不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：是的直径，是弦，， ， 故A不符合题意； 连接、， 垂直平分，而但不一定平分， ，而与不一定相等， 故B符合题意，不符合题意； 、都是的半径， ， 故C不符合题意， 故选：B． 题型9.垂径定理的推论 【典例】如图，在中，点是弦的中点，，的度数为__________． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键；由题意得，然后问题可求解． 【详解】解：∵点是弦的中点， ∴，即， ∵， ∴； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，是的直径，是的弦，且．若的半径为，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理的推论、勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理推论是关键．先利用垂径定理的推论得到，再利用勾股定理进行解答即可． 【详解】解：是的直径，是的弦，且 ， ． 故选A. 【跟踪专练2】如图，在中，是的外接圆，，对角线相交于点E，则点E在______．（填“圆内”、“圆上”、“圆外”） 【答案】圆内 【分析】连接，根据平行四边形对角线互相平分得出为中点，利用垂径定理得，根据垂线段最短，所以，从而可得点在内． 【详解】解：连接． 四边形是平行四边形， 点是的中点， ∴， ∴， 点在内． 【跟踪专练3】如图，内接于，，点在上，平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，令的交点为，先求出，再利用垂径定理及三角形内角和定理得到，最后求出等腰三角形的底角的度数即可. 【详解】解：连接， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴即：， ∴， ∵， ∴. 题型10.垂径定理的实际应用 【典例】如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是所在圆的圆心，通过测量，发现弦的长度是，所在圆的半径是，则上的点到弦的距离的最大值是____． 【答案】5 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 作交于点C，交弦于点D，点C即为上到弦的距离的最大值的点，由垂径定理求出，结合勾股定理可推出，进而求出上的点到弦的最大距离． 【详解】解：如图，作交于点C，交弦于点D， ∴， 在中，， 即，解得， ∴， ∴上的点到弦的距离的最大值是． 故答案为：5． 【跟踪专练1】如图，某学校的石拱门顶部是拱门模型，跨度（弧所对的弦的长）为6米，拱高（弧的中点到弦的距离）为2米，则该拱门模型的半径为（   ） A．米 B．4米 C．米 D．5米 【答案】A 【分析】设拱门的圆心为O，连接，设拱门的半径为r，由垂径定理可得米，再根据勾股定理列出方程，解方程即可求出拱门的半径r． 【详解】解：如图，设拱门的圆心为O，连接， 设拱门的半径为r， 由题意可得：米，米，点O，D，C三点共线， 米， ， ， ， ． 【跟踪专练2】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，当筒车工作时，盛水桶的运行路径可以看作是以轴心为圆心的，且圆心在水面上方．在某一时刻，被水面截得的弦长为6米，过点作，交于点，交于点，水面下盛水桶的最大深度为1米（即米），则的半径为____________米． 【答案】 【分析】由垂径定理可得的长，设的半径为，则可用含的式子表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：， 米， （米） ． 设的半径为米，则，． 在中，由勾股定理得， 即． 解得． 【跟踪专练3】《九章算术》是我国古代第一部数学专著，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深两寸，锯道长八寸，问径几何？”译为：“今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深2寸（寸），锯道长8寸（寸）”，问这块圆形木材的直径是多少？如图所示，请根据所学知识计算圆形木材的直径是（     ） A．5寸 B．6寸 C．8寸 D．10寸 【答案】D 【分析】设的半径为r，在中， ，则有，解方程可得r，进而确定直径． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， 在中， ， 则有， 解得， ∴圆形木材的直径是为10寸． 解答题 1．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过，，三点，那么所对的圆心角的大小是多少？    【答案】 【分析】连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心．分别求出，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：连接，分别作的垂直平分线，即可得到圆心，    由图可得：，， ∴， 故， 即所对的圆心角为． 【点睛】本题考查了圆心角的求解、勾股定理及其逆定理．找到圆心是解题关键． 2．如图，在中，，以点为圆心，为半径的圆交于点，交于点． (1)若，求的度数． (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，先求出的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出的度数，即可得出答案； （2）过点 C 作于点 H ，根据垂径定理得到，再利用勾股定理计算出，接着利用等面积法计算出，然后利用勾股定理计算出，从而得到的长． 【详解】（1）解：连接， ， ， ， ， ， ∴的度数为； （2）解：过点作于点，则， 在中，， ， ， ， ∴在中，， ． 【点睛】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角形． 3．某科技公司设计出一款圆形智能手表，其表盘的平面示意图如图所示，表盘的轮廓看作圆，表盘内有两条平行的触控灯带，（的两条弦），分别位于圆心O的上下两侧．过表盘中心O有一条线段，且交于点E，交于点G，交于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1) 证明：如图（1），连接． ∵， ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）连接，设的半径为，利用垂径定理，勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图（2），连接，设的半径为． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， 解得， 故的半径为． 4．如图，点，，，，在上，且． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)证明见解析； (2)的半径为． 【分析】（1）结合等弧所对的弦相等即可得证； （2）连接、、、，作交于点，结合弧、弦、圆心角的关系证明，结合三线合一定理证明过点，设，，结合勾股定理推出后即可求得的半径． 【详解】（1）证：， ， 即， ． （2）解：连接、、、，作交于点， ， ， 即， ， 是中线， 即， 又中，， ， 故过点， 设，， 中，， 中，， ， ， ， ， 代入， 解得， 即的半径为． 【点睛】本题考查的知识点是弧、弦、圆心角的关系、三线合一定理、勾股定理，解题关键是结合三线合一定理证明过点． 5．如图，以点为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点，． (1)直接写出的长为___________； (2)若大圆的半径是5，求小圆的半径长． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了圆的垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握以上性质． （1）过点作于点，连接，根据垂径定理求出线段的长度，最后利用线段的和差进行求解即可； （2）结合（1）得，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点，连接， 根据垂径定理得，点为线段和的中点， ∴， ∴， 故答案为：1； （2）解：如图所示，过点作于点，连接， 结合（1）得， 根据勾股定理得， ∴， ∴小圆的半径长为． 6．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了垂径定理、等腰三角形的三线合一、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键． （1）先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据垂径定理可得，然后根据线段和差即可得证； （2）连接，设的半径为，则，，再根据垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：∵，于点， ∴， 又∵是的半径，， ∴， ∴， 即． （2）解：如图，连接， 设的半径为，则， ∵， ∴， ∵是的半径，，， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 7．如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，点为运行轨道的最低点（即是弧的中点）． (1)如图2，若被水面截得的弦长为8米，点到弦所在直线的距离为2米，求半径． (2)如图3，在水面的变化过程中，若连接并延长分别交于点，交于点，连接，延长交于点，且的半径为5，恰好于点，求此时被水面截得的弦的长．（精确到0.1，） 【答案】(1)半径为5米； (2)弦的长为米． 【分析】（1）连接交于点H，证明，得到米，，，设半径为r米，则，在中，由勾股定理，得，代入求解即可． （2）连接，证明为的垂直平分线，为的垂直平分线，推导出是等边三角形，得到，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：连接交于点H，如图 ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴米，米，， 设半径为r米，则． 在中，由勾股定理，得 ， 即， 解得． 答：半径为5米； （2）解：连接，如图 由题意知半径米， ∵是弧的中点，点O为圆心， ∴， ∴，，为的垂直平分线， ∴， ∵，点O为圆心， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）． 答：弦的长为米． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $