精品解析：重庆市九龙坡区2025-2026学年高一下学期期末学业质量测评数学试题

九龙坡区2025-2026 学年学业质量测评 (中学) 高一 (下) 数学试题 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 ，所以 复数  的共轭复数为. 2. 在中，角的对边分别为，已知，则角（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理即可得解. 【详解】在中，， 由正弦定理可得，可得， 又， 或. 故选：C. 3. 已知 三边长分别为3，4，5，以最长边所在直线为旋转轴，将三角形其余两边旋转一周形成旋转体， 则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】三边长分别为3，4，5，由，得为直角三角形， 该直角三角形斜边上的高为，以斜边所在直线为轴旋转一周所得旋转体， 旋转体是共底面且高的和为5的两个圆锥组成，两个圆锥的底面圆半径为， 所以该几何体的体积. 4. 火箭军甲、乙两支导弹部队分别向同一艘敌方航母发射一枚导弹，甲部队导弹命中航母的概率为 0.8， 乙部队导弹命中航母的概率为 0.9， 两支部队发射导弹是否命中航母相互独立， 则该航母被导弹命中的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.72 C. 0.98 D. 0.02 【答案】C 【解析】 【分析】通过计算两枚导弹均未命中航母的对立事件概率，即可得到航母被命中的概率. 【详解】设事件为“甲部队导弹命中航母”，事件为“乙部队导弹命中航母”， 由题意得，，且、相互独立， 因此其对立事件、也相互独立. 航母未被命中的概率为两枚导弹均未命中的概率， 即  “航母被命中”与“航母未被命中”为对立事件，根据对立事件概率计算公式， 航母被命中的概率. 5. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以. 6. 要得到函数的图象，是将正弦曲线的图象（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的，再向右平移个单位长度 D. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【详解】将正弦曲线的横坐标伸长为原来的2倍，得曲线， 再将所得曲线的纵坐标缩短为原来的，得曲线， 然后将所得曲线向右平移个单位长度，得曲线，ACD错误，B正确. 7. 如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量共线定理及三点共线的充要条件，将用表示，建立的方程. 【详解】由题意，点为边上靠近的三等分点，则， 所以 ， 已知，，所以 ， 因为三点共线，且不在直线上， 所以与的系数之和为，即，整理得：.  8. 如图，在平行四边形 中， ， ， ，现将 沿直线 翻折至 ，使得点 到达点 的位置，且直线 与平面 所成的角的余弦值为 ，则二面角 的平面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平行四边形中，利用正弦定理求得，则，.在翻折后的立体图形中，根据定义作出二面角的平面角，以及直线与平面所成的角，利用边长关系可求得的正弦值. 【详解】在平行四边形中，，，， 在中，根据正弦定理，，即， 解得，所以， 即，则，且，， 翻折后，如图，分别取的中点，连接， 则，所以，故是二面角的平面角， 过点作于点，连接， 由，，平面，平面，可得平面， 因为平面，所以， 又，平面，平面，可得平面. 所以是直线与平面所成的角. 在中，，则，， 在中，，则. 二、选择题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要 求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 当点位于第四象限时， B. 是为纯虚数的充分不必要条件 C. 当时， D. 当时，；时，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于选项A，根据点位于第四象限，求出的取值范围判断；对于选项B，先判断时，是否为纯虚数，再判断为纯虚数时，的值是否为3；对于选项C，当时，求出复数，求其模判断；对于选项D，分别求出复数判断. 【详解】对于选项A，由点位于第四象限，则，解得或， 所以，故选项A错误； 对于选项B，当时，，所以复数为纯虚数；由复数为纯虚数，得且，解得或， 所以是为纯虚数的充分不必要条件，故选项B正确； 对于选项C，当时，，所以，故选项C正确； 对于选项D，当时，，所以； 当时，，所以，因为为虚数，不能比较大小，故选项D错误. 10. 在中，，，对边分别是，，，且 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若，则取最大值时 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据正余弦定理求解即可；对于B，根据正弦定理及两角差的正弦公式，结合同角三角函数关系及正切函数性质求解即可；对于C，根据正余弦定理及三角形面积公式，结合基本不等式求解即可；对于D，根据正弦定理及两角差的正弦公式，辅助角公式求解即可. 【详解】对于A，由， 得，即. 由正弦定理得. 由余弦定理得. 因为，所以，A正确. 对于B，若是锐角三角形，，则， 且，所以. 由正弦定理得. 因为，所以，，， 所以，即，B错误. 对于C，已知，则，所以. 由余弦定理得，当且仅当时取等号，此时. 由正弦定理得，外接圆半径，C正确. 对于D，若，由正弦定理得，. 则 ， 其中，. 当，即时，取得最大值， 此时，D正确. 11. 如图， 某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息， 石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同. 设 ，则下列说法正确的是（ ） A. 该多面体的表面积为 B. 一只蚂蚁从石凳表面的点爬到点，最短距离为 C. 设为平面截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则的取值范围为 D. 该多面体外接球的体积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据几何体的表面形状，计算表面积，判断A，转化为展开图的两点间距离计算点之间的最短距离，判断B，首先得到截面形状，再根据数量积的几何意义，判断C，求几何体外接球的球心和半径，再代入球的体积公式，判断D. 【详解】A.该多面体由6个边长为的正方形和8个边长为的等边三角形构成， 所以该多面体的表面积为，故A错误； B.点所在的正方形和点所在的等边三角形放在同一个平面，如下图， ，根据余弦定理，, 所以，根据平面内两点间线段距离最近，可知由点到点的最近距离为，故B正确； C.平面截该几何体所得截面为正六边形，当点与点重合时，此时在方向上的投影最大，最大值为，所以的最大值为， 当点与点重合时，此时在方向上的投影最小，最小值为，所以的最小值为， 所以的取值范围为，故C正确； D.因为，所以原正方体的棱长为,该几何体外接球的球心为正方体的中心，，所以该几何体外接球的体积为，故D正确. 三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知古典概型样本空间 满足: ，，，，则概率 _____. 【答案】 【解析】 【详解】， 已知，，， 则， ，，， . 13. 若复数 在复平面内对应的点为，则满足条件的点组成的图形的面积是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数模的公式，结合圆的方程进行求解即可. 【详解】设，因此点的坐标为， ， 显然方程表示以为圆心，为半径的圆， 方程表示以为圆心，为半径的圆， 所以满足条件的点组成的图形为同心圆，组成的圆环（下图阴影部分），面积为. 14. 设函数 ，当 时，曲线 与 有两个不同的交点，则 的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数结合函数奇偶性，应用单调性得出函数值域结合交点个数得出参数求解. 【详解】当时， 与 有两个不同的交点， 所以有两个不同的根，所以有两个不同的根， 所以当时，与有两个不同的交点， 当时， ，所以是偶函数， 当时，且单调递减，且单调递增， 所以单调递减， 所以 所以当时，，与有一个交点， 因为是偶函数，所以当时，，与有一个交点， 所以当时，，与有两个不同交点， 所以当时，， 与 有两个不同的交点. 四、解答题:本题共 5 个小题， 共 77 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 在直三棱柱 中，，为 中点， . 证明： （1）平面 ； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明：由直三棱柱  ，可得 由直三棱柱  得所以， 由得， . （2）. 【解析】 【分析】（1）由已知易证，进而可得，可得结论； （2）连接，可得异面直线 与 所成的角，据此计算即可. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 连接，如图所示 则，所以，， 所以，因此异面直线 与 所成的角， 所以， 所以， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为. 16. 为提高市民的法治观念，某区组织了线上法律知识竞赛.欲了解全区参赛者的成绩分布情况，从所有参赛者中随机抽取100名参赛者的成绩作为样本，经统计发现成绩范围为40~100分.现将成绩分成6组，第一组至第六组依次为，并绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；(保留一位小数) （3）采用分层抽样的方法，从第一组、第六组中共抽取5人，在抽取的5人中随机抽取2人，则这2人在同一组的概率是多少? 【答案】（1） （2）中位数为，平均数为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于建立方程求解. （2）利用频率分布直方图中，中位数和平均数计算公式即可. （3）先根据分层抽样确定各组抽取的人数，再利用古典概型概率公式计算. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得 ，解得. 【小问2详解】 中位数为. 平均数为. 【小问3详解】 第一组的频数为， 第六组的频数为. 两组共人，采用分层抽样抽取人，抽样比为. 从第一组抽取人，记为；从第六组抽取人，记为. 从这人中随机抽取人，所有可能的情况有共10种. 其中人在同一组的情况有共4种. 所以所求概率为. 17. 已知向量 . （1）当时，求的解集； （2）若 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据，得，由向量数量积的坐标运算及三角函数关系式得，从而解出的值； （2）由（1）得，通过三角函数关系式求出的值. 【小问1详解】 由，得. ， 所以，则或， 解得，或. 所以的解集为. 【小问2详解】 ， 化简得，.令，则， . 18. 如图，在中，角所对的边分别为 ，且满足，过内一点的直线分别与直线交于点，记与的夹角为 . （1）求角； （2）若为的垂心，， 求的值； （3）若为的重心，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理化边为角后求解； （2）利用及数量积的定义求解； （3）由已知条件结合余弦定理求得，确定是等腰直角三角形，再确定重心的位置求得，然后由正弦定理求得，再根据数量积的定义求解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以，即，是三角形内角，所以； 【小问2详解】 为的垂心，则， 即， 所以，， 所以， 所以； 【小问3详解】 ， 所以，， 又由余弦定理得， 所以， 由，解得， 所以，，设是斜边中点， 则重心在上，且，所以， 所以， 中，，，， 由正弦定理得，， 所以. 19. 如图，三棱锥中，是正三角形，，，，，点，，分别为线段，，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）在三棱锥中，设平面与平面的交线为. （i）证明：； （ii）若点为上的动点，且，两点位于平面的同侧，求直线与平面 所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） （2）（i）证明：因为点，为中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为平面，平面平面，所以. （ii） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理求出，结合勾股定理及线面垂直的判定定理得到平面，根据等体积法求解即可. （2）（i）根据线面平行的判定定理及线面平行的性质证明即可. （ii）根据直线与平面所成角的定义，结合等体积法、余弦定理及基本不等式求解即可. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 解得或（舍去）. 因为是正三角形，，所以. 在中，，所以. 在中，，所以. 因为平面，，所以平面. 又点，，分别为线段，，的中点，所以平面与平面为同一平面， 则平面. 正中，点，，为中点，所以，则. 所以. 在中，，同理可得. 在中，，，则. 设点到平面的距离为，则， 即，解得. 故点到平面的距离为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）设，在直线上取点，使得. 则，，所以四边形为平行四边形，所以， 设直线与平面 所成角为，则直线与平面 所成角也为. 因为，所以点到的距离即为点到的距离， 所以. 又平面与平面重合，所以点到平面的距离与点到平面的距离相等，即为， 所以. 在中，，，，为的中点，则. 在中，，，， 由余弦定理得，所以， 所以. 设点到平面的距离为，则， 即，所以. 过点作平面，交平面于点，连接，，则. 因为，平面，平面，所以平面. 因为平面，平面平面，所以. 所以. 同理可得，所以四边形为平行四边形，所以，. 在中，由余弦定理得， 在中，. 所以， 令，则 ， 当且仅当，即时，等号成立，此时，. 所以当，两点位于平面的同侧且时，直线与平面 所成角的正弦值取得最大值，为. 故直线与平面 所成角的正弦值的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九龙坡区2025-2026 学年学业质量测评 (中学) 高一 (下) 数学试题 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考号等填写在答题卡指定位置上. 2. 回答选择题时， 选出每小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号.回答非选择题时， 将答案写在答题卡上， 写在本试卷上无效. 3. 考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题， 每小题 5 分， 共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项 是符合题目要求的. 1. 复数 的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角的对边分别为，已知，则角（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知 三边长分别为3，4，5，以最长边所在直线为旋转轴，将三角形其余两边旋转一周形成旋转体， 则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 4. 火箭军甲、乙两支导弹部队分别向同一艘敌方航母发射一枚导弹，甲部队导弹命中航母的概率为 0.8， 乙部队导弹命中航母的概率为 0.9， 两支部队发射导弹是否命中航母相互独立， 则该航母被导弹命中的概率为（ ） A. 0.26 B. 0.72 C. 0.98 D. 0.02 5. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 6. 要得到函数的图象，是将正弦曲线的图象（ ） A. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 B. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度 C. 横坐标缩短为原来的，纵坐标伸长为原来的，再向右平移个单位长度 D. 横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的，再向左平移个单位长度 7. 如图，在中，点为边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线于两点. 若，且、不与端点重合，则满足的关系式为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平行四边形 中， ， ， ，现将 沿直线 翻折至 ，使得点 到达点 的位置，且直线 与平面 所成的角的余弦值为 ，则二面角 的平面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题: 本题共3小题， 每小题6分， 共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要 求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分， 有选错的得0分. 9. 已知复数，在复平面内对应的点为 ，则下列说法正确的有（ ） A. 当点位于第四象限时， B. 是为纯虚数的充分不必要条件 C. 当时， D. 当时，；时，，则 10. 在中，，，对边分别是，，，且 ，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若是锐角三角形，则的取值范围是 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若，则取最大值时 11. 如图， 某广场上放置了一些这样的石凳供大家休息， 石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同. 设 ，则下列说法正确的是（ ） A. 该多面体的表面积为 B. 一只蚂蚁从石凳表面的点爬到点，最短距离为 C. 设为平面截该多面体所得截面多边形内一点(包括边界)，则的取值范围为 D. 该多面体外接球的体积为 三、填空题:本题共 3 个小题，每小题 5 分，共 15 分. 把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 已知古典概型样本空间 满足: ，，，，则概率 _____. 13. 若复数 在复平面内对应的点为，则满足条件的点组成的图形的面积是_____. 14. 设函数 ，当 时，曲线 与 有两个不同的交点，则 的取值范围为_____. 四、解答题:本题共 5 个小题， 共 77 分.解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤. 15. 在直三棱柱 中，，为 中点， . 证明： （1）平面 ； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 16. 为提高市民的法治观念，某区组织了线上法律知识竞赛.欲了解全区参赛者的成绩分布情况，从所有参赛者中随机抽取100名参赛者的成绩作为样本，经统计发现成绩范围为40~100分.现将成绩分成6组，第一组至第六组依次为，并绘制出如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值； （2）从频率分布直方图中，估计本次竞赛成绩的中位数和平均数；(保留一位小数) （3）采用分层抽样的方法，从第一组、第六组中共抽取5人，在抽取的5人中随机抽取2人，则这2人在同一组的概率是多少? 17. 已知向量 . （1）当时，求的解集； （2）若 ，求 的值. 18. 如图，在中，角所对的边分别为 ，且满足，过内一点的直线分别与直线交于点，记与的夹角为 . （1）求角； （2）若为的垂心，， 求的值； （3）若为的重心，且，求的值. 19. 如图，三棱锥中，是正三角形，，，，，点，，分别为线段，，的中点. （1）求点到平面的距离； （2）在三棱锥中，设平面与平面的交线为. （i）证明：； （ii）若点为上的动点，且，两点位于平面的同侧，求直线与平面 所成角的正弦值的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $