2027届高考数学一轮复习----立体几何重点知识清单复习

**基本信息** 以空间观念为核心，系统整合几何体结构、度量计算与位置关系判定，形成“概念-性质-应用”三阶逻辑链，突出向量法与几何法双轨解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何体结构|棱柱/棱锥/棱台定义及特殊类型|结构特征分类法、正四面体补形法|从一般到特殊，构建几何体认知框架| |表面积与体积|5类公式|公式直接应用、组合体拆分|基于结构特征推导度量公式| |判定与性质定理|4组线面/面面关系定理|定理条件梳理、符号语言转化|以公理为基础，形成逻辑推理链条| |距离与空间角|3类距离4类角|向量法、几何法、等体积法|从定性到定量，实现空间度量计算| |综合应用|3道翻折/旋转/圆台题|空间转化、轨迹分析、动态问题处理|融合多模块知识，培养几何直观与推理能力|

立体几何重点知识清单和例题复习 一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱：① ② ③ 直棱柱： 正棱柱： 平行六面体： 特殊平行六面体的性质： 如图1，在平行大面体BCD-48,C,D中，4B=D=A41=1, ∠AAB=∠AD=∠84D=60°，求证：直线4C⊥平面BDD,8· 我们不妨把满足LAAB=∠44D=∠B4D=60和AB=AD=AH,的平行大面 体BCD-A,BC,D,称为等边角平行六面体、等边角平行六而体兹含着一些姑 论，上迩例燕的站论就是其中之一 C 站论 1.4在平面ABCD内的射影在AC上· 2.平面4CC14⊥平面ACD 3,三余弦定理，c05∠AC co5∠CAB=co5∠A1AB, 4,4-ABD是正四面体. 5.可求对角线4C、4C的长度. 6.四边形BDD,8为矩形，四边形ADCB,为矩形 7,直线C⊥平面BDDB· 三余弦定理：一 三正弦定理：一 8.已知二面角a-AB-B的大小为妥，OeAB,P∈a,且∠P0A=吾，2为B内异于 O的任意一点，则sin∠POg的最小值为 A. B.2 C.2 D.互 2 3 4 10.已知四棱柱ABCD-AB,CD中，各棱长均为1，∠BAD=∠4AB=∠AAD,则() A.AC⊥BD B.VA-BCD VAAD-BBC C.若AC=2,则cos∠BHD=} 6 D.若B,D⊥BD,则V-GD 9 二、棱锥：① ② ③ 正棱锥： 正三棱锥与正四面体的联系区别：一 正三角形的边长为a,面积为 正四面体的有关性质（设棱长为a): ①正四面体的3组对棱垂直且对棱间的距离为 ②顶点到地面的距离为 ③内切球的半径为 外接球的半径为 ④如何将其补形为正方体？画一个 正方体 阳马 第15题图 15.(本小题满分13分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形， PA=AD,过棱PD的中点E作EF⊥PC于点F,连接AF. (I)证明：PC⊥AF: (I)若CD=2AD=2,求平面AEF与平面PAB所成角的正弦值. 三、棱台：① ② ③ 正棱台： 1.表面积与体积 柱体的体积： 锥体的体积： 台体的体积： 球的体积： 3 圆柱表面积： 圆锥的表面积： 圆台的表面积： 8.如图1，是由一个四边形和两个三角形构成的平面图形，已知四边形ABCD为矩形，△ADE 和△BCF都是边长为2的等边三角形，将△ADE和△BCF分别沿直线AD和BC折起，连 接EF,得到几何体ABCDEF,如图2，在这个几何体中，EF/IAB,AB=2EF=4, 若几何体ABCDEF顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 D C 图1 图2 A.11π B.22π C.44π D.121元 2.判定定理与性质定理 线面平行的判定定理： 性质定理： 面面平行的判定定理：一 性质定理； 线面垂直的判定定理： 性质定理： 面面垂直的判定定理：一 性质定理： 4 四、距离与空间角 。点到直线的距离 (1)①i为直线1的单位方向向量，则P到1的距离d= (用a,d 表示) ②若AP与1的夹角为，则P到1的距离d= (用 /a,sine表示) ③若已知l的法向量为，则P到l的距离d= (用 a,n,表示) (2)已知点P(x,yo),:Ax+By+C=0,则点P到1的距离为d= (3)等面积法 a A ”点到平面的距离公式 ①若AP与平面的夹角为0，则P到l的距离d= (用AP,sin0表示) ②若已知平面的法向量为n,则P到平面的距离d= (用AP,n,表示) ③等体积法 5 异面直线间的距高（向量法) 设MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，可求出向量AC与BC,再利用这两个向量求出公垂线MN 的方向向量n,则异面直线间的距离即为MN= (把分子和分 母填完) 冬设异面直线所成角为，范围为 向量法公式为 几何法： 冬设线面角为，范围为 向量法公式为 几何法： 冬设平面与平面所成的夹角为，范围为 向量法公式为 几何法： u 17.如图，四边形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=90°，F为CD中点，点E在AB上，EF∥AD,AB=3AD,CD= 2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°. (1)证明：A'B∥平面CD'F: (2)求面BCD'与面EFD'A'所成二面角的正弦值. D D A B E 18.已知△4BC为等腰直角三角形，∠B=90°，B=BC=4√2，点E满足 =AC,DE⊥AC,DE=4 4 点D,B 在直线AC异侧.将△DAC绕直线AC向上旋转至△SAC,点F为BC的中点. (1)证明：FS⊥AC: (2)若SB=2V13,点G在三棱锥的表面上恒有BGLAC,试求G的轨迹长度： (3)在△DAC绕直线AC旋转至SB=2V13的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余 D S 弦值的取值范围。 K中 E B B 18.如图，A、B、C为圆台OO1下底面圆周上三点，AC为直径且AC=4,E为上底面圆周上一点，F、H分别为线 段BE、BC的中点，且满足：AE⊥FH,平面ABE⊥平面ACE. (1)求证：AB⊥平面BCE; (2)若∠ACB=30°，满足要求的点E有且只有一个，设三棱锥E-ABC外接球半径为R,圆台的高为h. h (i)求R: 元 ()P为上底面圆周上一动点，当平面ACP与平面ACF夹角为4时，求点P到平面ACF的距离. ●O F A C B 一、棱柱、棱锥、棱台的结构特征 棱柱：①底面互相平行且全等；②侧面都是平行四边形；③侧棱都相等且互相平行 直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 特殊平行六面体的性质： 三余弦定理（最小角定理）：斜线与平面所成的线面角是它与该平面内所有直线所成的角中的最小角 三正弦定理（最大角定理）：二面角的平面角是平面内的直线与另一个平面所成角的最大值 二、棱锥：①底面是多边形；②侧面是三角形；③侧面有一个公共顶点 正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥 正三棱锥与正四面体的联系区别 正三角形的边长为，面积为 正四面体的有关性质（设棱长为）: ①正四面体的3组对棱垂直且对棱间的距离为 ②顶点到地面的距离为 ③内切球的半径为，外接球的半径为 ④如何将其补形为正方体 三、棱台：①上下底面互相平行且是相似图形；②各侧棱的延长线交于一点；③各侧面为梯形 正棱台：上下底面是相似的正多边形且上下底面中心的连线与底面垂直的棱台 1. 表面积与体积 柱体的体积： 锥体的体积： 台体的体积： 球的体积： 圆柱表面积： 圆锥的表面积： 圆台的表面积： 2. 判定定理与性质定理 线面平行的判定定理： 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 性质定理： 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 面面平行的判定定理： 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 性质定理： 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 线面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线平行 面面垂直的判定定理： 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 四、距离与空间角 · 点到直线的距离 （1） · · ① 为直线 的单位方向向量，则 到 的距离 （用 表示） ②若与 的夹角为，则 到 的距离 （用 表示） ③若已知 的法向量为，则 到 的距离 （用 表示） （2） 已知点 ，，则点 到 的距离为 （3） 等面积法 · 点到平面的距离公式 · · · ①若与 平面的夹角为，则 到 的距离 （用 表示） ②若已知平面的法向量为，则 到 平面 的距离 （用 表示） ③等体积法 · 异面直线间的距离（向量法） 设为异面直线与的公垂线段，可求出向量与，再利用这两个向量求出公垂线的方向向量，则异面直线间的距离即为 (把分子和分母填完) ] · 设异面直线所成角为 ，范围为 ，向量法公式为 几何法： ] · 设线面角为 ，范围为 ，向量法公式为 几何法： ] · 设平面与平面所成的夹角为 ，范围为 ，向量法公式为 几何法： 定义法、垂线法、垂面法、射影面积法 17.如图，四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD′A′，使得面EFD′A′与面EFCB所成的二面角为60°． （1）证明：A′B∥平面CD′F； （2）求面BCD′与面EFD′A′所成二面角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：因为在四边形ABCD中，AB∥CD，且EF∥AD，所以▱AEFD， 又∠DAB＝90°，所以四边形AEFD为矩形， 折叠后，显然EB∥FC，EB⊄平面CD′F，FC⊂平面CD′F， 所以EB∥平面CD′F， 又EA′∥FD′，且FD′⊂平面CD′F，EA′⊄平面CD′F， 所以EA′∥平面CD′F， 又EA′∩EB＝E，所以平面EA′B∥平面CD′F，又A′B⊂平面EA′B， 所以A′B∥平面CD′F； （2）由∠DAB＝90°，EF∥AD，所以EF⊥CD，所以EF⊥FC，EF⊥FD′， 所以面EFD′A′与面EFCB所成二面角的平面角为∠CFD′＝60°， 结合CF∩FD′＝F，所以EF⊥平面CFD′，可得平面CFD′⊥平面EBCF， 又F为CD的中点，所以△CFD′为等边△， 如图以F为原点建立空间直角坐标系，设AB＝3AD＝6，则CD＝2AD＝4， 所以F（0，0，0），E（2，0，0），C（0，2，0），B（2，4，0），D′（0，1，）， 所以，＝（0，1，），，， 设平面EFD′A′的法向量为， 则，可得， 再设平面BCD′的法向量， 则，解得， 设面BCD′与面EFD′A′所成二面角为θ， 则|cosθ|＝＝＝， 所以sinθ＝＝ 18.已知△ABC为等腰直角三角形，，点E满足，点D，B在直线AC异侧．将△DAC绕直线AC向上旋转至△SAC，点F为BC的中点． （1）证明：FS⊥AC； （2）若，点G在三棱锥的表面上恒有BG⊥AC，试求G的轨迹长度； （3）在△DAC绕直线AC旋转至的过程中，K为SB的中点，试求平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围． 【解答】解：（1）证明：取AC的中点O，连接OB，EF， 因为△ABC为等腰直角三角形，， 所以OB⊥AC，AC＝8，由，得AE＝6，EC＝2， 则E为OC的中点，又F为BC的中点，所以EF∥OB，EF⊥AC， 又DE⊥AC，则SE⊥AC，因为SE∩EF＝E，SE，EF⊂平面SEF， 所以AC⊥平面SEF，又FS⊂平面SEF， 所以FS⊥AC． （2）由（1）知，AC⊥平面SEF，而BG⊥AC， 则点G必定在平面SEF的平行平面内，取点M，使得， 连接OM，BM，因为，则OM∥SE， 因为OM⊄平面SEF，SE⊂平面SEF， 所以OM∥平面SEF， 又EF∥OB，EF⊂平面SEF，OB⊄平面SEF， 所以OB∥平面SEF， 因为OM∩OB，OM，OB⊂平面MOB， 所以平面MOB∥平面SEF， 因此点G的轨迹为线段OB，OM，MB（不包括点B）组成， 因为，，SE＝4，EC＝2，则， 所以SC2+BC2＝SB2，则SC⊥BC，而， 以O为原点，以OB，OC所在直线为x，y轴，以垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系， 则A（0，﹣4，0），C（0，4，0），B（4，0，0），E（0，2，0），S（﹣4cosθ，2，4sinθ）， 其中θ为平面DAC绕直线AC向上旋转至平面SAC的旋转角， 则， 因为SC⊥BC，所以， 则，即， 则，所以， 则， 所以， 则， 则点G的轨迹长度为． （3）由（2）及题意知，S（﹣4cosθ，2，4sinθ）， 且平面DAC绕直线AC向上旋转至平面SAC时，则， 而B（4，0，0），则K（2﹣2cosθ，1，2sinθ）， 而， 设平面AKC的一个法向量为， 则，则， 取x＝sinθ，得， 设平面SEB的一个法向量为， 则，则， 取x1＝sinθ，得， 设平面AKC与平面SEB所成角为φ， 则 ＝， 令t＝1﹣cosθ，， 则， 因为函数在上单调递减，则， 即，则， 所以， 则平面AKC与平面SEB所成角的余弦值的取值范围为． 18.如图，A、B、C为圆台OO1下底面圆周上三点，AC为直径且AC＝4，E为上底面圆周上一点，F、H分别为线段BE、BC的中点，且满足：AE⊥FH，平面ABE⊥平面ACE． （1）求证：AB⊥平面BCE； （2）若∠ACB＝30°，满足要求的点E有且只有一个，设三棱锥E﹣ABC外接球半径为R，圆台的高为h． （i）求； （ii）P为上底面圆周上一动点，当平面ACP与平面ACF夹角为时，求点P到平面ACF的距离． 【解答】解：（1）证明：因为F、H分别为线段BE、BC的中点，所以CE∥FH， 因为AE⊥FH，所以CE⊥AE，又平面ABE⊥平面ACE，平面ABE∩平面ACE＝AE， 所以CE⊥平面ABE，所以CE⊥AB， 又AC是直径，所以BC⊥AB，BC∩CE＝C， 所以AB⊥平面BCE； （2）由（1）可知是平面BCE的一个法向量， 因为满足要求的点E有且只有一个，所以平面BCE与上底面圆周有且只有一个公共点， 所以上底面圆周在下底面的射影图形与BC相切于点H，EH⊥底面ABC， 即上底面圆的半径r＝OH＝1， （ⅰ）由（1）可知△BCE为等腰直角三角形， 又∠ACB＝30°，所以，，即圆台高， ，AB＝2，， 因为三棱锥E﹣ABC四个面皆为直角三角形， 所以OA＝OB＝OC＝OE， 所以O为三棱锥E﹣ABC外接球的球心，所以R＝2， 所以； （ⅱ）连接OH，建系如图： 则，，， ，，设， 则，，， 设平面ACF的一个法向量为， 则，取， 设平面ACP的一个法向量为， 则， 取， 所以平面ACP与平面ACF夹角的余弦值为： ， 设， 化简得， 解得或（舍）， 所以点P到平面ACF的距离为： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $