4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角和弧度制、三角函数的概念”专题，依据课标要求梳理了弧度制概念及互化、任意角三角函数定义两大核心考点，通过回扣教材构建知识体系，归纳象限角集合、三角函数符号规律等常用结论，对接高考高频题型如象限角判断、扇形面积公式应用及三角函数定义求值。 课件亮点在于真题改编与限时训练结合，诊断自测及跟踪训练均改编自教材典型习题，限时训练涵盖多选、填空等高考题型，突出“数学思维”培养，如扇形面积最值问题通过二次函数转化提升运算能力，三角函数定义求值题利用坐标法强化符号表达的“数学语言”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此精准定位考点，实现高效复习。

4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 第四章　三角函数与解三角形 返回 ‹#› 1．了解任意角的概念和弧度制的概念．　2.能进行弧度与角度的互化．　3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的______旋转所形成的图形． (2)分类 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 端点 正角 负角 零角 象限角 返回 ‹#› 2．弧度制的定义和有关公式 (1)定义：把长度等于_________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝()° 弧长公式 弧长l＝________ 扇形面积公式 S＝ ________＝_____________ 半径长 lr r2 返回 ‹#› 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，它的终边与_________交于点P(x，y) 单位圆 返回 ‹#› 定义 正弦 ___叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝___ 余弦 ___叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝___ 正切 叫做α的正切函数，记作tan α，即tan α＝(x≠0) 三角 函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 y y x x 返回 ‹#› (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 返回 ‹#› 常用结论 1．三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(应用见例4) 2．象限角(应用见例1(2)) 返回 ‹#› 3．轴线角(应用见限时规范训练T9) 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”) (1)小于90°的角是锐角．(　　) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角．(　　) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．(　　) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.(　　) × × √ √ 返回 ‹#› 2．(人A必修一P170例1改编)已知α＝－，β与α的终边相同，且β∈，则β＝________. 解析：　因为α＝－＝－2×2π－，β与α的终边相同，且β∈，所以β＝－. 答案：－ 返回 ‹#› 3．(人A必修一P176T10改编)已知某扇形的周长为10，圆心角为2，则该扇形的半径为________，该扇形的面积为__________. 解析：设该扇形的半径为r，则2r＋2r＝10，解得r＝，所以该扇形的面积为×2×2＝. 答案： 返回 ‹#› 4．(人A必修一P180T3改编)若角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，且sin θ＝m，则m＝______. 解析：因为角θ的终边经过点P(－1，m)(m>0)，所以sin θ＝m，解得m＝1(m＝－1舍去)，所以m＝1. 答案：1 返回 ‹#› 例1　(1)用弧度制表示与2025°角的终边相同的角的集合为(　　) A．{α|α＝＋2kπ，k∈Z} B．{α|α＝＋2kπ，k∈Z} C．{α|α＝－＋2kπ，k∈Z} D．{α|α＝－＋2kπ，k∈Z} 突破 ·核心考点 象限角与终边相同的角 考点 一 D 返回 ‹#› 解析：D　2025°用弧度制可表示为12π－，所以与2025°角的终边相同的角构成的集合为{α|α＝－＋2kπ，k∈Z}．故选D. 返回 ‹#› (2)(多选)若α是第二象限角，则(　　) A．－α是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．＋α是第二象限角 D．2α是第三象限角或第四象限角或2α的终边在y轴非正半轴上 BD 返回 ‹#› 解析：BD　因为α是第二象限角，所以可得＋2kπ<α<π＋2kπ，k∈Z.对于A，－π－2kπ<－α<－－2kπ，k∈Z，则－α是第三象限角，故A错误；对于B，可得＋kπ<<＋kπ，k∈Z，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角，故B正确；对于C，2π＋2kπ<＋α<＋2kπ，k∈Z，即2(k＋1)π<＋α<＋2(k＋1)π，k∈Z，所以＋α是第一象限角，故C错误；对于D，π＋4kπ<2α<2π＋4kπ，k∈Z，所以2α的终边位于第三象限或第四象限或y轴非正半轴上，故D正确．故选BD. 返回 ‹#› 1．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 2．确定kα，(k∈N*)的终边位置的方法 先写出kα或的范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在的位置． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)(多选)(苏教必修一P176T2，3，5改编)下列说法正确的是 (　 　) A．第二象限角大于第一象限角 B．与1920°终边相同的角中，最小正角是120° C．22°30′化成弧度是 D．终边落在直线y＝α＝k·180°＋60°，k∈Z} BCD 返回 ‹#› 解析：BCD　对于A，100°是第二象限角，361°是第一象限角，但100°<361°，故A错误；对于B，与1920°终边相同的角为β＝k·360°＋1920°＝(k＋5)·360°＋120°，k∈Z，当k＝－5时，β＝120°，所以与1920°终边相同的角中，最小正角是120°，故B正确；对于C，22°30′化成弧度是22.5×，故C正确；对于D，易得直线y＝ x的倾斜角为60°，当角的终边在第一象限时，α＝60°＋k1·360°，k1∈Z；当角的终边在第三象限时，α＝240°＋k2·360°，k2∈Z.所以角α的集合为{α|α＝k·180°＋60°，k∈Z}，故D正确．故选BCD. 返回 ‹#› (2)若角α的终边落在如图所示的阴影部分内(含边界)，则角α的取值范围是(　　) A． B． C．[，kπ＋](k∈Z) D．[，2kπ＋](k∈Z) D 返回 ‹#› 解析：D　依题意，在[0，2π)内阴影部分的边界射线对应的角分别为，终边在阴影部分内对应角的范围是，所以角α的取值范围是[，2kπ＋](k∈Z)．故选D. 返回 ‹#› 例2　(1)(人A必修一P175T6改编)砖雕是古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气等特点．图(2)是根据一个砖雕(如图(1))所作的扇环，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若∠AOB＝，C，D分别在OA，OB上，AC＝2，的长度＝2π，则该扇环的面积为(　　) A．　　　　　 B． C． D． 考点 二 扇形的弧长及面积公式 A 返回 ‹#› 解析：A　因为∠AOB＝＝2π，所以OA＝＝3，所以OC＝OA－AC＝3－2＝1，由扇形面积公式可得该扇环的面积S＝(OA2－OC2)＝×(32－12)＝.故选A． 返回 ‹#› (2)已知扇形的周长为20，则该扇形的面积S的最大值为(　　) A．10 B．15 C．20 D．25 解析：D　设扇形圆心角为θ，θ>0，扇形半径为r，r>0，由题有2r＋rθ＝20⇒θ＝－2，则S＝r2＝10r－r2＝－(r－5)2＋25≤25，当r＝5，θ＝2时取等号．故选D. D 返回 ‹#› 应用扇形的弧长及面积公式解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为(　　) A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 解析：A　设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S，易得弧长l＝αr，周长等于2r＋l＝(2＋α)r＝60，S＝αr2＝200，两式联立解得或因l＝αr>r，即α>1，故故选A． A 返回 ‹#› (2)(2026·天津南开开学考试)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为(　　) A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 解析：A　设扇形所在圆的半径为r，弧长为l，可得l＝8－2r，所以扇形的面积为S＝(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，于是，当r＝2时，扇形的面积最大．故选A． A 返回 ‹#› 角度1　利用三角函数的定义求值 例3　已知角α的终边过点M(x，1)(x>0)，且cos α＝x，则tan α＝(　　) A． 　　　　　　　　 B． C． D． 考点 三 三角函数的定义及应用 D 返回 ‹#› 解析：D　设r＝|OM|＝ ，由三角函数的定义得cos α＝x，整理可得x2＋1＝3，因为x>0，所以x＝ ，所以tan α＝.故选D. 返回 ‹#› 利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出角α的三角函数值；已知角α的三角函数值和相关条件，可以求出点P的坐标；已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，也可求角α终边上某特定点的坐标． 返回 ‹#› 角度2　三角函数值符号的判断 例4　(1)(人A必修一P185T10改编)已知sin θ·tan θ<0，且cos θ·sin θ<0，则θ为 (　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 B 返回 ‹#› 解析：B　因为sin θ·tan θ<0，所以θ的终边可能在第二、三象限；因为cos θ·sin θ<0，所以θ的终边可能在第二、四象限．要同时满足sin θ· tan θ<0，cos θ·sin θ<0，则θ为第二象限角．故选B. 返回 ‹#› (2)当α为钝角时，＝(　　) A．1 B．0 C．2 D．－2 解析：C　因为α为钝角，所以sin α>0，cos α<0，故＝2.故选C. C 返回 ‹#› 在判断三角函数值的符号时，应确定角的终边所在的象限，再结合三角函数值在各象限的符号来确定所求三角函数值的符号．特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况． 返回 ‹#› 跟踪训练3　(1)sin 2cos 3tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 解析：A　因为<2<3<π<4<，所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，所以sin 2cos 3tan 4<0.故选A． A 返回 ‹#› (2)在平面直角坐标系中，点P(tan 2026°，sin 2026°)位于第________象限(　　) A．一 B．二 C．三 D．四 解析：D　因为tan 2026°＝tan (5×360°＋226°)＝tan 226°>0，sin 2026°＝sin (5×360°＋226°)＝sin 226°<0，所以P(tan 2026°，sin 2026°)位于第四象限．故选D. D 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：45分钟　分值：74分) 限时规范 训练28　任意角和弧度制、三角函数的概念 14 1．下列各角中，与2286°角终边相同的角是(　　) A．126°　　　　　　 B．216° C．－36° D．－306° 解析：A　因为2286°＝360°×6＋126°，－36°＝－1×360°＋324°，－306°＝－1×360°＋54°，所以与2286°角终边相同的角是126°.故选A． A 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．已知角α的终边经过点P，则(　　) A．cos α＝ B．tan α＝－ C．sin α＝－ D．cos α＝－ 14 D 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：D　因为角α的终边经过点P，可得r＝|OP|＝ ＝2，由三角函数的定义，可得sin α＝，cos α＝－，tan θ＝ ，故A、B、C错误，D正确．故选D. 14 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．若α是第二象限角，则90°－α是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 解析：D　因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，所以－k·360°－180°<－α<－k·360°－90°，k∈Z，从而－k·360°－90°<90°－α<－k·360°，k∈Z，所以90°－α是第四象限角．故选D. 14 D 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(a，a－3)，且cos α＝，则a等于(　　) A．1 B． C．1或 D．1或－3 解析：A　角α的终边经过点P(a，a－3)，且cos α＝，所以cos α＝，并且a>0，解得a＝1或a＝－3(舍)．故选A． 14 A 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．点A(tan 2，cos 4)在平面直角坐标系中位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：C　2弧度的角在第二象限，所以tan 2<0，4弧度的角在第三象限，所以cos 4<0，所以点A在第三象限．故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．已知扇形的圆心角为，弧长为2π，则该扇形的面积为(　　) A．3π B．6π C．5π D．4π 解析：B　设扇形的半径为r，则2π＝r，所以r＝6，所以该扇形的面积S＝×2π×6＝6π.故选B. 14 B 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．集合{α＋kπ≤α≤＋kπ，k∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是 (　　) 14 C 解析：C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋，n∈Z，此时α表示的范围与表示的范围一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋，n∈Z，此时α表示的范围与π＋≤α≤π＋表示的范围一样．故选C. 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．已知扇形周长为2，则扇形面积最大时扇形的圆心角为(　　) A．120° B．60° C．1 D．2 解析：D　设扇形的弧长为l，面积为S，半径为R，圆心角为α，根据条件可知：l＋2R＝2，所以S＝(2－2R)R＝－R2＋R＝－2＋，所以当R＝时，S有最大值，此时l＝2－2R＝1，所以α＝＝2.故选D. 14 D 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(多选)下列命题正确的是(　　) A．终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z} B．终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z} C．第三象限角的集合为{α|π＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z} D．在－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角为－675°和－315° 14 AD 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 解析：AD　终边落在x轴的非负半轴的角的集合为，故A正确；终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝90°＋kπ，k∈Z}属于角度制和弧度制的混用，故B错误；第三象限角的集合为{α|π＋2kπ<α<＋2kπ，k∈Z}不能取等号，取等号时表示轴线角，故C错误；－720°～0°范围内所有与45°角终边相同的角可以表示为{α|α＝45°＋360°·k，k＝－1，－2}，故α＝－675°或α＝－315°，故D正确．故选AD. 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(多选)(人A必修一P180T3改编)已知角θ的终边经过点，且θ与α的终边关于x轴对称，则(　 　) A．sin θ＝－ B．α为钝角 C．cos α＝－ D．点(tan θ，tan α)在第四象限 14 ACD 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析：ACD　因为角θ的终边经过点(－2，－)所以sin θ＝－，故A正确；因为θ与α的终边关于x轴对称，所以α的终边经过点，则α为第二象限角，不一定为钝角，且cos α＝，故B错误，C正确；因为tan θ＝>0，tan α＝－<0，所以点(tan θ，tan α)在第四象限，故D正确．故选ACD. 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(5分)已知扇形的圆心角为3 rad，面积为6，则该扇形的周长为______. 解析：设该扇形的半径为r，圆心角为θ，则S＝r2＝6，解得r＝2， 故该扇形的周长为2r＋rθ＝10. 答案：10 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(5分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为，弧长等于米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是________(参考数据 ≈1.73). 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：因为圆心角为，弧长等于米，所以圆的半径r＝＝4，如图，在Rt△AOD中∠AOD＝，所以OD＝AO cos ∠AOD＝4× ＝2 ， 所以矢＝4－2＝2，则弦＝2AD＝4 ，所以弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝＝4 ＋2≈8.92(平方米)． 答案：8.92平方米 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(多选)下列各式中为负值的是(　　) A．sin 1125° B．tan π·sin π C． D．sin |－1| 14 BC 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：BC　sin 1125°＝sin (3×360°＋45°)＝sin 45°＝>0，故A错误；tan π·sin π＝tan ·sin ＝tan ·＝－tan ·sin ，因为∈所以tan >0，sin >0，所以π·sin π＝－tan ·sin <0，故B正确；因为π<4<，所以sin 4<0，tan 4>0，所以<0，故C正确；因为0<1<＝sin 1>0，故D错误．故选BC. 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(多选)小胡同学在学习了《任意角和弧度制》后，对家里的扇形瓷器盘(图(1))产生了浓厚的兴趣，并临摹出该瓷器盘的大致形状，如图(2)所示，在扇形OAB中，∠AOB＝60°，OB＝OA＝4，则(　　) A．∠AOB＝ B．弧AB的长为 C．扇形OAB的周长为＋4 D．扇形OAB的面积为 13 BD 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 解析：BD　对于A，∠AOB＝，故A错误；对于B，弧长l＝αr＝，故B正确；对于C，扇形OAB的周长为＋8，故C错误；对于D，扇形OAB的面积S＝，故D正确．故选BD. 返回 ‹#› 4．1　任意角和弧度制、三角函数的概念 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $