3.1 导数的概念及其意义、导数的运算(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及其意义、导数的运算”专题，依据课标要求梳理了导数概念、几何意义、基本运算（含复合函数）等核心考点，通过近五年高考真题分析明确导数几何意义（如切线方程、公切线）占比达60%，归纳出“在点处切线”“过点处切线”等常考题型，构建系统备考体系。 课件亮点在于“真题情境+思维建模+素养落地”策略，如以2025年全国一卷切线求参数题为例，用方程思想建立“斜率相等、切点双在”模型，培养数学思维。设诊断自测辨析“可导奇（偶）函数导数性质”等易错点，限时训练提升解题速度，助力学生掌握得分技巧，教师可据此精准定位学情，实现高效复习。

3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 第三章　一元函数的导数及其应用 返回 ‹#› 1．了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数．　2.通过函数图象，理解导数的几何意义．　3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f(ax＋b))的导数． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作____________或___________. f′(x0)＝＝. (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝. f′(x0) y′|x＝ 返回 ‹#› 2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的______，相应的切线方程为__________________________. 斜率 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 返回 ‹#› 3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝_ f(x)＝xα(α∈R， 且α≠0) f′(x)＝_______ f(x)＝sin x f′(x)＝ _______ f(x)＝cos x f′(x)＝__________ 0 αxα-1 cos x －sin x 返回 ‹#› 基本初等函数 导函数 f(x)＝ax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝___________ f(x)＝ex f′(x)＝__ f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ ax ln a ex 返回 ‹#› 4．导数的四则运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 (1)[f(x)±g(x)]′＝________________. (2)[f(x)·g(x)]′＝____________________. (3)′＝(g(x)≠0)． (4)[cf(x)]′＝____________. f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) cf′(x) 返回 ‹#› 5．复合函数的定义及其导数 (1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))． (2)复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝_____________，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． y′u·u′x 返回 ‹#› 常用结论 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．并注意“在点P处的切线”，说明点P为切点，点P既在曲线上，又在切线上；“过点P处的切线”，说明点P不一定是切点，点P一定在切线上，但不一定在曲线上．(应用见例3) 3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，|f′(x)|的大小反映了f(x)图象变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的瞬时变化率．(　　) (2)函数f(x)＝sin (－x)的导数f′(x)＝cos x．(　　) (3)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．(　　) (4)曲线y＝f(x)在某点处的切线与曲线y＝f(x)过某点的切线意义是相同的．(　　) √ × × × 返回 ‹#› 2．(多选)(人A选修二P81练习T1改编)下列求导运算正确的是(　　) A．(cos 2)′＝－sin 2 B．′＝ C．′＝ D．(ln sin x)′＝ BC 返回 ‹#› 解析：BC　对于A，因为cos 2是常数，故(cos 2)′＝0，故A错误；对于B，′＝′＝，故B正确；对于C，′＝，故C正确；对于D，(ln sin x)′＝，故D错误．故选BC. 返回 ‹#› 3．(人A选修二P81T6改编)已知函数f(x)＝x2f′＋ln x－9，则f′＝(　　) A．8　　　　　　　　　 B．9 C．10 D．11 解析：B　因为函数f(x)＝x2f′＋ln x－9，所以f′(x)＝2f′x＋，所以令x＝，可得f′＝9.故选B. B 返回 ‹#› 4．(人A选修二P82T11改编)曲线y＝e1-x＋x2在x＝1处的切线方程为(　　) A．y＝3－x B．y＝2x C．y＝x＋1 D．y＝3x－1 解析：C　对函数y＝e1-x＋x2求导得y′＝－e1-x＋2x，故当x＝1时，斜率k＝－e1-1＋2＝1，又当x＝1时，有y＝2，故切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.故选C. C 返回 ‹#› 角度1　导数的概念 例1　(2025·江苏盐城三模)若f(x)＝2ln x，则＝(　　) A．0　　　　　　　 B．2 C．－2 D．－4 解析：B　因为f(x)＝2ln x，所以f′(x)＝，所以f′(1)＝2，则＝f′(1)＝2.故选B. 突破 ·核心考点 导数的概念及运算 考点 一 B 返回 ‹#› 由导数的定义可知，若函数y＝f(x)在x＝x0处可导，则f′(x0)＝，它仅与x0有关，与Δx无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为f(1－Δx)－f(1)时，分母应该是(1－Δx)－1，要注意公式的变形． 返回 ‹#› 角度2　导数的运算 例2　(1)(多选)下列求导运算中，不正确的是(　　) A．(sin 2x)′＝cos 2x B．(2x)′＝2x C．(xex)′＝(x＋1)ex D．′＝ ABD 返回 ‹#› 解析：ABD　对于A，(sin 2x)′＝2cos 2x，故A错误；对于B，(2x)′＝2x ln 2，故B错误；对于C，(xex)′＝(x＋1)ex，故C正确；对于D，′＝，故D错误．故选ABD. 返回 ‹#› (2)已知函数f(x)＝f′(1)ex－ex，则f′(1)的值为(　　) A． B． C．1 D．－1 解析：A　f′(x)＝f′(1)ex－e，则f′(1)＝f′(1)e－e，所以f′(1)＝.故选A. A 返回 ‹#› 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元． 3．对解析式形如f(x)＝f′(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数求值问题，解题思路：先求导数f′(x)，然后令x＝x0，解关于f′(x0)的方程，即可得到f′(x0)的值，进而得到f(x)，f′(x)再进行求解． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)函数f(t)＝3t－sin t，则值为(　　) A．3　　　　　 B．4 C．5 D．6 解析：A　因为f(t)＝3t－sin t，所以f′(t)＝3－cos t，故＝f′＝＝3－0＝3.故选A. A 返回 ‹#› (2)(多选)下列函数求导正确的是(　　) A．(2x3－3x2＋5)′＝6x2－6x B．(ex＋ln x)′＝ex＋ C．′＝sin D．′＝ 解析：AB　对于A，(2x3－3x2＋5)′＝(2x3)′－(3x2)′＋5′＝6x2－6x，故A正确；对于B，(ex＋ln x)′＝(ex)′＋(ln x)′＝ex＋，故B正确；对于C，′＝－sin ·′＝－sin ，故C错误；对于D，′＝，故D错误．故选AB. AB 返回 ‹#› 角度1　求切线的方程 例3　(1)曲线f(x)＝x6＋3x－1在(0，－1)处的切线与坐标轴围成的面积为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D．－ 考点 二 导数的几何意义 A 返回 ‹#› 解析：A　f′(x)＝6x5＋3，所以f′(0)＝3，故切线方程为y＝3(x－0)－1＝3x－1，故切线的横截距为，纵截距为－1，故切线与坐标轴围成的面积为.故选A. 返回 ‹#› (2)已知函数f(x)＝ln x，过点P(0，0)作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________. 解析：设切点为(x0，ln x0)，由f(x)＝ln x，则f′(x)＝，则f′(x0)＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过点P(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x. 答案：y＝x 返回 ‹#› 角度2　求切点的坐标 例4　已知函数f(x)＝ln x＋x，过原点作曲线y＝f(x)的切线l，则切点P的坐标为(　　) A．(1，1) B．(e，e＋1) C． D．(e2，e2＋2) 解析：B　由题意可知：f′(x)＝＋1，设切点为P(x0，ln x0＋x0)，则切线方程为y＝(x－x0)＋ln x0＋x0，因为切线过原点，所以0＝(－x0)＋ln x0＋x0＝ln x0－1，解得x0＝e，则P(e，e＋1)．故选B. B 返回 ‹#› 角度3　求与切线有关的参数 例5　(2025·全国一卷T12)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝____________. 解析：法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0，5)，因为切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 返回 ‹#› 法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4. 答案：4 返回 ‹#› 追本 溯源 (人A选修二P82T11)设曲线y＝e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，求a的值． 名师 点评 高考题与教材题考查角度相同，都是已知切线的斜率求参数值，不同之处在于教材题已知切点坐标，高考题需求出切点坐标． 返回 ‹#› 求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同．过点处的切点坐标不知道，要设出切点坐标，根据：(1)斜率相等；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)(2025·山东聊城一模)曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A．4 B．3 C．1 D． 解析：D　对函数y＝x ln x求导得y′＝ln x＋1，故所求切线斜率为k＝ln 1＋1＝1，切点坐标为(1，0)，所以，曲线y＝x ln x在x＝1处的切线方程为y＝x－1，该切线交x轴于点(1，0)，交y轴于点(0，－1)，因此，曲线y＝x ln x在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为.故选D. D 返回 ‹#› (2)(2026·江苏南通期中)若函数f(x)＝x3＋ax2(a∈R)的图象在x＝1处的切线过点(0，1)，则a＝(　　) A．－3 B．－2 C．2 D．3 解析：A　因为f(x)＝x3＋ax2，则f′(x)＝3x2＋2ax，所以f′(1)＝3＋2a，又f(1)＝1＋a，所以f(x)在x＝1处的切线方程为y－(1＋a)＝(3＋2a)(x－1)，又切线过点(0，1)，所以1－(1＋a)＝(3＋2a)(0－1)，解得a＝－3.故选A. A 返回 ‹#› (3)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标为________. 解析：设点P(x0，y0)，因为y＝x ln x，所以y′＝ln x＋x·＝1＋ln x，所以曲线y＝x ln x在点P处的切线斜率k＝1＋ln x0.又k＝2，所以1＋ln x0＝2，所以x0＝e，y0＝eln e＝e，所以点P的坐标为(e，e)． 答案：(e，e) 返回 ‹#› 例6　(1)可与曲线y＝ex＋1和y＝ex+1的公切线l垂直的直线方程为(　　) A．x＋ey＋7＝0 B．ex＋y－7＝0 C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0 考点 三 两曲线的公切线 D 返回 ‹#› 解析：D　设l与f(x)＝ex＋1和g(x)＝ex+1分别相切于点，而f′(x)＝ex，g′(x)＝ex+1，所以f′(x1)＝＝e解得所以f′(0)＝e0＝1，即公切线l的斜率为1，故与l垂直的直线的斜率为－1，所以所求直线方程可为x＋y－1＝0.故选D. 返回 ‹#› (2)若直线y＝kx＋1(k为常数)是曲线y＝ln x＋1和曲线y＝aex＋1的公切线，则实数a的值为(　　) A． B． C．1 D．e 解析：B　法一：令f(x)＝ln x＋1，x∈(0，＋∞)，则f′(x)＝，设直线y＝kx＋1与y＝ln x＋1的切点为(x1，ln x1＋1)，则切线方程为y－ln x1－1＝(x－x1)，即y＝x＋ln x1，又因为y＝kx＋1，所以解得x1＝e， B 返回 ‹#› k＝，所以切线方程为y＝x＋1，令g(x)＝aex＋1，则g′(x)＝aex，设直线y＝x＋1与y＝aex＋1的切点为，所以g′(x0)＝①，又因为切点在直线y＝x＋1上，所以x0＋1，即x0②，由①和②可得x0＝1，所以ae＝，解得a＝.故选B. 返回 ‹#› 法二：设切点分别为P(x1，y1)，Q(x2，y2)， ⇒ln x1＝kx1＝1. 所以x1＝e，k＝. 同理＝kx2＝k.所以x2＝1，所以k＝ae＝，所以a＝.故选B. 返回 ‹#› 公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解，或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解． 返回 ‹#› 跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x-1，则f(x)和g(x)的图象的公切线的条数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 解析：A　设公切线与f(x)和g(x)的图象分别相切于点(m，f(m))，(n，g(n))，又f′(x)＝2x－4，g′(x)＝－x-2，则g′(n)＝f′(m)＝，得m＝－＋2，代入化简，得8n3－8n2＋1＝0，构造函数h(x)＝8x3－8x2＋1，则h′(x)＝8x(3x－2)，故函数h(x)在区间(－∞，0)上单调递增，在区间 A 返回 ‹#› 上单调递减，在区间上单调递增，又极大值h(0)>0，极小值故函数h(x)的图象和x轴有3个交点，方程8n3－8n2＋1＝0有3个解，故切线有3条．故选A. 返回 ‹#› (2)函数f(x)＝2＋ln x与函数g(x)＝ex公切线的斜率为(　　) A．1 B．±e C．1或e D．1或e2 解析：C　设切点分别为(x1，f(x1))，(x2，g(x2))，x1>0，且导数为f′(x)＝，g′(x)＝ex，所以切线方程可为y－(2＋ln x1)＝(x－x1)，也可为(x－x2)，所以且ln ＝⇒－ln x1＝x2，所以1＋ln x1＝(1＋ln x1)×⇒(1＋ln x1)(x1－1)＝0，所以x1＝1或x1＝，所以公切线的斜率为k＝＝1或k＝e.故选C. C 返回 ‹#› 典例　(2025·浙江温州一模)已知0＜x1＜x2＜x3＜4π，函数f(x)＝sin x的图象在点(xi，sin xi)(i＝1，2，3)处的切线均经过坐标原点，则(　　) A．＜ B．＞ C．x1＋x3＜2x2 D．x1＋x3＞2x2 C 返回 ‹#› 解析：C　由题意知f′(x)＝cos x，则曲线在点(xi，sin xi)处的切线斜率为ki＝cos xi＝，(注意切线过原点)即xi＝＝tan xi，所以＝1，故A，B错误；同时xi可看作直线y＝x与曲线y＝tan x在(0，4π)内的3个交点的横坐标．对于C、D， 返回 ‹#› 法一：作函数y＝tan x与y＝x的图象，如图1所示，设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2)，由正切函数图象的性质知kAD＜kEC，所以AM＞CN，如图2所示，又因为xM＋xN＝2x2，所以x1＋x3＜2x2.故选C. 　 图1　　　　　　　图2 返回 ‹#› 法二：设A(x1，tan x1)，B(x2，tan x2)，C(x3，tan x3)，如图1，易知D(x2－π，tan x2)，E(x2＋π，tan x2)，由正切函数图象的性质知kAD＜kEC，得＜，即＜，又x2－π－x1＞0，x3－x2－π＞0，所以(x2－x1)(x3－x2－π)＜(x3－x2)(x2－π－x1)，即x1π＋x3π＜2πx2，即x1＋x3＜2x2，故C正确，D错误．故选C. 返回 ‹#› 本题通过切线斜率考查导数的几何意义，判断选项C、D的关键是根据tan xi＝xi(i＝1，2，3)构造tan x＝x，通过转化思想和数形结合思想分析，将计算问题转化为图形问题，减少计算量，体现新高考的变化趋势． 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：45分钟　分值：72分) 限时规范 训练21　导数的概念及其意义、导数的运算 14 1．已知函数f(x)＝2ex，则＝(　　) A．2e　　　　　　　 B．－3e C．－6e D．3e B 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 解析：B　由题意得f′(x)＝2ex，则 ＝－ ＝－f′(1)＝－×2e＝－3e.故选B. 14 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y＝则该弹簧振子在t＝3 s时的瞬时速度是________mm/s(　　) A．0 B．6π C．12π D．18π 解析：A　由题可得位移y是关于时间t的函数，且满足y＝s(t)＝－18cos t，则y′＝s′(t)＝18×sin t＝12πsin t，则该弹簧振子在t＝3s时的瞬时速度是s′(3)＝12πsin 2π＝0.故选A. 14 A 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．(2025·四川成都一模)函数f(x)＝x＋sin x的图象在点(，f处的切线方程为(　　) A．x＋y－π－1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．x－y＝0 解析：C　因为f(x)＝x＋sin x，所以f′(x)＝1＋cos x．所以f′＝1＋cos ＝1，而f＝＋sin ＋1.所以切线方程为y－，即x－y＋1＝0.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．(2025·福建莆田二模)曲线y＝xex－x在点P处切线的斜率为－1，则点P的坐标为(　　) A．(－1，－1) B． C．(1，e－1) D．(1，2e－1) 解析：B　y′＝(x＋1)ex－1，令(x＋1)ex－1＝－1，则(x＋1)ex＝0，故x＝－1，当x＝－1时，y＝－e-1－(－1)＝1－，即点P的坐标为.故选B. 14 B 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(2025·江西景德镇模拟)已知函数f(x)＝a(x－a)2(x－2a)，若曲线y＝f(x)在点(2a，0)处的切线方程为y＝x＋m，则m的值为(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：C　因为f(x)＝a(x－a)2(x－2a)＝ax3－4a2x2＋5a3x－2a4，所以f′(x)＝3ax2－8a2x＋5a3，所以由题意得f′(2a)＝12a3－16a3＋5a3＝a3＝1⇒a＝1，所以切点为(2，0)，所以0＝2＋m⇒m＝－2.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(2025·河北沧州模拟)若曲线y＝x3＋2x在点(1，3)处的切线也与曲线y＝x2＋x＋m相切，则m＝(　　) A．4 B．－2 C．－4 D．2 解析：D　由y＝x3＋2x，得y′＝3x2＋2，所以y′|x＝1＝3＋2＝5，则曲线y＝x3＋2x在点(1，3)处的切线方程为y－3＝5(x－1)，即y＝5x－2.联立整理得x2－4x＋m＋2＝0，因为切线与曲线y＝x2＋x＋m相切，所以Δ＝16－4(m＋2)＝0，解得m＝2.故选D. 14 D 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．过坐标原点作曲线y＝ex-2＋1的切线，则切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝2x C．y＝x D．y＝ex 解析：A　由函数y＝ex-2＋1，可得y′＝ex-2，设切点坐标为(t，et-2＋1)，可得切线方程为y－(et-2＋1)＝et-2(x－t)，把原点(0，0)代入方程，可得0－(et-2＋1)＝et-2(0－t)，即(t－1)et-2＝1，解得t＝2，所以切线方程为y－(e0＋1)＝e0(x－2)，即y＝x.故选A. 14 A 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(2025·陕西咸阳三模)若曲线y＝|x＋3|－2与曲线y＝ln (x＋2)＋a相切，则a的值是(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：B　当x≥－3时，y＝x＋3－2＝x＋1；当x<－3时，y＝－(x＋3)－2＝－x－5.因为y＝ln (x＋2)＋a的定义域为{x|x>－2}，所以两曲线的切点在y＝x＋1(x≥－3)上. 对y＝ln (x＋2)＋a求导得y′＝. 所以＝1.解得x＝－1. 把x＝－1代入y＝x＋1得y＝－1＋1＝0，所以切点坐标为(－1，0). 把切点(－1，0)代入y＝ln (x＋2)＋a得0＝ln (－1＋2)＋a，即0＝ln 1＋a.所以a＝0.故选B. 14 B 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(多选)下列求导运算不正确的是(　　) A．′＝cos B．′＝1－ C．′＝ D．(ln (3x＋1))′＝ 14 ACD 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 解析：ACD　对于A，sin ，故′＝0≠cos ，故A错误；对于B，′＝1－，故B正确；对于C，′＝，故C错误；对于D，(ln (3x＋1))′＝·(3x＋1)′＝，故D错误．故选ACD. 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(多选)已知函数f(x)＝x2＋2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是(　　) A．x1＋x2＝2 B．x1＋x2＝ C．x1x2＝1 D．x1x2＝ 解析：BC　因为f(x)＝x2＋2ln x，所以f′(x)＝2x＋，x>0，又f(x)在A，B两点处的切线相互平行，所以f′(x1)＝2x1＋＝f′(x2)＝2x2＋，整理得(x1－x2)＝0，因为x1≠x2，所以x1x2＝1，C正确，D错误；又x1＋x2≥2 ＝2，且x1≠x2，所以x1＋x2>2，A错误，B正确．故选BC. 14 BC 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(5分)已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则＝________. 解析：由f(x)＝f′cos x＋sin x得f′(x)＝－f′sin x＋cos x，则f′＝－f′sin ＋cos ，f′＝－f′·，解得f′＝. 答案： 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．(5分)(2025·福建福州三模)曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的一条公切线的方程为________.(只需写出其中一条公切线的方程) 解析：法一：设f(x)＝ex－1，g(x)＝ln x＋1.公切线与f(x)相切于点(m，em－1)，与g(x)相切于点(n，ln n＋1)，因为f′(x)＝ex，g′(x)＝，则公切线斜率k＝em＝，所以公切线方程为y－em＋1＝em(x－m)或y－ln n－1＝整理得y＝emx－(m－1)em－1或y＝x＋ln n，所以 即 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 所以(m－1)em＋1－m＝(m－1)(em－1)＝0，解得m＝1或m＝0，所以公切线方程为ex－y－1＝0或x－y＝0. 法二：由曲线y＝ex与直线y＝x＋1相切知，曲线y＝ex－1与直线y＝x相切．由曲线y＝ln x与直线y＝x－1相切知，曲线y＝ln x＋1与直线y＝x相切．所以直线y＝x为曲线y＝ex－1与y＝ln x＋1的一条公切线． 答案：ex－y－1＝0或x－y＝0(写出其中一条即可) 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(2025·陕西西安模拟)已知二次函数y＝－x2＋(b－a)x＋1的图象与x轴交于A，B两点，图象在A，B两点处的切线相交于点P.若a>0，b>0且ab＝1，则△ABP的面积的最小值为(　　) A．1 B． C．2 D．4 14 C 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析： C　设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1与x2是方程－x2＋(b－a)x＋1＝0的两根，则x1＋x2＝b－a，x1x2＝－1，|AB|＝|x1－x2|＝ ＝a＋b，又y′＝－2x＋b－a，则函数y＝－x2＋(b－a)x＋1在点A(x1，0)处的切线方程为y＝(－2x1＋b－a)(x－x1)，同理，函数y＝－x2＋(b－a)x＋1在点B(x2，0)处的切线方程为y＝(－2x2＋b－a)(x－x2)，则 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解得 即点P，则S△ABP＝＝(a＋b)3≥3＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．故选C. 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(5分)(2025·辽宁沈阳模拟)若曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q(x2，y2)，则＋x2＝__________. 解析：曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q(x2，y2)，因为(ln 2x)′＝，(e2x)′＝2e2x，所以曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线斜率k1＝，曲线y＝e2x在点Q(x2，y2)处的切线斜率k2＝，所以曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线方程为y＝(x－x1)＋y1＝x＋ln 2x1－1，或y＝(x－x2)＋y2＝，所以 13 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 即所以2x1(2x2＋1)＝2x2－1，易知2x2＋1≠0，所以2x1＝，所以. 答案：－ 返回 ‹#› 3．1　导数的概念及其意义、导数的运算 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $