2.4 函数的对称性(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的对称性”专题，依据课标要求梳理了奇函数偶函数对称性、函数自身轴对称与中心对称、两函数对称三大核心考点，通过教材回扣与诊断自测巩固基础，结合高考改编题分析轴对称证明、中心对称参数求解等常考题型，体现高考备考的系统性和针对性。 课件亮点在于“考点拆解+方法归纳+真题演练”的复习策略，如通过“函数自身对称求平均”“两函数对称解方程”等技巧，结合跟踪训练1证明函数轴对称的实例，培养学生的数学思维与推理能力。设有限时规范训练和易错点分析，帮助学生掌握对称问题通法，教师可据此实施分层教学，提升复习效率。

2．4　函数的对称性 返回 ‹#› 1．能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论．　2.会利用对称公式解决问题． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．奇函数、偶函数的对称性 (1)奇函数关于____________，偶函数关于____对称． (2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线_____对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点___________中心对称． 原点 y轴 x＝a (b，0) 返回 ‹#› 2．函数图象的对称性 (1)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)或f(a＋x)＝f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝－f(x)或f(－x)＝－f(2a＋x)或f(a＋x)＝－f(a－x)，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 3．两个函数图象的对称性 (1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于____对称． (2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于____对称． (3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于______对称． y轴 x轴 原点 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) (2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称．(　　) (3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1)＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　　) (4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　　) √ × × √ 返回 ‹#› 2．(人A必修一P87T13改编)函数f(x)＝图象的对称中心为(　　) A．(0，0)　　　　　　 B．(0，1) C．(1，0) D．(1，1) 解析：B　因为f(x)＝，由y＝向上平移一个单位长度得到f(x)＝1＋，又y＝关于(0，0)对称，所以f(x)＝1＋的图象关于(0，1)对称．故选B. B 返回 ‹#› 3．(湘教必修一P86T13改编)若偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2，3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________. 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－1)＝f(1)，由f(x)的图象关于x＝2对称， 可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5，所以f(－1)＝5. 答案：5 返回 ‹#› 4．(人B必修一P114探索与研究改编)已知函数y＝f(x＋2)－3是奇函数，且f(4)＝2，则f(0)＝________. 解析：法一：由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(－x＋2)－3＝－f(x＋2)＋3，令x＝2，f(0)－3＝－f(4)＋3，得f(0)＝4. 法二：由y＝f(x＋2)－3是奇函数，得f(x)关于(2，3)对称，故f(0)＋f(4)＝6，即f(0)＝4. 答案：4 返回 ‹#› 例1　已知函数g(x)＝(x＋a)ln 是否存在a，b，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． 解：假设存在a，b, 使得曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称． 因为曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，所以g(x)＝g(2b－x)， 即(x＋a)ln ＝(2b－x＋a)ln ＝(x－2b－a)ln ， 突破 ·核心考点 轴对称问题 考点 一 返回 ‹#› 于是得 当a＝时，g(x)＝ln ，g(－1－x)＝ln ＝ln ＝ln ＝g(x)， 所以曲线y＝g(x)关于直线x＝－对称，满足题意． 故存在a，b，使得曲线y＝g(x)关于直线x＝b对称，且a＝. 返回 ‹#› 轴对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(a－x)＝f(a＋x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 返回 ‹#› 跟踪训练1　已知函数f(x)＝log2(4x＋a·2x＋4)，其中a∈R，证明：函数y＝f(x)－x的图象是轴对称图形． 证明：因为h(x)＝f(x)－x＝log2(4x＋a·2x＋4)－log22x＝log2(2x＋22-x＋a)， 在函数有意义的前提下，可得h(2－x)＝log2(22-x＋2x＋a)＝h(x)， 可知x＝1为h(x)的一条对称轴，所以函数y＝f(x)－x的图象是轴对称图形． 返回 ‹#› 例2　已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3.证明：曲线y＝f(x)是以(1，a)为中心的中心对称图形． 证明：法一：因为f(x)的定义域为(0，2)，所以f(x)若为中心对称图形，对称中心横坐标必为1.所以f(2－x)＝ln ＋a(2－x)＋b(1－x)3＝－ln －ax－b(x－1)3＋2a＝－f(x)＋2a， 故曲线y＝f(x)关于点(1，a)中心对称． 考点 二 中心对称问题 返回 ‹#› 法二：因为f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，x∈(0，2)， 所以f(x＋1)＝ln ＋ax＋a＋bx3，x∈(－1，1)． 令g(x)＝f(x＋1)－a＝ln ＋ax＋bx3，x∈(－1，1)， 则g(－x)＝ln －ax－bx3＝－ln －ax－bx3＝－g(x)， 所以g(x)是定义域为(－1，1)的奇函数，其图象关于坐标原点对称． 又因为f(x)的图象可由g(x)的图象向右平移1个单位长度，再向上平移a个单位长度得到， 所以曲线y＝f(x)是中心对称图形． 返回 ‹#› 中心对称问题的常用性质 (1)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔2b－f(x)＝f(2a－x)． (2)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称． 注意：对于函数自身对称的性质可以简记为：函数自身对称求平均，即性质(2)关于点，也就是关于点对称． 返回 ‹#› 跟踪训练2　(1)若函数f(x)＝的图象关于点(1，2)对称，则a＝(　　) A．－2　　　　　 B．－1 C．1 D．2 解析：D　f(x)＝关于(1，2)对称，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝4，即a＋＝2a＝4，则a＝2.故选D. D 返回 ‹#› (2)(2026·河南安阳期中)已知函数f(x)＝＋x－1在区间[a，b]上的值域为[m，M].若a＋b＝4，则m＋M的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 B 返回 ‹#› 解析：B　函数f(x)＝ex-2－＋x－1，则f(4－x)＋f(x)＝e2-x－＋4－x－1＋ex-2－－ex-2＋2＋ex-2－＝2，因此函数f(x)的图象关于点(2，1)对称，函数y＝ex-2，y＝－，y＝x－1在R上都单调递增，因此函数f(x)在[a，b]上单调递增，则m＝f(a)，M＝f(b)，而a＋b＝4，所以m＋M＝f(4－b)＋f(b)＝2.故选B. 返回 ‹#› 例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 考点 三 两个函数图象的对称问题 A 返回 ‹#› 解析：A　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而点P(x0，y0)与点Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A． 返回 ‹#› 函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．可以简记为：两个函数对称解方程，即由a＋x＝b－x，得x＝. 返回 ‹#› 跟踪训练3　(1)下列函数中，其图象与函数y＝log2x的图象关于直线x＝2对称的是(　　) A．y＝log2(2＋x)　　 B．y＝log2(2－x) C．y＝log2(4＋x) D．y＝log2(4－x) 解析：D　设所求函数的图象上任意一点P(x，y)，则点P关于x＝2对称的点为Q(4－x，y)，由题意知点Q在y＝log2x的图象上，可得y＝log2(4－x)，即函数y＝log2x关于x＝2对称的函数解析式为y＝log2(4－x)．故选D. D 返回 ‹#› (2)下列函数与y＝2x－cos x的图象关于原点对称的是(　　) A．g(x)＝－2x＋cos x B．g(x)＝2－x－cos (－x) C．g(x)＝－2－x＋cos (－x) D．g(x)＝－2－x－cos (－x) 解析：C　令f(x)＝2x－cos x，f(x)与g(x)关于原点对称，则g(x)＋f(－x)＝0，所以g(x)＝－f(－x)＝－[2－x－cos (－x)]＝－2－x＋cos (－x)．故选C. C 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：60分钟　分值：100分) 限时规范 训练12　函数的对称性 14 1．函数y＝|3x＋2|的图象的对称轴是直线(　　) A．x＝2　　　　　 B．x＝－2 C．x＝ D．x＝－ D 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 解析：D　记y＝f(x)＝＝＝|－3x－2|＝|3x＋2|＝f(x)，所以函数y＝|3x＋2|的图象的对称轴是直线x＝－.故选D. 14 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．函数y＝3x与y＝32-x的图象(　　) A．关于x＝对称 B．关于x＝对称 C．关于x＝1对称 D．关于x＝2对称 解析：C　设函数y＝3x与y＝32-x的图象关于直线x＝a对称，因为函数y＝3x图象关于x＝a对称的图象的函数解析式为y＝32a－x，所以32a－x＝32-x，解得a＝1.故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．已知函数f(x)＝的对称中心为(　　) A．(1，1) B．(－1，1) C．(－1，－1) D．(1，－1) 解析：C　因为f(x)＝.由y＝图象关于原点对称，将y＝向左平移1个单位，再向下平移1个单位，可得f(x)＝的图象，所以f(x)的对称中心为(－1，－1)．故选C. 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．已知函数f(x)＝x3－3x2，则f(x)的对称中心是(　　) A．(1，－2) B．(1，0) C．(－1，2) D．(－1，0) 解析：A　f(x)＝x3－3x2＝(x－1)3－3x＋1＝(x－1)3－3(x－1)－2，所以f(1＋x)＋f(1－x)＝x3－3x－2－x3＋3x－2＝－4，即f(x)关于(1，－2)中心对称．故选A． 14 A 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)＝f(－x) B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0 C．f(3)＝f(5) D．f(x＋2)＝f(x－2) 14 ABC 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：ABC　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；因为f(x)的图象关于点(2，0)对称，对于f(x)图象上的点(x，y)，关于点(2，0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x，得到f(4－(2＋x))＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝1，则f(3)＝－f(1)，令x＝3，则f(5)＝－f(－1)＝－f(1)，则f(3)＝f(5)，故C正确；由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．故选ABC. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，则下列说法正确的是(　　) A．若f(x＋2)＝－f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 B．函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称 C．函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 D．函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称 14 ABC 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：ABC　若f(x＋2)＝－f(－x)，即f(x＋2)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故A正确；若点(x，y)在y＝f(x)上，则点(2－x，－y)在y＝－f(2－x)的图象上，且点(x，y)与点(2－x，－y)关于点(1，0)对称，则函数y＝－f(2－x)与函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，故B正确；设g(x)＝f(－1＋x)－f(1－x)，则g(2－x)＋g(x)＝f(1－x)－f(x－1)＋f(－1＋x)－f(1－x)＝0，故函数y＝f(－1＋x)－f(1－x)的图象关于点(1，0)对称，故C正确；令h(x)＝f(1＋x)－f(1－x)，则h(2－x)＋h(x)＝f(3－x)－f(x－1)＋f(1＋x)－f(1－x)不恒为0，故函数y＝f(1＋x)－f(1－x)的图象不关于点(1，0)对称，故D错误．故选ABC. 14 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)已知函数y＝f(x)与g(x)＝ln (－x－2)－x－2的图象关于点(－1，0)对称，则f(x)＝________. 解析：设M(x，y)是y＝f(x)图象上任意一点，且点M关于点(－1，0)的对称点为(m，n)，可得解得m＝－2－x，n＝－y，将其代入函数g(x)＝ln (－x－2)－x－2，可得－y＝ln x＋x，所以y＝－ln x－x，即f(x)＝－ln x－x. 答案：－ln x－x 14 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(5分)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝____________. ①f(x)是定义域为R的奇函数；②f(1＋x)＝f(1－x)；③f(1)＝2. 解析：由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x. 答案：2sin x(答案不唯一) 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)已知函数y＝f(x)－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f(x)共有6个交点，分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则 (xi＋yi)＝________. 解析：因为y＝f(x)－1为奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(0，1)对称．又y＝1＋的图象关于点(0，1)对称，所以x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，所以 (xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x6)＋(y1＋y2＋…＋y6)＝6. 答案：6 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(13分)已知函数f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x. (1)判断并证明函数f(x)的对称性； (2)求f(x)的单调区间． 解：(1)f(x)的图象关于直线x＝2对称． 证明如下：由|x－2|>0，得x≠2，所以f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 因为f(2－x)＝log2|x|＋(2－x)2－4(2－x)＝log2|x|＋x2－4， f(2＋x)＝log2|x|＋(2＋x)2－4(2＋x)＝log2|x|＋x2－4，所以f(2＋x)＝f(2－x)， 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 所以f(x)的图象关于直线x＝2对称． (2)设y1＝log2|x－2|，y2＝x2－4x， 当x>2时，y1＝log2|x－2|＝log2(x－2)单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f(x)＝log2|x－2|＋x2－4x在(2，＋∞)上单调递增． 又f(x)的图象关于直线x＝2对称， 故f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(－∞，2)． 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(15分)已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>； (2)求函数g(x)＝图象的对称中心． 解：(1)对任意的x∈R，2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R， 又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，所以f(x)＝， 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 下面验证函数f(x)＝为奇函数，f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数， 由f(x)＝>，得2·4x>4，即22x+1>22，所以2x＋1>2，解得x>， 因此不等式f(x)>的解集为. (2)g(x)＝，则g(－x)＝，所以g(x)＋g(－x)＝＝2， 因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0，1)． 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝2－f(1－x)，若函数y＝与函数y＝f(x)的图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…(x9，y9)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．9 B． C．12 D． 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：D　由已知得f(x)＋f(1－x)＝2，所以f(x)关于点对称，令g(x)＝，则g(x)＋g(1－x)＝＋1＝2，所以y＝关于点 对称，所以两函数图象的交点也关于点对称， (xi＋yi)＝(x1＋x2＋…＋x9)＋(y1＋y2＋…＋y9)＝[(x1＋x9)＋(x2＋x8)＋…(x9＋x1)＋(y1＋y9)＋(y2＋y8)＋…(y9＋y1)]＝×(9＋18)＝.故选D. 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(5分)已知函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，且f(x)>0.若y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，f(0)＝1，则f(2026)＝________. 解析：因为y＝f(x－1)的图象关于x＝1对称，所以y＝f(x)的图象关于x＝0对称，即y＝f(x)是偶函数．对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝－1，可得f(1)·f(－1)＝2f(1)，又f(x)>0，所以f(－1)＝2，则f(1)＝f(－1)＝2，所以函数f(x)对∀x∈R满足f(x＋2)·f(x)＝4，所以f(x＋4)·f(x＋2)＝4，所以f(x＋4)＝f(x)，即f(x)是周期为4的周期函数．对于f(x＋2)·f(x)＝2f(1)，令x＝0，可得f(2)·f(0)＝2f(1)，则f(2)＝4，故f(2026)＝f(506×4＋2)＝f(2)＝4. 答案：4 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(15分)设函数f(x)＝ln ＋ax－b(a>0，b∈R)． (1)判断函数f(x)的单调性(无需证明)； (2)证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形； (3)若3a＝b，解关于实数t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0. 解：(1)f(x)的定义域为(0，6)， f(x)＝ln x－ln (6－x)＋ax－b， 当a>0时，y＝ln x，y＝－ln (6－x)，y＝ax－b都是增函数， 所以函数f(x)在(0，6)上单调递增． 13 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13 (2)证明：f(x)的定义域为(0，6)， 由于f(x)＋f(6－x)＝ln ＋ax－b＋ln ＋a(6－x)－b＝6a－2b， (或f(3＋x)＋f(3－x)＝ln ＋a(3＋x)－b＋ln ＋a(3－x)－b＝6a－2b) 所以f(x)关于点(3，3a－b)中心对称． (3)当3a＝b时，由(2)知，f(x)关于点(3，0)中心对称， 关于t的不等式f(t2－2t＋3)＋f(3＋t)>0等价于t2－2t＋3＋3＋t>6，即t2－t>0， 由解得所以不等式的解集为(－1，0)∪(1，3)． 返回 ‹#› 2．4　函数的对称性 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $