2.2 第一课时 函数的单调性(课件PPT)-【高考领航】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的单调性与最值”专题，依据课标要求覆盖单调性定义、单调区间判断、参数范围求解及最值求法等核心考点，通过表格对比单调递增递减定义、归纳复合函数“同增异减”等常用结论，结合高考真题改编题分析，明确常考题型，对接高考评价体系。 课件亮点在于“定义应用+真题突破+素养提升”策略，如例3通过分段函数单调性求参数范围，培养数学思维的逻辑推理能力，跟踪训练2用定义证明单调性强化数学语言表达，诊断自测强调定义域优先等易错点，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展复习教学，提升备考效率。

2.2　函数的单调性与最值 返回 ‹#› 1．借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性，理解其实际意义．　2.会根据函数的单调性求参数的范围．　3.会利用函数的单调性比较函数值的大小，解函数不等式．　4.会利用函数的单调性求函数的最值． [课标解读] 返回 ‹#› 1 聚焦·必备知识 3 限时规范训练　 栏 目 导 引 2 突破·核心考点 返回 ‹#› 聚焦 ·必备知识 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义   单调递增 单调递减 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增 当x1<x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减 f(x1)<f(x2) f(x1)>f(x2) 返回 ‹#›   单调递增 单调递减 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看 图象是下降的 返回 ‹#› (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上____________或____________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 单调递增 单调递减 返回 ‹#› 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得_____________ (1)∀x∈D，都有____________； (2)∃x0∈D，使得_____________ 结论 M为f(x)的最大值 M为f(x)的最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 返回 ‹#› 常用结论 1．单调性定义的等价形式 设对任意的x1，x2∈[a，b]，x1≠x2. (1)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0或＞0，则f(x)在[a，b]上单调递增． (2)若有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0或＜0，则f(x)在[a，b]上单调递减．(应用见第一课时例1(1)) 返回 ‹#› 2．若函数f(x)，g(x)在区间I上具有单调性，则在区间I上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数． (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反． (3)函数y＝f(x)(f(x)＞0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反． (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关．简记为：“同增异减”．(应用见第一课时例1(2)) 返回 ‹#› 1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数．(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数在[1，＋∞)上单调递减．(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数．(　　) × × × √ 返回 ‹#› 2．(人B必修一P140T2(1)改编)函数y＝x－在[1，2]上的最小值为__________. 解析：根据题意y＝x－在[1，2]上为增函数，则y＝x－在[1，2]上的最小值为y＝0. 答案：0 返回 ‹#› 3．(人A必修一P86T7改编)函数f(x)＝ 的单调递减区间为____________ . 解析：由f(x)＝ ，则2x2－7x＋3≥0，解得x≥3或x≤，所以函数f(x)＝ 的定义域为，设t＝2x2－7x＋3，y＝f(x)，则y＝ 为定义域内的增函数，而函数t＝2x2－7x＋3在单调递减，所以函数f(x)＝ 的单调递减区间为. 答案： 返回 ‹#› 4．(苏教必修一P122T4改编)已知y＝f(x)在定义域(0，1)上是减函数，且f(1－a)>f(2a－1)，则实数a的取值范围为________. 解析：由于函数y＝f(x)在定义域(0，1)上是减函数，且f(1－a)>f(2a－1)，可得解得<a<1，因此，实数a的取值范围是. 答案： 返回 ‹#› 第一课时　函数的单调性 返回 ‹#› 例1　(1)下列函数中，满足“对任意x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0”的是(　　) A．y＝tan x　　　　 B．y＝cos x＋1 C．y＝log2x D．y＝ex 突破 ·核心考点 函数单调性的判断 考点 一 B 返回 ‹#› 解析：B　由对任意的x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，都有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，即函数f(x)在(0，1)上单调递减．对于A，因为(0，1)⊆，而函数y＝tan x在上单调递增，故A错误；对于B，由余弦函数y＝cos x在上单调递减，所以y＝cos x＋1在(0，1)上单调递减，故B正确；对于C，y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，y＝ex在R上单调递增，故D错误．故选B. 返回 ‹#› (2)(2025·广东广州一模)函数f(x)＝ 的单调递增区间为(　　) A． B．(－∞，－1] C． D． 解析：C　由题意可得2x2－x－3≥0，解得x≤－1或x≥易错点：在讨论函数的单调区间时，要先确定函数的定义域.根据二次函数及复合函数的性质可知，f(x)＝ 的单调递增区间为提示：y＝2x2－x－3＝22－，其在上单调递增.故选C. C 返回 ‹#› 1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间． 2．函数单调性的判断方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法． 3．函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则． 注意：函数在两个不同的区间上单调性相同，一般要分开写，用“，”连接，不要用“∪”． 返回 ‹#› 跟踪训练1　(1)下列函数中，在R上单调递增的是(　　) A．f(x)＝x2＋2x＋1 B．f(x)＝x C．f(x)＝ D．f(x)＝ D 返回 ‹#› 解析：D　对于A，f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2，故在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增，故A错误；对于B，f(x)＝x在R上单调递减，故B错误；对于C，f(x)＝的定义域为[0，＋∞)，且单调递增，故f(x)＝不满足在R上单调递增，故C错误；对于D，y＝x－1在(－∞，1]上单调递增，y＝ln x在(1，＋∞)上单调递增， 画出f(x)＝的图象，如图，所以f(x)＝在R上单调递增，故D正确．故选D. 返回 ‹#› (2)函数f(x)＝x2－4|x|＋3的单调递减区间是(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－2)和(0，2) C．(－2，2) D．(－2，0)和(2，＋∞) B 返回 ‹#› 解析：B　f(x)＝x2－4|x|＋3＝由二次函数的性质知，当x≥0时，f(x)＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1的单调递减区间为(0，2)；当x<0时，f(x)＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1的单调递减区间为(－∞，－2)．故f(x)的单调递减区间是(－∞，－2)和(0，2)．故选B. 返回 ‹#› 考点 二 用定义证明函数的单调性 例2　试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性． 解：设－1＜x1＜x2＜1， 因为f(x)＝a＝a， 所以f(x1)－f(x2)＝a－a＝， 由于－1＜x1＜x2＜1， 所以x2－x1＞0，x1－1＜0，x2－1＜0， 返回 ‹#› 故当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0， 即f(x1)＞f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减； 当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0， 即f(x1)＜f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递增． 返回 ‹#› 利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2. (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式． (3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时，进行分类讨论． (4)结论：根据定义确定单调性． 返回 ‹#› 跟踪训练2　已知函数f(x)＝，判断函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性，并根据定义证明． 解：f(x)在[1，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取x1，x2∈[1，＋∞)且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＝. 因为x2>x1≥1，所以x2－x1>0，x1x2－1>0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递减． 返回 ‹#› 例3　(2026·安徽淮北期中)已知函数f(x)＝在R上单调递增，则a的取值范围是(　　) A．[3，＋∞) B．[－3，－1] C．(－∞，－1] D．[－3，－1) 考点 三 由单调性求参数的取值范围 B 返回 ‹#› 解析：B　当x≥1时，f(x)＝ex-1＋ln x＋7，显然为增函数，当x<1时，f(x)＝－x2－2ax－a，此时为开口向下的二次函数，所以对称轴x＝－a≥1，即a≤－1即可，当x＝1时，e0＋ln 1＋7≥－1－2a－a⇒9≥－3a⇒a≥－3，故a的取值范围是[－3，－1].故选B. 返回 ‹#› 利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值． 返回 ‹#› 跟踪训练3　(2025·山西太原二模)若函数f(x)＝ ＋在(0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．(0，2] B．(0，4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) C 返回 ‹#› 解析：C　当a＝0时，f(x)＝ ＋为增函数，不符合题意；当a<0时，y＝ ，y＝均为增函数，故f(x)＝ ＋为增函数，不符合题意；当a>0时，f(x)＝ ＋在[a，＋∞)上单调递增，在(0，a]上单调递减，由f(x)＝ ＋在(0，2]上单调递减，得a≥2，故选C. 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 (建议用时：60分钟　分值：99分) 限时规范 训练9　函数的单调性 14 1．下列函数中在区间(0，＋∞)上与函数y＝|x|单调性不一致的是(　　) A．y＝2x－1　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝x2 B 返回 ‹#› 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 2 解析：B　由y＝|x|得，y＝ 所以函数y＝|x|在区间(0，＋∞)上单调递增，对于A，由一次函数的图象可知，y＝2x－1在(0，＋∞)上单调递增，故A不合题意；对于B，由反比例函数的图象可知，y＝在(0，＋∞)上单调递减，故B符合题意；对于C，y＝ ＝，由幂函数的图象可知，y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，故C不合题意；对于D，由二次函数的图象可知，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，故D不合题意．故选B. 14 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 2．函数f(x)＝(1－x)·|2－x|的单调递增区间为(　　) A． B． C． D． 14 A 返回 ‹#› 2 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：A　函数f(x)＝(1－x)·|2－x|＝当x≥2时，f(x)＝－x2＋3x－2在[2，＋∞)上单调递减，当x<2时，f(x)＝x2－3x＋2在上单调递减，在上单调递增，所以函数f(x)的单调递增区间为.故选A． 14 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝在R上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A． C．[1，2] D．[2，＋∞) 14 B 返回 ‹#› 2 3 1 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：B　因为x≥1时，f(x)＝－2x单调递减，又f(x)在R上单调递减，所以x<1时，f(x)＝x2－2ax＋1单调递减，则只需满足解得1≤a≤.故选B. 14 返回 ‹#› 2 3 4 1 5 6 7 8 9 10 12 13 11 4．(2025·河北保定二模)若函数f(x)＝|2x－m|在[1，2]上单调，则m的取值范围是(　　) A．(0，2] B．[4，＋∞) C．(－∞，2]∪[4，＋∞) D．(0，2]∪[4，＋∞) 14 C 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 13 11 1 解析：C　当x∈[1，2]时，根据指数函数y＝2x在R上单调递增，可知2x∈[2，4].当m∈(－∞，2]时，2x－m≥0，所以f(x)＝|2x－m|＝2x－m，f(x)在[1，2]上单调递增；当m∈(2，4)时，f(x)＝|2x－m|＝(x)在[1，2]上不单调；当m∈[4，＋∞)时，2x－m≤0，所以f(x)＝|2x－m|＝m－2x，f(x)在[1，2]上单调递减．综上，m∈(－∞，2]∪[4，＋∞)．故选C. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 5．(多选)如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论正确的是(　　) A．>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．若x1<x2，则f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) D．>0 14 ABD 返回 ‹#› 2 3 4 5 1 6 7 8 9 10 12 13 11 解析：ABD　对于ABD选项，因为f(x)在[a，b]上是增函数，对任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，不妨设x1<x2，则f(x1)<f(x2)，则>0，(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，<f(x2)≤f(b)，C错误．故选ABD. 14 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 6．(多选)已知函数f(x)＝下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)是减函数 B．∀a∈R，f(a2)>f(a－1) C．若f(a－4)>f(3a)，则a的取值范围是(－2，＋∞) D．在区间[1，2]上的最大值为0 14 ACD 返回 ‹#› 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 12 13 11 解析：ACD　由题意，可作出函数的图象如图所示， 由图象知f(x)在定义域上单调递减，故A正确；因为a2－(a－1)＝a2－a＋1＝2＋>0，所以a2>a－1，又因为函数f(x)是减函数，所以f(a2)<f(a－1)，故B错误；因为函数f(x)是减函数，所以a－4<3a，解得：a>－2，故C正确；由图象可知D正确．故选ACD. 14 返回 ‹#› 7 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 2 7．(5分)已知命题p：“若f(x)<f(4)对任意的x∈(0，4)都成立，则f(x)在(0，4)上单调递增”．能说明命题p为假命题的一个函数是________. 解析：由题意知，f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)，则函数f(x)的图象在(0，4)上先单调递减再单调递增，当x＝1时，函数值最小，且f(x)<f(4)，满足题意，所以函数f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)可以说明命题p为假命题． 答案：f(x)＝(x－1)2，x∈(0，4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可) 14 返回 ‹#› 8 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 2 8．(5分)函数f(x)＝的单调递减区间为________. 解析：f(x)的定义域为(－∞，4)∪(4，＋∞)，且f(x)＝.而对任意x1<x2<4，根据4－x1>4－x2>0可知<，即>f(x1)＝<0.又对任意<，故f(x2)－f(x1)＝<0.因此f(x)在(－∞，4)上单调递减，在(4，＋∞)上单调递减，故函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，4)和(4，＋∞)． 答案：(－∞，4)和(4，＋∞) 14 返回 ‹#› 9 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 2 9．(5分)已知函数f(x)＝|x＋a|在区间(－∞，－1)上是单调函数，则实数a的取值范围是________. 解析：作出f(x)的大致图象如图所示， 由图可知－a≥－1，即a≤1. 答案：(－∞，1] 14 返回 ‹#› 10 12 13 11 1 3 4 5 6 7 8 9 2 10．(13分)证明：函数f(x)＝1－是增函数． 证明：设x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝＝，因为x1<x2， 所以>0， 故f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， 所以f(x)是R上的增函数． 14 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 11．(13分)给定函数f(x)＝x，g(x)＝－x2＋4x＋1，x∈R. (1)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象； 14 (2)∀x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中的最大者，记为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，试判断M(x)在区间(－∞，a]上的单调性． 返回 ‹#› 11 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 解：(1)f(x)，g(x)的图象如图所示． (2)由(1)及M(x)的定义得，M(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减， 所以当a≤0时，M(x)在(－∞，a]上单调递减； 当0<a≤2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减， 在[0，a]上单调递增； 当a>2时，M(x)在(－∞，0]上单调递减， 在[0，2]上单调递增，在[2，a]上单调递减． 14 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 12．已知函数f(x)＝在[0，1]上单调递减，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，0)∪(1，2024] B．(－∞，0)∪(0，2024] C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，1) 14 A 返回 ‹#› 12 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2 解析：A　若a<0，则当x∈[0，1]时，函数y＝ 单调递增，又<0，所以函数f(x)＝在[0，1]上单调递减；若a>0，则当x∈[0，1]时，函数y＝ 单调递减，只有>0时，才有可能使函数f(x)＝在[0，1]上单调递减，所以解得1<a≤2024， 综上，实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1，2024].故选A． 14 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 13．(多选)定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足：对于定义域上的任意x1，x2，当x1≠x2时，恒有>0，则称函数f(x)为“理想函数”．给出下列四个定义域为(0，＋∞)的函数，其中能被称为“理想函数”的有 (　　) A．f(x)＝1 B．f(x)＝x2 C．f(x)＝x2＋1 D．f(x)＝x2＋x 14 BD 返回 ‹#› 13 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 解析：BD　由题可得，f(x)应满足当x1≠x2时，恒有>0，令x1>x2，则x2f(x1)－x1f(x2)>0，又f(x)的定义域为(0，＋∞)，故>，即在(0，＋∞)上单调递增．对于A，在(0，＋∞)上单调递减，故A错误；对于B，＝x在(0，＋∞)上单调递增，故B正确；对于C，在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故C错误；对于D，＝x＋1在(0，＋∞)上单调递增，故D正确．故选BD. 14 返回 ‹#› 14 1 3 4 5 6 7 8 9 10 12 11 2 14．(15分)已知函数f(x)对任意的实数m，n，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，且当x>0时，有f(x)>1. (1)求f(0)的值； (2)求证：f(x)在R上为增函数． 解：(1)由题可知，f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1， 令m＝n＝0，则f(0)＝2f(0)－1，则f(0)＝1. (2)证明：设x1，x2是R上任意两个实数，且x1<x2，令m＝x2－x1，n＝x1， 则f(x2)＝f(x2－x1)＋f(x1)－1，所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)－1， 由x1<x2得x2－x1>0，所以f(x2－x1)>1，故f(x2)－f(x1)>0，即f(x1)<f(x2)， 故函数f(x)在R上为增函数． 13 返回 ‹#› 第一课时　函数的单调性 点击进入WORD文档 按ESC键退出全屏播放 返回 ‹#› $