福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学

莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷 高二数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若随机变量服从二项分布，则 A． B． C． D． 2．若函数，则 A．0 B．1 C．2 D．e 3．若随机事件，满足，，则 A． B． C． D． 4．在四面体中，是的中点，则 A． B． C． D． 5．根据成对分类变量与的样本观测数据，计算得到，依据的独立性检验，可认为 A．变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 B．变量与相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 C．变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.05 D．变量与不相互独立，该推断犯错误的概率不超过0.01 附： 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 6．若向量，，共面，则 A． B． C． D． 7．若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．已知随机变量服从正态分布，随机变量服从正态分布，且满足，，则 （附：若，则，，） A．0.1359 B．0.1573 C．0.2718 D．0.34135 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知线性相关的两个变量，的10对样本观测数据满足，用最小二乘法得到关于的回归直线方程为；若剔除一个数据后，剩下数据的样本中心为，其回归直线方程为，则 A． B． C． D． 10．已知正方体的棱长为1，若，则 A．若，则 B．若平面，则点轨迹的面积为 C．若，则的最小值为 D．若，则点的轨迹与正方体表面交线的长度为 11．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则 A． B． C．在处取得极大值 D．若方程有两个实数根，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．曲线在点处的切线方程为________． 13．在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 14．有4个尺寸不同的蛋糕，事先尺寸未知．现随机排列逐个呈现，按如下策略进行选择：拒绝第一个蛋糕，之后选择首个比第一个大的；若第一个本身就是最大的，则选择最后一个．按此策略选到最大尺寸蛋糕的概率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知函数在处取得极值． （1）求的单调区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16．（15分） 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，底面，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分） 已知函数． （1）证明：； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 18．（17分） 如图，在梯形中，，，，，，，分别为边，上的动点，且．沿将梯形翻折，使平面平面，且． （1）求的长； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）若四面体的四个顶点都在球上，求三角形的面积． 19．（17分） 某通信系统包含个信号节点，，，…，，它们通过条光纤依次连接，光纤支持双向信号传输．每条光纤因故障信号传输中断的概率为，各光纤故障与否相互独立．两端节点，作为信号源分别发送信号，其余中间节点仅可经光纤通路接收信号． （1）若每个节点正常工作的概率为，且每个节点是否正常工作相互独立．设为个信号节点正常工作的节点数． （i）求，； （ii）证明：对任意自然数，都有． （2）已知每个节点均正常工作． （i）求所有节点都有信号的概率（结果用表示）； （ii）当时，若对任意，均可从，，，…，中适当选取个节点作为新增信号源，使得所有节点都有信号的概率大于（其中是自然对数的底数），求正整数的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $