2027届高考数学一轮复习----专题1-4 基本不等式（8重难点题型+高考真题）

**基本信息** 围绕基本不等式，构建“概念理解-方法技巧-应用拓展-交汇融合”完整体系，以题载法，突出数学思维与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式理解及变形|4题|条件验证与等号成立判断|从概念本质出发，夯实基础| |配凑法求最值|8题|添拆项、变系数凑定值|核心方法，培养数学思维灵活性| |“1”的代换法求最值|5题|凑“1”乘“1”等价变形|技巧性方法，提升转化能力| |消元法求最值|5题|参数表示与“三条件”验证|多变量处理，强化逻辑推理| |恒成立问题|5题|不等式恒成立参数范围分析|应用深化，发展数学表达| |实际应用|4题|建模与定义域、实际条件把控|联系现实，体现应用意识| |柯西不等式|4题|二维/多维形式及最值求解|进阶工具，拓展知识广度| |交汇问题|6题|跨学科（物理、几何等）融合|综合应用，培养数学眼光与创新意识|

专题1-4 基本不等式 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 5．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 重难点突破1 基本不等式的理解及变形 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点突破2 配凑法求最值 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 1．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 3．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 4．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 5．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 6．若，且，则的最大值为_____． 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 8．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 重难点突破3 “1”的代换法求最值 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 2．（2026·河南·三模）已知函数 ，正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·吉林松原·阶段检测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 5．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为_____. 重难点突破4 消元法求最值 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 3．（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 4．已知，，满足，则的最小值是______． 5．若，，，，则的最小值为______． 重难点突破5 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 5．（2025·山西大同·模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 重难点突破6 基本不等式的实际应用 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（2025·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 2．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）某夏令营在区域内活动，三个内角满足． (1)求的最小值； (2)夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 4．（2025·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 重难点突破7 柯西不等式 适用于：已知的值，求的取值范围，或者已知的值，求的最值或求的最值． （1）二维柯西不等式：设均为实数，有，当且仅当时等号成立． （2）维柯西不等式：，其中字母值域均为，当且仅当时等号成立． 1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用柯西不等式求参数取值范围 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 4．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、柯西不等式求最值 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 重难点突破8 与其它知识交汇的最值问题 1．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】速度、位移的合成、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 2．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 3．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 4．（2024·陕西宝鸡·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（    ） （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2） 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由方程研究曲线的性质 【分析】对于（1），由分析判断，对于（2）利用基本不等式结合已知条件分析判断，对于（3）将以为圆心，1为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可，对于（4）结合（2）考虑曲线在第一象限是否经过整点进行分析判断. 【详解】对于（1），因为，所以与异号，所以表示的曲线在第二和第四象限，所以（1）正确， 对于（2），设曲线上一点，则其到原点的距离为， 考虑到该图形对称性，故研究第一象限的点， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1，所以（2）正确， 对于（3），以为圆心，1为半径的圆的面积为，由（2）知曲线在圆内部， 所以曲线构成的四叶玫瑰线面积小于，所以（3）错误， 对于（4），由（2）可知曲线在圆内部，而圆内在第一象限无整点， 所以曲线在第一象限没有经过整点， 由曲线的对称性可知，曲线在其它象限也没有经过整点， 所以由图可知曲线只经过整点，所以（4）错误， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用图形的对称性分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题. 5．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为______，比较两种方案，沙坑面积最大值为______. 【答案】 （其中，），或， / 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围； （2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减， 所以满足的关系式为（，）或，；    方案1：设游泳池的面积为， 由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以； 方案2：设游泳池的面积为，取的中点， 连接，，设，，在中，， 则，解得，当且仅当时取等号， ， 而， 所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为. 故答案为：（，），或，； 【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键. 6．某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中，，直角三角板与始终全等（假设直角三角板与的另两边的大小可变化）.现将直角三角板与放在平面内拼接，直角三角板的直角边也放在平面内，并使与重合，将直角三角板绕着旋转，使点在平面内的射影始终与点重合于点，如图②，则当四棱锥的体积最大时，直角三角板的内角的余弦值为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，由条件可表示出，再由，再结合基本不等式取等号的条件，即可得到结果. 【详解】由题意可知平面，设.因为， 所以.又， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1-4 基本不等式 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【难度】0.82 【知识点】基本不等式求和的最小值 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立, 所以的最小值为9. 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 4．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】条件等式求最值 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 5．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【难度】0.94 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 6．（2023·天津·高考真题）在中，，，记，用表示_________；若，则的最大值为_________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、用定义求向量的数量积、基本不等式求积的最大值 【分析】空1：根据向量的线性运算，结合为的中点进行求解；空2：用表示出，结合上一空答案，于是可由表示，然后根据数量积的运算和基本不等式求解. 【详解】空1：因为为的中点，则，可得， 两式相加，可得到， 即，则； 空2：因为，则，可得， 得到， 即，即. 于是. 记， 则， 在中，根据余弦定理：， 于是， 由和基本不等式，， 故，当且仅当取得等号， 则时，有最大值. 故答案为：；.    重难点突破1 基本不等式的理解及变形 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 1．（2026·陕西西安·模拟预测）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、基本不等式的内容及辨析 【分析】根据充分必要条件的概念及基本不等式进行判断． 【详解】由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立， 所以当时，，此时成立； 若，此时，而， 所以“”是“”的必要不充分条件． 2．（2026·北京朝阳·模拟预测）若，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.75 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式比较大小 【分析】首先根据基本不等式求的范围，再根据集合的包含关系判断充分，必要条件. 【详解】因为，所以，则， 因为，所以“”是“”的充分不必要条件. 3．（2025·四川眉山·模拟预测）已知，，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、由基本不等式证明不等关系 【分析】利用充分，必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当时，满足，此时； 由，且，，得，当且仅当时等号成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：A. 4．（25-26高三上·天津·开学考试）若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由基本不等式比较大小 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即得. 【详解】由，，得， 反之，满足，而，此时不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 重难点突破2 配凑法求最值 1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式． 2、注意验证取得条件． 1．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 2．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知，，，则的最大值为（   ） A．16 B．8 C．4 D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式即可求得最大值. 【详解】由基本不等式，得， 当且仅当，即，时取等号, 所以的最大值为8． 故选：B. 3．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）函数的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用基本不等式直接求解. 【详解】， 由基本不等式有，当且仅当即时，等号成立， 所以函数的最大值为. 故选：B. 4．（2024·上海静安·二模）在下列关于实数的四个不等式中，恒成立的是_______．（请填入全部正确的序号） ①；②；③；④． 【答案】②③④ 【难度】0.65 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由基本不等式证明不等关系 【分析】取特值可判断①；作差法可判断②④；要证即证可判断③. 【详解】对于①，取，故①错误； 对于②，，故②正确； 对于③，当，要证，即证， 即，即证， 而恒成立， 当时，，所以，故③正确. 对于④，，所以，故④正确. 故答案为：②③④. 5．（2026·广东湛江·二模）已知正数，满足，则的最大值为______. 【答案】12 【难度】0.73 【知识点】基本不等式求积的最大值 【详解】由，得， 所以，当且仅当，时等号成立. 6．若，且，则的最大值为_____． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值、条件等式求最值 【分析】利用对数的运算性质结合三元基本不等式求解即可. 【详解】由对数的运算性质得， 由三元基本不等式得， 当且仅当时取等，而在上单调递增， 则，故的最大值为． 故答案为： 7．（2026·山东聊城·模拟预测）已知a，b为正实数，直线与曲线相切，则最大值为______. 【答案】 【难度】0.55 【知识点】已知切线（斜率）求参数、简单复合函数的导数、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据给定条件，利用导数的几何意义求得，再利用基本不等式“1”的妙用求出最大值. 【详解】由，求导得， 设直线与曲线相切于点，则有， 解得，则，而为正实数， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 8．（2026·福建南平·二模）若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 重难点突破3 “1”的代换法求最值 1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法． 2、注意验证取得条件． 1．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】圆的对称性的应用、基本不等式“1”的妙用求最值、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 2．（2026·河南·三模）已知函数 ，正数满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】分析出函数是上的增函数且为奇函数，由已知条件可得出，然后再利用基本不等式中“”的妙用即可求得结果. 【详解】已知函数 ，则， 因此函数是一个奇函数， 又因为在上恒成立，因此函数是上的增函数， 由于正数满足 ，则有，即得 ， 从而有 ， 因此， 根据基本不等式有，即， 当且仅当，即时取等号，满足为正数的条件， 所以的最小值为. 3．（2026·湖南株洲·三模）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】利用已知条件对所求表达式变形，结合基本不等式求最小值，即可得取值范围. 【详解】∵， ， 当且仅当，即，时等号成立. 的取值范围是. 4．（25-26高三上·吉林松原·阶段检测）在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】等差中项的应用、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】根据等差中项性质可得，再利用基本不等式中“1”的应用计算可得结果. 【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项， 所以，所以， 因此， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为： 5．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）已知函数的图象过定点，正实数，满足，则的最小值为_____. 【答案】12 【难度】0.65 【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由对数函数性质确定，，进而得到，再结合基本不等式即可求解. 【详解】当时， 所以函数的图象过定点， 所以，，即， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为：12 重难点突破4 消元法求最值 消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！ 1．（24-25高三上·重庆·月考）已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，即， 当且仅当，取到等号，故选：C. 2．（24-25高三上·四川成都·期中）已知，，则的最小值是（    ） A． B． C． D．17 【答案】B 【解析】方法一：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 方法二：， 则， 当且仅当，即，时取等号. 故选：B. 3．（24-25高三上·海南·月考）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．5 C．7 D．8 【答案】B 【解析】因为，，所以， 因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为.故选：B. 4．已知，，满足，则的最小值是______． 【答案】. 【解析】由，得， 所以. 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 5．若，，，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由题意，，，，得：， 设 ，则 ， 故 ， 当且仅当 ，即 时取得等号， 故的最小值为， 故答案为： 重难点突破5 与基本不等式有关的恒（能）成立问题 1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】对题目等式变形得，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】因为正实数,满足，所以， 则：， 当且仅当时取等号，因为不等式恒成立，所以． 故选：B． 2．（24-25高一上·安徽池州·期中）已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由已知条件得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式求出的最小值，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，且，则， 则， 所以 ， 当且仅当时， 即当，时，所以的最小值为， 因为恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 3．若不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、基本不等式的恒成立问题 【分析】参变分离可得，再设，结合基本不等式求解的最小值即可. 【详解】解析依题意知，，结合，知，不等式转化为，须. 设，由，知，设，当且仅当，即，时等号成立，因此实数的取值范围是. 故选：A 4．（2025·贵州黔东南·三模）正数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由不等式恒成立可得，利用基本不等式求的最小值，由此可求的取值范围. 【详解】因为不等式恒成立，所以， 由，， 可得， 当且仅当时等号成立， 所以，解得. 所以的取值范围为. 故答案为：. 5．（2025·山西大同·模拟预测）已知，若不等式恒成立，则的最大值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题 【分析】根据将分离出来，基本不等式求最值即可求解. 【详解】由得． 又，当且仅当，即当时等号成立， ∴，∴的最大值为． 故答案为： 重难点突破6 基本不等式的实际应用 1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题． 2、注意定义域，验证取得条件． 3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等． 1．（2025·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式的实际应用 【分析】根据两角差的正切公式，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 2．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式的实际应用 【分析】设根据十字形地域的面积，得出的关系式，进而求出各个图形的面积，将各个区域造价相加，求得总造价，结合基本不等式，即可求得总造价最小值和取最小值时的长. 【详解】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 3．（2026·山东聊城·二模）某夏令营在区域内活动，三个内角满足． (1)求的最小值； (2)夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 【答案】(1) (2)0.2 【难度】0.62 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、基本不等式的实际应用、独立事件的乘法公式 【分析】（1）先设三边，利用正弦定理把角条件转成边的关系，再代入余弦定理表示出 ，最后用基本不等式求最小值。 （2）按独立事件的概率公式列方程组，先求出 和 ，再由,求出 . 【详解】（1）设的内角的对边分别为 由，根据正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以， 当，即时，上式等号成立， 此时，，于是，， 因此，的最小值为． （2）设事件“小明准时到达A点”，事件“小红准时到达A点”，则，． 由题意，即， 化简，得①, ，即， 化简，得②,由①②，得， 所以．故的值为0.2． 4．（2025·上海闵行·一模）某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【难度】0.4 【知识点】对勾函数求最值、基本不等式的实际应用 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 重难点突破7 柯西不等式 适用于：已知的值，求的取值范围，或者已知的值，求的最值或求的最值． （1）二维柯西不等式：设均为实数，有，当且仅当时等号成立． （2）维柯西不等式：，其中字母值域均为，当且仅当时等号成立． 1．（2024·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 2．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】由柯西不等式求解即可. 【详解】，由，解得， 当时，，当，， 当，则， 此时且， 由柯西不等式可得， 当且仅当，即时取等号，此时，即， 所以函数的最大值为2. 故选：C. 3．（2024·河南信阳·模拟预测）已知正数满足，则的最小值为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用柯西不等式求参数取值范围 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 4．（2024·山西·二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量，，由得到，当且仅当时取等号.现已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】数量积的坐标表示、柯西不等式求最值 【分析】令，代入公式即可得解. 【详解】令， 又，，， 所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 重难点突破8 与其它知识交汇的最值问题 1．（2026·山东济南·模拟预测）现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（     ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.5 【知识点】速度、位移的合成、基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 2．（2026·天津河东·一模）“明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 3．（2025·广东揭阳·三模）“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】基本（均值）不等式的应用 【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 4．（2024·陕西宝鸡·三模）数学中的数形结合可以组成世间万物的绚丽画面，优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的产物，曲线为四叶玫瑰线，下列结论正确的是（    ） （1）方程，表示的曲线在第二和第四象限； （2）曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1； （3）曲线构成的四叶玫瑰线面积大于； （4）曲线上有5个整点（横、纵坐标均为整数的点）． A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（3）（4） D．（1）（2） 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】基本（均值）不等式的应用、由方程研究曲线的性质 【分析】对于（1），由分析判断，对于（2）利用基本不等式结合已知条件分析判断，对于（3）将以为圆心，1为半径的圆的面积与曲线围成区域的面积进行比较即可，对于（4）结合（2）考虑曲线在第一象限是否经过整点进行分析判断. 【详解】对于（1），因为，所以与异号，所以表示的曲线在第二和第四象限，所以（1）正确， 对于（2），设曲线上一点，则其到原点的距离为， 考虑到该图形对称性，故研究第一象限的点， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，所以，当且仅当时取等号， 所以曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过1，所以（2）正确， 对于（3），以为圆心，1为半径的圆的面积为，由（2）知曲线在圆内部， 所以曲线构成的四叶玫瑰线面积小于，所以（3）错误， 对于（4），由（2）可知曲线在圆内部，而圆内在第一象限无整点， 所以曲线在第一象限没有经过整点， 由曲线的对称性可知，曲线在其它象限也没有经过整点， 所以由图可知曲线只经过整点，所以（4）错误， 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查曲线与方程，考查基本不等式的应用，解题的关键是利用图形的对称性分析判断，考查数形结合的思想，属于较难题. 5．（2024·浙江金华·三模）某希望小学的操场空地的形状是一个扇形，计划在空地上挖一个内接于扇形的矩形沙坑（如图所示），有如下两个方案可供选择.经测量，，.在方案1中，若设，，则，满足的关系式为______，比较两种方案，沙坑面积最大值为______. 【答案】 （其中，），或， / 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）连接，在中应用勾股定理找到关系式，注意取值范围； （2）由（1）及基本不等式求得，结合三角形面积公式求方案一的最大值；再连接，，设，，在中应用勾股定理得，结合基本不等式、三角形面积公式求方案二最大值，比较大小即可. 【详解】连接，由，，，，得， 在中，，由，得， 显然在上单调递减， 所以满足的关系式为（，）或，；    方案1：设游泳池的面积为， 由（1）得，解得，当且仅当，即，时取等号， 所以； 方案2：设游泳池的面积为，取的中点， 连接，，设，，在中，， 则，解得，当且仅当时取等号， ， 而， 所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为. 故答案为：（，），或，； 【点睛】关键点点睛：设出与图形面积相关的两个变形，借助勾股定理建立关系，利用基本不等式求解最值是解决问题的关键. 6．某数学兴趣小组的学生开展数学活动，将图①所示的三块直角三角板进行拼接､旋转等变化，进而研究体积与角的问题，其中，，直角三角板与始终全等（假设直角三角板与的另两边的大小可变化）.现将直角三角板与放在平面内拼接，直角三角板的直角边也放在平面内，并使与重合，将直角三角板绕着旋转，使点在平面内的射影始终与点重合于点，如图②，则当四棱锥的体积最大时，直角三角板的内角的余弦值为__________. 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】基本（均值）不等式的应用、锥体体积的有关计算 【分析】根据题意，由条件可表示出，再由，再结合基本不等式取等号的条件，即可得到结果. 【详解】由题意可知平面，设.因为， 所以.又， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 此时， 所以. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $