第三章 一元函数的导数及其应用-2027年新高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

**基本信息** 系统覆盖导数概念、几何意义、性质应用及实际建模，通过分层题型构建完整知识网络，培养逻辑推理与数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-4、填空12|切线斜率计算、导数定义应用|从导数几何意义到基本运算，构建概念理解基础| |性质应用|选择5-8、9-10、填空13-14|单调性判断、极值最值求解、不等式恒成立|以导数符号为核心，建立函数性质分析框架| |实际应用|解答16|利润最大化问题|将导数工具转化为优化决策能力，体现应用意识| |创新拓展|选择11、解答19|牛顿法迭代、调整函数定义|通过跨学科情境与新定义问题，发展创新思维与抽象能力|

第三章 一元函数的导数及其应用（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处的切线斜率为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题， 故. 2．对于函数，若，则实数的值为（    ） A． B．e C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以， 又因为， 所以， 解得． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由得，， 所以，，， 曲线在点处的切线方程为： ，，化简得，. 5．已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【解析】因为，所以. 由或. 当时，. 由或；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由或；由. 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 6．当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的定义域为，又， 依题意可得，即，解得， 此时，则， 所以当时，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减， 则在处取得极大值，也是最大值，符合题意； 所以. 故选：D 7．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，得：， 令，， 则， 在上单调递增； 又，得， 又，即， 又在上单调递增， ，， 即， ∴，故A正确，B不正确； 取得：， 此时，故C、D都不正确. 故选：A 8．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由两边同乘得. 设，， 由题意得在上严格递增，则对任意恒成立，即对任意恒成立. 令，，则， 当时，单调递增，当时，单调递减， 所以的最大值为，因此. 当时，， 令，，易得且仅在处取等， 故且最多有一个实数解，严格递增，所以的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 【答案】AC 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，令，所以， 所以，解得，故B正确； 对于C，，所以，故C错误； 对于D，，故D正确． 故选：AC． 10．已知，则下列说法正确的有（    ）． A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】，定义域为，则 A选项，令，得，则当时，单调递增，当时，单调递减， 所以，当，；当，， 所以函数只有1个零点，且此时，所以A选项正确； B选项，由A选项解析可知，函数的单调递减区间为，所以B选项错误； C选项，由A选项解析可知，函数有极大值，所以C选项正确； D选项，由A选项解析可知，关于x的方程不可能有三个根，所以D选项错误. 11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，，，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线的方程为 C． D．设，，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由题意得，， 则，故的切点为， 而，由导数的几何意义得的斜率为， 得到切线的方程为，化简得， 令，解得，故A正确. 对于B，，， 则的方程为，即，故B错误. 对于C， 由题意得在处的切线方程为， 而该方程必过，代入得到， 则，得到，C选项正确. 对于D，， 可得， 由已知得，则单调递增， 而，，得到， 由零点存在性定理得存在作为零点， 初始值，且（牛顿迭代值始终在零点右侧），故， 所以， 所以数列单调递减且无限趋近于， 故 ， 则，得到， 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】 【解析】根据题意，，则， 又函数在处的切线方程为， 所以切线斜率为，即，解得， 又切点在切线上，所以当时，，即切点坐标为， 又切点在函数上，所以，解得， 所以. 13．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】函数的定义域为， . 因为在上是增函数，所以在上恒成立， 所以 ，即在恒成立. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 因此，即. 故的取值范围是. 14．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______ 【答案】 【解析】若，当时，左边，右边，不等式不成立，因此必有. 不等式两边同乘正数，得： , 构造函数，求导得， 故在上单调递增，在上单调递减， 因，当时恒成立， 当时，由单调性可得， 原不等式等价于，由单调性得：在上恒成立. 不等式变形为对任意恒成立， 令，求导得： ，令得, 当，单调递增，当，单调递减， 所以的最大值为，故， 即的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 【解析】（1）当时，，所以，即切点为； 又， 所以； 由点斜式得切线方程：，整理得. （2）定义域为，， 由为极值点得，代入得，解得或； 若，则由得或， 当时，时， 故处为极小值，不符合题意，舍去； 若，则由得或， 当时，时， 故处左增右减，为极大值，符合题意； 综上，. 16．（15分） 某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 【解析】（1）由 题当时，该企业生产该电子产品年利润为万元， 所以， 解得， 所以当时，； 当时，，则； 综上，； （2）当时，对求导，可得， 令，即，解得， 当时，，所以在上单调递增， 则当时，取得最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当，即时等号成立， 综上可得该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量为10万件. 17．（15分） 已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）当时，， 因为，所以切点为， 又斜率， 故切线方程为：， 即； （2），的定义域为， 当时，，，所以在上单调递增， 当时， 时，，，所以在上单调递减， 时，，，所以在上单调递增； （3）由题可知在上恒成立， 即在上恒成立， 则有在上恒成立， 令，由可得在上单调递增， 故可化为， 所以在上恒成立, 即，解得， 故的取值范围为． 18．（17分） 已知函数 (1)时，判断在定义域的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，记的极小值点为，证明． 【解析】（1）当时，函数，其定义域为. . 令，则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 所以恒成立，所以在定义域上单调递增. （2）若恒成立， 则恒成立， 即，恒成立. 令， 则. 令，得或（舍去）. 又是增函数， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以在处取得最大值，最大值为. 故实数的取值范围是. （3）设，则，定义域为. . 令，则. 令，得. 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得最小值，最小值为. 又，，， 所以存在，使得， 即，即. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值，所以. . 令，则在单调递减. 又， 所以，即 19．（17分） 已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 【解析】（1）因为， 所以. 所以 所以是的“2-调整函数”； （2）由，得. 由于是的“调整函数”，那么存在常数，使得恒成立， 即，即. 因为存在实数，满足上式，所以，即. 1)若，则成立； 2)若，则，所以，且. 设，则在单调递增. 当时，因为， 所以存在，当时，，单调递增， 所以当时， ，不满足题意； 当时，，，所以，在上单调递减， 所以恒成立. 3)当时，对，恒成立. 综上，调整系数的取值范围是. （3）不一定是常值函数. 例：令，， ，. 此时函数的值域是一个闭区间，为集合，函数的值域为集合，满足. 又，满足对任意实数恒成立，即满足是的“调整函数”， 此时不是常值函数. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 一元函数的导数及其应用（单元测试） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若函数在处的切线斜率为2，则（    ） A． B． C． D． 2．对于函数，若，则实数的值为（    ） A． B．e C． D． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 6．当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，都有，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题不正确的是（    ） A．若，则 B．设函数，且，则 C．已知函数，则 D． 10．已知，则下列说法正确的有（    ）． A．函数有唯一零点 B．函数的单调递减区间为 C．函数有极大值 D．若关于x的方程有三个不同的根，则实数a的取值范围是 11．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，在横坐标为的点处作曲线的切线，直线与轴交点的横坐标为；用代替重复上面过程得到；一直进行下去，得到，，，，当足够小时，我们可以把的值作为函数零点的近似值．已知函数，则下列说法正确的是（     ） A． B．直线的方程为 C． D．设，，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数在处的切线方程为，则的值为______． 13．若函数在是增函数，则的取值范围是__________． 14．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若在处有极大值，求的值. 16．（15分） 某企业生产某种电子产品的年固定成本为万元，且每生产一万件该电子产品需另投入生产成本万元，设该企业每年生产该电子产品万件并全部销售完，年销售收入（单位：万元）.已知当时，该企业生产该电子产品年利润为万元.（年利润=年销售收入-年固定成本-年生产成本） (1)求该企业生产该电子产品所获年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； (2)求该企业生产该电子产品所获年利润最大时的年产量. 17．（15分） 已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 18．（17分） 已知函数 (1)时，判断在定义域的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)设，记的极小值点为，证明． 19．（17分） 已知函数与函数的定义域均为，且在上的导函数分别为和.若存在常数，使得对任意实数恒成立，则称是的“调整函数”，并称为调整系数. (1)设.求证：是的“2-调整函数”； (2)设.若存在实数，使得是的“调整函数”，求调整系数的取值范围； (3)已知是的“1-调整函数”，函数的值域是一个闭区间，记作集合，函数的值域记作集合.若，判断是否一定是常值函数，并说明理由. 1 / 4网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $